XI. — Remarguei ntr la quantité cotutante

La droite fixe peut elle-même être considérée comme une transversale. Ses points d'intersection avec la courbe seront alors en même temps les points où la droite fixe est rencontrée par lei tangentes. Il faut donc que la somme algébrique des segmena de la droite fixe interceptés entre ses points d'intersection avec la courbe et le pèle soit égale à la quantité constante déterminée dans le tbéorëme précédent. Et en efiét, si la droite fixe coïncide, comme précédemment, avec l'axe des y, l'équation (I) deviendra , en y faisant x = o

0 = 0 -»- é'y -f- ...-»- Hy",

équation dont les racines y', y", ... ne sont antre chose que les ■egmens en question. Or on a évidemment

comme cela devait être.

On voit aussi par là que si la droite fixe ciMncidait avec l'axe -des X, la quantité constante serait =s -En général, connaissant la valeur de la quantité constante relativement aux axes des X et des y comme droites fixes , valeurs qne nous désignerons

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MATHÉIATIQDI BT fHVSIQDI. %!%

par C' et C* , il est très- facile d'en déterminer la valeor C^ relative à ane droite fixe faisant avec l'axe des x un angle quelconque fi. En effet , nommant X et T les coordonnées du point [x, y) par rapport à U nouvelle droite fixe comme axe des X et à sa perpendiculaire élevée à l'origine des coordonnées comme axe des Y, on aura

xsssX COS. ^ — Y lin. iti; y:^Xsm. /i -h Y cos, ft.

Ea substituant ces valeurs dans l'équation (IJ on obtiendra l'équation entre les coordonnées S et Y que voici :

o =e: a -i~ (a' cos. ^-j-6' sin. /<)X + ( — o' sin. ^4-i'cos. ^)Y •+■ ...

Et puisque la quantité a' cos. fi-*- b' siu. fi remplace maintenant le coefficient a' de l'équation primitive , la quantité constante relative II l'axe des X, comme droite fixe, sera nécessairement

a' COS. ft-t-b' iin.fi

c'est-à-dire que

U = C° cos. M -I- C* iin. f*i

équation qui établit la relation qu'il s'agissait de trouver. Nous apprenons aussi par là qa'il y a , à l'égard de chaque pôle , une droite fixe telle que la somme des réciproques des segmens s'évanouît. En effet , faisant C = o , on trouvera

Go o'

lang.^ = — ? = -7:;

cette droite sera donc identique avec la seconde des droitesindépendantes que nous avons considérées dans l'arl. 1,

Si au contraire la quantité constante doit s'évanouir quelle que soit la position de la droite fixe, on aura nécessairement C'^Qf Cï =0, OM a' = 0, b' s=». Cette circonstance s'accont-

:,q,-z.= bvGoOg[c

coRBtsPonDLWci

plit par GODBoqnenl dans tous les pâles-centres, et constitue la aeconde propiiëté caractéristique de ces points.

^l.^ Poailioni particuliéret et exeeptionnelletdeîatrannertale.

Si la transversale rencontre la courbe en un nombre de poiols moindre que celui du degré de la courbe, on devra distinguer, a l'égard du théorème de Maclaurin , les mêmes cas que précédemment. Si donc il existe des points d'intersection imaginaires, on tiendra compte des segmens imaginaires aboutissant aux tangentes menées en ces points; ce qui n'est sujet à aucune difficulté si l'on connait les abscisses des mêmes points. En effet, soient y et iv" lea abscisses de deux points d'intersections imaginaires, coordonnés, La quantité ~; -^ -pr «era toujours une fonction réelle de t, et l'équation (Illj prendra la forme

La différentiation fournira donc

b' dflt) A'" A"

et il est visible que —i représente la somme des réciproques des deux segmens imaginaires qu'il faudra ajouter à la somme des réciproques de tous les autres segmens pour obtenir la quantité constante — — .

Si maintenant un des points d'intersection est situé à l'in&ni , il résulte de ce que nous avons dit plus haut qu'on en pourra faire abstraction dans l'application du théorème de Maclaurin. Hais si la transversale touche la courbe en un poiut quelconque , il naîtra une difficulté qu'il est Irés-important de résoudre. £n effet, puisque la tangente menée au point de contact de la transversale n'est autre chose que cette transversale même , le «egment respectif s'évanouira , sa réciproque deviendra infinie.

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HATRtflàtlqDE ST PHTSIQUE. ■ S81

fit l'équation (IV) prendra la forme impossible

6' = œ + qnanl. finie.

On doit ea conclare qae la traosTersale a , dans ee cas ^ une position exceptionnelle , et c'est ce qui a en effet lieu, comme noai allons le prouver rigoureusement.

Rappelons d'abord que la méthode du calcul différentiel présuppose que la fonction soumise à la diffère ntiation et sa variable indépendante , soient en même tempt susceptibles d'accroissemens infiniment petits. Si donc , on a deux fonctions F (i) et f(t) de forme différente , mais constamment égales ' entre elles ^ l'éqaation

dt dl

ne sera vraie que pour les valemrs de / qni , an^ent Jes d'vne quantité infiniment petite, produisent des accroissemens infiniment petits de F (f) et f(t) . Si cette circmistance s'accomplit à l'égard de l'une do ces fonctions, soit la première, quelle que soit la valeur de t; mais que, pour certaines valeurs de cette variable, la fonction f(t) ne soil pas susceptible d'an accroissement «finiment petit en même temps que t, l'équation

dF(i) df{t)

sera nécessairement fautive, en y substituant, après la diffërentiation , celte valeur exceptionnelle de l.

En appliquant cette remarque à l'équation (II!) dont la dîfférenliation nous a conduits an théorème de Maclaurt», on reconnaîtra d'abord que son premier membre s'accroitra constamment d'une quantité infiniment petite en même temps que t. Pour déterminer la nature du second membre, supposons que la transversale rencontre la courbe ea n points distincts. Si nous menons par le pôle une seconde transversale infiniment proche de la pre- ToH. IX. 19

:,q,-z.= bvGoOg[c ^ ,

SBS coiRiBronBARCi

mière, ce qai' rerient ëvideinment à augmenter la variable f

d'une quantité infiniment petite, cette oonTelIe transvenale

rencontrera la courbe en n autres points respectivement infini.

ment proches des premiers. Les abscisses de cens-ci auront donc

reçn par ce changement des accroissemeos infiniment petits , et

l'équation

sera licite. Hais ai la transversale touche la courbo , supposons d'abord que la courbe soit située d'un seni côté de la transversale tangente, dans les environs du point de contact. Il est alors évident que si l'on mène par le p61e une nouvelle transversale située du c6té opposé à la courbe, aucun de ses points d'ïntersectiim ne pourra se trouver à une distance infiniment petite du point de contact. L'abscisse de ce dernier point, ou platôt les abscisses des deux points d'intersection qui s'y conrondent, n'auroRt donc pas des acoroissemens infiniment petits en même temps que t. 11 en sera évidemment de même du second membre de l'équation (ni); par conséquent, l'équation (IV) sera alors en défaut; œ qui prouve que le cas oà la transversale touche la courbe fait réellement exception au théorème de Maclaurin,

Si le point de contact de la transversale est un point d'inflexion, la difficulté qoulevée semble toujours subsister, puisqu'une transversale infiniment proche de la transversale tangente rencontrera nécessairement la courbe en un point infiniment peu distant de ce point d'inflexion. Mais si l'on considère que ce point est la réunion de troii points d'intersection de la tangente conndérée comme transversale, il deviendra clair qu'il faudrait, pour légitimer la différentiation de l'équation (III), que la seconde transversale rencontrât la courbe en trou points infiniment pea distans du point d'inflexion. Et ces points ne pourront se eonfondre en un seul, puisque celui-ci serait alors lai-roéme an point d'inflexion , ce qui est absurde. Or, ou peut facilement démontrer qu'ancune transversale faisant un angle infiniment petit avec la tangente ne peut rencontrer la courbe en plus d'un point

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XATltaiTIQDI » MTSIQOI. SS3

iafiniiDent pea distant du point d'inflexion. Car s'il exialail deux points pareils, Boit H et N, la droite UN sérail éridemment la transTersale , et son point de rencontre avec la tangente , le pôle. Hais ce point sera nécessairement compris entre les points où la même tangente est rencontrée par celles menées aax points M et N, que ces points se trouvent d'ailleurs du même c6té du point d'inflexion ou des deux côtes opposés. Or, ces derniers points de rencontre seront infiniment peu distans du point d'inQexion ; il s'ensniTrait donc que le pôle le serait également; ce qui est contraire à notre supposition qui place le pôle en on point non situé sur la courbe. Ou conclura donc de tout ce qui précède , que l'abscisse du point d'inQexion n'est pas susceptible de trois accroissemeus infiniment petits et simultanés résultant de l'accroissement infàniment petit de t. Par conséquent notre théorème sera nécessairement en défaut.

On étendra facilement ce genre de raisonnement au cas où, le point de contact de la transversale est un point de rebrousseuebt. Et, ea général , on peut dire qne la transversale aura une position exceptionnelle si, en menant par le pôle une seotmde transversale infiniment proche de la première, les points d'intersection ne se trouvent pas , deiu) à deux , à des distances infiniment petites; c'est-à-dire, en termes d'analyse, si le premier quotient diâërentiel d'un ou de plusiears termes du second membre de l'équation (III) n'est pas une quantité finie et réelle.