L'équation P
ù la charge e*t ï l'eitrëmilé lapéiii
:,q,-z.= bvGoOg[c
■«TBUATniiiit n piTsiqnt.
Le premier membre de cette éqnatioa étant constant , le second le sera aussi poor toate section normale de la poatre. Il est facile devoir que sin. a(d -t- ^) n'est autre chose que la perpendiculaire HE, abaissée du point H, situé aux deux tiers de l'épaisseur de la poutre sur la direction de la force , ainsi en représentant par/' et H'K' les quantités analoguea ponr one section normide quelconque da solide, on aura :
HK H'K' ' f H'K'
D'antre part si R' (fig. 6) est le centre de conrbnre du point B', etqueR'ba soit le rayon de courbure le plus proche, on aura :
k'a—Wb : k'a :: A'R'— B'R' : A'R', A'o-B'i A'R' — B'R' A'B'
L'élément k'a étant supposé sur l'aie neutre, a conservé la m6me grandeur qu'il avait avant la courbure, tandis que Wb a été diminué de sa différence actuelle avec k'a. Ainsi en désignant par s' la diminution sur l'unité de longueur, ou le quotient de l'acoonrcisiement par la longueur primitive, on aara
On sait aussi que dans les corps élastiques les diminntions de longoeur sont proportionnelles aux forces qui les produisent ,
300 coaiupoiriAn»
et qne par suite te rapport de /à/* estlemémeqnecelaîdeeàï' en désî(pant par e la comprewion anr Vanité de longaenr aa point B. Ainsi on aura
HK e e X A'R' E'K' "^ 8" ~ A'B' ' d'où
A'B' X UK = 8 X A'R' X H'K' • • • • (R)
Cette équation comprend par ses conséquences toutes les propriétés de la courbe cherchée , elle est au moins explicitement indépendante de la force qui produit la courbure,
Gomploui les abciiseï de la courbe de l'axe de la poutre inr la ligne de la direction de la force P. Les conrbes des borda sont supposées ëqnidistantes de la première, et avoir les mêmes cenlret de courbure.
Soit le rayon de la courbure an point ly = p
DM = f
DH = D'H' = l
La différence de l'arc de la coorbe .... ils
L'axe neutre AA'
D'Q' la normale au point D'. . . . ^ y ~ .
on aura
^ A A' A A' dx
2 12D'Q' ^ 1%, ^ dt
HK = DM -+- HF = f "^ ^ '■"* "
A* dr
12y (fa
A dx
bvGoogIf
■ ATHtMATIQDI ET rBT8IQI.'E. 361
substituant cei valeara daiu l'équation précédente , elle derienl
les deux membres de cette équation élaiit divisible! par
ou
aX 6As -4- A^ SÎTI' a
12pî, -H A' - = — ^— ^ .... (M)
pour l'équation diSërentielle de la courbe dans laquelle il ne restera plus que x et y après la substitution de la valeur de ds = y^dx' ■+■ rfy' cl de celle de p, laquelle en laissant arbitraire la variable indépendante est comme l'on sait
- dyd'x
jp'lèche de courbare de la poutre horizontale chargée au milieu.
93. II n'f aura rien de changé eu supposant la poutre fixée par sabascdefracture et portant à lesestrémités des poids égaux à la moitié de la cbarge.
Dans ce cas l'angle a^o , f = -■ Prenant y pour variable indépendante, d^ys=o, et comme il ne s'agit que de très-petites courbures d'une barre à peu près perpendiculaire à l'aie des x, Toi. IX. 24
:,q,-z.= bvGoOg[c
363 coRREiroNDinti
on pourra faire sans beaucoup d'erreur d$^dy et ^ ^o ,
alors p =: ^, Substituant dans l'éqnation (M) et rédnitant, on a
= Try:
intégrant, on obtient
dy" AL
Quand
