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Totaux. .
MATII^MATIQVE ET PHVSIQVCé l85
Sur la convergence des séries et des produits continus , par M. Van Rees , professeur de Mathématiques à TUniversitë de Liège.
(i) Soit F{x) une fonction inconnue de a: y mais dont on connaît les valeurs pour toutes les valeurs entières et positives de a:. Il est évident que ces données ne suffisent pas pour déterminer la forme de la fonction. Pour s'en assurer, on n'a qu'à chercher la courbe dont l'équation serait y = F{x)* Les seules ordonnées connues étant celles dont les abscisses sont les nombres entiers successifs , toute courbe passant par leurs extrémités satisfera à la question.
Par conséquent , si on considère la somme F{x) d'une série , dont le terme général est donné, comme une fonction continue du nombre de termes ûc , le problème de la sommation des séries devient indéterminé. En effet , le terme général ne fait connaître que les valeurs particulières de F(ar) pour des valeurs entières de a: , et n'apprend rien sur les valeurs intermédiaires.
La même considération s'applique encore au cas , où F{x) désigne le produit d'un nombre indéfini de facteurs , dont on connaît la loi de succession.
(2) A cause de cette indétermination, il est permis d'établir dans ces cas une hypothèse sur les changemens de F{x) et même de sa dérivée F'(jc) dans les intervalles entre les valeurs entières de ac.
Ainsi 5 lorsque F(x3 st constamment ou croissante ou décroissante pour des valeurs entières et croissantes de x, on pourra la supposer encore telle dans les intervalles.
En outre, si la diflférence F(a: -1- i ) — F{x) de deux valeurs successives de la fonction augmente ou diminue constamment avec X , on pourra attribuer la même propriété à sa dérivée F'(x).
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tÔ6 CORBESPONDAlfCe
Comme ces hypothèses n'ont d'ailleurs aucune influence sur les valeurs que F(x) reçoit lorsque x est entier ^ les résultats qu'on peut en dëduire par rapport à la convergence des séries et des produits continus , seront entièrement rigourenx.
