Tome FL i

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2IO CORAESPOHOitlIGE

voir répéter les deux pesées qui servent à déterminer ta pesanteur spécifique autant de fois que Ton. veut, sans être obligé de sécher le corps à chaque fois, comme il est nécessaire de le faire dans la méthode ordinaire, quand, après avoir, posé le corps dans Teau , on juge convenable de le repeser dans Tair*

Lettre sur les Mémoires de 3fM. Reiss et Timmerhans, adressée au Rédacteur , par M. Pagaiti , professeur extraordinaire à rUniversité de Louvain.

Je viens de lire le TH^ I de la Correspondance , et je pense que les observations suivantes que cette lecture m'a suggérées, pourront offrir quelqu'intérét aux personnes qui lisent habituellement ce qui paraît dans votre estimable joumaK

Le mémoire du docteur Reiss , en réponse à la question que yOQS aviez proposée, me fournit d'abord l'occasion de présenter une simplification considérable de la formule fondamentale qui sert de base & toutes les recherches contenues dans cet écrit. A cet effet, considérons la même figure que Tanteur , et nommon» p le rayon^ecteur mené du point donné à un point quelconque de la courbe* Divisons la courbe auii- Uttire en un nombre n de parties égales. La somme âes rvjfm vecteurs, menés de manière à passer parles points dedivisii» de la couribe auxiliaire , étant désignée par tp , on aura identiquement

en dénotant par S la longueur de la courbe auxiliaire comprise

entre des limites fixes* Or , en supposant n infiniment grand , on

peut prendre

- :ss ds, Lpds ssfpdê. Partant

iï:, = i/^,,

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MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE. dll

pouryu que Tintégrale du second membre soit prise ehtre les limites données de la courbe auxiliaire.

Relativement aux questions proposées par M'. Tïmmerkans , à la fin de son mémoire sur le centre de gratuite (Tun canon, )e ferai observer à l'auteur que celle de ces questions qui a pom* objet rintégrale d'une fonction irrationnelle, présente uiie fonction formée de deux parties , dont la première s'intègre par des arcs de cercle, et dont l'autre se rapporte aux transcen-^ dantes elliptiques; et que, par conséquent, son intégration rigoureuse n'est possible que par des séries. La seconde que-^ stion n'est point susceptible de solution déterminée , en ce qu'il peut exister une infinité de lois différentes pour la densité d'un canon, sans que le centre de gravité soit placé dans des points différens* Pour s'en' convaincre , il sufEt de supposer qu'on ait, au. lieu d'un canon, un cylindre d'une longueur et d'un diamètre donnas, et qa^on se propose de trouver la loi de lia densité des différentes tranches dont le cylindre serait formé en connaissant la distance du centre de gravité du cylindre hétérogène à l'une des extrémités de son axe.

Ohsen^ation sur F aiguille aimantée^ faites à BruxeUes , au mQis de mars i83o; par A. Qvetblet.

Je ne pense pas qu'aucune observation eût encore été faite à Bruxelles, pour déterminer l'inclinaison ou l'intensité magnétique , avant celles que j'ai publiées dans le tome V de la Correspondance math. ; j'avoue même que je ne connais aucune observation un peu précise qui ait eu pour but de déterminer la déclinaison magnétique pour ce point si important de notre royaunoie : cependant la déclinaison de l'aiguille est un élément dont les arpenteurs sont dans le cas de se servir chaque jour pour orienter leurs plans. Le même manque d'observations magnétiques se fait ressentir en général pour toute la partie , méridionale de notre royaum^e , de sorte qu'il nous est impossible de rien dire sur les variations diverses qu'a éprouvées chez nous l'aiguille aimantée , tandis que nos voisins possèdent

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ai a COnRESPONDANCE

sur ce sujet des recueils d'observations précieuses. J'ai tâche de remplir la lacune que je viens de signaler , du moins pour Bruxelles , en attendant que je puisse le faire pour les autres points principaux de nos provinces méridionales ; j'ai employé k cet effet d'exceilens instrumens du célèbre artiste anglais Troughton; comme ces instrumens sont déposés à l'observatoire , j'aurai l'avantage de pouvoir comparer annuellement les résultats de mes observations.

J'avais trouvé, dans le jardin de l'observatoire, au mois d'octobre 1828 , que l'aiguille aimantée formait avec le méridien un angle de a2<> 28'5i",i; cette déclinaison n'avait pas sensiblement changé au mois de mars de l'année dernière. En reprenant une nouvelle série d'observations , le 5 mars dernier encore , entre i et 2 heures , j'ai trouvé une déclinaison moyenne de 22<> 23^ i8'%i, ce qui semblerait annoncer une diminution dans la déclinaison de l'aiguille , conforme à celle qu'on observe également ailleurs.

Le manque d'un local convenable, à l'observatoire, ne m'a pas permis de suivre la variation diurne de l'aiguille que j'avais trouvée en septembre 1828, de 8 à 9 minutes, et de II' 25'' le 26 du même mois.

L'inclinaison de l'aiguille était de 68<> 56%5 vers la fin de 1828; je l'ai trouvée de 68» 62' ,5 et 68* 52^,7 le 4 et 5 de ce mois, vers 3 heures de l'après-midi. Cette diminution de l'inclinaison s'accorde avec les observations du célèbre Humboldt^ qui estime que la diminution annuelle pour Paris, Berlin, et quelques autres points remarquables , a été de 2 à 3 minutes environ.

Quant à l'intensité magnétique (voyez pag. 66 de ce vol), en prenant pour unité celle qui a lieu sous l'équateur magnétique , M. le capitaine Sabine a trouvé , avec les aiguilles qui lui ont servi dans ses voyages, le 5 novembre 1828, dans le jardin de l'observatoire , une valeur de i,338i ; j'ai trouvé au même lieu, en 1829, une intensité représentée par le nombre i;349i» valeur un peu plus grande que celle qui a été obtenue pour Paris.

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MATIfÉMATIQVE ET PHYSIQUE. 3t3

Observations sur la Jbrme et la densité de la neige , faites à Bruxelles y pendant t hiver de 1829 à i83o,par A. Quetelet.

Pendant le siècle dernier , différens physiciens se sont occupas d,e la détermination de la densité de la neige , et les résultats qu'ils ont obtenus varient dans des limites assez grandes» comme on peut le voir dans Vlntroductio ad philosophiam naturalem , de Musschenbroek» Sedileau avait trouvé que généralement la neige en se fondant , se réduisait à un volume 5 h 6 fois moindre. La Hire , en confirmant cette observation , ajoutait qu'en 171 1 , il avait observé une neige qui is'était réduite au la* de son volume , en passant à Tétat liquide. Mus^ schenbroek assure avoir vu de son côté à Utrecht , une neige de forme régulière qui était 20 fois plus légère que Teau. Depuis les recherches de ces physiciens , je ne sache pas qu'on se soit encore occupé d'observations sur la densité de la neige; on paraît aussi s'être moins occupé de l'examen des formes régulières qu'elle affecte en tombant. On a remarqué généralement que cette forme était hexagonale , mais qu'elle présente des variétés très-remarquableâ. Mus schenbroek ^ daua son Introductio , a représenté 26 formes différentes ; dans ces derniers temps , le voyageur Scoresby en a figuré jusqu'à 48.

Le but que j'ai eu en recueillant de nouvelles observations sur la forme et la densité de la neige , a été plus particulièrement d'examiner s'il n'existait pas de relations entre l'une et l'autre de ces deux choses. Dans cette vue, j'ai commencé une série d'observations , dont je présente ici les premiers résultats. Je dois faire observer que la manière même dont on recueille la neige , exige les plus grandes précautions pour empêcher la condensation d'avoir lieu. Quelquefois aussi, une quantité assez grande de neige peut se fondre sans qu'on s'en aperçoive; parce que l'eau qui provient de cette fusion, se loge dans les interstices que présente la neige , et augmente ainsi considérablement sa pesanteur spécifique. Dans le ta-

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2l4 COanESPOUDANCC

bleaa que je présente , f ai pris pour unité le volume d'eau provenant de la fusion de la neige , ainsi la pesanteur spécifi- €fue sera Tunité divisée par le nombre de la seconde colonne; les figures sont indiquées d'après Touvrage de Musschenbroek.

. X»ATES

BtXS OBSZmVATIOHS.

aS aoTemb. 1829.

16 dëcembre . . . ,

10 ianTier iSSo. .

6 Uyt\n

TiMPi&AïiJBB VOLUME moyetaneC*) . de la ki^iok.

7»oo 7,5o 14.00

FOHMES

DELA NSI6B.

FlocQiu informel.

I Neige fine tana forme détarminée.

Figures 7 et 17.

Informe.

Figures 5 et 7.

X«a neige fond en tombant.

Figure 7 , très-p«tites étoiles.

Figues 3, 4, 5, 7, 19, i3et 17 (•**)•

IGros flocons qui fondent* On reoos* naît les figures 6 et 7.

Sur la constance qu 'on observe dans le nombre des crimes guise commettent.

« L*on passe d'une année à l'autre , avec la triste perspective de voir les mêmes crimes se reproduire dans le même ordre , et attirer les mêmes peines dans les mêmes proportions... Mais gardons-nous cependant de croire , s'il n'est pas en notre pouvoir d'arrêter brusquement le mal , qu'il soit impossible

(*) La temp^tore moyenne, ëchelle de Rëaumnr, est prise d'après les observations que. M. Kickx a en Tobligeance de me communiqner.

(**) Le thermomètre de Rëanmur est descendu les jours pr^c^ens jos-

qu'à n-s.

(***) La neige présentait ce jour une grande diversité déformes; quelques étoiles hexagonales étaient aussi agglomérées d'une manière régulière. Flasieurs de ces formes ont été reproduites dans la Revue des Beifuet de Bruxelles.

lIATBiMATIQtTBr ET PHYSIQUE. 2l5

d'y remédier entièrement ; » telles sont les observations que nous répétions encore dans le IV* volume de la Correspondance^ en parlant du nombre des crimes et des délits dans les cinq provinces qui sont du ressort de la cour de Bruxelles. Ces conjectures qui ont paru sinistres à biens des gens , se déduisent Mns peine , d'après les premières notions des probabilités , des docuniens que nous fournit la statistique. Nous avouons néanmoins que les réclamations qu'elles ont excitées chez quelques personnes , très -respectables d'ailleurs, ont éveillé chez nous une défiance extrême ; et en recevant le nouveau compte général dé la justice criminelle en France , nous n'avons eu rien de plus pressé que de vérifier nos conjectures , comme s'il se fut agi d'une prophétie dont nous devions compte. Or , voici ce que nous avons lu dès lés premières pages ; nous nous bornons à copier les nombres tels qu'ils s'y trouvent présentés :

Condamnations prononcées en Fhince de i8a5 à 1828.

Condunn^s A mort . .' i34 i5o 109 U4

» mva. traraux forces jk perpétuité ... 983 981 ' 817 968

» » àtempa loSs 1189 1069 114»

» ii U réclusion 1169 1998 1993 1993

» au carcan 6 5 >5 11

» au bannissement . t 1 l o i

» è la dégradation civique 9.1 6 O

» à des peines correctionnellef .... i349 1487 x44^ '7^'

Accusés Agés dé moins de 16 ans, condamnés & rester

détenus daos une maison de correction .... 67 56 68 53

Totaux 4o37 i^348 4936 455x

Proportion des acquittés.

Sur le total des accusés ; . . . 0,89 0,38 ^ 0,89 0,89

Dans les crimes contre les personnes. ..... o,54 o,49 o,5o o,S3

Dans les crimes contre les propriétés 0,34 c^>^^ ' 0,3S.' ' o,34

Condamnés à des peines infamantes. '

Sur tous les accusés 0,4q • o,4o 0,89. 0,87

Crinaes contre les personnes , o,a6 o,3o 0,99 0,37

Crimes contre les propriétés o,45 0,44 ^A^ 0,41

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a 1 6 COAAESPOn OAHCE

Condamnés h des peines correctionnelles.

Sur tou« les accusât , . o,ai o,a9 0,99 0,94

Crimes contre les penonnai o,9i o,9i o,9i o,so

Crimes contre les propriëUi o,si o^aS o,ai o,«5

On peut juger maintenant si nous étions loin de la vëritë , et si les différens genres de condamnations ne se sont pas présentes à peu près exactement dans le même nombre , et si la proportion des peines n'a pas été la même. On aura aussi remarque que les acquittemens pour les crimes contre les personnes sont bien plus nombreux que pour les crimes contre les propriétés , quand il s'agit de peines graves ; sans doute , comme nous le disions , pour tempérer la sévérité des lois qui , souvent I restent sans e£Eet par un excès de rigueur. Quoique la colonne pour 18199 ne soit point encore remplie, les quatre colonnes qui précèdent ne font déjà que trop entrevoir les nombres qui doivent y figurer un jour.

Nous venons de voir quelles ont été les condamnations; voici les nombres des individus qui ont paru devant les tribunaux :

AeeoMét criminels 7816 75qi 7774 7^9^

Pr^T^nus correctionnels i4i733 169740 171 146 lyaSoo

Jasemens en simple police . . . 4 . . . . ioii55 looSSi 88833

Totaux aSaSag 969708 969580 277113.

Nous reviendrons , dans un autre article , sur ce qui concerne les âges ; cette partie n'est pas une des moins remarquables du compte général de V administration de la justice en France, On appréciera mieux de jour en jour Futilité que présente cet ouvrage et les leçons instructives qu'on peut y puiser. L'époque n'est pas loin > sans doute , où Ton s'étonnen avec raison que les plus siinples conséquences que l'on en dr

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MATHEMATIQUE ET PUYSIQUE. 317

duit, peuvent rencontrer tant d'opposition et de méfiance. Mais on dira peut-être alors qu*il était plus facile d'indiquer le mal que d y trouver un remède , tant on est encore généralement porté à nier les avantages que présente l'étude de la statistique.

Académie Royale des sciences et belles lettres.

Séance du ^fés^rier, — Le secrétaire donne lecture d'une lettre de M. Schumacher^ directeur de l'observatoire d'Altona , et d'une autre de l'Académie royale de médecine de Paris , qui propose un échange des volumes des Mémoires : il présente ensuite les réponses qui sont parvenues aux questions que TAca* demie avait mises au concours. Les mémoires sont au nombre de onze ; savoir : 6 pour l'histoire , 3 sur la question géologique concernant la province de Liège , et a sur les mathématiques. On nomme des commissaires pour les examiner. — M. Dumortier annonce qu'on vient de tj'ouver une vingtaine de manuscrits qui avaient été déposés , dans une armoire masquée 9 sous l'escalier de la bibliothèque du chapitre de Tournai. L'un de ces manuscrits contient les procès verbaux de 5a réunions d'une société de Khétorique, tenues depuis le i" mai i477 jusqu'au !•' juin 149* ; chaque procès verbal renferme différentes pièces de poésie. Un autre manuscrit est VHistoria Tomacensis^ de Sanderus. M. F^anHulthem présent à la séance , annonce que le hasard l'a rendu possesseur des planches in-4* qui manquent au manuscrit. — M. Dumortier lit aussi la i'« partie d'un mémoire sur la carpographie ou essai de classification des fruits. Il est fait un rapport favorable sur le mémoire de M. F'an Rees , inséré dans ce numéro. — M De Reiffenherg termine la séance par la lecture d'une notice sur le manuscrit de l3 bibliothèque de Bourgogne , intitulé Lafieur des histoires.

Séance du 6 mars. — M. Dewez communique une lettre de M. £/tcfc, directeur de l'observatoire de Berlin, et présente

2 1 8 . (X>iiiuë:s]'omdange

deux eitemplaîres d'un mëmoire de M^AL De I&mboldt^ sur les signes mathématiques chez les indiens. Il est aussi donné lecture d'une lettre de M. Bernardin bibliothënaire à Louvain. — M. Marchai présente dettx mémoires manuscrits de l'abbë Mann , sur les canaux de la Belgique et sur les ports d'Ostende et de Nieuport. — ■ M. Quetelet présente au nom de M. Chasles , un mémoire de géométrie pure , sur les propriétés générales des cônes du second degré ; et , au nom de M. le docteur Reiss f un mémoire sur les propriétés du tétraèdre; il lit ensuite une note sur ses observations relatives à l'aiguille manëgtique ( voyez pag. an). Il est fait iin rapport très-faTorable sur le mémoire que M. Levjr a présenté à l'une des séances précédentes. -— M« De Reiffenherg lit uii élbf(e historique sur l'abbé Mann* . .

Correspondance et Annonces scientifiques*

Nous venons de recevoir de M. le docteur Julius , quelques détails sur la moi't prématurée du célèbre artiste Repsold^ dont nous avons eu occasion d'entretenir nos lecteurs à propos de l'observatoire de Hambourg , voyez le n» précédent. M. Repsold y en sa qualité d'ingénieur expérimenté, avait été nommé maître des incendies , poste important dans une ville oh le feu peut occasionner les plus terribles ravages. Cest en exerçant ses dangereuses fonctions , avec un zèle et un courage dignes d'un meilleur sort , qu'il vient de succomber dans un âge encore peu avancé.

« La mort inattendue de notre excellent ami Repsoldy vous aura frappé sans doute comme nous tous. Il dînait chez un de ses amis (chez M. Schumacher)^ lorsqu'on vint lui annoncer, a 6 heures du soir , 'qu'il y avait un incendie. Il s'y rend tout de suite , et se met comme à l'ordinaire à la tête de lios courageux pompiers , lorsqu'une poutre enflammée tombe d'un toit et lui fracasse la poitrine. Le visage seul est resté intact ; il a re-

MATHEMATIQUE ET FBYSIQUE. Qlp

tenu , même après sa mort , le doux et intelligent sourire qui j résidait. La moitié de Hambourg et tous les magistrats ont soivi la pompe funèbre* On va lui ériger un monument près de robsêrViatoire y et une médaille sera frappée à sa mémoire. Quoiqu'il n'aimât pas ces honneurs publics, l'enthousiasme est trop géofénàl pour le retenir. Des pensions n'existent pas dan» notre pèrtite république; une souscription a été ouverte y et. sa veuve > recevra une rente viagère jusqu'à sa mort , et ses huit enfans jusqu'à leur établissement ou leur mariage. ••• n

(Peut^tre ^era^t-on charmé d'avoir quelques renseignemens particuliers sur cet homme rëcommandable à plus d'un titre. M. Repsùld était maigre y d'une taille assez élevée ; ses yeux étaient pleins de feu , et son sourire plein de finesse ; ses ma-nières un peu brusques , et son langage peu fait aux complimens, annonçaient un caractère franc et loyal. Quand il se livrait aux plaisirs de la conversation , ses traits exprimaient la bienveillance ; sa bonhomie était celle du respectable Trougtiion ; elle s'alliait à un peu de malice, mais sans jamais bfesser personne. Il était d'une aetivité incroyable , et supportait les retards avec impatience. Je me rappelle qu'à notre retour de Brème , oi!i nous avions été vi»iter Tillustre Olbersy avec son ami intime M. le professeur Schumacher, nous fumes arrêtés quelque temps à Harbourg , pendant qu'on nous préparait un bateau pour le passage de TElbe. Fatigué de tous ces apprêts , M. Rep-" sold vint nous dire qu'il avait trouvé un canot léger ^ et qu'on lui avait promis qu'avant une heure ^ il pouvait être, rendu à Hambourg, oà il avait encore quelques occupations à terininer pendant la soirée ; il partit en effet malgré nos instances pour le retenir. Mais quand nous. nous trouvâmes à notre tour en face de Hambourg , nous fumes témoins d'un terrible incendie qui avait éclaté dans une partie de la ville opposée à celle qu'il habitait. « Je me trompe fort , me dit alors M. Schuma^ cher^ oh notre ami ne finira pas ses occupations ce soir; car voilà de la besogné plus pressante qui l'attend , » et effectivement, nous apprîmes en débarquant, qu'avant même d'être rentré chez lui , il s'était rendu au lieu de Tincendie. M. Rep»

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230 C0RBE$P05DA!fCE

sold aimait les plaisanteries et se prétait de la meilleure grâce à celles qu*on lui faisait ; je me rappelle qu'il riait de tout son cœur , lorsque M. Schumacher me racontait en sa présence la manière dont il s*y prenait pour se procurer des fils d'araignée très-fins. Elle est assez remarquable en effet. Quand l'insecte était las de filer, M. Repsold l'excitait « et, en le frappant de petits coups , le forçait de continuer , comme à regret , un fil qui devenait d'une minceur extrême. 11 est fâcheux que cet artiste habile oit laissé si peu d'instrumens ; le devoir qu'il s'était imposé de les construire de sa propre main, fait qu'ils sont extrêmement rares. M. Schumacher dL recueilli dans son excellent journal, les observations astronomiques que M. Repsold a faites à l'observatoire de Hambourg. 11 paraît même que ce monument a ëté construit comme un hommage que cette ville éclairée avait voulu faire au grand artiste qui s'était fixé dans ses murs (*). M. Repsold était d'un grand désintéressement, d'une probité à toute épreuve, et sa modestie n'était pas moindre que son talent; mais il était modeste comme un homme qui connaît la dignité de son art, et qui supporte impatiemment la critique injuste de la médiocrité.

— M. Brandès , professeur à l'Université de Leipsig , se propose de publier des leçons sur la physique , destinées particulièrement aux personnes à qui les connaissances mathématiques sont moins familières : cet ouvrage intitulé : Korlesungen Ûber die naturlehre , paraîtra par souscription en 3 vol. , chez G.-/. Gôschen, à Leipsig. Le prix du volume est de 2 thaler 8 gr. (environ g francs). M. Brandès est avantageusement connu depuis long*temps par un grand nombre d'ouvrages sur la physique et les mathématiques. Ce savant nous parle , dans une de ses dernières lettres, d'expériences très-intéressantes qu'il

(*) M. Repsold ëtait né dans le Hanovre; il est remarquable que ce paya ait vu naître les trois astronomes Hcrschel , Olbers et Harding , à qui Ton doit la dëcouverlc de quatre des cinq planètes qui ont enrichi l'aslronomie moderne.

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vient de faire sur les plaques vibrantes , et qui tendent à compléter les recherches de Chladni , de Savart et des autres physiciens qui se sont occupes du même objet.

— Nous avons reçu une lettre de M. Encke^ dans laquelle ce célèbre astronome nous recommande beaucoup la méthode de Bessel^ pour la détermination de la hauteur du pôle ; il en a déduit , pour la latitude de Berlin , Si^ 3 1 ' 1 3'\ Quant à la longitude en temps , il la fait de 44' i4'% ^^ ^^^^ de 44' 8" que donne la Connaissance des temps. M. Encke parait également convaincu de rexcellencé de la compensation à mercure. Une pendule jqui avait une marche très- défectueuse avec une compensation métallique , a pris une marche régulière depuis qu'on 7 a appliqué l'autre genre de compensation.

— Les travaux de l'observatoire de Bruxelles ont repris depuis peu. Les ouvrages en maçonnerie sont terminés ; et tout porte à espérer que les instrumens pourront enfin être mis en place vers la fin de Tété.

— M. Hachette , à qui les sciences doivent un grand nombre d'ouvrages utiles , vient encore de publier une Histoire des machines à vapeur , depuis leur origine jusquà nos jours ( à Paris chez le librah^e Corby). Cet ouvrage doit inspirer un vif intérêt dans un moment où Ton s'occupe d'examiner les titres que les différentes nations apportent à l'invention des machines à vapeur , et où chaque jour nous fait connaître de nouveaux avantages que l'on peut retirer de cette importante découverte. Déjà les intéressantes notices que M. Arago a insérées dans V Annuaire du bureau des longitudes , avaient attiré l'attention publique sur une question délicate , puisqu'elle concerne Tamour-propre des nations , tout aussi intraitable que celui des individus. Les recherches nombreuses et impartiales de M. Hachette fourniront des documens précieux qui aideront à porter un jugement définitif.

— ^Nous avons reçu d'Utrecht une dissertation écrite en latin, par M. -P. Van Galen^ Sur le pendule et ses applications , pour déterminer la figure de la terre , et défendue par l'auteur , à l'occasion de sa promotion au grade de docteur. Cet ouvrage

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219 CORRESPONDAKCÈ

est un résumé substantiel de tout ce cpjHoii pouvait dire sur ce sujet* L'auteur présente d'abord une introduction historique, dans laquelle il expose les travaux des physiciens sur ce qui concerne les observations du pendule. II. fait connaître ensuite la théorie mathématique du pendule et lea méthodes employées par les modernes , pour déterminer sa longueur y telles que la méthode de Borda et de SioC ^ celle du capitaine Kaêer et celle de Bessel ; il examine aussi les corrections et les réduc» tions qu'il convient d'apfjortér aux résultats des expériences , afin, de les rendre comparables y comme la correction de l'am* plitude 9 celle de la dilatation pourries variations de température , celle de la réduction au vide , et enfin ce^lle de la réduction au niveau de la mer. Le troisième et dernier chapitre traite de l'application du pendule à la détermination de la figure de la terre ; l'auteur a jprésenté encore , dans trois tableaux , les résultats numériques déduits , piu* la méthode des< moindres carrés , des observations de Bougner ^ La Condamine , Ik^ perreyi Fr^cinet , Kater, Sabine (*) , etc. Ce travail est le fruit d'excellentes études et de pénibles recherches; il fournirait un puissant argument en faveur de l'obligation imposée aux récipiendaires de présenter une dissertation écrite pour l'obten* tion du grade de docteur ^ si l'on était toujours sûr d'avoir des mémoire rédigés d'une manière aussi consciencieuse.

.— Le célèbre naturaliste de Sœmmernng, vient de inourir à Francfort, dans un âge assez avancé, quoiqu'il eût encore conservé beaucoup de force , et presque toute la vivacité de la jeunesse. Ce vieillard n'était pas moins respectable par son profond savoir que par ses vertus.

(*) Ncois possédons maintenant à TobierYatoire de Bruxelles le pendule av«c lequel M. le capitaine Sabine a fait sea dernières ezp<$riences à Green* wicb et à Londres, Fortland-Flace , où j'ai eu Tavantage d'obseryer avec ce sayant. Jusqu'à présent , les travaux de. notre observatoire n'ont pas permis de faire les dispositions nécessaires pour le placement et Tobseryaiion de cet instrument. M. le professeur Moll , promoteur de M. f^an Gale n, se propose également de faire, à TJtrecht, les observations du pendule, avec un instnimeut construit d'aprét la méthode du capitaine Kater:

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MATHEMATIQUE ET 1>IIYSIQU1% 2l3

— Il a paru à Leipsig^ en 1829, sous le titre Die zeitrech^ nung des menschlichen lehens , par F. Burdach , un opuscule in-ia, qui renferme des rapprochemens trës- curieux, sw la mortalitë et sur les périodes de la vie humaine. L*auteur , qui est un phisiologiste connu , partage la vie en dix périodes de 400 semaines chacune , et il trouve ainsi Tâge des dents^de lait , celui de Tadolescence , celui de la jeunesse , etc. ; dans la première période , s*en trouve une autre secondaire de 40 semaines^ l*âge de Tallaitement.

— En terminant l'impression de ce numéro de la Correspondance , nous avons reçu de Louvain une réponse de M. Steichen^ à la question sur le contact des sphères ; cette réponse est semblable à celle qui est présentée plus haut , et repose aussi sur la propriété connue des surfaces du second degré , d'être le lieu du centre d'une sphère tangente à deux autres sphères données. Nous regrettons que l'auteur ait également négligé de déterminer le rayon de la sphère tangente.

*- M. Noël , en nous faisant parvenir les deux problèmes suivans, observe qu'on doit les considérer tout simplement comme des problèmes de géométrie numérique. Ces questions 9 nous écrit ce professeur distingué , peuvent exiger quelqu'attention pour la mise en équation et l'élimination des inconnues ; j'ai cru qu'elles ne seraient pas sans intérêt , bien que les problèmes généraux puissent être connus.

QUESTIONS

Deux menuisiers ont à se partager en deux portions équivalentes 9 un prisme triangulaire tronqué d'ébène , dont la plus petite face latérale surpasse la plus grande des deux bases. Ils demandent de quelle manière ils doivent les scier ^ pour que

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aft4 CORBESPOHDAHCE

la Mction qui opérera le partage, soit la plus petite possible. Même problème pour un parallëlipipède tronqué d*ëbène Même problème encore pour un prisme oblique à bases régu lières. Même problème enfin pour un prisme tronqué quelcoo' que (la solution exige évidemment qu'on ait le moyen de tracet le contour de ,1a section minimum ).

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izedbyG.OOgle

Notes extraites cP un voyage scientifique en Allemagne*.. * :

m- ARTICLE.

Duché de Hesse^Cassel ; Francfort,

Cassel , où je me rendis ensuite , fat loin de me présenter le!' même intérêt que les autres villes que je venais de quitter. Je fus plus content de son théâtre et des beautés deWilhemshÔhe , où Ion trouve des jets d*eau et des cascades admirables, 'que des établissèmens scientifiques. Je dois cependant en excepter! la bibliothèque qui est confiée aux soins d'un homme de mérite. L'observatoire qu'on vient d'arranger et de repeindre h. neuf, est un bâtiment de peu d'importaqce pour l'astronomie ; il reïï-*' ferme quelques vieux instrumens en assez mauvais étàt,^tii' sont plutôt propres à satisfaire les curieux qui vont prendre ditf' haut de la terrasse une idée des environs , qu'à faire ded ob-». servations utiles à la science. C'est une grande tour carrée 'bôtie • au milieu de la ville ; la construction qui fut ordonnée en 17^7, ne fut terminée que trois à quatre ans après, cotnme on peut le voir par les lettres adressées à M. Bernouilli ^j^par le» directeur M. Matsko {Annuaire deBode, an. 1580 et 158J). Cet' astronome y parle avec chagrin de l'obstination avee laquelle l'architecte semble avoir contrarié ses vues. Le passage est' assez remarquable pour trouver place ici (*). « Jp doute en-

{*) Ich zweifete aber zur zeit noch sehr, ob es in der vollkommenheit, in welcher ich es zu sehen wiinsche , und dazu ich den vorschlag Hôcnsten ortt eingegeben habe , wird aufgejurht werden. Der Baumeister, der den bau din'girt^ hat das obser^atorium zu Bologna geschen^ und dùffie zich vielleicht ûbei-zeugt halten , das zur auffiihrung eines solchen ge^ bdudes Weiter nichts ^erfordert werde , als eines gesehen zu haben. Ich willjetzt noch das beste hqffkn; allein es hdlt sehr schwer , wi# Ew. ans der erfahrung bekannt sejfn wird , leuten die nù:hts von der* àstro-' nomie verstehen^ begreiflich zu maChen einem astronomen sejr in den. mehrensien fàlUn an eùier sec. so viel gelegen , etc.

Tom FI. i5

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^^l6 CORRESPOIfDAlICft

•core , dit-fl 9 "s'il sera construit avec la perfection que je voudrais lui voir et selon le plan que j'ai soumis au gouvernement. L'architecte qui dirige les travaux , a vu lobservatoire de Bologne, et il s*est . persuadé sans doute que cela suffisait pour construire un semblable édifice. Du reste , je veux espérer encore que les choses tourneront au mieux ; mais il est bien difficile , comme vous deve% en avoir l'expérience , que des gens qui n'entendent rien à l'astronomie y conçoivent que des astronomes attachent tant de prix à une seconde , etc. » D'autres astronomes ont éprouvé des contrariétés semblables ; et particulièrement le célèbre Cassini , dont tout le crédit ne put l'emporter sur celui de Tarchitecte, lors de la construction de l'ol)sery^toire de Paris. Delambre. Hist.de Vastr. mod.^ t. II, p. 692.

Je fis le voyage de Cassel à Francfort avec M. Rolin , jeune docteur de nos compatriotes , que j'avais déjà eu le plaisir de rencontrer à Berlin , où il est pensionnaire de notre gouvernelaent , et oh il reçoit des savans un accueil bien mérité par ses connaissances et sa modestie* Je fis encore à Heidelberg une reiMçsitre semblable d'un jeune docteur en lettres* Les voyages scientifiques accordés comme récompenses , sont de puissans moyens d'encouragement qu'on ne saurait trop louer : les autres gouvernemens en ont aussi reconnu l'utilité et n'ont pas négligé d'en faire usage.

J'avais eu l'espoir , en arrivant à Francfort , de faire la connaissance du célèbre baron De Zach^ dont les travaux nombreux ont été si utiles à l'astronomie ; malheureusement il se trouvait à Paris pour des motifs de santé. M* le baron De Lindenau se disposait également à partir pour Dresde , et je n'eus le plaisir de le voir que pendant quelques instans. J'ai emporté toutefois l'espérance de le revoir à Bruxelles , oh j'eus l'honneur de faire sa connaissance pendant le séjour qu'il fit dans cette ville en 1817, en qualité d'envoyé extraordinaire de la Saxe auprès de notre gouvernement. M. De Lindenau a construit récemment à Francfort , un gnomon pour aider à régler les horloges ; ce service rendu avec autant de zèle que de complaisance , lui sera un nouveau titre à la reconnaissance de cette ville.

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MATHEMATIQUE El' PHYSIQUE. IV]

Parmi les personnes qui se livrent à Francfort à des recherches astronomiques, je ne dois pas omettre de citer le célèbre physiologiste De Sœmmerring , qui s'est beaucoup occupé dans ces derniers temps de Tobservation des taches dusoleii. Ce vénérable vieillard a recueilli depuis plusieurs années , avec une extrême persévérance , toutes les configurations et les phases qu'ont présentées les différentes taches qui ont été vues à la surface du soleil , et il les a consignées dans une série de dessins très-remarquables par leur exécution. Déjà les observations d'une même tache qui s'est reproduite pendant le cours de 1825 et 1826, ont été discutées et calculées par M. le professeur ThilOy dont le mémoire a été publié k l'occasion du 5o« anniversaire de Tobtention du grade de docteur en médecine , par M, De Sœmmerring i^). On y trouve la remarque curieuse et faite , je pense , pour la première fois , que généralement les taches forment sur le disque solaire deux bandes entre lesquelles passe Téqua^eur de cet astre ; ce qui résulte autant des observations de M. De Sœmmerring ^ que de, celles faites antérieurement par Scheiner 9 Schrœter , Hevélius ^ etc. Ainsi , quand on suppose trois bandes également larges , à la surface du soleil , dont celle située dans la partie australe , s^étend du 19" jusqu|au 4* degré, celle du milieu du 4* jusqu'au 1 1« degré boréal , et la troisième bande du 1 !• degré jusqu'au 26* , on compte , d'après Scheiner :

Dans la bande australe 70 h 71 taches ,

— du milieu 8 à g

— boréale ^2 à 43 •

Les instrumens dont se sert M. De Sœmmerring , sont deux lunettes achromatiques de Fraunhofer; Tune de 34 lignes d'ouverture et d'une distance focale de 4^ pouces , à laquelle on adapte un grossissement de 84 fois ; l'autre de 52 lignes d'ouverture et d'une distance focale de 72 pouces, avec un grossissement de 216 ou de 824 fois.

(*) Ce mëmoirc, ëcril en latin , a ëtë publie & Francfort , in-4* , 4828, paï la Uiciéxé des Natiiralûttes de cette ville.

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2^8 COjmLSPOllDAVCE ^

C'est danâ le jardin de M. De Sœmmerring que M. De Humboldt a observé, en 1826 , rinclinaison de laiguille magnétique qu'il a ti*ouvée de 67^5»'. M, De Sœmmerring a bien voulu me permettre obligeamment de faire au même lieu mes observations sur l'intensité magnétique, et me présenter toutes les facilités désirables pour cet objet.

Francfort renferme plusieurs collections publiques pour les beaux arts et les sciences ; on peut; voir aussi un beau cabinet d'instrumens de physique , chez M. Albert , dont le fils est un jeune artiste instruit, et qui exécute avec intelligence les appareils divers qui lui sont demandés. J'ai fait aussi dans la famille de M. le docteur Reiss , jeune savant , actuellement fixe à Bruxelles , la connaissance de plusieurs personnes instruites , parmi lesquelles je citerai M. le docteur Creiznach^ à qui l'on doit quelques ouvrages mathématiques , et entre autres une traduction allemande de la théorie des nombres de Legendre.

Heîdelberg y réunion des Naturalistes allemands.

J'avais pris mes arrange mens de voyage de manière à pouvoir assister à la réunion des naturalistes allemands , qui devait avoir lieu h Heidélberg , à partir du 18 septembre. On avait eu soin de procurer d'avance des logemens aux' savans étrangers qui avaient prévenu le président de leur arrivée ; et des personnes avaient été placées aux portes de la ville , pour leur donner les indications nécessaires , à mesure qu'ils se présentaient. Comme les auberges de Heidélberg n'auraient pas été suffisantes , on avait disposé encore de plusieurs maisons particulières. Grâce à ces soins et à l'obligeance que montrèrent constamment les directeurs de la fête ; tout se passa de la manière la plus satisfaisante.

On avait fait dans l'intérieur du bâtiment de l'université les dispositions nécessaires pour la réunion. On avait aussi senti la nécessité, comme à Berlin , de former indépendamment des séances générales , des assemblées par section , où les savans réunis d'après la nature de leurs études , pouvaieùt plus facile-

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MATlliMATIQVE ET HIYSIQVB. / ^^9

ment faire un échange de leurs idées et descendre à de petits détails particuliers qui auraient été déplacés dans des lectures faites en présence de plusieurs centaines de personnes. Ainsi Ton avait formé des sections pour les sciences médicales , pour la physique et la chimie , pour la géologie , pour la bota* nique , etc. , et chacune de ce^ sections nommait son président particulier.

Pendant la semaine que dura (a réunion , les journées étaient partagées à peu près de la manière suivante : De huit à dix heures du matin , on se réunissait par sections , soit pour faire des lectures de mémoires . soit pour répéter des expériences ou communiquer des faits nouveaux , soit encore pour discuter des points scientifiques qui pouvaient être de quelque importance. On se rendait ensuite h l'assemblée générale , oh avaient lieu des lectures présentant le résumé des recherches dont les détails devaient être renvoyés aux sections. La première séance générale fut ouverte par un discours de M. le professeur Tiedemann^ qui avait été désigné, à Berlin, pour présider la réunion de 1829, en même temps que M. le professeur Gmelin lui avait été adjoint comme secrétaire. Après la séance générale, on s'assemblait, vers une heure , dans la grancfe salle du Musée , pour prendre pai*t à un banquet commun , auquel assistaient aussi les dames. L'après-dînée était ordinairement consacrée h des promenades et à des excursions dans les environs de Heidelberg , soit du côté des jardins de Schwetzingen, soit vers les magnifiques ruines du château de Heidelberg , soit encore le long de la charmante vallée du Nécre, Ces promenades avaient également lieu en commun et sous la direction du président et du secrétaire, qui avaient obligeamment arrangé les choses de manière que les étrangers, tout en prenant part aux travaux de la journée, pussent en même temps visiter ce que présentaient de plus remarquable Heidelberg et ses environs. Leur obligeance , sous ce rapport , avait été dignement secondée par MM. les professeurs Leori' hard, Muncke ^ etc., qui avaient ouvert aux membres delà réunion leurs collections particulières et celles de Tuniversité*

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ïSo C0RB£ffP09DA9CE

€es savànfi , qui semblaient avoir pris à tâche de faire les honneurs de h réunion avec autant d'hos^ntalitë que de délicatesse , s'ëtment partagé les soirées et avaient formé chez eux , indépendamment des réunions du musée, des réunions particulières , où les savans étrangers pouvaient se mettre en rapport de la manière la plu3 agréable. '

Il serait difficile de donner une idée de toutes les communications qui ont été faites pendant les huit jours qu*a duré là réunion , puisque l'on comptait plus de cent lectures faites , soit dans les« assemblées générales , soit dans les sections. S'il m'était permis d'emprunter une comparaison triviale , je dirais que ces sortes de réunions sont comme des bazards > où chacun apporte le produit du travail de l'année et reçoit en échange ce qui a été fait par les autres. Ces communications se font rapidement et d'une manière plus sûre que par les journaux, qui ne renferment . souvent que des détails inexacts et insuffisans. L'auteur est intéressé à exposer clairement ce qu'il a fait et à le mettre sous son -jour le plus favorable. D'ailleurs on a la faculté de l'entretenir , de lui faire des objections et de lever les doutes qu'on pourrait conserver. Je dois ajouter à ceci qu'on n'a pas toujours sous la main les instrumens nécessaires pour répéter dés expériences dont on lit la description , et que dès lors la lecture perd presque tout son avantage. Ainsi j'ai vu plusieurs savans qui , depuis long-temps , avaient été instruits par les journaux des recherches curieuses de M . Robert Brown , sur les mouvemeiis des particules des corps , ne s'en former une idée exracte qu'après les avoir vus s^'effectuer au moyen des instrumens que ce célèbre naturaliste avait eu la complaisance d'apporter dans les sections.

Ces réunions ont encore l'avantage d'assembler sur un même point un grand nombre de savans avec lesquels on peut se mettre en rapport sans se déplacer beaucoup; c'est aussi un point de rapprochement pour ceux qui se connaissent déjà et qui souvent sont agréablement surpris de se retrouver ensemble , sans s'être prévenus d'avance.

, DJgiti

MATaiMATIQVE ST PBTSIQVE. ^il

Daos uiie d«s dernières séances géoëralas , on s'est occupé de fi:ier le lieu de la réunion pour i83o« Les villes qui semblaient présenter le plus de titres étaient Hambourg, Gotha et Breslau. Dans la discussion qui eut lieu à cet égard , on entendit plusieurs orateurs , et entre autres MM. Lichtenstein^ Oken , Friche^ etc. La majorité des voix s*est l'éunie sur Hambourg; on a en même temps désigné pour président le bourgmestre de cette ville , en lui adjoignant , en qualité de secrétaire , M. le docteur Friche* On a aussi soulevé la question de savoir s'il convenait que la réunion s'étendît à toutes les parties de l'Europe , ou si elle devait demeurer spécialement attachée à l'Allemagne. La question, a été décidée afEurmatiVement dans ce dernier sens, et avec raison, je pense. L'amour" propre national tend maintenant à lui donner le plus de solidité et d'éclat possible ; on ne repousse pas les étrangers » oq les admet ai;i contraire , et avec les mêmes égards , les mêmes avantages que les autres membres ; mais on ne veut pas que le lieu de la réunion puisse varier dans des limites aussi larges que l'Europe. D'ailleurs , la multiplicité des langues , . sans parler de l'indiSérence qui naîtrait d'une pareille extensioa, détruirait bientôt son unité, qui est la condition de ^on existence. Rien n'empêche que les différens pays aient leui^ réunions particulières ; celle de l'Allemagne même a été faite d'après l'exemple de ce qui se pratique en Suisse. Il serait utile cependant que de pareilles réunions , si elles venaient à se former , pussent se mettre en rapport et communiquer ensemble.

Heidelberg , qui s appuie vers le midi contre la montagne le KœrUgstuhl^ dont la hauteur est de plus de 1600 pieds , et qui , vers le nord , est masquée par le Heiligberg , dont la hauteur n'est guère moindre , était peu propre à recevoir la construction d'un observatoire^ Aussi l'on n'y trouvé que ce qu'exigent les leçons de l'université. M. le professeur Manche possède cependant quelques belles lunettes ; cet habile professeur a aussi dans son cabinet de physique plusieurs instrumens remarquables ; il a eu la complaisance de me montrer égale-

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expériences J On sait quel ai paraît acba

l3^ COBRCSPOBJhlirCC

•ment' ceux avec lesquels il vient de faire ses exp la densité de l'eau à différentes température?. On

-nouvelle édition du Dictionnaire de Gehler^ qui paraît a lement à Leipsig et qui présente des augmentations considàj blés , se fait par les soins de MM. Manche , Gmelin , Hom Brandès de Leipsig , etc. I

Pendant mon séjour à Heidelberg , j'ai eu le plaisir de 6^ la connaissance de M. Horner^ voyageur aussi savant ([i

• modeste. Je ne dois pas oublier non plus M. Rappel^ deFd

- fort , dont les voyages en Egypte ont enrichi les sciencesi • Je dois h Tobligeance de M. le conseiller Rau , professe! d^conomie politique à Heidelberg , d*avoir été introduit cb M. Malchus ^ ancien ministre des finances en Bavière,!]

-s'est fait un nom distingué par ses recherches statistiquei mais dont les ouvrages sont malheureusement encore p connus en France et dans les Pays-Bas.

Les savans de notre pays qui assistaient à la réuDion étale MM. Fremery , Schrœder Van der Kolk et Sébastian dl trecht , ainsi que M. Fohmann^ gendre du célèbre Tiedm et professeur d'anatomie à l'université de Liège.

Il est remarquable que la France, si voisine du lieu de réunion , y ait envoyé si peu de savans ; car , à lexception ceux venus de Strasbourg , que Ton peut plutôt considéi comme appartenant à la nation allemande, M. le baron Bel russac était le seul représentant de ce royaume , du rooio quant à la partie continentale , car les colonies avaient ao leur .représentant dans M. Le Chevalier , de la Martiniqi M« De Férussac avait eu particulièrement en vue de como niquer à la réunion le nouveau plan du Bulletin Univen entreprise colossale qu'il soutient avec la plus louable pei vérance , et dont il désirait consolider encore l'existence pai participation active des savans étrangers. Une commission i ciale fut nommée pour cet objet , et les discussions qui eui lieu à cette occasiou , déposent en faveur de l'utilité de l'en prise du Bulletin UniverseL "*

L'Angleterre de son côté , avait pour représentans M, Rc^

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MATHÉMATIQUE 1£T PHYSIQUE. a33

Brown et quatre autres savaos , parmi lesquels je fus charme de retrouver M. le professeur PF^heewell ^ dont j'avais eu l'honneur de faire deux ans auparavant la connaissance à Tuniversitë de Cambridge* La conversation spirituelle et les connaissances aussi solides que variées de cet habile professeur , ont beaucoup ajouté à Tagrëment de mon séjour h. Heidelberg. Il eut la complaisance de me communiquer alors une observation très -curieuse sur les bandes colorées produites par des miroirs plans, que je m'occupai d'étudier avec lui et avec M. Coddington, son collègue, à Cambridge , qui vient de publier le premier volume d'un traité élémentaire d'optique , dans lequel on trouve des recherchés fort intéressantes.

Dans une séance de la section de physique , il fut aussi question de la théorie des couleurs , à propos d'expériences de M. le professeur Roux , dont les idées sur cet objet se rapprochent beaucoup de celles du célèbre Goethe, On sait que ces idées n'ont pas été généralement accueillies d'une manière favorable.; j'ai encore trop peu approfondi lès écrits de l'illustre vieillard de Weimar , pour oser me prononcer à cet égard ; mais j'ai recueilli avec intérêt les expériences que j'ai vu produire des deux parts , abstraction faite de toute considération de théorie. Les recherches de M. Roux ont paru à Heidelberg , en trois livraisons successives, sous le titre : Die Farhen,

Mes expériences sur l'intensité magnétique ne furent point négligées à Heidelberg. Je me trouvai heureusement logé dans le voisinage de MM. Doehereiner et Brandes , de Salzu£fel , et dans une partie de la maison habitée par M. le professeur Geiger ^ qui voulut bien me permettre de faire mes observations dans son jardin; je les fis à plusieurs reprises, et j'eus la curiosité de les répéter encore au point le plus élevé du Koenigstuhl. Les mauvais temps ne me permirent malheureusement pas d'aller faire une seconde série d'expériences sur ce point élevé , pour vérifier si la différence très-petite à la vérité , que j'^avais trouvée entre le sommet et le pied de la montagne , ne provenait pas de l'observation même.

Peu d'étudians restaient à Heidelberg au moment oii corn-

334 GORRESrOUDAUCC

mença la rëunion. U est pénible de dire qu'on ne rencontre guère de groupes de ces jeunes gens , sans en trouver quelquesuns dont ta figure ne soit couverte de cicatriceé ; il en est même qui sont mutiles d'une manière déplorable. Presque chaque ^ur voit une querelle ; et chaque querelle e^t suivie d'un duel. Les combattans sont ordinairement enveloppés de coussins et de mouchoirs , de manière à se garantir le cou , les bras, le cœur. Peu de parties sont exposées aux, coups des adversaires , et il semble que la figure soit exposée de préférence pour que les blesÀlires soient plus visibles : leur nombre même semble être un titre de considération. Cet usage barbare n'existe pas à Heidelberg seulement , on le retrouve dans la plupart des universités de l'Allemagne.

Je fus un des derniers à quitter Heidelberg. Je me dirigeai alors par Swetzingen vers Mamiheim , où je comptais visiter l'observatoire et le directeur M. Nicolaï^ que j'avais eu le plaisir de voir , à la dernière réunion des naturalistes , la veille de mon départ : j'ai regretté que le temps ne me permît pas de visiter enraiement à Spire M. le professeur Sch^verd ^ qui avait eu l'obligeance de m'inviter à voir son observatoire , et qui avait quitté Heidelberg , immédiatement après la première réunion générale.

Obsersfatoire de Mannhéim , Bonn ; conclusiçn.

L'observatoire de Mannhéim dont les fondemens furent jetés en 1772 , ressemble sous plusieurs rapports à l'observatoire de Berlin. Cet édifice présente., sans y comprendi*e le rez-dechaussée, quatre étages sur une hauteiir de t 1 1 pieds : sa forme est carrée , et ses faces soat dirigées vers les quatre points cardinaux. U est situé à l'ouest de la ville , dans une partie des jardins qui entourent le palais. Les murs , surtout ceux des fondemens , sont d'une épaisseur considérable. La face principale est tournée à l'ouest, et l'escalier est pratiqué dans une cage elliptique de 11 Va pieds de largeur, qui le lie à la face orientale.

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matuématiqxjë et physique. a35

Le rez-de-chaussde n'est à proprement parler qu*un grand vestibule, d'où l'on passe au premier étage, espèce d'entre-sol, destina à servir d'habitation a l'astronome» Cependant ce local est très-resserré , et M. Nicola'i a été forcé de se loger avec sa famille dans l'intérieur de là ville. La salle d'observation pour les grands instrumens se trouve au second étage. C'est là qu'est placée la lunette méridienne avec sa pendule , ainsi qu'un grand quart de cercle mural. Au-dessus de la grande entrée vers l'ouest , est un balcon 4*une assez grande dimension pour y permettre le placement d'instrumens mobiles ; il se trouve encore de petits balcons destinés au même ysage sur les deux façades dirigées vers le sud et le nord. On trouve également trois balcons au troisième étage , qui renferme la bibliothèque avec quelques cabinets , ainsi qu'au quatrième et dernier étage ', qui est une seconde salle d'observation. Au milieu de la plate forme qui est entourée d'une balustrade , s'élève un petit pavillon avec un toit mobile pour observer à l'horizon. Le dessin , pi. IV, pourra donner une idée de l'observatoire ; il est extrait d'un ouvrage publié sur cet édifice en 1811, par M. Kluber : Die fiternwarte zu Mannheim , etc. , in-fol. , 6^2 pages.

La construction .de l'observatoire de Mannheim a coûté ^0,000 florins (iSofil^i francs). Dès Tannée 1775 , on put placer le grand quart de cercle de Sird; mais l'instrument des passages deRamsden ne fut achevé que long-temps après. On sentit alors (en 178g) la nécessité d'ajouter une nouvelle construction à la partie/occidentale de l'observatoire, pour le placement des deux grands instrumens dont je viens de parler. On avait établi en 18 10, vers le nord, un obélisque pour servir de mire h l'instrument des passages ; plus tard on établit vers le sud une seconde mire , destinée au même usage. Le quart de cercle de Bird a H pouces anglais de rayon , et le limbe porte , comme les autres instrumens du même artiste , la double division len I90 et en g6 parties. L'objectif de la lunette est achromatique et comporte un grossissement de 8^ fois. La lunette méridienne est de six pieds de longueur , et elle a trois oculaires , qui grossissent 90 , i3oet 200 fois. L'instrument est muni de contrepoids,

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l36 CORRESPOlIDJkVCE

et les piliers qui le portent n*ont aucune liaison avec le plancher et les murs extérieurs.

Indépendamment des deux instrumens dont je viens de parler, Tobservatoire de Mannheim possédait en i8i i> au moment ob M. Kliibcr en publiait la description , les instrumens suivans :

Un secteur zénital de Sisson , de 9 pieds de rayon ; on ne fait plus usage de cet instrument ;

Un cercle multiplicateur de Reichenhach de 3 pouces de diamètre ;

Trois pendules astronomiques par Le Faute de Paris, et /. Arnold et C, Norton de Londres ;

Une lunette achromatique de 6 pieds, par -DoZ/omf fils, avec une ouverture de 4 pouces et des oculaires grossissant 100 et 160 fois;

Un héliomëtre de 7 pieds , par Dollond fils ; l'objectif achromatique qui est séparé par le milieu , a trois pouces de diamètre ;

Une autre lunette achromatique de Do/Zo/zé/ père, ayant une ouverture de 3 '/> pouces , et comportant des grossissemens de 80 et 1 5o fois ;

Quelques télescopes et lunettes non achromatiques ;

Un quart de cercle mobile par Canwet^ et un autre de Sisson;

Deux sextans de 1 1 et 9 pouces par Troughton et par Dollond père , avec un horizon artificiel ;

Un théodolite de Ramsden de 9 pouces de diamètre ;

Un niveau à bulle d'air de 3 pieds par Ramsden , et plusieurs instrumens tels que baromètre, thermomètre , cadrans solaires, globes planétaires > etc.

On a depuis augmenté cette collection :

r« D'un cercle répétiteur de Reichenhach , semblable à celui de Paris ;

2<> D'une lunette achromatique de Fraunhqfer , de 4^ lignes d'ouverture et de la valeur de 35o florins ;

3» D'un chercheur de comètes construit à Munich.

M, Nicolaï estime que la longitude de son observatoire est

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MATUK.MATIQITE KT PHYSIQUE. 2^7

de a4' 3o",o en temps , à l'est de Paris, et que la latitude est de 4g* 29' 12'', 9. Cet habile astronome conseille de former les supports de la lunette méridienne d'une seule pierre partagée symétriquement en deux parties qu'on éloigne ensuite parallèlement au plan de division. M. Scherwd a placé, à 1 observatoire de Spire, sa lunette méridienne, en faisant usage de ces précautions , et il a eu sujet de s'en louer.

Christian Mayer^ qui avait observé précédemment à Schwet^ zingen , fut le premier directeur de l'observatoire de Mannheim; il avait pour aide /. Metzger ^ qui mourut en 1780. Lui-même succomba en 1^83 et eut pour successeurs, Ch. Kœnig^ de 1784 à 1786, et /• N, Fischer de 1786 à 1787. P. Ungeschick mourut ensuite avant d'avoir pu .s'installer à l'observatoire. A ces astronomes succéda, en 1788, Roger Barry qui, pendant les guerres qui accompagnèrent et suivirent la révolution française , se vit contraint de suspendre ses observations. Il fut rétabli dans son traitement d'astronome au mois d'avril i8o4; mais , comme l'observe M. Kliiber , on laissa à sa charge l'éclairage, le chauffage, la correspondance, et d'autres dépenses qui se font ordinairement aux frais des gouvernemens de qui dépendent les observatoires. L'astronome s'en plaignit amèrement , et l'on finit par rendre sa condition meilleure. L'observatoire de Mannheim a depuis été dirigé par M. le professeur Schumacher qui , en se rendant à Altona , eut pour successeur M. Nicola'i y le directeur actuel.

Quoique j'aie fait le reste de mon voyage par une des parties les plus pittoresques de l'Allemagne , cependant j'aurai peu de chose à ajouter à ce qui précède. Les bords du Rhin sont plus remarquables aux yeux du peintre et du naturaliste qu'à ceux de l'astronome. En m 'embarquant à Mayence sur le bateau à vapeur , j'eus le plaisir d'y revoir encore plusieurs savans qui avaient assisté à la réunion deHeidelberg, et de me retrouver dans la société de MM. Tiedemann^ Fohmann, Tresfîrarius , Friedlander , etc. ; MM. Studer de Berne et Kâmtz de Halle, nous quittèrent près de Bingèn ; l'un pour faire des re-

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238 COHUES roNDA» CE

cherches géologiques et rautre pour s'occuper d'observations

h jgromëtriques .

Je m'arrêtai peu de temps à Bonn : j'y yisitaî runiverstfé et le cabinet de physique dont M. Le professeur Munchow eut l'obligeance de me montrer les dififërens instrumens. Je yîs avec intérêt quelques appareils qui ont été construits d'après les idées de ce savant ; je dois citer en particulier ceux qui concernent la recomposition de la lumière blanche par la réunion des rayons élémentaires. L'un de ces appareils m'a para trës-ingénieux. Un prisme est fixé dans la chambre obscure de manière à projeter horizontalement un spectre coloré sur un tableau disposé pour le, recevoir : le prisme reçoit alors un mouvement oscillatoire autour d'un axe vertical , au moyen de rouages mis en mouvement par des poids qui descendent par l'action de la gravité. L'amplitude des oscillations n'étant que d'une vingtaine de degrés , le spectre se déplace avec rapidité dans le sens horizontal, et revient assez vite pour que Timpression produite sur la rétine dure encore quand une seconde impression succède à une première. On voit alors une bande blanche horizontale dont les deux extrémités sont limitées par les deux moitiés du spectre coloré. La bande blanche , comme on le conçoit, est formée par la succession des différentes couleurs du spectre qui repassent rapidement sur le même point, et qui produisent sur l'œil des impressions dont l'ensemble répond au blanc.

J'ai' regretté de ne pas avoir vu M. le docteur Pliicker, qui était absent lors de mon passage; j'ai regretté aussi que le peu d'instans que je suis resté à Popelsdorf pour y faire des expériences sur l'intensité magnétique , ne m'ait pas permis de visiter M. le professeur Bisschof qui habite le bel établissement scientifique qu'on a formé dans ce lieu.

Je suis rentré h Bruxelles , en passant par Cologne , Aix - la- Chapelle et Maestricht. . Mon absence a été de cent jours environ. Ce court espace de temps est insuffisant , sans doute . pour apprendre à connaître un pays tel que rAlIemagne ; cependant tout ce que j'ai vu est propre à donner l'idée la plus

MATltiMATlQtTE KT niYSIQXJE. aSg

avorable de la manière dont on y cultive les sciences math^ aatiques et physiques , et Tastronomie en particulier. Les as* roDomes y sont gënëralemenf géomètres , et quelques - uns ont des géomètres du premier mérite. Je dois ajouter à ceci u'il existe entre eux la plus noble émulation ; et que cette mulation dont la science retire les plus grands avantages , est n général dignement secondée par les gouvernemens.

tanière déformer une pile rectangulaire at^ec un nombre donne' de boulets ou dans un espace limité ^ en employant le plus de boulets possible y par M. Roche, professeur de mathématiques , de physique et de chimie , à l'École d'Artillerie de la Marine , à Toulon.

PREMIEB PBOBLÈME.

h)uuer les côtés de la plus grande pile rectangulaire que l'on puisse former ax^ec un nombre donné de boulets.

Désignons par N le nombre donné de boulets , par P le nom- 'e de ces boulets qui entrent dans la formation d'une pile ctangulaire , et qui sera nécessairement moindre que N ; dé- ;nons par n le petit côté , par m le^^and côté de la pile , nous u*ons par la formule connue

cette équation, nous tirons la valeur de m qui est 6P ^- «3 — »

sas ■ ■ •

après la nature de cette pile , m doit être plus grand que n ,

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a4o GOBRESPOHDAirCB

du in — n doit «Ire positif. Or , on trouve

3/1* -♦- on •

le dénominateur de cette valeur étant positif, le nuroârateor doit l'être , c'est-à-dire que m^ •¥■ 3/t* -4- n doit être plus petit que 6P , donc

/jî -f. - n* -• — n <3 P ,

et à plus forte raison

/i<|/3P et /i<K3N

puisque N est plus grand que P ; on a donc , en prenant pour n la racine cubique de 3N à une unité près , ou cette racine diminuée d'une unité , la plus grande pile quadranguléire que l'on puisse former avec un nombre déterminé de boulets; car si le nombre N de boulets pouvait se former exactement cd une pile carrée , n serait donné par l'équation

et l'on trouverait n , en cherchant ses racines commeasurables; la condition ci-dessus résulterait également de la valeur de l'aréte supérieure m -— n + i ; car on a

m — n-t- ISS — —- ;

d'ob l'on déduit /i' <3P— /i, et h plus forte raison n} <3P et n} <3N. Cette condition se rapporte spécialement à la pik rectangulaire , et peut c:onvenir comme la première à la pïk carrée ; c'est pourquoi, si l'on représente par n la racine cubiqW de 3N à une unité près , d'après la première condition la «pia»

MATHiMATlQVB ET PHYSIQUE. a4'

titë 3P — »* , et, à plus forte raison, le rcstei 3N ^ n} doit être plas grand que

et , d'après la seconde > on aurait le même reste 3N — n'>ii ; donc , lorsque le premier reste sera plus petit que

il faudra diminuer n d'une unitë pour avoir une pile carrëe , et lorsqu'il sera plus petit que n également , ce qui est une limite plus rapprochée; mais si l'on diminue encore cette valeur d'une ou de plusieurs unités , ou pourra alors former une pile rectangulaire qui contiendra plus de boulets.que la pile carrée; soit en effet m le grand côté de cette pile , n le petit côté , la valeur de la pile sera

donc on aura le facteur

aP

/^ w— I V aP ~V 3 J'^n^-^-n'

en divisant le nombre de boulets donnés If dont P est la valeur approchée , par le nombre de boulets de la face triangulaire

n ou •

désignant ce quotient par g , on aura l'équation

jn-i) Tome FI. i6

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afs C»*lte9POtlt>AHGE

dVyh ron déduit

et Ton prendra pour m le nombre entier immédiatement au deisotts de cette velmur.

Exemple :

Soit proposé de chercher la plus grande pile oblongue que Ton peut faire avec goo boulets. La racine approchée de 3N «sa 2700 est i3f qui répond à la pile carrée; faisant successivement it'=s n, aara 1 1 , uous aurons les résultats suivans :

ift tt: f 3 , m est x3 , P oss 819 1

' n 9s it , m taa t6 9 t ss 636.

On voit par cet exemple que la valeur de la pile maximum est de 884 boulets , formant une pile rectangulaire , dont le côté est I a et le grand côté 16; cependant la valeur n = 1 1 , donne avec mass 16, une valeur inférieure moins approchée; mais si Ton &isait m sBs 17 , on aurait alors une face de plus de 66 boulets dans la pile qui serait de 902 boulets, et présenterait a boulets en excès.

SECOVD PBOBLÈhE.

Étant donné un espace triangulaire ou trapézoïdal^ y inacnrt une pile rectangulaire qui contienne le phu de boulets pos" sible.

Supposons d*abord que Tespace donné soit représenté par un triangle tel que ABC, fig. i et 3 ; désignons par b sa base AG, par h sa hauteur BD , et supposons inscrit à ce trlasigle , un rectangle EFGH , il s*agit de déterminer quels seront les côtés de ce rectangle qui , évalués en diamètres de boulets , donneront la plus forte pile rectangulaire » en ayant égard encore à l'ex-

Digiti

MATHÉMATIQUE ET PUT5IQ17E. ^fS

cèdent que la surface du boulet qui occuperait re«to*ëHÛté d'un des côtés EG ou FH , pourrait donner hors du triangle. Pour cela, au lieu du triangle propose, il faut en concevoir un autre intérieur et semblable, formé par des parallèles menées aux côtés du pi7«mijBc« éloignées de caiiKoci d'une distance iégale au demi-calibre du boulet , et augmenter ensuite d'une unité leê nombres trouvés pour lies côtés £F, adj^cens à la base que nous désignerons par ar, et les eètés EG ou FH perpendiculaires à cette base, et que nous désignerons par^; pour ne pas compliquer les .cftlouls., notufi suf^posemons que les triantes ABC doDoés,, représentent non pas les tri«D^e6 pcimit^fs^ mais iks triangles s^iWfkdwes que Ton déduira faciLemeut de cenHci , puisfua Je^ iCèiés de cefi triangles seront à cenac des tri«[D|^ primitifs , comme les rayons des cercles inscrits à ces triangles diminués du rayon du boulet sont & ces mêmes rayons ^ qui , comme on sait, «ont égaux aux surfaces des triangles , divisées par leurs périmètre^. Il faut d'abord exprimer la relation qui exi^e entre xetjr, d'après la nature du triangle ; elle est donnée immédiatement par la similitude du petit triaqgle supériei|r BGH avec le triangle total ABC; en comparant les hauteurs h-^y et A , et les bases xetb par la proportion A— ^ ihllxlb, d'oîi résulte

Si l'espace donné est un trapèze Aa , B> (Jig. 3), 6« peut le supposer composé d'un triangle ABÇ^ plus d'un parallélogramme BCab] et le rectangle inscrit EQ/*/*, se composera aussi du rectangle EFGH, inscrit au triangle plus du rectongle FH/j& de même hauteur , et dont la base est égale à la base supérieure du trapèze que je désigne par c, de sorte que la valeur de x ou de Qh , sera la même que celle trouvée pour le trianjgle plqs cet l'on aura

Digiti

^44 CORRESPOVBAIICE

et Ton en tirera

si Ton désigne par B , la plus grande base ka , exprimée pu & H- c , on aura

"Bh — by Bh — bx

Dans ces diverses figures, si la base est plus grande que h hauteur > il conviendra de placer le petit côté de la pile dam le sens de cette dernière ; ou , ce qui révient au même , de faiit n ssjr -^ 1 9 dans la formule des piles rectangulaires qoi eil

xl:=:ll '-rz ■ =s —.—.i— — — —

et de faire msrsar-i- i ; au contraire, si la hauteur est pi» grande que la base, on fera i»a=s x*t- i et m ssy -«- i ; ( dernier cas de la fig. i , on a j^ > jr ou

d'ob l'on tire

Dans le cas de la fig. a , ' d'ob l'on tire

Dans les cas analogues du trapèze fig. 3 , on aura ^ BA BA

Digiti

MATILÈMATIQUE ET PHYSIQUE. ^45

Voua supposerons également pour le trapèze , que Ton consi* dère le trapèze intënieur au trapèze donne , forme par des pa* rallèles h ses côtes , distantes du demi-calibre du boulet.

Pour &ire l'application de ces valeurs , on substituera pour jr sa valeur en jc, ou pour x sa valeur enj^, selbif que xoxiy représenteront le petit côté de la pile diminué d'une unité , de sorte que si l'on représente par x' et y les vrais côtés de la pile exprimés comme / et or en calibres du boulet , il faudra mettre dans nos valeurs pour x, j/— ï et pour j^,j^' — ^i , et l'on déduira pour le triangle'

et pour le trapèze

^ b^h^m — bx , b-^h-^m-^by y —3 et*'

Exemple du premier cas.

Supposons (fig. i), la base AC du triangle intérieur ftssS, sa bauteur B^/sAss i9, ces lignes étant exprimées en calibres de boulets, nous aurons

ou a: < — r- ou jc < 5 -^.

ao i3

Si donc nous essayons les diverses valeurs de x depuis xesaS, en descendant et déterminant^ par l'équation

et calculant ensuite la pile oblongue, dont^ -H i est le grand côté et :r ss I le petit côté , par la formule connue , nous aurons

Digiti

346 COARE»Dl#DAyce

les résukiits' avivas», m et n éësigtiatif fMjonts lè grand et le petit oftttf de kvpile , et N le nombre de boulet» qu'elle comprend.

^ 3» 9, ^ ac= 6, n =3^ 6^ m s 79 N s=â9 lira.

j; «s 4^ ^ «3 ^ ^ as 5, /»■ aa lO, N e*= ïSo.

L'on voit facilement à l'inspection de ee» valeurs ^ qu'il y a pour X une valeur <}ui est inférieure à sa limité 5 , et qm répond au maximum de la pile (|lû se trouve aussi être une pile rectangulaire de 5 sur lo , contenant i3o boulets.

Exemple du second éas.

Supposons la base AC ses & = a4 9 la hauteur BD = ^ =6 (fig, 2) , nous aurons

bh 144 A

essayant donc pour y diverses valeurs, depuis j^ = 4 > en descendant et déterminant x par Féquation

nous aurons les résultats suivans :

^ sss 4, :ie :t«s 3> n 3c 5, m on 9, N xsr n5^

^ = 3, a: = la, n = 4' ''^ = '^9 ^ ^=== '^^ »

^ 39 s^ âr = 16^ n =^ 3, m =1= 17, N = 98.

Valeurs d'après lesquelles on voit facilement que la valeur de.jr^ qui répottdati maximum de la pile, n^est infârieare qw d'inné unièéà aft>liimtci 4? qui se trouve ainsi expriiBcr le petit côté de la pile.

1IUTIliE]kL.\TIQVK ET PHYSIQUE. 94?

Exemple du troisième cas*

SupposQQf la grande base du trapèze (^* 3) , A47 ss B ss 30 calibres , la petite base Bi = i5 ou la différeuce , base du triangle « c'est-à-dire , ACaa&s 5 et la hauteur AD «?:& s 7, ce qui répondra au premier ca^ des triangles , nous aurons

^ Bh i4o a

*<7 r ou x< ou a?<ii -,

essayant donc les valeurs de x depuis 1 1 et au-dessous , nous aurons les résultats suivans ,^ étant donné par la formule

y^ ^.— «^(ao~^>,

X ±= II, >* se ta, « «H6 il, m se |3, N :aï 6q&

X =is lOf y isst t^^ n s»» it, rrt =B i5, N ^'j'Jù

. ^ ^ ,5^ /» «« 10, m ates |(J, N at yt5.

10, ^ ssai 14, /l =«• It, m SB 15, JN «te 97Ô g, y ss l5, /» tt« 10, m ates iS, N ctt yt5.

Valeurs d'aprës lesquelles on voit facilement , cMnine dans les exemples précédens , que la valeur qui donne la pile maxi^ mum^ répond à une valeur.de x inférieure d'une unité à sa limite, ou à une valeur du petit côté de la pile égale à cette limite.

Si Ton eut pris des valeurs de :r et de ^ . inférieures à leurs limites dans ces divers exemples , on conçoit aisément que Ton aurait obtenu des. résultats inférieurs.

On pei»t miéme xiémontrer directemeat que , d^ns ces divers cas 9 il existe -des valeurs de «a? et de jk <|ui donnent 4es valeurs maxinmin de la pile , et faire voir que les résultats obtenus par cetfe considération s'accordent avec ceut que nom venons de trouver très-simplement. En effet 9 si nous substituons aux petites côtés m et n de la pile , leurs valeurs exprimées par j: -4- I ou ^ -4- I , il faudra substituer pour a? ou ^ leurs valeurs que nous avons trouvées , qui expriment l'une de ces

Digiti

inconnues par Tautre 9 ou , si l'on veut , les côtes de la pfle j: -♦- I = x% ou y -♦- 1 = j^, l'un par l'antre , ou pour plus de simplicité et d'uniformité, on exprimera tout au moyen du petit côté de la pile qui , dans un cas , sera » + i , et dans l'autre y -♦- 1 , de sorte que le nombre N de boulets qui est exprimé par

(n 4- 1) (3m — n -♦- i) (3m -4- i) /t -t- 3mn* — ti' ,__ ou par g-

se trouvera représenté par une expression de la forme

et que Ton aura l'équation — ^An' -♦- B/i* -4- C/i=6N. Or, pour déterminer la valeur de n qui rend N ou 6N un majcimum ou un minimum^ il faut égaler, à zéro le polynôme dérivé de — An' •H Bn* -+• Cn qui serait le coefiicient de la première puissance de l'accroissement/ de h , lorsque. /i deviendrait A+i; cette valeur de h qui en résulterait dans le cas qui bous occupe, et qui provient de Téquation 3An' — aBn = G serait

B d= |/B" 4. SAC '^ = 3Â '

rendrait négatif le coefficient de la seconde puissance de l'accroissement qui serait ^— 3Àn -f- B et , conséquemment , répondrait à un maximum. Nous pouvons , en prenant un exemple particulier oti les dimensions d'un espace triangulaire seront données en pieds , faire l'application de cette méthode et la comparer à la précédente.

Quatrième exemple.

Supposons que Ton veuille chercher quelle est la plus grande

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MATlLÈttlATIQlTK ET PHYSIQUE. ^49

pile rectangulaire de boulets de 36 que l'on peut inscrire dans un triangle , pour" lequel le triangle intérieur dont les côtés seraient distans de ceux du premier d'un demi-calibre de 36 , aurait 3o pieds de hauteur et ao pieds de base , je cherche d'abord combien ces dimensions contiennent de calibres de 36 « qui est 6 pouces 3 lignes ou 7 5 lignes, ou i- ou ^ de pied, on trouve 67,6 calibres pour la hauteur , et 38,4 po'^r ^^ base» J'exprime ces dimensions avec leurs fractions décimales , au moins jusqu'aux dixièmes , parce que , comme dans les quotiens qui déterminent les côtés de la pile inscrite , on doit se borner aux nombres entiers ; en négligeant les fractions dans les dimensions premières , on pourrait commettre l'erreur d'un boulet dans les côtés de la pile : on emploie donc la formule démontrée

qui devient dans ce cas

et comme c'est dans ce cas^-*-i qui est le grand côte m, et a: -M qui est le petit côte n de la pile, on a j'œ m r— i et x = n 1, et substituant ces valeurs , on trouve

et

Substituant cette valeur de m dans l'expression de la pile

— «3 -4- 3m7i' -fr (3m -f- i) n

on a

Digiti

aSo CX>Bll£SP(mDA]rCK

comparât cette expression à la formule

on a A s= 0,55, B = i8,o3 , C=: i8,58 4ajais rexpression de la valeur de

B -f- y'B' ^ 3AC

Oo verra; facUem/çnt^ue Jia valeur de f^ ^at moyenne entre

aB

aBi-,

et

qu'eUe

s'approche

plus

de

aB + I 3A

et

encore

plus de

aB + -A

On verra donca t'^émeaty sms m^e se donner la peine d'effectuer l'extraction de la racine du radfcal^que /is= 2a en nombre entier. En suivant la méthode indiquée ci -dessus , on trouverait

-^ <, r ou *<a3,04

en mettant pour ^ et ^ leurs valeurs; substituant donc les valeurs de JC a compter de a3 en descendant, on aura les résultats suivans , y étant donné par l'équation (i) qui se réduit à

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MATniMATIQtTE Et VttYSIQUE. l5l

j: = tiii, ^ ar= a6, w =» 27, » =s 23, N «== 5o6o.

Nous;, voyons par ce tableau que le maximum répond à nt=s 22 ,. comme nous Tavons trouvé par la méthode des maximum

Si les valeurs de N» à partir de x =3:21, ne paraissent pas décroissantes , c'es* que dans la valeur y = 24 qui répond à :r ==s 231 > Qn a négligé la fraction o^ \ mais les résultats sont toujours au-dessous de 5o6o.

Dans, cet exemple , j*ai considéré immédiatement pour plus de simplicité le triangle intérieur , cependant il est bon d'indiquer comment on peut le calculer assez simplement en connaissant les dimensions du triangle principal. Dans celui-ci, il ne suffirait plus de connaître la base et la hauteur , les angles à la base étant aigus , il faudrait connaître encore Tinclinaison des côtés, ou , ce qui revient au même, les trois côtés; on calculerait alors le rayon du cercle inscrit au triangle, et la hauteur de ce triangle par les formules

Dans lesquelles a^b^c désignent les trois côtés , b étant celui de la base , p la demi-somme des côtés , h la hauteur et r le rayon du cercle inscrit.

On déterminerait alors les côtés du triangle intérieur opposés waot cotés aj h^Cy en multipliant les côtés respectifs par le rapport du rayon da cercle inscrit à ce rayon diminué du demii^ftlibre du boulet. On déterminerait de méiïie la hauteur du triangle extérieur; il suffirait , pour le cakii) » de déterminer la noovdlrle base et la nouvelle hauteur que Ton évaluerait en calibres de boulets, en prenant les valeurs, pour plus d'exactitude t approchées juaqu^auz dixièmes ei même )usqu*aux centièmes , et Ton opérerait comme dans le cas précédent. Si l'espace

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a52 cûarespohdauge

donne était un trapèze , le calcul serait encore le même ; car le trapèze intérieur se composerait du triangle intérieur à celui . formé sur la différence des deux bases et d'un parallélogramme ayant même base supérieure que le trapèze primitif.

Pour compléter la théorie que je viens d'exposer, il faut encore, un triangle étant donné avec ses trois côtés, déterminer sur lequel de ces trois côtés pris pour base, on inscrirait la plus grande pile; il est à peu près évident que l'on ne peut établir de règle positive à ce sujet , et qu'il faudra détermiaer les trois piles maximum formées sur les trois côtés pris pour base , pour déterminer la plus grande. Mais si l'on se proposait de déterminer quelle doit être la base et la hauteur du trian* gle d'une surface donnée oh l'on peut inscrire la plus grande pile , on la déterminerait de la même manière qu'on l'a fait pour les côtés ar et ^ du rectangle inscrit , ou les côtés * + 1 et ^ -H I de la pile inscrite P ; car la base et la hauteur cpii entrent dans l'expression

de Jc en j^ , ou

hih-^x)

de ^ en x , étant liées entre elles par la relation 2 ftA = S , S étant la surface du triangle , on chercherait la valeur de h en ^ et de & en S , qui donnerait le maximum de la pile maximum.

Cinquième exemple.

Sur quel côté pourrait-on inscrire la plus grande pile dans un triangle dont le triangle intérieur, distant d'un demi-calibre de 36, aurait pour côtés -des lignes comprenant 18 calibres, 3a calibres et 24 calibres.

Ce triangle serait rectangle, puisque ses côtés sont dans le rapport des nombres 3, 4 et 5 , les bases 18 , 24 et 3o répondraient donc aux hauteurs 24 , 18 et i44 > po"r 1» pile maxïmwn

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MATHÉMATIQUE BT PHYSIQUE* ^53

relative à la base 18 moindre que sa hauteur. Je prendrai pour limite

bh 18X24 a

»<— -^ ou a:< — =10-,

en déterminant y par la formule

et f obtiendrais pour les valeurs a:=sBio, 9, 8, les résultats suivans :

j: s 10, y = 10, n = II,./» = II, N Bsa 5o6

X css: 9, y :^ 12, ft =: 10, m s= |3, N sas 55o

X B= 8, ^ = i3, /i := 9, m K i4) N =B 5io,

qui nous montrent que la pile rectangulaire maximum , a pour base un rectangle de 10 boulets sur i3 , et comprend 55o boulets. Four les bases 24 et 3o , qui sont plus grandes que les hauteurs, j'employerai la limite

^i8xa4 2 ^ ^18X24 27

Déterminant x dans ces deux cas par la formule

.=i(^i:22,ui devient .^^M^Ild h ^ i4j4

pour le second , le seul à considérer ; car le premier cas nous donnera les mêmes résultats que nous avons trouvés , ce qui est un effet de ce que lé triangle est rectangle; mais le second donnera les résultats suivans :

y saa 9, or sr II, n sas 10^ m ass 12, N = 495

^ es 8, a: tss: i3, n sa 9^ m Bs i4, N = 5o5 .^ sas 7, X BS' i5, n as 8, m es l6, N =a 49^ >

Digiti

^54 COmtESPONDAVCC

valeurs id'Appès'le^uelks cm voit que 1a pile uio^iWi^m» correspond à un rectangle de 9 boulets sur i4, et compreBd\5o5 boulets, formés sur la base 3o et la hauteur 1494 9 ^^^s la pile maximum précédente , formée sur Ift base 24 et la hauteur 18, ou la base 18 et la hauteur 24 ^^^ ^^^ hase de 10 boulets sur i3 , qui est de 55o boulets , présente un avanta|;e de 45 faoalets.

L'on peut remarquer à ce sujet , que deux triangles de même base et de même hauteur, a supposer qu'il n'y ait pas d'angles obtus adjacens h. la base, ne contiendront pas le même nombre de boulets dans la plus grande pile inscrite , par la raison que le triangle intérieur dépendra des côtés adjacens à la base; mais deux triangles , dont les triangles intérieurs auraient même base et mémeèiauteur , contiendront le même nombre de boulets , quoiqu'ils ne fussent plus m de mêmue base , ni de même hauteur, car la hav^ur serait plus graade dans <selm .dont le triangle intérieur aurait le plus petit rayon du cercle inscrit , et dont par conséquent l'angle , au sommet , serait le plus aigu. Dans beaucoup de cas où l'on n'aurait pas Lesoin d'une grande précision , on n'aura pas besoin de calculer le triangle intérieur, ou Ton pourra supposer le triangle donné intérieur , c'est-à-dire éloigné des limites de l'espace donné d'un demi- calibre.

Nous n'avons pas considéré le cas où l'espace donné serait un quadrilatère quelconque , n'ayant pas de faces parallèles ; car , si dans ce cas 6n voulait déterminer la plus grande pile inscrite sur un des côtés , en considérant toujours le quadrilatère intérieur , comme on l'a fait pour les cas précédent , il est évident que la plus grande pile inscrite serait ou une pile inscrite au trapèze Ibrmé par uine parallèLe k la jbase menée par l'tji^ df9. quadriialière le moins élevé , jusqu'à la neocootite de l'«»ttie eâké adjacent, ou isne pile tnserite au triangle formé par ee >câté adjacent et le quatrième côté supposé proloogé jusqu'à ia refioontive de la base. On chercherait d'abord la pile maximum inscrite à ce triangle', et si la hauteur du rectangle où aboutissent les centres des l>oulets , qui est comme on sait tin des côtés de la base de la pile diminuée d^un calibre , était pins grande que la

Digiti

hauteur du second câtë répondant à l'angle le moînadeTe, la pile ainsi obtenue serait la. pile nuzxùfium^Dana le caa eon^ traire , la pile maximum se trouvant dans la partie du tnaneif formé parle quatrième côté prolongé, indiquerait qu'il feut chercher la pile maximum dans le trapèze intérieur au qnadrilatère , et on la trouverait par la méthode que nous venons d'exposer.

Si l'espace donné était un polygone de plus de quatre côtés on déterminerait pareillement la pile maximum par la considération successive des triangles et des trapèzes formés aveo la base par les cotés opposés prolongés , et s^ le polygone était donné par ses côtés et leurs inclinaisons, ou ses cotés et ses diagonales, on calculerait le polygone intérieur en le décomposant en triangles; on peut donc, d'après les méthodes exposées pour Le triangle et le trapèee, résoudre généralement le problême de la pile maximum inscrite dans un espace rectiligne limité.

Théorèmes' généraux sur les diamètres des surfaces du second degrés par Al. Chasles , ancien élève de l'École Polytechnique.

(i) On sait que : « La somme des carrés de trois diamètres M conjugués d'une sarface du second degré , est constante ; »

Et que : « La somme des valeurs invierses des carrés de trois » diamètres rectangulaires est aussi constante» »

Ces deux propositions peuvent être regardées comme deaeo« rollaires de celle-ci :

{i) Si Fûn a 4ei^ surfaces du second degré aonc^niriques^ la somme des carres de trois diamètres conjugués quelconques de la première surface ^ divisés respectivement par l^fi (parrés des trois diamètres de la seconde surface compris sur les directions de ces trois diamètres conjugua ^ est constante.

a56 COBftZSPÛKOAKCE

En prenant successivement une sphère pour la première puis pour la seconde des deux surfaces , on obtient les deux propositions énoncées.

Mais le théorème (2) n'est lui-même qu'un cas particulier du suivant :

(3) Si Von a deux surfaces du second degré j^ situées cTune manière quelconque dans r espace , et que par le centre de la seconde , on mène six rayons aboutissana aux extrémités de trois diamètres conjugués de la première , la somme des carrés de ces rayons , dis^isés respectivement par les carrés des diamètres de la seconde surface compris sur les directions de ces rayons , est une quantité constante.

Ainsi soient A, a/ *B , 6 ; et G , c, les extrémités de trois diamètres conjugués de la première surface , et A% a' ; B^, b\ et G y c' , les extrémités des demi-diamètres de la seconde surface qui passent par ces points A, a; B , etc.; et soit O' le centre de cette seconde surface ; où aura

O'A (Ta O'B O'^ OC O'c

H- =r •+• a •+■ . : -♦- , -f- -=:: = const.

O'A' OV OB' O'b^ O'C' OV

(4) Supposons que la seconde surface soit l'ensemble de deux plans parallèles , également éloignés du point O^ ; soit O'P la perpendiculaire abaissée du point O' sur l'un de ces plans , on aura

^ O'P ÔT

^'"^'"■^^MÂOT)' ^'^'=c-^Mi^^^

l'équation devient donc

{0'Acos.(AO'P)]' -4- [O'a cos. («O'P)]* -»- etc. es const.

ce qui prouve que :

iSï Von mène trois diamètres conjugués quelconques d'une surface du second degré , et que par un point fixe on mène six

Digiti

MJ^THÉMATIQVE BT PBT8IQUE. 25"]

droites aboutissant à leurs extrémités , /a somme des carrés des projections de ces droites sur un axe fixe sera constante \ quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

(5) Le théorème (3) peut lui-même être généralisé de cette manière :

Étant donné deux surfaces du second degré quelconques et un plan fixe P; si on prend les pôles O, (y de ce plan par' rapport aux deux surfaces ; que par le premier O s on mène un système de trois droites telles que la polaire de chacune d'elles , par rapport à la première surface , soit dans le plan des deux autres ; qu'on désigne par A^ 9i\ B ^ h\ et C, c , les points oà ces droites rencontrent cette première droite; qu*on mène du point (y des droites à ces six points , et qu'on désigne par A\ a', B\ b', C\ c', six des points oà ces six droites ren^ contrent la seconde surface^ et enfin par L^ \^ M^m, N, Uy les points oà elles percent le plan P; on aura

VCyA'*LA'^ "*'V0V'/a'>' "^\0'B'W>' \0'b''*mb'y "*" /^O'C NC \^ fO'c ne y

Quel que soit le système des trois droites menées par le point O, de manière que la polaire de chacune d'elles , par rapport à la première surface , soit dans le plan des deux autres,

LA la

(6) Si le plan P est à l'infini , les rapports 77,1 7-, » etc.,

JLA la

sont égaux à Tunité, et Ton a simplement

ce qui exprime le théorème (3).

(n) Si le plan P passe par le centre de la seconde^ surface ,

le point O' sera à l'infini, les rapports — ; , —7, etc., seront