I. Produits continus
(3) Soit
Un, U^^ u. ..•• u^^t 9 tf« I etc. y
une suite de facteurs qui se succèdent d'après une certaine loi. Désignons par F(a:} le produit des x premiers facteurs | ensorte que
F{JI?) rra U% U^U^ ...• «,-!•
Nous supposerons que le facteur général u» ne contient aucune fonction périodique de x\ telle que sin. mx, cos. mx, («^ i)* (*j. Dans ce cas , les différences successives de F(x) finiront nécessairement par croître ou par décroître constamment. Car puisque
et
F(«^ l)=rF(jr),ttar
F(x-i-a)=F(*).i/xtt^,
P(ar-I- i) — F(*) " * ux—i
Or , en égalant le second membre à l'unité, l'équation ainsi obtenue ^ et qui se réduit à
w«+E M« -— ai^« -H I s= o ,
(♦) On sait que ( — i )^ = cps. Tx + 1/— ' »»• ^*» On peut éviter l'inconvénient qui résulte de la présence de cette quantité dans u^, en réunissant chaque couple de facteurs consécutifs en un seul.
Digiti
MATUÈMATtQVË ET PHYSIQUE. 187
ne peut donner pour x qu'an nombre détermine de valeurs réelles et finies. Donc , en désignant par A une limite supérieure
des racines de cette équation , le rapport — — ~ — — ^
des différences successives de F(ar) restera , à partir de a: = A , constamment supérieur ou inférieur à l'unité.
(4) Nous venons de voir (2) qu'on peut dès-lors considérer la fonction dérivée F' (a:), comme étant constamment croissante ou décroissante.
Or, d'après un théorème de M. Ampère^ reproduit par
M» Cauthy (♦), le rapport aux différences finies — 7--:
(a: -4-1) — {x) qui se réduit à F(ar -*- 1)— F(j:) , est compris entre la plus grande et la plus petite valeur que F'(â?) reçoit dans l'intervalle de x'k X -^ X.
Donc , si F'(â?) est constamment décroissante , on a
tandis que, si F'(ar) est croissante, ces inégalités devront être prises en sens contraire. Mais , les résultats étant semblables dans les deux cas , nous nous bonnerons aux formules ci^dessus. Si on observe que F(ar-4- 1) = F{x) — Ux , on trouve
dont on déduit, en intégrant depuis la limite A
/F(») — /F(A)> /{ux—\)dx (a)
/F(«H.i) — /F(A-4.i) < rfi^l^dx (b)
^x V uxy
(*) Cauchyt Leçom iurle calcul mfinitéëimal f p. 27.
Digiti
izedbyGOQgle*
l88 COERESPOKDANCE
Mais on a {Cauchy, Calcul in/lnit. , p. 91) , en désignant par k un nombre compris entre les limites de l'intëgrale
Donc l'inégalité {b) devient
/F(:c + — /F(A H- i)< J. /(uoc—i) dx (c)
(5) Les quantités /F(a:) , /F(j:-f-i), Uk sont évidemment finies. Par conséquent , si on fait a: s=: od , il résulte des formules {a) et (c) que /F(oo ) , ou le logarithme du produit prolongé à l'infini , sera infini positif, fini , ou infini négatif en même
/oo (ux — i) dx. D'ailleurs , la limite inférieure A ,
n'influe pas sur l'espèce de valeur de cette intégrale définie , et on peut lui substituer tout autre nombre fini (plus grand toutefois que ceux qui rendraient Ux infinie )• Donc : Théorème I. Le produit continu
¥{x) =: Wo Ui Ui ...• Ux—i ,
dont le terme gênerai u, ne contient aucune Jonction périodique de X , conv^erge , pour des valeurs infiniment croissantes de x , vers une limite infinie , Jinie ou zéro , suii^ant que l'intégrale y*(ux — i)dx y prise depuis une valeur finie de xjusqiCà x=oo , est infinie positive y finie , ou infinie négative*
(6) Dans un grand nombre de cas , on peut éviter l'intégration de la formule {Ux — \)dx^ en se servant du lemme suivant :
Soity(ar) une fonction continue de a: , et dont les valeurs , depuis X = A jusqu'à :r = oo , sont finies. (*)• L'intégrale
(*) J*en tends par yalenr^n/e , tonte valeur diffërente de xëro et de l'infini»
MATHéMATIQVE ET PHYSIQUE. l8g
aura une valeur finie si n > i , et sera infime si n as i ou ^ i , savoir infinie positive ou négative , suivant quey(â?) est positive ou négative entre les limites de Fintégrale.
En effet on a, en désignant par k un nombre compris entre ces limites,
donc
sin sss i
ce qui démontre la proposition. Si nous l'appliquons à l'intégrale comprise dans le théorème h', et dont la limite inférieure peut être aussi grande qu'on veut, il en résulte: Théorème IL Lorsque le terme général u, du produit continu
'F(x):ssUo Ui Ut, .... Ux—i
est tel qu'on ait Ux—i — i 5= — > f(x) étant une Jonction continue de X 9 et qui reste finie pour x = oo > le produit coni^erge vers une limite ^nie 5/ n > 1. ^u contraire , si nsssi ou <^ 1 , cetle limite sera infinie au zéro suivant que f(x) est positiifc ou
negatii^e pour x =5 00 .
a On peut prendre pour exemple le cas où i^x = i H — ;; , a
étant constante. Nous verrons bientôt une autre application plus générale du théorème.
