XIII. — Pôles tituét sur la courbe
Si le pôle est un point de la courbe, soit simple ou multiple , le théorème de Maclaurin deviendra illusoire. Mais il subsistera alors généralement à l'égard des points d'intersection distincts du pôle, si le théorème de Cote* s'y applique également (art. 9J. Supposons, par exemple, qne le pôle soit un point collectif de (n— S} points. Les transversales ne pourront alors rencontrer la courbe qu'en deux points distincts du pâle, et nous avons déjà vu qno le théorème de Cote» sera applicable à ces deniL points
iv,Goog[c
S84 coiRuroNiADci
dlntenectton , si l'ëqaation de la courbe est de la fonne
par rapport au pôle comme origtae des coordonnées. Nommant dans ce cas m et n les deui points d'intersection, y et or" leurs abscisses, nous aurons l'équation
de laquelle nom tirons , en différentiant, cette autre équation ;
qui Ibumira un énoncé semblable à celui da théorème de Ma-
Si nooB nommons Y' et T" les ordonnées des points M et N oà les tangentes menées anx points m et n rencontrent l'axe des jr, nous aurons , d'après ce qui précède ,
Cette éqnation combinée arec cetle-cî :
conduit à une nouvelle propriété des points m et n que noni ajouterons ici comme une explication des recherches précédentes. Remarquons d'abord que les abscisses des points M et N sont chacune>=:o, et que les ordonnées des points m et n sont respeetiTement t^ et tx^'. D'après cela, nous trouverons lad-
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E&IltH&TiqDB BI PBTSlQm. 386
lement les éqnationi des quatre droit» ttm, Nk, Hn, Nm, •avoir :
Pour Mm.... v = Y' + (t— — ) Ç;
Pour Nu .... r = ï" + Çt ~ ^) g;
Pour Mn .... « = Y' + Çt— ^) Ç ;
Pour N».....e = T"+ (* -) Ç.
Or , en nommant p' le point d'intersection des droites Mm et Hm , DU bien des tangentes menées anx points m et «,* et p" celui des droites Mm et Nm; et en désignant en outre par ^ , v' , I", e" les coordonnées respectives de ces points , les équations précédentes fonmiront
= YV— ï'v ' ïv— rv '
yv— Ï'V ' TV— Ï'V
L'Àination de la droite p' ^" sera par conséquent
ÈV— rv »'— ."
ou
. ÏT" /', (:.:'-^-^")ï1"^ .
""'KIF* C'- .'.'■(Î'.HÏ")>' *■ OU bien
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S86 COlUtrOlIBAlICE
Enfla , si l'on lubititae ici les valeorB de
— -1 , et de — H .
oeUe équation deviendra
et aéra , comme on voit , indépendante de la quantité (. Noua en
concluoni immédiatement le théorème soivant :
Si une coorbe ett donnée p^r Téquatian
o = l-i-Aa!-f-ByH '
■l:F^»^-... ^, Ky"-
qn'on mène par l'origine dei coordonnées one transTersale droite qoelconqne ; qu'on mène aossi les tangentes à les deux pointa d'intersection avec la courbe distincts de l'origine des coordonnées, je dis, 1° que ces tangentes se couperont en un point silné sur la même droite , quelle que soit la position de la trans- Tersale -f S* que si l'on mène par l'origine des coordonnées une autre droite quelconque, et qu'on prolonge les tangentes jusqu'à lenr rencontre avec celle droite , lea deux points de rencontre et les deux pointa de contact des tangentes seront les sommets d'un quadrilatère dont lea diagonales se couperont constamment en un point de la même droite.
Cette droite, lieu géométrique des points d'intersection des tangentes et des diagonales , rencontrera la courbe en des points qui ne seront autres que les points de contact des tangentes passant par l'origine des coordonnées. Notre théorème comprend donc implicitement la propriété démontrée dans l'art, 9.
Si n=^2, la courbe sera une section conique quelconque, l'origine des coordonnées un pâle quelconque non situé sur la courbe , et notre théorème exprimera la propriété bien connue qui sert de base à la théorie des polaires.
Si la courbe est une ligne du troisième ordre , l'origine det
L;,q,-z.= bvGoOg[c
lATllKAnQDB IT msiQUI. 2S7
coordonnéea sera on point d'inflexioa. Ce caa partifioUer a également ëtë démontre par H, Chaales, On démontrerait aassi d*anfl maniôro semblable la propriété soiraote de ces courbes ; Étant proposée une ligne du troisième ordre , si par un point quelconque on mène les trois droites qui rencontrent la courbe en nn point infiniment éloigné, et qu'on mène les taogentei aax deux points d'intersection réels de chacune , les points d'intersection de ces trois couples de tangentes seront en ligne
s IV.
FKonrtTt GoaRtUTiTB BU aATom ni couisiai irpAsmiAitT aux roum D'iRTsasKcnon d'oks tsarsyiisali bhore atec inu coimu AUteaniDs.
