L'intersection de denx canes droits tang;ens à la spbère

al le lieu de* pMes d'un cercle qoi ae méat sur la «phère aati» cesser de (oacber les cercles de oooUct de celle surface et. dé» deux c&aea.

Soientea effet a et & deux cerclei de la sphèl-e , A «t Bloutt piles Fespeptir»; ces p6lei sont les sommel» de deux c6neï qui ont pour li^es de Gonlaet avec la sphère les cercles a et  , et qui' le traversent suivant une certaine tigoe.

Je joins un point P de cette ligne d'intersection aux pMeiA et B, et je désigne par £ et F les points des cercles de contact où les droites PA et PB twichent la sphère; comme on a PË ^: PF, on peut conceroir le point P comme le pôle d'un noQveau cercle j>, qui passe par les points Ë et F. Or eu eet points tés droites PA et PB sont normales aux élémens des circonférences a , & et p. Le nODTeau cercle est donc tangent à la foisauxdenx autres. Comme ii en est de même de tous ceux dont les pôles sont sur la ligne d'iatersection , on en conclut la propriété énoncée,

2, Soit Q un autre point de cette interseclion , tel que la droite FQ traverse la sphère en deux points 0. P et Q sont les pôles de deux cercles tangens aux cercles a et b. Je prends l'un des points 0 pour «il , et j'obtiens pour projection de ce;système de cercles quatre autres cercles a', b', j/, q'. Les deux derniers sont concentriqoes entre eux et langens nax premiers. Cela ne pouvant kn à moins que a' et b' ne soient de rayons ^anx , il résulte de cette égalité qua le centre commun' des oerelea p' et q' est à dbtanoe a^le des centres A' et W. Il en serait érideisment de même des centres de tana lesatatres cerdés langens aux cinonf^ renées»' et ^. Ainsi, la ligna <|ui les renferme est unedroite, p«rpei)dienlair6 à la ligne des centres A' et B*. D'une antre part teos Jes oeroles de la a^ère taafnks aux oeroles a et j& se projettent stéréograi^ifttieiKeut suivant d'autres cercles tangens à a' et b', et- ayant pour centres les projections des difi^rens points de (P); cette intersection a donc pour projection actuelle la droite d«4 points' P' qui ne peat être que la pPDJectioa d'une CQurbejdaue. Sonaodeaxcènea tangensàla sphère se pénètrent

>uivaul que seetion flou^ue, •■ Celte deniière propriété fiiosnd» oh utilea otHnéquenoeiest loin

:,q,-z.= bvGoOg[c

Ift4 COIIISPONDIRCI

d'être neare. Elle a oconpé des géomètreB distingués; et dans cea demien temps, HM. Dandetin et Quetelet en ont déposé d'élégantes démonslrations dans les Mémoire» de V Académie i» Bruxelles. On vient de voir que ta variëté des moyens de la constater n'est pas épnisée. Toutefois je me serais contenté de l'énoncer, si elle ne m'avait paru digne de présenter une première application des principes fondamentaux des projections stéréo- (;raphiques.

3. Quand les pâles A et B sont séparés par le plan de la courbe (P), on a pour un point quelconque de cette courbe

AP — BP = AE-hEP — BF — FP,

on, puisque £?= FP, et qse AE — BF est nne longneor constante,

AP — BP = AE — BF = constante.

Ancoatraire,lessommetsAetBétantdumëraec6téde la courbe d'intersection , on troure

AP -1- BP = AF -t- BF = constante.

Ainsi en appelant rayon» vecteur» les distances AP, BP des pAIes A et B à UD point de la courbe , et rayons des cercles de contact les distances invariables AË et BF des circonférences de ces cercles aui mêmes pôles , on pourra donner cet énoncé à la propriété que les relations précédentes renferment.

u Quand deni oônes sont circonscrits à la spbére , la somme on la différence des rayons vecteurs menés à un même point d'une de leurs intersections est constante, et ^le à la somme on à la différence des rayons des cercles de cODtaot, suivant qne le* sommets des cônes sont on ne sont pas du même côté du plan de l'intersection. >

4. Cette propriété est projective : en d'antres fermes elle subsiste encore dans la projection stéréographique de la figure setnellederespace. En effet, elle n'a lieu qneparceqne les longueurs entre lesquelles elle existe sont composées de rayons de cercles ;

bvGoogIf

■ ATBtaiTIQVE BT FBTI1QUE. 16S

etoes loDgaeun ont poor projeolions d'aalres longueurs form^ de rayona de cerclea ansii.

On aara donc snr le plan de projection

A'P' -h WP = A'E' -t- BT' = constante,

A.'P' — B'F = A'E' — B'F' = constante.

On reconnaît sans peine que toute section plane d'un c6ne droit à hase circulaire peut être regardée comme la courbe de péiié- Uqition de ce cane et d'un autre , tangua tous les deux à une ephàre. En effet, considérons une semblable section dans le cAne auquel elle appartient. On peut ooncevoir qu'une sphère de rayon arbitraire touche le cône intérieurement. On se reprësenle toat aussi clairement l'intersection du plan de la section et de œlui du cercle de contact, ainsi que la droite polaire réciproque de cette intersection. Far un point de la section conique je mène une tangente à la sphère qui rencontre cette dernière droite , et par le point de tangence un plan qui passe en même temps par h première. Le cercle de la sphère déterminé par ce plan sera le cercle de contact d'un nouveau cdne qui contiendra aussi la lËCtion conique tout entière.

L'exactitude de cette construction découle de la propriété sui- ' rante , asseï; connue pour qu'il me suffise de l'énoncer,

■ Le plan de l'intersection de deai cônes tangens à la spbère et ceux de leurs cercles de contact se coupent suivant unç droite unique qui a pour polaire réciproque celle qui contient les sommets des cônes. ■

8. Je suppose maintenant que la courbe sur laquelle on a opéré la construction précédente , soit la section (P). Je prends pour œil ou centre de projection une extrémité du diamètre perpendiculaire à son pian, et pour tableau le plan lui-même. J'y projette le système des cercles dont cette courbe renferme les pôles : j'y projette également les cercles a et £ auxquels les premiers wnt tangens, et les pôles À et B de ces derniers. J'appelle foyers de la section conique les points A' et B' projections des pôles AetB.

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166 COIIUPOHBAKCC

On niipa pour la section elle-même

A'P -I- B'P= A'Ë' + B'F' SI constante , on

A'P — B'P = A'E' — B'F' = («pillante.

avec un pen d'attention on recDDnah quela première oaractërise une conrbe fermée de tonte part , et la seconde une courbe îllinntée à branches infinies. La première relation appartient donc à iVUipse et la seconde tt l'hyperbole.

'Âimi, !• «Tonte section faite dans on cane droit à base circnlaire est le lieu des centres d'un cercle qui se ment sur son plan en tleinéurant constamment en contact arec dent autres cercles de rayons conrenables, dent les centres sont les foyers de la section.

S* «f La somme des rayons recteurs mènes de chaque point de rdlipse à ses foyers est constante et égale à la somme des rayons des CRt^s précédens.

» La différence des rayons vectenrs menés de chaque point de l'hyperbole à ses foyers est également constante et égale à la différence des rayons des mêmes cercles, n

Je donnerai dorénavant à ces cercles le nom de cercles direclears.

8. Actuellement puisqne'la relnlion entre les rayons yecteur» estprOjectiTe,il s'ensuit que toutes les projections stérëographiques possibles d'une section conique jouissent de cette propriété caractéristique, et sont elles-mêmes des sections coniques.

D'ailleurs les pôles A et B deyiennent en projection les foyers A' ctB* de la section conique [P') qui est la projection de la sectitm (P), On peut donc conclure de tout ce qui précède ce beau théorème de HH. Dandelin et Qnelelet :

u La projection stéréographique de la courbe d'intersection de deux cônes tangens à la sphère, est une section conique ayant pour foyers les projections des sommets de ces cônes. »

7. En faisant décroître le cercle de contact de l'un des cônes jusqu'à devenir un point de la sphËre , on amène le sommet do cane à se conTondreaTec ce point, et le cène est devenu nn plan

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MïTatMâTiQOi KT msiQot. 167

i«ngmt a la. sphère. Ce pUn étant pris pour tableau , la section qa'ïl renferaie est la propre projection et le point de contact l'an de aes foyers ; d'où cet autre théorème rematquahla de H. Daudelia : Il Quand un cône droit à hase circulaire est coDpéparnn plan, la sphère qui louche à la fois le c£ine et le plan , a pour point de contact sur celui-ci l'un des foyers de la seation déterminée par le plan dans le c6ne. »

8. Sans la projection stéréographiqiie d'une figure de l'espace, tont point situé Rur le plan mené par l'œil parallèlement au tableau, e»t par cela même projeté à l'inlini.

Une conséquence de cette remarque, c'est que l'intersection plane de deux cdnes circonscrits à la sphèro , donne pour projection Btéréographique une ellipse, une hyperbole ou une parabole, selon que l'œil est pris sur la calotte sphérique bornée par un Aea cercles de contact , ou entre ces cercles, ou sur l'un d'eux. Car le plan qui touche la sphère ne peut rencontrer la courbe dans le premier cas ; il la coupe en deux points dans le second ; il la touche en an point dans te troisième ; et ce point , ainsi que les deux autres passe à l'inânî.

9. Considérons une s[^ëre touchée par un plan et par un cône, et potons l'œil sur le cercle de contact du cane et de la sphère. Le sommet du cône passera à l'infini , le cercle de contact se projettera suivant une droite, et l'intersectian du pian et du cône suivant une parabole ayant pour directrice la projection du cercle et pour foyer unique la projection do point de tangence de la sphère et du plan. La parabole est donc le lieu des centres des cercles assujettis à toucher une droite et à passer par un point donné. On en conclut aussi cette relation anologuc à celtes de l'ellipse et de l'hyperbole (&) :

«Cfaaqne point de la parabole esta égale distance de son foyer et de sa directrice. ]>

10. Les relations (5J ne sont pas altérées quand on leur donne la forme

A'P' + B'P' = (A'E' + a) + (B'f ' — «) = const. A'P- — S'P = (A'E' — a) — (B'F' — «),= const. A'i" — B-P- = (A'E' ri- ») — IB'F' +d)^ connu

tt disignant une longuenr qni ne peat dépasser B'F' dans le» denx première! formules , mais qni peut atteiodre toutes lei graw deurs possibles dans la troisième. Donc :

■ Une mèine conique peut avoir ane infinité de systèmes de cercles directeurs.

n On pent (onjours prendre pour cercles directenrs d'une section conique donnée deux cercles qui ne se renoontrent pas.

11. Soient Oà', OB' deux droites menées de t'œil aux foyers d'une section conique , et une troisiïme OP' aboutissant à un point P* de son périmètre; si deux cônes langens a la sphère ont leurs sommets A et B sur les premières, et que leur courbe de pénétration passe par un point P de la troisième , cette courbe vue de l'œil 0 aura pour projection stéréographiqae la section conique donnée. En effet, cette projection et la courbe seront de même espèce (8); elles auront mêmes foyers et un point commun.

En faisant varier les points A, B et P sur leurs directrices OA, OB et OP, sans que les deux premières cessent d'être les sommets de deux eAnes dont l'intersection passe par le troisième , on en{^ndre une surface conique dont la courbe donnée est la base et l'œil le sommet. La propriété du triangle rariabte qui répond b cette génération est évidemment de reposer par ses sommets sur trois droites qui concourent en un point 0 de la sphère, et d'avoir deux de ses côtés PA et PB sans cesse en contact avec les cercles (c) et [d), suivant lesquels cette surface est coupée par les plans PAO et OPB. On va voirqne le troisième côté AB touche dans tontes ses positions une section de cône.

Soient £ et F, fig. aetb les points de conlacl des côtés PA et PB avec les cercles (c) et (d); EF est une arèle commune au cône qu'on peut faire passer par ces cercles , et à celui qui enveloppe les circonférences dont les pôles sont A et B. Ce dernier cône a son sommet sur la droite AB au point G où l'une de ses arêtes rencontre cette droite , par suite en un point de l'intersection du premier cône et du plan AOB.

Le plan PAB est langent au premier cône : car il contient deux tangentes PA et PB à cette surface. AB est la trace de ce plan sur le plan AOB; AB louche donc en G la courbe d'intersection

MATHHATIQtt IT MTatQCB. IBO

da plan AOB et da cône qui eiiTetoppe les cercles (c) et [d).

11 est donc reconnu que la suite des droites AB enveloppe une Kclion de cane. Celte courbe enveloppe est également déterminée sur Iq plan AOB, par la série des sommets G des c6nes qu'on penl faire passer par les cercles {a] et (b) qui déterminent dans l'espace chacune des courbes dont la section conique donnée eit la projection stéréographiqne. Sa forme ne dépend ainsi que de l'espèee de la section conique donnée. Elle demeura la même à quelque point du périmètre de cette section qu'aboutisse la droite OP. On peut donc prendre pour ce point l'une des extrémités do grand axe, et les directrices OA, OB, OP étant dès lors «tuées dans le même plan, les cercles (c) et (d) se confondent sur la sphère. Ainsi la courbe enveloppe de la section conique (telle eet la dénomination dont je me servirai pour désigner cette courbe) est le lieu des intersections successives des côtés d'un triangle dont les deux autres côtés restent tangens à la circonférence d'un cercle , pendant que ses sommets parcourent trois droites issues d'an point de cette circonférence.

Cette courbe touche le cercle en 0 : car le cône dont elle eet une section est tangent à la sphère en ce point. Elle rencontre le cercle aux points R et H, puisque ces points appartiennent aussi le premier au cercle (c), le second au cercle {d) et que la cône dont celte courbe est l 'intersection enveloppe ces deux cercles. En considérant toujours cette courbe comme une section de ce eône par le plan AOB, on reconnaît que. du point 11 au point K elle est comprise entre la corde OK et l'arc soutendu qui tourne sa conveiiié au tableau ; qu'au contraire entre la corde HK et l'œil , elle est tout-à-fait extéricore an cercle.

IS. Ainsi entre dent points voisins des points H et K les droites tangentes à la courbe enveloppe traversent la sphère; elles sont tont-à-fait extérieures à cette surface pour toutes les parties de la courbe prises en dehors de ces points.

13. La considération de la courbe enveloppe conduit très-simplement à reconnaître ce qui a été établi précédemment sur la multiplicité des systèmes de cercles directeurs d'une section co-

170 coHRESpanARCi

En eSet toale tangente à cette courbe rencontre ]u droite* OA, 06 en deux (wintg A et B qui sont tont ■ la fo» les p61es de deux oercles de le Spbère et les sommets de deni jcànes dont l'intuaeotion se projette suivant une section conique; et cette projeetion reste iiiTâriablemeot la même en quelque point de son périmètre que la cuurbe enreioppe soit touchée par AB : car telle est la propriété caractéristique de cette courbe; les cercles (a) et (6) au contraire Ta rient avec la position de la tangente, otilen est de même de leurs projections qui sont , sur le tablsau , les cercles directeurs de la section coniqae projetée. 11 existe donc réellement pour une même section conique, une. infinité de couples de cercles directeurs.

14. Il est facile de s'assurer que te point de concoart des directrices OA,OB, OPpent être ailleurs qnesurlasphëre sans qne le lieu des càtés AB cesse d'être une section conique ; qu'il n'est pas même nécessaire que les directrices traversent la splière , et qu'il suffit que cette surface soit rencontrée par les plans qoi les contiennent deux t> deux. On peut donc établir le thëorëme rai- Tant que je croîs nouveau :

■ Trois cercles .étant donnes sur la sphère ou sur un plan , ai un triangle variable de forme a ses sommets assujettis à parcourir leurs cordes communes réelles ou idéales en. même temps que deux de ses côtés demeurent tangens à deux des trais cordes, U courbe enveloppe du troisième côté sera une section coniqae passant par les [loints où le troisième cercle est coupé par les deux autres, n

Ce théorème subsiste encore quand aux trois cercles on lobstitue trois sections coniques semblables et semblablement placées, ou plus généralement trois sections coniques quelconques.

15. En appliquant le même raisonnement au cas oii les trois cercles se confondent en un seul , on a cet autre théorème qui a encore lieu aussi quand le cercle est remplacé par une section conique.

u Trois droites concourantes étant tracées à travers un cercle, si les sommets d'un triangle variable de forme sont assujettis, à les parcourir, si en mêrnc temps deux cotes du triangle ne ces-

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atTllMATIQDB n rHTRiqnE. 1?I

MttI de lonchsr le œntle , la courbe enveloppe ifa troÎBiime c6Eë Kra une leclion conique ayant posr p<Mnta commiins avec le enrôle ceuK oà il est rencontra par les droites directrices de ce troisième, côté. ■

V» la imuferiHation ttéréographique tks courbes du second ordre.

IS. Soit, sur un plan, une figure qui contienne nne section conique, et soit conçue la courbe enveloppe de cette ligne da wcondOTdre. Toute tangente à cette courbe rencontre lesrafons risaels diriges vers tes foyers en des points qui sont les sommets <lesdeux c&nes tangens à la sphère; et l'intersection de ces canes a pour projéctinn stéréographique In courbe donnée (U, 15). Si Vm suppose que la Inngente à la courbe enveloppe perce la sphère (12), en prenant pour seconde position de l'œil l'un des points oii cela a lieu, on obtient on cercle pour la projection de k courbe de l'espace. Car par la position de l'œil , la courbe noavetle est une ellipse (8) et parce que les foyers ont pour projection un point anique, ce point est à égale distance de tous ceaxda përrmèlreile la courbe (3). Ainsi :

■ Une figure plane où entre une section conique quelconque peut toujours èlre Irnosfurmée stéréographiquemest en une autre dans Inquelle la section conique est un cercle, n

On parvient à la même ennclusîon en prenant pour cercles directeurs de la section conique primitive deui cercles qui ne se rencontrent pas (10).

17. A l'aide de ce principe toute propriété de genre des sections coniques , démontrée pour le cercle , peut être immédiatelaenl étendue à toutes les lignes du second ordre. Ainsi, le théorème du § IS est vrai pour toutes les sections coniques, comme je l'avais annoncé. Il auflSra d'ailleurs d'appliquer le prin- •"pe à un seul eiemple, pour montrer la marche à suivre dans tons les cas seuiblables. Soit donc la proposition suivante établie et démontrée par M. Poncelel dans son grand ouvrage des Propriéléi projeclives (pag. 309).

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1 79 coMuroRiiAiici

« Un poIf(^ne étant inscrit à une section ooniqne, si on rient à le faire varier de façon que, demeurant constamment inscrit à la courbe , tous ses côtés, un seul excepté, pivotent sur autant de points fixes placés sur une même droite, le dernier c6te pivotera également sur un point âxe placé sar cette droite, si le nombre des côtés du polygone est pair, et enveloppera une leotion conique, s'il est impair, n

Je suppose que la droite des points fixes soit extérieure à la courbe. A. i'aide du principe précédent (16), on pourra transformer sléréographiquement In section conique en un cercle. A ce cercle , comme à la section conique , sera inscrit un polf (^ne recliligne ayant ses côtés , un seul excepté , assujettis à pivoter sur des points situés en ligne droite et extérieurs au cercle. Je ' suppose que , ce cercle étant remplacé par celui de la sphère dont il serait la projection stéréographique , toute la figure soit transportée snr le plan de ce dernier. Par la droite qui joint les centres de pivotement je mène un plan tangent à la sphère, et je prends le point de tangcnoe pour œil d'une nouvelle projection. Tous les centres de pivotement passent à l'infini (10), et les côtés du polygone inscrit au cercle, au lieu de pivoter, se meuvent chacun parai lèleraent à lui-même. Je nomme abcd...m le polygome dans une première position et a'b'c'd'...m' dans une seconde position.

Si le côté ab en se déplaçant parallèlement â lui-même s'éloigne du centre, il en sera de même de tous les côtés de rang impair à partir de celui-là; au contraire bc et tous les autres côtés de rang pair s'en approcheront. D'une autre part , les arcs aa' et b% b'b et ce', ce' et d'd, etc., sont égaux comme arcs interceptés entre des cordes parallèles, et puisque le dernier de chaque couple est le premier du couple suivant, tous ces arcs sont égaux entre eux. Cela reconnn :

l" Si le nombre des côtés du polygone est pair , le dernier côté ma se rapprochant du centre et ses extrémités décrivant dei arcs égaux mm' , a'a , on voit que ce dernier côté se déplace parallèlement à lui-même comme tous les autres. Il pivote donc aussi dans la figure primitive sur un point placé dans le

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■jraÉHtTIQDE ET FBYatQDI. 1 73

même alignement que tous le» autres centres de pivotement. 2° Si le nombre des côtes do polygone est impair, le dernier oAté ma étant de rang impair , son extrémité m se rapproche du point a d'une quantité circulaire mm', tandis que ce dernier s'en éloigne d'une quantité égale. Ainsi, tes cordes ma, m'a' sont ^ales et par suite le côté ma enveloppe dans son mouvement un cercle concentrique au cercle de la figure. En repassant de cette figure à celle de l'espace et de celle-ci à la figure primitive , on transforme ce cercle en une section conique. La seconde partie de la proposition est donc aussi démontrée.

18. On reconnaît en même temps que si tous les sommets du polygone inscrit au cercle sont les points de contact des côtés d'un polygone circonscrit , tous les sommets de ce dernier moins on étant sKinjettis à parcourir des droites rayonnant vers le centre, il en sera de même du sommet libre, si le nombre dea cfttés du polygone est pair. Ce Eommet , an contraire , parcourra on eercle concentrique au cercle de la figure , si les côtés sont en nombre impair. De là cette nouvelle proposition :

« Un polygone rectiligne étant circonscrit à une section conique si tous ses sommets , un seul excepté, sont assujettis b parcourir autant do droites données comme directrices et passant par un même point , le sommet libre parcourra aussi une droite dirigée versce point, si les sommets sont en nombre pair. Il décrira, an contraire , une section conique, s'ils sont en nombre impair ■• ^Poncelel , pag. 318).

19. Enfin ce dernier sommet et le dernier côté du polygone inscrit sont l'un le pôle de l'autre. Celle remarque et les propriétés précédentes sur les polygones inscrits et circonscrits à «ne section conique conduisent aux deux théorèmes connus sur les polaires réciproques.

•> Quant le sommet d'un angle circonscrit à une section conique est assujetti à glisser sur une droite , la corde de contact pi- Tote sur un point.

» Si le sommet d'un angle circonscrit à une section conique décrit, en se mouvant, une seconde section conique, la corde de contact touche dans toutes ses positions une troisième section conique.

C,q,-Z.= bvGOOg[C

in

20. Je revieDs â la transformation Btëréograpfaique des ligtwi da Mcond ordre.

Soient une seclion conique et UD cercle décrit d'un rayon arbitraire d'un de ses foyers comme ceolre. la section oonique peut être regardée comme la projection stéréographiquc de la section plane d'un cône tangent à la sphère »uiva:it un cercle dont celui du plan serait la projection. Ces deux courbes' vue» du sommet du cône sont perspectives l'une de l'autre , et tout plan tangent au cône trarerse leurs plans suivant des droites qui leur sont tangentes. Ces tangentes prolongées suffisamment toM se rencontrer sur l'intersection des plans des courbes , et han points de coolact sont en alignem^Dt avec le sommet du cAne. Il ert évident que ces propriétés et celles qui s'en dédutseat sul^ sistentponr leurs projections par rapport au foyer, qiù eat lapvojection du sommet du cône , et à la corde commune des deux cercles diieoteura, suivant laquelle se projette l'intersectioa des plans de bt courbe et des cercles de la sphère qui la détermiBent. Ainsi :

H Une section conique et tout c«role déOTÎt d'un d« eos foyers comme centre sont deux cqurbcs hemalogique» (1) l'une de l'antre par rapport a ce foyer comme cetUr» d'komologû, et à la emde réelle ou idéale commune à ce cercle et il aon co-dire«teur conme axe d'komologie. a

21, Soient maiolenant deux sections coniques ayant un foyer commun. On peut supposer que le cercle directeur qui a ce foyer pour centre soit réduit à un point pour les deux courbes, et concevoir pour chacune le cercle direoteur qui a son centre à l'autre foyer. En prenant le foyer commun pour point de contact de la sphère et du plan , on ne dérange pas les seetiona coniqnes qui sont ainsi leurs projections elles-mêmes. En même temps chacune devient l'intersection do tableau et du cône qui a pour ligue de contact avecla sphère son cercle directeur uniqne jifo-

(1) J* auppoe à aei moU eentre et ojre â'iiomolagie la néne tigoîBcalion que ■. ïoncelet [PropHilét pnjeeUvta ,f. 160).

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SATHiMATEQOE ET PHTSIQDI. 178

jeté ïBT cette Barfnc«. Je prends ponr seconde pOÉîtion de l'œil le point où la sphère e»t percée par la droite qui joint le foyer Mmmnnau sommet de i'un des cànei. J'obtiens paf Ih deux TiôuTelleB toorbes dont l'iine est un eercle ayant pour centra l'un des foyers de l'autre. Ainsi :

■ Tout système de deux courbes à foyer comman peut être transformé stéréographiquementen un autre dans.Iequet l'nne'des coarbea ecl un cercle ayant pour centre l'un des foyera de l'autre.

33. On peut condure de eette trana format! on et de ce qai a été dëoiontré antérieurement cet autre théorème :

>' Deux ligaes du second ordre , à fbyer commntf , sont denr courbes homologiqaes , par rapport à ce foyer pris pour centre d'homologie. »

33. Cette conséquence peut aussi se déduire de oOtte autre pr^iété :

<i Deux OB plusieurs sections coniques qui ont an foyer comiDun peurent être regardées comme les projections stërcograpbiqnes d'aoïant de soccions planes d'un cône droit circonscrit h la

Ayant décrit , du foyer commun comme centre , un cercle de nyon arbitraire , on pourra la regarder comme or cercle directeur oonimnn à tontes lés courbai dont il s'agit. A ce cercle correspondra un cercle de la sphère , ligne de contact de cetfe surface et d'un cÔDcnnique qai renfermera les sections planes dont les courbes données sont les prt^ections.

Ces sections vues du sommet du cône sont perspectives l'nne de l'antre, et partant leurs projetrtions, prises deux à denx, sont des coarbes homologiques par rapport au foyer commnn.

34. Soient Aet Blés aom mets dedeox cônes tangens à la sphère qui déterminent une section conique (P); soient C et D les sommets de deux autres cônes qui renferment la section conique (Q); (P') et (Q'} étant les projections stéréographiques de ces courbes. ' Les points A, B, C et D forment en général un quadrilatère danche. Mais quand ils sont dans un même plan , il existe entre les cercles de la sphère dout ils sont les pùles une relation projectiTe qui m'a été utile.

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176 CORBEBFOKDjinCE

Si le plan ABCD rencontre la sphère, la ligne d'intersection est an cercle dont le pôle que je désignerai par Heat le point deconcours des plans des cercles a, h, c, d. Ces derniers sont coupés à angles droits parle premier: en effclsoit Kl'un des points de rencontra, sur la sphère, des cercles h et a, ladroite AKest normalo à l'élément du premier en K et tangente à celui du second. Comme cette propriété est projective , on en déduit le théorème :

■ Quand les quatre cercles directeurs de deux sections conir ques données sur un plan, sont choisis de manière à en conper ortbogonalement un cinquième , les cercles de la sphère dont ils sont les projections etéréographiques ont leurs pôles dans un même plan. »

SS. Voici comment ou peut démontrer la possibilité de satisfaire à cette condition.

0 étant toujours le point de la sphère pris pour œil , la courbe enreloppe de la première section conique sera dans le plan A'OB'; celle de la seconde , dans le plan C'OD' et ces deux plans se couperont suivant ladroite qui joint t'œil au point d'intersectioa des ases. Puisque les courbes enveloppes sont dans des plans différens, on peut concevoir un plan qui les touche toutes les deux en même temps, et qui coupent les rayons visuels des foyers OA', OB', OC, OD' aux points A, B, G, D. La section conique déterminée par les points AetB, sommets des cônesquilareuferroent, aura pour projection stéréographique la courbe du plan dont les foyers sont A' et B'. La courbe déterminée par les deux autres points C et fi se projettera suivant l'autre courbe du plan {\Z). Ainsi les cercles de ta sphère dont les pôles sont en ces quatre points se projetteront eux-mêmes suivant les cercles directeurs des sections coniques données, et parce que ces points sont dans un même plan , la projection de son pôle H sera le centre d'un cercle orthogonal à ces quatre cercles du tableau.

26. Le cercle orthogonal aux quatre cercles a , b , c , d de la sphère est l'intersection même delà sphère et du plan ABCD(S4J. Ainsi tant que le plau mené langentiellement aux courbes enveloppes rencontre la sphère, chaque position du plan donne une solution du problème. D'aitlenrs on sait que les courbes envs-

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HATBMÀnqiiR ET FBTsiQui. 177

loppes traveraent la sphère dam une certaine étendue de leoc conrs ,' et qu'entre les points où elle est percée par les ra jon> fisneU des foyers , leur conrexito est toarnëe vers le tableau. On en peut tirer cette conclusioB :

■ Deux lignes du second ordre étant données sur un plan , il existe une infinité de systèmes de cercles directeurs de ces courbes , .susceptibles d'être traversés orthogonalemeut par un. même cercle. »

27, Bien de plus aisé maintenant que de démontrer la propo-sition suivante ;

<[ Deux lignes du second ordre dont les axes se traversent en dedans des foyers, peuvent toujours être transformées stéréographiqueraent en deux courbes concentriques. «

Soit toujours ABCD le quadrilatère plan dont il vient d'être qne^stion. ÀB et CD étant , d'après l'énoncé , les diagonales de ce quadrilatère , soient L et AI les points de concours respectifs ddk côtés opposés AC et BD, ÂD et 6C. Par la droite qui les contient, je mène un plan langent à la sphère. En prenant le point de contact pour œil , je projette cette droilo à l'infini , et j'obtiens pour ta projection du quadrilatère ABCD un parallélogramme A"B"C"D" dont les diogonales A"B" et C"D" ont pour point milien le centre commun des deux nouvelles courbes.

28. Le § S5 ne fait pas connaître le moyen de déterminer les cercles directeurs, de manière à satisfaire h la condition du § 24. Voici ce moyen, mais seulement pour le cas où les courbes ont quatre points communs. .

Ayant décrit de l'un des points communs comme centre , un cercle de rayon arbitraire, je trace , des foyers A' et B' de la première courbe et des foyers C et D' de la seconde , quatre autres cercles qui louchent le premier. Ce seront les cercles directeurs des sections coniques , et ils seront touchés en même temps aussi par les circonférences Récrites des autres points communs aax deux courbes comme contres, tangenliellement à l'un d'eux.

A ces quatre cercles directeurs correspondront sur la sphère quatre cercles a, &,c, J, touchés ù la fois par quatre autres cercles dont les pôles ont pour projections les quatre points communs Toi. IX. 12

ans deux conrbes doRnée§. Ces pdfes aeronf sur les deux comtes de l'espace dont celle»-là sont les projections. Les coarbenr dé l'espace sont donc situées dans le même ptan.

Les pôles A, B, G et D seront dans un même plan aussi. Caria droite AB aponr polaire réciproque fintersectioD des plans a etb; CD a de même pour polaire réciproi^e l'intersection des plans o et ii Ces intersections se coupent sur le plan coraninn des sections coniques , et le plan polaire de leur point de rencontre doit contenir les droites AB et CD.

S9. On voit que deux lignes du second ordre , qtri ont qoatrc plants conrmaâs, peuvent être refçaTâées comme la projecdon Sléréographique d'un grand nombre de systèmes diffërens de deux courbes situées sur un même plan dans l'espace, fl est probable qu'il en est de tnéme lorsque les courbes ont deux points communs ou qu'ellesn'en ont aucun. Il gérait donc important de parvenir à reconnaître quelles sont, parmi les solutions delà transformation de deux coaii>eB en deux courbes concentriques (36-S8) , celles qui présentent ce caractère. Car celles-là seale» conservent au système transformé l'ordre que le système primiM offrait dans ses parties.

90. Il Quand deux sectfontf coniques à foyer commun ne se rencontrent pas , elles peuventètre transformées en deux conrbes con focales, n

Soit C le foyer commnn, A' et W les deux antres foyers des courbes données , je décris du point A' comme centre un cercle dont le rayon soit égal an grand axe de la conrbe dont les foyenr sont À' et C. Cette courbe sera complètement déterminée par ce cercle et le point C; an moins n'existe ht- t-il que deni courbes qui soient les lieux des centres de cercles mobiles assujettis à toucher le cercle décrit du point A' comme centre, et à passer par le point C (S). On reconnaîtra donc , à la seule inspection de la figure , quel est des deux lieux possibles celui qui se confond avec la courbe dont les fofers sont A' et C L'autre courbe sera aussi déterminée , avec la même restriction , par le point C et le cercle décrit du point B' comme centre avec an rayon égal à son grand axe. D'ailleurs la position relative de ces cercles devra être

bGooglt'

■ÀTHtUTIQIIt BT mSIQUE. 179

telle qu'on ne pnrâse construire un cercle qai le* touofa»et qn! contienne en même temps le foyer commun C. Car \o centre de ce cercle serait un point commun aux deux courbes; ce qui serait contraire à l'ënoocé. L'un de ces cercles enveloppera l'autre. Si les deux courbes sont de même espèce , et le point C sera à l'intérieur du plus petit ou à l'extérieur du plus grand, suirant qu'elles seront des ellipses oa des hyperboles. Au contraire ils seront extérieurs l'un à l'antre et l'nn d'eux ctmtiendra la foyer dans son intérieur, si les courbes données sont d'espèces' différentes. Ces deux cercles n'auront donc aucun point commun.

La sphère étant posée eu C, les cercles a' et b' denennent les projections des deux cercles a et i suivant lesquels cette surface est touchée par les deux cônes qui ont pour intersections arec le plan des courbes données, ces courbes elles-mêmes. Comme ces cercles ne se rencontrent pas non plus sur la sphère, un peut prendre pour seconde position de l'œil , l'un des points où la droite ÂB de leurs pôles perce sa surface, et l'on obtient deux courbes coufocales pour la projection des courbes données.

3I.M.Queteletadémonlré,dansletom.llIdel3^rresfwiuiat»c« Kiathémalique, qu'une section conique et un cercle qui ont qaatre points communs, peuvent être transformés endeuxautrescourbet dont Tune soit un cercle concentrique à l'autre. Cette transformation est possible encore lorsque les courbes données sont deax sections coniques quelconques. Il suffit pour le prouver de rappeler que l'une des lignes peut être transformée stéréographîquement en un cercle, l'autre demeurant une section conique et ayant aussi quatre points communs Avec la première.

En partant de ce point de la solution , je suppose que le cerde soit remplace' par celui de la sphère dont il serait la projection stéréographiquc , et que la figure tout entière soit en même temps ramenée sur le plan de ce dernier. Comme on peut mener à ces deux courbes quatre tangentes communes formant un quadrilatère , soient L et M les points de jonction des cêtés opposés de ce quadrilatère ; en projetant LM à l'infini , on a pour projec* tiOR nn losange dont le point milieu est le centre commun des

180 coRKiïroniANae

dem courbes. On pent donc donner à la proposition de M. Que-'

telet cet ënoucë plus général ;

u Quand deus sections coniques queleottqnes ont quatre points communs, elles peuvent toujours être transformées en deus nouTélles lignes du second ordre, dont l'une soit un oorcle concentrique à l'antre. ]>

31. Une remarque qu'il importé de ne pas passer sous silence, c'est quela plupart des propositions résultant de la combinaison des cercles, ont lieu encore quand on substitue aux cercles des lignes du second ordre semblables et semblablement placées. Ainsi, j'ai annoilcé que le théorème du § 14 eet susceptible de cette extension ; il en est do même d'une foule d'autres propriétés int^essantes des cercles.

Sur les éloilei filantes, par A. Qdxtelei.

Les étoiles filantes ont de tont temps excité la curiosité du tqIgaire; ces phénomènes brjllans dont les yeux et l'imaginatitm aiment i\ suivre les traces rapides , pendant te coars d'une belle nuit, n'avaient cependant attiré que médiocrement l'attention des savans. Les observateurs étaient en possession de calculer les monveinens. des astres, leurs réactions mutuelles; ils épiaient les cotuètes, les observaient, calculaient toutes les circonstances de leur trajectoire , sonvent même sans que ces astres eussent été visibles à l'tBil nu pendant la durée de leur apparition ; et ils restaient dans la plus complète ignorance sur la nature des étoiles filantes qui, sous leurs yeux et à des distances très-rapprochées, sillonnent chaque nuit la surface du ciel et qui se présentent quelquel'ois en nombre tel qu'on croirait voir la voûte céleste se résoudre en pluie d'étoiles.

Vers la fin du dernier siècle, deux jeunes ëludians de l'université de Goettingue , Bensenberg et Brandès , portèrent leur attention vers ces météores ; et ils désirèrenten connaître la nature.

L;N,-z.= bvGoOg[c

■ATEbi4n4)ui rr rarsiQni. .181

Mail, blenr gnttd étonaement , Hb xontaltèrmtt eo vainàoe sujet et. leurs livres et leur professeur, le célèbre pbysioieu Ziiehtenherg. Four ëdaircir leurs doutes, ils résolurent d'observer par eux-mêmes , et c'est à leur persévérance que l'on doit surtout les notions' un peu exactes que. nous avons. sur les étoiles filantes (1).

Quand je uonuneiiçai, enI8S4, mes observations sur ccs.sortes dephcDomènes , je ne^ connaissais encore que d'une manière gé' nérale les résultats auxquels étaient parvenus les deux physiciens allemands dans )e cours de leur première série d'observations. J'avais invité plusieurs professeurs et quelquesruaB de mes anciens élèves à me seconder dans mes recherches ; mon attente ne fut pas trompée ; je reçus de Gand et de Liège des observations qae j^ pus comparer aux miennes et que je présenterai plus loin (2). .

Après bien des eMaia, la méthode d'observation à laquelle je m'étais arrêté était la saivante : jcdne plaçais en plein air, do manière àdécoavrir autant que possible les diSërenles parties du ciel : une earte céleste était déployée devant luoi , ainsi qu'un papier convenablement préparé, où devaient être inscrites tes observations par numéro d'ordre. Quand une étoile Slaole venait à paraître , j'indiquais sur la carte, par un trait de crayon en forme de flèche , ;ga marche et le sens de sa direction. J'y plaçais en même temps un numéro d'ordre servant de renvoi à la table où je notais exactement le temps qui m'était donné par une montre qiie tenait l'un des assistans. J'annotais également la durée de l'apparition , l'éclat du météore comparativement à celui des étoiles , en même temps que les principales circonstances du

. (1) Yoyea.fiat haut la lettre de K. Btmanharj.

,{S] S. Tan Bées , alon prafeiieur à roniicitilé de Liège , obiervait dan* cette ïilleBTecllSI. J'faWau.ie Clercq, Jaymart, et trocj, conserïateur du cabinet de minéralogie. A Gand , lc> obaecTaliDDi te faiaaient par HV. Marren et IHandcrlier. J'élaia lecundé à Bruiellei, par MH. Gnetarrr, Deman , De Bavay, Bamsay , et le docteur FandarJfn^n.qua les utieaoM nalurellea odV perdu depait.

bvGoogIf

phénomène. Je pronaîi Mîn aoui de donner ponr li toiréa tts

principales indication! météorologiqttea, telles <{<te cellea dn baromètre , Uiennoinètre , ëtat du ciel, etc. Le lendemain, an moyen des iraiti trac^ avec le plus de soin potùble anr la carie ecleite , je déterminai» les aicensioni droites et lei dëolinaînjni des points extrémei de la trajectoire apparente.

J'eDB qnelqofl temps après l'occDiion da faire la nonnaissance de M. XoAmMMMt, à qui l'on doit un bean trayail aur la sélénopaphie. Ce savant avait pris part à la seconde série des obserra* lions de H. Brandi» sur les étoiles filantes; et j'appris par loi que ma métfaode d'obserratitm était conforme à celle qui avait été suivie on Allemagne.

Quoique les observations des étoiles filantes présentent assez de difficultés , je ne tardai pa» à m'apercevoir que le calcul présantait des difficultés bien plus grandes encnre , non sons le rapport mathématique, mais par le grand nombre de cfaifires et la perte do temps qu'il occasionna. Je cbercbai donc une méthode plaa eipéditire , qui me pennlt surtout do remplacer le caicat par une simple constmction graphique , qnand il s'agissait de reconnaître si deux observations appartenaient i la mâme étoile filante. Je crois y être parvenu ; j'ai du moins employé avec bean- GOup d'avantage une métfaode ^aphique que j'indiquerai plus loin, et qui se laisse traduire facilement an analyse.

Halheureo sèment cette méthode ne simplifiait pas tellement les calculs qu'il ne fallut les abandonner avant leur atiièvement et pendant les premiers travaux de l'observatoire de Bruxelles. J'avais cherché à voir les grands établissemens de môme nature qui existent dans les pays voisins, et pendant mon séjour en Saxe, je fis la oonnaissance de U. Brattdèa avec qui j'eus occasion de parler du sujet de nos étndes communes. Malgré toutes les peines qu'il s'était données , ce savant consciencieux était loin de croire avoir le dernier mot sur la nature des éloiles filantes ; il avonait avec candeur qa'il fallait encore de nouvelles observations pour arriver à quelque chose de satisfaisant sur la nature intime de ces météores , dont on connaît du reste assez bien la région wdiaaire et les principales circonstaoces de leur roODvenent.

bvGoogIf

KATVlliTIQtll BT mnQDl. XW

Lar^unioD âe rAnooiation Jirilsnnifueà-CMnbridgfliinc âaniu sne nouvelle occuÎod de rappeler lUlleation des lavai» mr Je* étoiles filanlea, et de deounder dp aounetlre ce«ûet4e nwhercbes à on ttouvel examen. Six Jok» Hern^el ToaUit bi« apfNi-yer Mtte dsniaade , et l'AsiociatiDD JBtcrivU effectircmeot au noiobBe^ dewidMÎifenitapoiff lamàtéorologie, laforDuUioad'unsyflt^tf ooinhiné d'alnerTatioDs sur lea éloiles filautea. ShU il ne parait pu qoe IW ait répondu à cet jj^eL J!ai faitj depu», de nfto- ▼elles tentatives en Belgique poar arnver à bb «emblable bot, mail j'ai rite , cette fois , moins heureux qa'en 1834.

Cependant les ap^ritivns si vemAr^udilei d'un nombre considérable d'étoiles filantes pendant les nuits du milieu de norembre, apparitions 4|Hi ■'.éloi«at reproduites périoAqaeiDent dirais plosieors années , avaient attiré l'attention |[énérale ; je ne voulus pas rester inBCtif à l'époque où devait ari»r lien la dernière apparition , mais mon attente fut trompée. Les données imparfaites que l'i» avait sur le nombre moyen des étoiles filantes, ^oe l'on peal observer en un temps donné, avait tait croire à plmieurs physiciens que la nuit du 13 au 13 novembre dernier avait en eflet été remarquée par le grand nombre de ces météores; je me décidai alors a polAier mes recherches dans l'état oA je les avais laissées depuis plus de dix ans, et je commençai par donner, dans les Btûtetinsde l'académie royale de Bruiellci, une première note pMir répondre à une question intéressante posée psrH. jfrago. Ce célèbre physicien demandait de déterminer le nombre moyen d'étoiles filantes que Ton peut observer en un temps donné. Hes résnltatt , ainsi que ceos de HH. Seneenberg eiBnndèt, s accordèrent à me montrer qn'on peut «n observer, terme moyen, jusqu'à seiie par heure, quand plusieurs persomies aoot placées de manière à voir les différentes régions du«iel.

H. Arttgo vottlat bien m'écrire an sujet de cette note, et me demander communication de mes autres recherches pour nne notice sur les éloiles filantes, qu'il se proposait d'insérer dans XAi^fHiaire du boreau des longitudes. Le nom de M. Ara^ et l'intérêt que aait attacher cet halnle pbysiciea à tous Iw s^oU

:,q,-z.= bvGoOg[c

184 CORBKSMNblin;!

Bbientifiqnes qn'îl traiite, était d'nn trop bon flngnré pour le perfectionnement de celte branche de nos connaissancea, pour que je ne m'êmpreuagfle pas de répondre à la demande qui m'était faite (1). D'après la promesse, renouvelée publiquement depuig(2), de s'occuper de ce sujet dans la S' édition de l'annuaire de 1837, je regarderais comme absolament inutile de revenir ici sur ce ■njet, si je n'avais en vue de présenler différens détails ■numériqoes et des formules qui ne sont pas de nature à entrer dans le cadre d'une notice destinée à

Méthode» pmir eatculer /m itoiU» fitatiles,

ÂféthaUd'Olber${Z). Soient. êwiaatâmiaea^:

C le centre de la terre ,

A et B les dens lienx d'observation à la surface de la terre ^ P le pùie , ■ KQM l'équatear, X le point observé.

Supposons des perpendiculaireB abaissées des points A^, BetX sur l'équateur, de manière que les projections de ces points soient respectivement a, b et x.

Soi«nl de plus Â' et B' l'ascension droite et la dédiaaîson du point zénithal en B ; A" et B" les valeurs analogues, relatives au point A ; soient enfin R' et R" les distances des deux statiims.B et À, au centre de la terre. .

Cela posé , on a .

Cfi = R' COS. B', Ca = R" cos. B", aCb = A" — A'.

(I] J« pria en roSme tampi oaCMion de aif^aler 1« milieu du moii d'haut cDiDme a;«nt éié piciqu'auiii fa?orable que I« milijSn de Dorombro,, bdi

apparitiotit fiéqitentes de> étoïlei GlaDiei.

(S) Xd léte de V Annuaire de 1837.

' (3) Voy. Ceher die Bestimmung der gtagr. Lange ,fa.i BtntenheT3,f. 133, une lettre de ■- Olberi; el les fieoiucAfungan àbor die Sterntchnupptn , du Brandis, pag, 16

bvGoogIf

■ATfltKATIQDE BT PBTSIQVE. 18S

Si l'on reprësentâ mainteiMiit par a' l'ateennon droite apparente du météore , TQ da point B; et par b'\a déclinaÎBon apparente du même météore ; si a" et b" représentent dei valenn ■Dglognes poar la station A , nous aurons sbh = a' — k', xaK = a" — ,A"; si l'on fait de plus x égale à l'ascension droite da milieu du ciel pour le point U, où le météore bh trouvait au zénith, au aura xCa = x — A", «Ct csx ^ K'\ on en déduit

Cfr. sin.:i:bL Ca.im.xa^

Cr =

sin. Cxb sin, Çaa

l'cos. B'. sin.(o'— A') R" cos. B". sin. (a"— A")

sin.(<i'-;rj sin. K'-*)

ou tire d^Jà

^R'cos.B'sifi.(a'— A;)3in.a"-R"Qoa.B"sin.(a"— A")sin.<i *' R'cos.B'sin.(a'— A')coa.a''— R"cos.B"8in.(a"— A")coi.«

Oa obtient ainsi x — A', qui est la diSereni» de longitude entre la station B et le lieu où le météore s'est montré au zénith. On a encore

sin. [a'—x) ■ R"coï.B".Bin.(jr— A")

sin.K'-^)

On Toit du reste que Bu ^ i* et Aw i= ax , si l'on mène Bp et &H>, respectivement parallèles n hx et ax; de même XBo est la déclinaison apparente du météore , vu du point B, et l'oaa

R' coa. B'. ain. {x — A') tnn'g. h'

sin. ia-^x) Uais comme &B = vx = B'. siu. B', on obtient pour la latitude

L, z'. iv.GoogIc

gëogrqtbiqne y =sXO, du Ueu dont X était le s^iUt

aw + rX

tang.y»

tflng. ly.-sin. («—A') + tang. B". sin. (o' — ri to8;.y=!= .i„.(..to

Od obtient de même

famg.y'.rin.fj'— t")^ tang. B". sin. (o"— *]

tang. y =

sin. (■" — A")

L» deux Talenrade tang. y obtenoei aioii, demiiefit^ire exaclentent let mêmes. Hais les abseiratloat ne comportent jamaii une prëciiion telle que cet accord pnîue avoir lien ; on peal au moins juger par la différence troufée entre les denz valenn calculées du degré de confiance que méritent les obserTationa.

Finalement on a encore, ponrCXs=/i, on la distance an oenire delà terre

t> R'.cos.B'Mn.(a'— A')

~~ coa. y CM. y. «in. (a* — *)

et

R".cos.B"ain.(a"— A") ooa. y. •in.(a" — s)

Si l'on fait usage des deux ralears de coa. y , on peut juger de la confiance qu'on peut attacher à la valeur de ^ — B , élévation dn météore au-dessus de la sarface de la terre. Comme

R'cos.B'. ain.(a'— A') R"c03. B". ain. (g"— A")

«in. (a'—*) ain. (o" — x)

l'inégalité des valenra de p dépend de la préoîaion aTec laquelle on a obtenu coa. y.

La distance au [«'eaiier point d'observation est

«in. (a' — iT) eos. fr*

:,q,-z.= bvGoOg[c

■ATHIHATIIISII BI FilSIQDE. 187

et poor Ii| daaxièiDe aUtion on a

a" coa. B" «in. (g— A") ain. (o" — x) cm. b"

Méthode d» M. Brandi». Pour obvier à la difficulté qui nait en général de ce que les rayon* viiaeU des deux obierTBtenra,menë8 Ten un même point de la trajectoire dn météore , ne se rencontrenl pas , H. Brandis a employé la méthode saivante.

Les lieux des deux pointa d'obserTalion sont donnéa aa moyen de leur projection sur l'éqnatenr et de leurs distances perpendî- Golairea à ce méine plan , de manière qne la première coordonnée Bit riotersectioo du méridien du lieu avec l'éqnatenr ; la seconde cocvdonnée lui est perpendicnlaire ; la troisième est la distance do lien à l'équateur. On obtient , d'après cela, pour le premier lien ;

1" coordonnée Ci = R. co«. B' ,

3* — iB=>R. siD.B'.

On a de même pour la seconde station :

1" coordonnée Ca = R. coa. B". cos. (A" — A'), 5- - <«> = R. COS. B". sin. (A"— A'),

3* — aA = R. ain. B".

t« nyon de la terre est d'ailleurs supposé d'égale grandeur pour les deax stations.

Poar un point X du premier rayon visoe) , on laisse la première coordonnée indéterminée, et l'on pose

ce = R COS. B' -I- « = Ci -H ftl ; *>n a , pour les deux antres coordonnées ,

^s = u Uag. (o'— A') nX = R ain. B' + » >éc. (a' — A') tang. h' , à cause de

xb^ = «'—A' , cl bx^Bv = M. séc. (a'— A')

18B coBBiïroRDAncE

qui, multiplie par lang. h, fait connaître de combien le point i déterminer sur le rayon risuel, est plus è\mgné de l'équatenr que le point observé.

PoDf an point pris snr le second rayon Tiiucl , od a de même

1" coordonnée = R cos. B" cos. (A" — A') -h e ;:= Gi-h c , 2- — = R cos. B" gin. (A"— A').+r.tang.(a"— A'),

3' — = R.sin, B" + p. séo. («"—A') (ang. b".

On trouve la distance de ces deux points qui sont respectirement snr les deux rayons Tisnels , en faisant la somme des carrés dea différences de deux ordonnées correspondantes et en. extrayant la racine du tout ; le carré de celte distance est donc

[Rcos.B' — Rcos. E" COS. (A"— A') -hm— e]' 4-[« tang. (a'— A')— R cos.B"8in. (A"— A') — e tang. (a"— A')]' +[Rsin.B'~R8in.B"+».Ung.yséo.(o'-A')-etang.6"séc.(«"-A')]'.

En posant

R [cos. B' —COS. B" COS. (A" — A')] =:* , R.coa.B". sin. (A"— A')=A, R(sin.B' — sin. B")==/,. le carré prend la forme

A' -H i' 4- f" -4- 2i«m-2«e -t-pu' -+• iquc ■+■ rv' = S', et l'on a

/ tang. fr'

M= k ^ k tang. (o' — A'J ■+■ ■ r» = — k-\-h tang. («" — A') -

COS. (a' — A') '

COB. (a"— A') ' p= sëc' (a' — A') aéc' 6', r = séc' (o" — A'), séc.' h" ,.

coa. (g" — a') -i- tang. b' tang. 6" ' COS. (a'— A') COS. («"—A')

Le carré ci-dessus donne en général le carré de la distance d.e deux

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HjtTBtXATiQOi iT rBTsrqiiK. 169

painU sur lea denx rayons visnels; pour qne la distance de deux poiuti pareils «oit la moindre possible, on doit rendre aolle la différentielle de p prise soit par rapport à «, soit pqr rapport à v, d'oà

m + |>tt -f- î» = 0

» -«- re -4- 51»= o et

rm — qn pn — qm

q'—pr q—f

On détermine ainsi les points des deux rayons les plus rapprochés, et cette plus courte distance même est doonce par la formule

en y posant les valeurs de u et c qui résultent de la condition du ninimum , savoir :

(m -f-pw -H gp) « = o , (»i-Hre-Hg«)»^o, (Faù définitivement

S = Vk'-i-k'-t-l'+mu-i.Hv.

Méthode nouvelle pour calculer let itoilei filante»,

La méihode que nous allons présenter n'a pas les inconvénîens de celles qui précèdent , du moins en cequi concerne le point de reDConlredesrayohs visuels. D'une autre part, non-seulement elle conduit à des formules commodes pour le calcal , maïs elle ofire eacore des moyens extrêmement eipeditifs pour construire, par U géométrie descriptive , tous les élémens que l'on peut désirer de connaître. Cet avantage est surtout précieux en ce qu'il peut , fournir en quelques instans des valeurs très-approchées des quantités que l'on cherche, sans qu'on doive s'engager, trèssouvent en pure perte, dnns des calcules longs et fastidieux.

Dans la méthode que nous avons adoptée , nons supposons que les deux rayons visueb , menés vers deux poîats d'une oloile fî-

190 coBiiiPonDAHci

lante prii Hur la trajectoire , déterminent ttn plan qui , par nm intersection, arec nn second plan mené de la taéme manière, d'nne station voisine , Fait connaître d'abord la trajectoire dn météore ; puis son inclinaison, soit par rapport a l'équateur, soit par rapport à l'horiion ; puis enlin ce qui se rapporte aux distancti des points extrêmes de la partie visible de la trajectoire.

Nous avons l'avantage d'employé rie s observation s telles qu'elles ont été faites , sans devoir modifier les nombres pour rendre possible la rencontre des rayons visuels. Noua supposons à la vorilé que les trajectoires des étoiles filantes sont des lignes droites, mais cet inconvénient, si c'en est un(1), existe aussi daiis les autres më&odes, puisqu'on ne se donne en déânitive que deux points d'après lesquels on juge de la direction du météore.

Les détails dans lesquels nous allons entrer en posant les formules , nous dispensent de donner ici de plus amples explications.

Nous placerons l'origine des coordonnées au centre de la terre, et l'axe de la terre nous servira d'axe des x; nous prendrons en même temps , pour axe des X , la ligne équinoxiale ; nons aurons alors pour l'équation du plan qui passe par l'origine et par la trajectoire du météore

jï H- Ay -H B* = o (1)

pour déterminer les constantes , nous ferons usage des ascensions droites a' et a." et des déclinaisons J' et d" des deux pointa extrêmes do la trajectoire observée, et nous aurons sin. ^ H* A sin. o' -i- B cos. a' bs « sia. (f -t- A sin. ce" -t- B cos. «" zs o, d'où nous dédoirons les deux valeurs de A et B

sin. J' COS. a" — sin. J" cos, a* \

' nM7=ô '

[1] On n'obaerie que raremeut de* éloilca filantu dont let Irajecloire prëBeulent une coDiiiure sensible.

■AraUATiQtiB rr fwuqdb. tOl

On obtiendrait aimi fwur obaonne dei itationa , une équation ptrticttlière. lions nona bornerons, pour le moment, a prendre lea ^nations de plana qnt leur lont parallHes et qni passent par tV rigioe; leurs équations seront

a -+- A'y -t- B'jT =« 0 (3)

L'élimination de s entre ces équations donnera la projection sur réquateur d'une parallèle b la trajectoire ; et l'élimination de y donnera la projection de cette droite dans le plan des «r; oea équations seront

y B= <u, a c= bx (S)

Ad moyen de a et de b, on déterminera l'ascension droite et la déclinaison des points oùla droite perce le ciel, et l'on aura dëler- BÙnd ainsi la dirtcfitM de la trajectoire par rapport à l'équateur Mpar ra[^rt i la ligne équinoxiale.

Cei démens seront imporians ponr faire connaître les relationsdn météore, quant & la ^llrection da mouvement de translation et du moQTement de rotation de la terre.

Quand la direction de la trajectoire de l'étoile filante sera ainsi déterminée par rapport à l'équateur, on pourra déterminer sans difficnlio ta direction par rapport à l'horiaott de cbacan des obser- Tileurs. On peut considérer en effet l'axe du monde , la trajectoire dtl météore et la verticale d'une des stations comme trois droites partant da centre de la terre et allai^ rencontrer le ciel CD trois points P, Z et H , qui sont les sommets d'un triangle sphénqas. Or, dans ce triangle PZH , on connaît PZ qui est le complément de lalaliludedalieu, PHIe complément de la déclinaison ipie l'on vient de calculer pour le lieu où la trajectoire du mettre rencontre le ciel , do même que l'angle horaire ZPM qui Mt la différence d'ascension droite entre le même point et le ié~ ailb de la station. Tout se réduit donc à calculer le côté d'un triangle spbérique dont on connaît l'angle opposé et les deux "^ entre lesquels oet angle est compris.

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Ponr dëtermiacr los dtstances et la viteiM du météore, it .faudra rapporter sa trajectoire à sa vérîable position. Supposons par exemple qv'il soit question de Bruxelles et de Liège, comme lieux d'observation; nons transporterons le système des plans rectangulaires des coordonnées, parallèlement à lui-même, jusqu'au point qu'occupe Bruxelles à la surface de la terre ; de sorte que le plan de notre parallèle sera le plan des xy, et l'axe des 2 sera parallèle à l'axe du monde. L'équation (3) continuera à représenter le plan qui passe par Bruxelles et qui contient la trajectoire du' météore. Quant au plan qui passe par Liège , son éflfuAtîon devra contenir une constante de plus , dépendante de la position de Liège ; mais les coefficiens des variables ;; et y ne changeront pas , puisque le plan se trouve transporté parallèlement à sa position primitive ; ou aura donc

« -4- A"y -1- B"* -f- »» = o . . . . (S) Or, il s'agit de déterminer la quantité m. A cet effets cherchons à déterminer les coordonnées de Liège Z, X et Y ; il est évident d'abord que.Z aura une valeur négative, puisque la position de Liège est plus basse que celle df< notre parallèle; en prenant x' et V pour les latitudes de Bruxelles et de Liège , on adra -

Z = sin. X' — sin. )!'.

Quant aux coordonnées x et y, on les obtient da la manière suivante : le rayon du parallèle de Liège est cos. A', en prenant comme précédemment le rayon de la terre pour nuité; cerayon projeté sur notre parallèle forme avec le rayon vecteur qui passe par Bruxelles, un angle régal à la différence des méridiens,- et ses projections sur notre rayon et sur une droite qui lui serait perpendiculaire , auraient pour valeurs

cos. A" COS. 7- et cos. A" sin. y. On peut déduire de là , la valeur de l'ongle ^ que forme aveo la méridien de Bruxelles la projection p de la droite qui unit celle dernière ville à Liège : on a en effet un triangle rectangle dont t eSt l'hypothénusc et dont les deux droites projetantes sont le«

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cùtét de l'angle droit. Cw côtés ont pour valeurs

^ uo». A" COS. y — COS. A'; et cos. x" sîij. ycos. x' ;

on en déduit

COS. A" COS. y— COS. à'

(ang. a = . - . . (7)

COS. X sin. r ^ '

On peut donc déterminer sans peine les quantités ^ et j3, et par iQÎto les projections de p sur les axes des x et des y. En effet , p fait avec la première ligne un angle égal à ;3 -h A ou à l'angle qu'il fait avec noire méridien angmenté de l'angle que notre méridien fait avec la ligne cquinoiiale; ses projeolions auront donc pour valeurs

X=(jcos. (Û+A) ei TB=/=8in.{â-HA) . . (8)

maintenant il est facile de déterminer la constante m de notre équation (6), en faisant répondre cette équation à la condition que le plan qu'elle représente passe par Liège , et on aura

Dès que m sera détermioée , les équations (3) et (6) feront connaître la position véHtalile de la trajectoire relativement à Liège et à Bruxelles. Oo en déduira d!abard par l'élimination Iw équations de cette trajectoire, qui seront

Ea hisant usage des ascensions droites et des déclinaisons des points extrêmes de la partio visible de la trajectoire , on déterminera tes coordonnées qui leur correspondent et par suite la longueur de la ligne parcourue par le météore ; cette longueur, divisée par le temps einplofé à la parcourir, fera connaître la viteête du météore. Enfin , on aura encore le moyen de calculer la diitanee Toi. IX. 13

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à laquelle le mcl^re a corameneé à èlre visibk et « laquelle t) «

dîtparu pour les deux points d'observation.

Du reste , il ne sera pas même nécessaire de calculer les équations (9), qui appartiennent aux projections de la trajectoire, poar connaître les valeurs précédentes ; si l'on voulait déterminer, par exemple, le point où le météore a commencé à être visible pour le spectateur placé h Bruxelles, il aufiirsit de chercher où le rayon visuel de ce spectateur a percé le plan qui <»iutenait la trajectoire pour l'observateur placé à Liège. Il faudrait donc réunir à l'équation (6) les deu<i équations du rayon visuel

,y ^ (ang. a'.x et a ^ tang. J' cas. a,'.x.

Ou calculerait de In même manière les coordonnées du point où le météore a cessé d'être visible , et l'on eu déduirait sans peine , la partie visible de la trajectoire parcourue par l'étoile filante.

Si l'on désirait d'apprécier le degré d'exactitude des observations , il faudrait faire un calcul analogue pour Liège.

Dès que l'on a calculé e', x' et y', coordonnées d'un des points (le la trajectoire , on peut facilement en déduire la connaissance (le la haoiâur de ce point au-dessus de le surface.de la terre. En effet ou cOnnail également les coordonnées' du centre de la terre qui sont b" = — R sin. x', x" s=,o, y"= — R co». A' , quand od continue i prendre x' pour la latitude du lien et Rpoar le rayon de la terre.Lahauteur au-dessns de la surface de la terre devient alors

Si l'on désirait avoir la ptiis courte distance du centre de la terre à la trajectoire du météore, le calcul n'offrirait pas plus de difficulté ; il suffirait en effet d'écrire les é'quationa d'une droite passant par le centre de la terré dont on a les coordonnées et d'établir la condition d'être perpendiculaire à la trajectoire dont les équations (9) sOnt également connues.

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