SD' + S'U

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37â CORHESM^DAIICK

Expressions , qni reviennent aux suivantes :

Pourva que l'on représente par m rélëmenf dxdy de la base de fraclnre , et qne l'on étende l'intëgration A la sarfaoe entière , en ayant égard aux signes que les coordonnées doivent avoir.

Nous avons supposé que l'aie des x était le même que l'aw neutre , e[ nous n'avons astreint Jusqu'ici, Taxe des y qu'à la condition d'être perpendiculaire à celui des ^; à cette conditioD, qui a laissé dans la position de cet axe une certaine indétermination, nous ajouterons celle de le faire passer par le centre de gravité, a6n qu'il se trouve fixé par rapport au premier.

Si la direction de i'axe neutre est inconnue ^ on la détennïnera :

l" EnfornianlIesintégraleBanaloguesà celles des équations (I) par rapport a deux axes connus de position ;

3° En partant de ces intégrales connues pour former, bu moym d'une transformation de coordonnées, celles qui leur correspondent, par rapport à deux nonveaux axes passant aassi par ce centre de gravité , et dont l'un soit parallèle à l'axe neutre.

Ces intégrales contiendront les sinus de l'angle u que l'axe neutre est supposé faire avec l'un des axes donnés de position ;

3° En formant, au moyen de ces dernières intégrales, celles des équations ( 1) , qui alors , outre le sinus de l'angle u , contiendront la distance T de l'axé neutre à la ligne qui lui est supposée parallèle. Ensuite ces deux inconnues se trouveront déterminées parles deux équations (1).

A. cet effet, prenons ponr axes des u et des (, connus de position , les deux axes principaux , passant par le centre de gravité de la base de fracture.

On sait qu'ils sont rectangulaires et déterminés.

:,q,-z.= bvGoOg[c

■ ATOtlATIQUR ET nTTSIQDR. 373

Soit l'abscisse du point V = l).

L'ordonnée dri même point ^ T.

fmf = A.

Soient w' e( C les coordonnées par rapport \ deux noureanx axes de même origine que les premiers , et dont celui des w' soit paralléleà l'axe neutre , et fasse un angle a avec celui des t?

Soit encore le sinus de a représenté par »•

Son cosinus par c.

■ La distance de l'axe des u à celui des X par Y.

On aura , d'après les formules coonues :

w' = et + »u\

et par suite

Jmu'f=:c»fm (J'— «') ^ (s' — c" )J'mut.

Mais d'après les {iroprietë^ des axes principaux on iijmut=io, ainsi /(«»'(' devient en remplaçant /m*' par A, et /ma' par B ,

La théorie des axes principaux donne aussi

ytftr = «'A + c'B (4)

Et pour achever la transformation par rapport à ces axes , les équations (2) donnent encore, en désignant par U, T, V, T' les coordonnées respectÎTCS aux axes des m* et des «Y, du point V désigné , par ^y pour les axes des xy :

D' = cT + »U 1

T' = «T — cU J

Passant maintenant arix axes des x et des y on a évidemin''nt ;

/«.xy =f,nu- {f ^ Y) =/™«r + v/,««'.

L;,q,-z.= bvGoOg[c