AL
Il n'y apas de constante à ajonter en donnant la même origine aux X et aux y,
Ponr avoir la Sèche de courbure ou l'abscisse x correspondante au milieu de la barre , il faut faire y ^ —, et l'on obtient ,
eL' Flèche de courbure = — ^7- (0)
Le signe est négatif parce que l'abscisse doit être prise du c6lé opposé à celui vers lequel la force est dirigée.
Pour la barre dont nous nous ocoupons, il faut , comme précédemment, faire A=l, L=100;e=^ (eotr n" 80) et l'on trouve :
Flèche de courbure =s 0,69 centimèt.
Flèche de courbure de la poutre verticale chargée lur l'extrémité, 04. D'après les considëratioiu énoncécirelatireraent a la flèche
:,q,-z.= bvGoOg[c
B*Tflt<iATiQiii ET raranjor.
4e la poutre horizontale {(ig. 8] on aura
X étant la variable indépendante, l'équation (U) devient, en faisant, pour abréger
6Ay+A'{l fl)
multipliant par dy, intégrant et observant qne lorsque y = p, ^ ^0, on obtient
intégrant de nouveau , il vient
C + !x\/a = arc sinus = - ou ? = sin. (xy/a -*- C).
Prenons le point k pour origine des abscisses. Il faudra donner au radical le signe — parce que les y diminuent lorsque les x augmentent de valeur. La constante G est égale à fparceqao y :ef, lorsque x=o; on a dono
?=sin. (T^ - xl/a) =cos.^a. . . (P)
En désignant par L la longueur de la corde de l'arc formé par l'axe du prisme, et par d la distance entre l'extrémité de cet axe et la direction de la force P , il faudra que y s= d, quand X = — ou que
Cette dernière équation donnera la valeur de ji, et par conséquent la flèche de courbure =^f — d.
Supposons d'abord que la direction du poids pane par les cen-
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très iIl's surfarca des cilrémités au prisme, on aura (/ ^ o el par oonséijHPnt
eqaationà laquelle on satiirait en faisant ;>^o, ou coi.-^]/a^o. De cette dernière solution, il résulte L|/a := (2 m + I] x'el substituant la valeur de a et dégageant }i on a
yi^ . . . (»)
m étant un noiubre entier quelconque et t la ilemi- circonférence dont le rayon = 1. Si l'on veut se borner à prendre la plus graude valeur de la flèche de courbure , il faut supposer que la courbe ne coupe point l'axe entre les exlrémilés du solide, et faire par conséquent m = o. Observons de plus que f est une quantité essentiellement positive, cela résulte de l'hypothèse que nous Tenon» de faire, de même que de lexprcssioa du poids que la base de fracture peut supporter et qui est (91) égal à -f^^- Ce poids est le plus grand possible lorsqu'il atteint /lA et alors f=(); si ;> était négatif, le poids dépasserait ce mascimum, et l'clasticité serait altérée. Or il résulte de la valeur précédente de f qu'afin que cela ait lieu, il faut que
— soit > --^ —
et commet'' est à peu prës égala 10, et que e étant très-petit, on peut dans la pratique le négliger vis-à-vis de l'unité; il faudra pour qu'un commencement de courbure suit possible , que Is longueur soit à l'épaisseur : : y^— : I ; pour le zinc la longuear sera -4-4 fois l'épaisseur, pour la fonte 31 fois, pour le chèns 19 fois.
93. Supposons maintenant plus généralement que la direction do la force soit ù la dislance d des centres des surfaces eitréinei, un no peut pas alors résoudre l'équation (Q); mais on peut bci-
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■ ATBRMATIQDE ET niglQCtE. 366
iemeDt, par le théorèiue de Maclaurin, réduirt; f en lërie par rapport à e, leque) <!lant (rès-petit, donnera dès le premier terme one grande approximation. On trouvera ainsi
ZdL'
a — d'= flèche = -
2A(A + Bd) 9iL'
3rfL' ^ BL' 9iL- y
2[A-t-6rf)' V ■*■ 4A' h'{h+ed)J '' ■ ^ > Lorsque dest inSni, on (roure :
Flèche = — ,
rësaltat qu'il est facile de tirer directement de l'éqnatîon (Q) , sans avoir recours à la série ; le rayon de courbure est alors constant, la courbure un arc de cercle, et le solide est d'égale résistance.
Je crois donc qu'on peut regarder comme dëmonlrées les deux propositions suivantes.
Quelle que soit une force agissant suivant l'aie d'un prisme rectangulaire, elle ne pourra produire on commencement de conrbure sans altérer l'élasticité du solide , à moins que le rapport de la longueur à l'épaisseur de ce dernier ne surpasse
T étant le rapport de la circouférence au diamètre et e le plus grand accourcissemcnl possible sur l'unité de longueur du solide.
(' Il*affit depoier^^A-^Be-t-Ce^^Da'-t- etc., de diff^rentler enuiite •QccesiJTemEDt par rapport à ^ et à «, de lubltituet dana celte a^rie la valeur de de lirëe de l'équatioa Q , et d'obierver après SToir fait ce» anbatitotioni , que f eit égal A d, chaque foiaque e=o. Voy. le calcul difffrcDliel de Laçnix, an théorime de Mactauriit,
:,q,-z.= bvGoOg[c
canHEnoNDirtcg
Quelque petite que soit la distance entre l'axe et la directioa de la force qui lui est parallèle, le solide pourra être courbé etconserverlapropricté de reprendre sa forme primitire lorsque la force aura cessé d'agir.
Quand d== ^ ou que la force agit suivant les bords du prisme, la fièche devient, en se bornant au premier terme de la série :
Pour un solide de linc dont la longueur sera d'on mètre et l'épaisseur d'un centimètre, on aura
Flèche =0,78 ceotimèt.
9fl. Je ne fera» pas observer ici la différence , qui existe entre la Qèclie de courbure déterminëe précédemment et celle qn'on trouve appliquée généralement au solide chargé debout, dans an livre utile et très-répandu , si ce n'était qn'on pourrait tomber dans des erreurs graves , en suivant te même raisonnement dans d'antres circonstanciés ; le savant auteur du livre raisonne ainsi : La courbure est extrêmement petite , on peut donc par ap* proximation la considérer comme circulaire, et si l'on suppvse l'axe neutre an milieu de l'épaisseur, on trouve que la ûèche de courbure est égale à ^ ; maintenant si l'on raisonne de la méine manière, en substituant à l'hypothèse du cercle celle d'une parabole , et cette dernière courbe semble mieux convenir puisque les rayons de courbure ainsi que ceux de l'élastique vont en croissant, on trouve une flèche de courbure qui diffère beaucoup de la précédente ('.
') dj: ou di étnnl la différentielle derarcrormdparrateneatreiuppuc u milieu de l'épaitteur, le triangle diffëreuliel, dont deux côl^i tant ëgiui i b , et le troisième à l'eilensian de ds étnnt seaiblalile i celui toitté |>'[
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■ITBtXATIQDI ET HTSIQUI. 387
Il résulte donc de celte théorie de la courbure dei poutres ehargëes de bout , qu'il faudra rempUoer i par
lOA
dans la formule du numéro (91) , ai la direction de la force comprimante doit passer par les extrémités de l'ase de la poutre , «I 8Î la longueur de la poutre est à sa largeur dans un rapport plus grand que
3 eV , - X . — — J 1 . - - —
ai la direction passe à la distance -g des extrémités de l'axe de la poutre , quel que soit le rapport entre la longueur et la largeur de cette dernière.
Détermination du choc qu'un corp» peut ^router faits perdre de son élasticité,
97. Soit M la masse ducorps choqué, Ccelledu corps choquant, Vsa Titesseau moment du choc, < le temps, « l'espace parcouru, u la vitesse qui a lien au bout du temps (, y la vitesse des corps
lee deai tBngentea el par ta difltjreatielle de la Bâche de courbure, on a
3 ; e ^ du :: X : df = Se ^ dx.
La parabole , dont l'aie aérait dan* la baie de fractate, le fommet au point D, etqai paiieialtpai l'origine de> coordanuéei , qui a éti fii^e t l'estr^mit^ de l'aie oeutre, aurait pour équation
•ubatiluant enauite cette Taleur de xy daat l'eipreiiioD de df el intégrant jutqu'ii X = ~ , on obtient
bvGoogIf
368 CORBIBFOKDAnCE
peuuai après In première aeoonde de lear ohnte , g' la force aceéléralrice constante du corps choquant , ^B lepoJds lapportépar le corps élastique choque quand 0^7, enfin soit l'ori^ne des espaces placée à la surface du corps et t^o en même temps que a=o.
D'après ces données , le poids que le corps élastique pourrait supporter lorsqu'il est comprimé de la quantité e serait ^^R(\ ainsi la quantité de mouvement qu'il imprimera en sens contraire de la direction du choc, pendant l'inslaut df qui suit le temps t sera ^ — ^~«^ » '* quantité de mouvement imprimé dans le sens da choc , pendant le même instant, est 1= j^Cdf.
La somme des mouvemens imprimés est donc égale à
Be j'Crf/ — y — dt.
£n supposant que le corps G reste après le cboc attaché au corps M, la qnantittj de mourement effectif pendant le même instant sera égale à
(M + C)du,
Ainsi d'après le principe de d'Âlembert on a
(g'C — 0—^ (fe = (M-t-C)tidt*,
de
à cause de l'équation »==--—;
^ dt
intégrant, on aura
Hé' ig'Ce — ff— • ^ (M -t- C}»' + oonslanle.
I) Lu fléchai aont proporlioDoellea aui poidi on nul preMJons, et csa présent < repréiBate h la foia l'eaptce pstcouru ■( la fièchs ds ci (m; S3 et 03).
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kllTHtaATIQIIt IT PETSFQtK. 369
Poiir déterminer la constante , observons que tei deni corps étant par hypothèse restés nnis après le choc , tear vitesse commnne w ^**'*=M:f:c '""que e était ^ o.
Après aroir sulutitué ces Taleurs dans l'^qoation précédente , on aura
C'V constante ^ — ■
f ayant été désigne pour la plus grande flèche de courbure , OQ pour la plus grande corapresBion possible du corps au point choqué , il faudra que le choc soit amorti ou que w =o, quand f^fj on aura donc par la dernière équation entre w et e
C'V" = y(yR— SyX) (C + M).
Si le choc est produit par le corps C tombé de la hauteur A, on a g' =:g, V* =; ^h et par suite
2C'A = f(R — 2C) (C-hM).
La pins p'ando valeur possible de C est donc -^j et encore faa* dra-t-il alors que h^o pour que l'équation soit satisfaite.
De là résulte la proposition suivante : n Un corps pesant aban- ■ donné tout à coup sans vitesse initiale à la surface d'un solide a élastique , produira une flèche de courbure , ou un enfonce- » ment égal à celui qui aurait eu lieu par un poids double, chargé n par parties successivement accumulées. ■
98. Si l'on suppose que la masse du corps choqnë est très-petite par rapport à celle du corps choquant , hypothèse favorable à la solidité) ou fera M m o et alors on- a
