II. Séries infinies
(7) Soit
F(*) s= Mo •+- Ml •♦- M, .... -4- Ux^i
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I^O CORKESPOllDAHCE
la somme des x premiers termes d*une série infinie. Pour qae la sërie soit convergente , il faut en premier lieu que le terme gênerai u» décroisse indéfiniment pour des valeurs croissantes de s* Ordinairement il est facile de reconnaître si cette circonstance a lieu. Mais il n'en est plus ainsi lorsque Ux se compose d'un nombre de facteurs de plus en plus grand , conune dans la série
«0 «(aH-0^(i3-*-i) a(«^i)(*H-2)i3(/3^i)(/3*l-a)
I ^ \m ■ ^-î- . ■ --I- etc.
traitée par M. Gauss {Comment. Gotiing. récent, , vol. II). Les théorèmes que nous venons de trouver pour les produits continus, peuvent servir alors a simplifier cette recherche. Car, puisque
M, Mj a*
On peut considérer Ux comme un produit continu , et profiter des théorèmes I et II , en y changeant F(ar) en Mx » et ii< eo
(8) Supposons donc qu'on ait
Ux
31^ •+. Ar«-i -4- Bx^-K.. ^ M
Ux^i Jt* •+- ax^"'^ -H iar«-» ... -v- m
et par conséquent
ttx (A— a) at^-^ ■*- (B— 3) xf^* -H...-I- M --m
Si on compare cette expression avec la formule -— ^
théorème II , on voit qu'en faisant n = i , f(x) sera une fonction continue de or, qui se réduit à A — a pour a: = ^ . Seulement, lorsque A — aaaso, on devra faire n s* 2 , ou en général
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MATlliMATIQVC KT PHYSIQUE. igi
n > I* D*oii Ton conclut que le terme général Us converge vers rinfini, si A — a> o; qu'il a une limite finie, si A — aKzo^ et qu'enfin il décroît indéfiniment si A — a ^o. Pour la série indiquée ei-dessus , on a
Ux (ec-^x — i) (/3-Ha>-i) 3c'-4- (<»-»-g — 2)x-¥- (^-—i) (/^ — i) Mx— 1 x (y-h. or — i) "~ j:' -*- (r— i) a:
donc Aî=sa-t-/3 — a,a = y— !• Les termes ne décroîtront indéfiniment que lorsque a-4-/3 — r — i <o,
(9) Puisque F(j: -4-1) — F(j:)=:ï*, , le décroissement indéfini des termes de la série , que je suppose tous positifs , s'étend aux différences successives de F(a?). On peut donc , dès que cette condition est vérifiée,. considérer aussi la dérivée V(x) comme décroissante (2j. On a ainsi
Soit X la valeur x, à partir de laquelle les tenues décroissent constamment; si on intègre les formules précédente» depuis x=s\f après avoir substitué aux seconds membres leur valeur u« > on a
F(x)— ¥(}.)> f^u^cdx (d)
F(j?-I- 1) — F(A-4-i) <fu^dx (e)
Maintenant si on fait jc = oo , et que par rapport à la limite inférieure A de l'intégrale , on observe ce qui a été remarqué (5), il est évident que :
Théorème III. La série infinie
w« -4- a, -♦- Mj -4- .... -♦-»*-*- etc. , dont tous les termes^ sont positifs^ est cam^ergente ou dit^ergente.
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ig^ COBRESPONDAMGE
suwant4jiue V intégrale fxxx dx, prise depuis une limite Jinie jusqu!h zss=QO , a une valeur finie ou infinie.
M. Caûchy a donne dans ses Exercices de mathématiques , tom. II, p. 221 , un théorème semblable, mais d'après lequel rintëgi*ale doit être prise entre deux limites infinies.
Faisons par exemple u» &s= /t. On trouve que la série
^{Ix) *
est convergente si n > i , divergente dans les autres cas.
(lo) Le lemme du § 6 , fournit encore la transformation suivante du théorème :
Théorème IV. Soit u, = -^ le terme général éCune série in-
finie , f(x) étant une Jonction continue de x, ^ui reste finie pour xsssQo* IttU série sera com^ergente si n ^ ly et dii^ergente si n s= I oii n < I .
(I i) L'emploi des théorèmes III et IV, semj>le borné aux cas où le terme général est donné en fonction explicite de x^ ce qui les rendrait insuffisans pour la série du § 7 , et à plus forte raison pour le cas plus général , que nous avons discuté au ^ 8, relativement à la convergence de Ux* Nous allons montrer que ce cas est encore compris dons nos théorèmes.
Rappelons d'abord les formules (a) et (b) du § 4 » ^^î deviennent applicables au terme général d'une série infinie en chan-
Uje—i
géant F(x) en Ux et Ux en — (7). Elles se réduisent ainsi à
Ux
lUx-luX>/(^- l) dx (/)
lUas^i — lUM-i <y ( 1 ^^^jdx (g)*
(is) Soit maintenant
Ux x^ -♦- Ax«-' -+- B;c~-*....-i- M
Digiti
MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE, |û3
cl supposons A — a négative, afin que w, décroisse indéfiniment (8). On s^assure facilement que
»* a — A fp(x) .
Ur
n étants 2 ou > 2 , et >(«), \/;(*) étant des fonctions de jr, qui restent finies pour x =: od • Si on substitue ces expressions dans
lu.-lu> (a-À) / - ^/É^
lu ^lu <(a A)/^^/:i<f^ '
(i3) Il résulte du lemme (i), qu'en prenant les intégrales des seconds membres jusqu'à x = od , leur valeur est finie. Donc si nous désignons par X , X, ces intégrales , prises jusqu'à la limite variable « =s x. , les fonctions X, X, seront finies pour jp ss oo , et il en sera de même de é^ , e^i , e désignant la base des logarithmes népériens. Mais les formules précédentes donnent, en passant des logarithmes aux nombres :
/(x) par conséquent Ux est nécessairement de la forme ■ L '^/i^)
restant finie pour aras: 00 • Donc ^ en vertu du théorème IV, nous parvenons au résultat suivant :
Théorème V. Soit
Ux x^ ^ Aaf^'^y^ -♦- Bar~-* -!••.. -i-M Tome VL i3
ig4 coanEsroHDAzvcc
f expression géne'rale du rapport de deux termeKi st$ocettifs d'une série infinie, La série sera, cgm^ergente w a — r^ A. > i , c( divergente si a — A :^ i ow < i •
Ce thëorëme » ainsi qne cehit du § 8, sont das à M. Gauss^ qui les a déduits de considérations différentes.
u4) Jusqu'ici nous avons supposé tous les termes de la série positifs. S*ils alternent de signe, ensorte que la série soit
Mo — w, -♦- Wa — «3 -♦- M4 — etc.,
ledécroissement indéfini des termes suffit seul pour entraîner la convergence de la série. Ce théorème est connu ; cependant la démonstration qu'on en donne généralement , est loin d'être rigoureuse. En effiet , puisque la série peut être écrite des deux manières suivantes ,
Mo — (m, —«a) — (M3 — "/,) — etc.
Mo «, -♦-(M3 W3)-t-(M^ M5)-|-etC.,
et^que les différences m, — u^, u, — Uj , etc. , sont toutes positives-, on conclut que la somme de la série est à lb> fois moindre que Uo et plus grande que Uo — k, , et par conséquent finie* Mais^ cette conclusion suppose que les différences (m,— uj •+- (W3— W4) -*- etc., {u^—u^ -♦- (a^— 145) -f. etc. , forment elles-mêmes des séries convergentes , ce qui est justement le théorème à démontrer.
(i5) Une démonstration plus exacte se déduit du théorème III; car en réunissant chaque couple de termes successifs en un seul , ce qui les rend tous ppsitifs , le terme général sera Uix — M9X+Z9 et la convergence de la série dépendra de la valeur de l'intégrale définie
/(u — u . )dx^ Mais si on fait ax -h i =: 2«% on trouve
/u ^ dx i^f 7 «^ , dx'
Digiti
1IATHÉMATIQX7E ET PHYSIQUE. tgS
le changement de la variable n'influant pas sur la limite supëneare, puisque (Iq» = o. Or, on peut remplacer au second membre s^ par x , donc
/{u — u \dx=if u dx — r - u dx^=r , u dx
quantité toujours finie, ce qui prouve la convergence de la série.
J'observe en finissant que les formules {u) G^(b) du § 5, aiosi que les formules (d) et (e) du § 9 , fournissent une méthûdb générale pour déterminer deux limites entre lesquelles se tcoiive la valeur d'un ppoduit continu ou d*uae série , 8<Ht qu'on les suppose prolongés à l'infini, soit qu'on les arrête à un terme quelconque.
Li^e, le 6 janvier ^83o.
Note sur une quesUan dé calcul d^irUe'rét composé ^ par
M. R. LOBÀTTO.
Quelqu'un recevant d*un capital une rente de a poiK u/i,; replace annuellement cetjte rente à i pour un; on trpuvera <{u'au bout d'un temps t^ il aura accumulé une somm« égale, à
-7 [(n-i)f— i]. Pour savoir maintenant quel est l'intérêt y
pour un,, auquel il aura fait valoir le capital dont il s'agit , on n'aura qu'à résoudre l'équation
d'où Ton déduira immédiatement pour la valeur de Tiotérét
faisant pour simplifier i -*h las ^.
Digiti
196 CORRESPOIIOAlfÇR
On voit d*abord que l'intérêt se réduira à zéro , après un
temps tf tel que qt — i ss— , Dans le cas particulier de a = aif
cela arrivera lorsque le capital aura été augmenté de sa moitié. Avant cette époque l'intérêt sera négatif, puisque les rentes accumulées n'atteindront pas encore le capital. En supposant dans le même cas, que le. capital suit doublé par l'accumulation des rentes, l'équation (i) se réduira à 2 [(i -♦-«)'— i]=2. Donc (i -+- 0' = ^ et^=: /. Ainsi le capital aura fructifié au même taux i , que celui auquel on accumule les rentes a.
Passé ce terme , l'intérêt y croîtra avec le montant de l'accumulation , mais ce qui pourrait paraître assez singulier aa premier abord , c'est que l'intérêt y n'augmentera pas indéfiniment, mais atteindra au contraire son maximum au bout d'un certain temps f, dépendant des quantités a et L En effet, en prenant a = 10 p. ®/o , «== 5 p. "/© , on trouvera facilement pourf=3o,^=6,5i57p. «/•, etpour/=3i,^ = 6,5i54p. **/o, donc le maximum d'intérêt tombera nécessairement entre 3o et Si ans. Apres cette époque ^ l'intérêt diminuera insensiblement , sans cependant jamais pouvoir redevenir zéro , ni même s'abaisser au-dessous du taux i', ainsi que l'on pourra s'en convaincre par le calcul.
L'idée de ce maximum appartient à M. Duuillard, qui l'a plus amplement développée dans son intéressant ouvrage intitulé Recherches sur les rentes , les emprunts , etc. , pag. 20 , oîi l'on trouvera en même temps deux différentes méthodes de solution pour la détermination du temps ^, correspondant au maximum de la quantité^.
Nous nous proposons d'indiquer ici une autre méthode pour la solution de cette question , qui nous a paru plus simple et
plus directe qu'une de celles données par cet habile géomètre.
a L'équation (i) , après avoir posé i -H i = y et -, = »i , peut
être mise sous la forme suivante , qui la rendra plus propre à la différentiation :
Log. m -4- log. (y*— i)=a:flog,(i -*-y ) ;
Digiti
MATlliMATIQUE ET PHYSIQUE. ig7
en la différentiant par rapport aux variables t et y^ et obser-
dy vant que la condition du maxwium donne ~- =: o , on obtien-
dt dra de suite
^y!!!'r = ^°8- (I ^ ^) = ^ log. m (y'- I) ;
partant
II s'agira donc de calculer la valeur de t^ dans Téquation précëdente. Pour cela , faisons d'abord pour abréger ij* ss z,
d*oîi résulte t x= - — — , on aura simplement Féquation
La difficulté se réduit ainsi à en déduire la valeur de z.
Soit encore l'exposant = i^ , ce que donnera z = 9
z — I =s , Et en faisant les substitutions nécessaires dans
(u "N" I j tss m. , ou bien u — 1-/ u — 1
a«*=ri»(ii — !)«-«• (a)
Pour résoudre celle-ci , supposons qu'on ait trouvé une quantité U très-approchée de la vraie valeur u, telle que la difiérence u — U = Ai« soit assez petite pour pouvoir en négliger le carré ; soit Am l'accroissement également petit que subit la quantité m, pour que TJ puisse également satisfaire à l'équation (2). Si Ton dififérentie maintenant cette équation par rapport aux variables u et m , les erreurs Lu et Am ^ pourront être considérées comme des différentielles , et l'on trouvera par cette opération :
Digiti
U log. U ass log* m -H (tt — I ) log. ( U— I ) (3)
^U ( I -4- k>g« u) ^s A log. m + ûtt [ I -4- log. (u — I )]
donc Au = X ^ log. m.
iogr!i^)
Au moyen de cette formule , et d'une valeur approchée de
u , on calculera facilement l'erreur Au , puisque A log. m se
déduit immédiatement de l'équaition (3) , ainsi qu'on va le voir
par une application à l'exemple énoncé ci-dessus, où l'on a a
On conclut d'abord que u doit être > i et < 2.
Prenant successivement »= i,5; uk i,3; u = 1,2, on trouvera sans peine par le calcul des logarithmes, appliqué à l'équation (3) ,
Pour » = 1^5;
log. ira s: 0, 4^47^
log. /» =: 0, 3o499
log. m ss= 0, 2348 !•
Or^ puisque log. m a la ^eur de log. 2 = 0, 30103, il est évident que la vraie valeur de u , tombera nécessairement entre Ibâ limites i , 3 et i , 2 , et qu'elle ser& plus proche de la première que de la seconde de ces limites.
Supposant pour un premier calcul d'approximation u s= i , 3, ce qui donne A log. m = o, 00396 , il viendra
o,oo3q6 o,oo3q6
et, comme Au est négative dans le cas actuel^ on aura pour
Digiti
MATHEMATIQUE £T PHYSIQUE. IQQ
une première approximation
log. y log.^r
log. u =0, 1119104
log. u — 1=9, 46802221
log.w-- log. (1.-1) = 0,6438882.
log. y= log. i,o5 =0,0211893; ^= .5*^522?^= 30,39
à peu près , ce qui approche dé]k beaucoup de la vraie valeur de ^ = 3o,38, tandis que M. Duuillard n'a obtenu pour une première approximation qôe t =« 3o,2i , et encore par un calcul très-prolixe, basé sur la théorie des smtes infinies, ainsi qu'on peut le voir à l'endroit cité de son ouvrage , ou bien au I*' vol. de la Correspondance matkem. , pag. 5i , dans an article de M. le professecr Garmter,
Détermination élénteHtaire des formules des piles de boulets , par M. Roche , professeur à l'École Royale d'Artillerie i)e la Marine , à Toulon»
Les piles de boulets en usage dans l'artillerie, sont de trois espèces , savoir : la pile triangulaire , qui a la Jforme d'un tétraèdre : la pile quadranguîaire , qui a la forme d'une pyramide quadrasgulaire dont la base est un quarré , et la pile oblongue ou rectangulaire à base rectangle , et qui a la forme d'un prisme tronqué. Toutes ces piles ont un élément commun , qui est la face triangulaire. 11 convient donc de déterminer d'abord le nombre des boulets arrangés de manière à présenter la forme J'un triangle équilaléral.
^^^ C0Rll£SPO2Cl>A9CC
JFhce triangulaire.
Deux faces triangulaires réunies, formeront une face en lozange si elles ont une arête commune; Ie3 deux faces comprendront ainsi un nombre de boulets exprimes par n» h- n, n étant le nombre des boulets de Tarête ou côté , parce que celui du lozange est n'; en désignant cette face par F, on aura
donc r = «, ou, en facteurs
Pile triangulaire.
Si sur une face d'une pile quadrangulaire , on applique la face semblable d'une pyramide triangulaire de même côté, on aura une pile prismatique dont les arêtes parallèles comprendront (/n- I } boulets ; désignant par T la pile triangulaire , par Q la pile quadrangulaire , on aura T-4-Q = (/i-hi)F; mais deux piles triangulaires à face commune réunies , comprennent autant de boulets que la pile quarrée de même côté, vu que les deux triangles à côté commun de la double base de cette pile, contiennent autant de boulets que la base de la pile quarrée ; on a donc Q = aT— F et conséquemment 3T — F=: (/i'+.i)Fou3T=(/i-h2)F, donc
Pile quadrangulaire n
Si du double de la pile triangulaire F, nous retran-
cfaons une face F, nous aurons pour l'expression de la pile qnar drangulaire
Digiti
MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE. ' aOI
Pile rectangulaire.
Désignons par R cette pile et formons sur une des faces extrêmes une pile triangulaire qui aura une face commune, et formera avec la première une pile prismatique dont Taréte parallèle sera le grand côté m du rectangle, n désignant le petit, on aura ainsi R égal à la pile prismatique qui vaudra
wF moins la pile triangulaire — --— F diminuée de la face
commune F , qui vaudra alors F , ce qui donne par
conséquent : •
Cette pile par une décomposition différente , est donnée dans les
t n -ft T^ ( 3^" — n -H i ) .
auteurs sous la forme n=F , et on prescrit de
la calculer en multipliant la face par le tiers de la somme des trois arêtes parallèles , mais la forme ci-dessus est bien plus commode pour le calcul; la réduction donne pour le multiplicateur de F un entier , lorsque F n'est pas divisible par 3 ou
un entier plus ou moins -• , dans le cas contraire , ce qui re-
vient à ajouter ou retrancher d'un produit simple le tiers de F, pour avoir le nombre de boulets.
Obsen^ation.
Les relations des trois piles avec la face , sont données par les trois équations :
T4.Q=(nH-i)F, 2T— Q=F, R4-T= (m-*- i )F.
•Digiti
30a CORRESPONDAIfCE
Solution de la question proposée dans la IV^ lii^raison du tome V de la Correspondance , par M. Roche ^ professeur de mathématiques, de physique et de chimie à FEcole d'Artillerie de la Marine , à Toulon.
.La pile hexagone e9t possible en ce sens, que l'on peut arranger 4les boulets de manière \ préseiiter la figure d'un hexagone dotit le coté contiendra un certain nombre de boulets , et que l'on peut placer les tines sur les autres des assises hexagonales de boulets dont le côté comprendra successivement un boulet de moins jusqu'au boulet du sommet. Mais cette pile ne sera pas stable par la raison que chaque boulet des assises successives ne reposera que sur un seul boulet inférieur, au lieu de reposer dans les creux formés par les boulets , comme cela a lieu dans les piles trialngolaires quarrées et oblongues , les seules piles staUes possibles.
La pile hexagone n'est donc possible qu'en supposant tous les boulets collés ou fixés les uns aux autres ; mais dans ce cas , cette pile ne suivra plus l'analogie des piles triangulaires et quarrées , qui représentent, comme Ton sait, la somme des nombres^ triangulaires et quarrés ; la pile hexagone ne sera pas la somme des nomibres hexagones , dont le terme généi*al est la somme des. termes d'une progression arithmétique , dont le premier terme est i et la raison \ , et dont la somme des n
premiers termes , serait — ^ ^^^ ; mais son terme
général sera la somme des termes d'utie progression arithmétique , dont le premier terme est o et la raison 6 (et dont conséquemment le w* terme est 6/i — 6 , et la somme sera 3 («^ i) «, augmentée de l'unité, c'est-à-dire, 3/i' — 3/i-f- i. La somme des termes de cette pile sera donc 35^ — 3S, -f- n , S, désignant la somme des nombres naturels et S, celle de leurs quarrés, ou bien si l'on représente par Q la somme des boulets de la pile quarrée , par F celle de la face triangulaire , on aura en désignant par H la pile hexagone
Digiti
MATilÉMATEQUE Et lUIYSIQI/i:. 2o3
„: „ (wH-i) ^ n(«^- 1 ) (an-t-i)
Mais on sait que F = « , et Q = n ■ ,
substituant ces valeurs et faisant la rëduotiou , on aura
d'oh résulte oe théorème remarquable : la somme des boulets (Tune pile keâsagone est ifgale au cube du nombre du côté de la base.
Si i'on lecnilait former sur une base hexagone une pile de boulets solide et stable , il faudrait sur trois côtes de cet hexagone qui ne seraient ni adjacents , ni opposes , placer dés plans inclines en dehors 'de la base , et faisant avec Thorîzon un angle dont la tangente serait «égale h 2|/a ou |/8, c'est-i-dire , un angle dgal à rinclinaisôn des faces adjacentes d'un tétraèdre ; OBI ponrrarit prendre trois tranches formant des triangles équilatéraux , ayant leurs côtés égaux h celui de l'hexagone; on formerait alors sur cet hexagone une pile qui ne serait autre chose que la pile triangulaire , dont la base aurait pour côté 3rt — 2 [n étant celui de Thexagone) , dont on aurait retranché trois pilles triangulaires du côté n**^ i. La somme de
la pue totale serait n -^ , celles des trois pues
détachées , et conséquemment la pile tronquée ou
hexagonale que je désigne par K , aurait pour somme
8/1'— 9«-4-3 R sa ,
cette pile a compter de l'assise qui est au-dessus des trois piles triangulaires retranchées, forme une pile triangulaire dont le côté est an-^ i , c'est-à-dire égal II la diagonale de l'hexagone. Noie du Rédacteur. •— Quoique nous ayons fait connaître dans la ¥• livraison du tome V de la Correspondance , les réponses qui nous sont parvenues sur le problème relatif à
Digiti
^o4 GORRESPOlVD^irCE
Tarrangement des boulets , nous n*avons pas cru faire double emploi eu présentant à nos lecteurs la notice précédente, qui , par les retards qu'elle a éprouvés , ne nous a été remise que depuis peu, et qui est due h un géomètre déjà connu dans les sciences. Nous avons reçu aussi de M. Camille Pagliani , cadet au corps royal des pionniers , à Modène , une autre réponse qui est trës-simple, et qui aurait été insérée également dans ce recueil , si elle ne rentrait dans celles que nous avons déjà fait connaître. La part que les géomètres étrangers veulent bien prendre à la solution des problèmes proposés dans la Correspondance , nous fait un devoir de retarder désormais l'insertion des réponses , jusqu'à ce qu'ils aient eu le temps nécessaire pour nous faire parvenir les leurs. Nous adoptons cette mesure avec d'autant plus de plaisir , que M. le comte Coronini, capitaine- commandant du corps royal des pionniers , à Modène , nous a fait espérer encore de nouvelles solutions de problèmes.
Étant donnés les points oh trois sphères de rayons donnés touchent un plan, troui^er le centre et le rayon de la sphère tangente aux trois premières et au plan; problème proposé par M. Noël, tome V, pag. 36o, et résolu par M. Weileh, professeur à l'Académie militaire de Bréda.
Solution. -— Parmi les huit plans tangens à trois sphères données, je ne considère d'abord que l'un des deux qui les touchent à la fois du même côté. Pour simplifier les équations , je prends ce plan pour un des plans coordonnés , par exemple , pour celui des xy , je fais passer l'axe des z par le centre de la première sphère , et le plan xz par celui de la seconde. Si r, r', r" sont les rayons des trois sphères données, leurs centres sont déterminés respectivement par les coordonnées o, o, r; a, o, r' ; a', b'^ r".
Gela posé , en désignant par x , ^ , z les coordonnées du cen-
Digiti
MATIlÉMATIQVli LT l'HYStQI/E. ao5
tre de la quatrième sphère , les conditions du problème donnent
(r 4-«)»=(r — «)»-|-x> 4.jy» oUbieD »« 4- y2 =:^r» (i)
(r'+if)'=(r'-.*)34-(jc + a)»4-J'«,' » (a:~a)'+. ^a - 4^» (i)
(r''4-if)'=K-z)>+(jP-«')'-^(^-*')*» » (ap-«')'+(r-*')*=4'^'* (3)
équations qui appartiennent à trois paraboloïdes ayant leurs sommets aux points de 'contact des trois sphères avec le plan 07, et leurs foyers aux centres de ces sphères : par conséquent, le centre de la quatrième sphère se trouvera sur Fintersection commune de ces trois paraboloïdes. Or , la courbe d'intersection de deux paraboloïdes est une parabole , et deux paraboles situées dans des plans .qui se coupent , ont en général deux points d'intersection ; il y a donc en général deux sphères qui satisfont aux conditions du problème.
Retranchant (2) de (i) et (3) de (i) , il vient
!àax — 4*(r — r') — a^=:o (4)
aa'x H- 2by — 4z (r — r") — a'' —b'^^o . (5);
ces équations appartiennent aux plans des deux paraboles formées par l'intersection du premier avec le second et du premier avec le troisième paraholoïde. Le premier de ces plans est perpendiculaire au plan xz et» passe parole milieu de lai distance a. Le second passe par le milieu de la droite qui joint l'origine au point de contact de la troisième sphère avec le plan acy y et il est perpendiculaire au plan mené par cette droite perpendiculairement au plan xjr.
L'élimination de la variable z entre les deux équations (4) et (5) , fournit l'équation de la projection sur le plan xy de l'intersection des deux plans, c'est-à-dire , l'équation de la projection de la droite passant par les deux points d'intersection des deux paraboles , c'est-à-dire par les centres des deux sphè^ res qui conviennent au problème» Et comme l'équation (4) est aussi celle de la projection de la même droite sur le plan xz^ la position de cette droite est entièrement déterminée par ces deux équations.
ao6 COIlR]£8POVO^VGE
L'élimiaoiion 'Successive des inconnues », y, z entre les équations (i), (2), et (3) , donne deux valeurs pour chacune de ces inconnues ; ce qui confirme Texistence des deux sphères résolvant le problème. D'ailleurs , on conçoit aisément qu'il y en a une située entre les trois sphères et le plan tangent , et une autre en dehors des trois sphères et du plan.
Si IW fait r 3Œ K sa» r", on ne trouve qu'une seule valeur pour chacune' des inconnues x^ y^ z; et , en effet , alors la quatrième sphère , située en dehors des trois sphères^ et du plan n'existe plus.
Si Ton. suppose en outre que les trois sphère» et rayons égaux soient placées à la même distance a Tune de Tautre , cM.d, aux sommets d*un triangle éqjuilatéral , on trouve pour coordonnées du centre de la quatrièsie sphère
Ces valeurs de a: et de ^ étaient faciles à prévoir : ce sont les coordonnées du centre du triangle équilatéral. Puisque le rayon de la quatrième sphère est toujours égal à l'ordonnée z de son centre , le rayon de cette sphère , pour le cas particulier
que nous considérons maintenant , sera — , par conséquent
quatrième pnoportionnelle à douze fois le rayon donné et la distance commune a.
Tout ce que je viens de dire a encore lieu lorsque les trois sphères données se trouvent de l'autre côté du plan tangent; ^nais pour les six autres positions^ du plan tangent, le pro- Uème est généralement impossible , parce qu'il est généralement impossible dje construire une sphère tangente à deux sphàres-quet conques données , lorsque ces trois sphères doivent toochen le même plan , et que le centre de là première doit être sitoé sur une droite perpendiculaire à* ce plan. Je dis généralement y car il y a quelques cas particulier» faciles à distinguer , où le problème est résoluble. — Cette observation
Digiti
MATHEMATIQUE ET i'HYSIQUE, 207*
est encore applicable au cas où les trois sphères données se trouvant du même côté du plan tangent, on voudrait que la quatrième sphère renfermât une des trois premières. Bréda , le 12 janvier i83p.
Note du Rédacteur* — Nous regrettons que M, Weiler n'ait assigné la valeur du rayon de la sphère tangente aux trois autres que pour un cas très-particulier. Nous avons reçu encore une autre solution du même problème par M. A, Meyer^ également attaché à l'école militaire de Bréda* Cette solution repose sur les procédés de la géométrie descriptive , dans laquelle lauteur paraît très-versé , et particulièrement sur la propriété bien connue dont jouissent les surfaces du second degré , d'être le lieu des centres d'une sphère tangente h deux autres. Le nom* bre et la compUcation des figures nous ont empêché de lui don* ner place ici*
Sur la génération des focales , extrait d'une lettre de M. Ghasles, ancien élève de l'École Polytechnique.
J'ai lu ces jours derniers, dans la sixième livraison du tome V' de la Correspondance , les intéressans mémoires de MM. Van Rees et Lefrançois , sur les focales ; j'en ai pria occasion pour relire , avec un nouveau plaisir ^ celui de M. Dandelin^ sur le même sujet , qui se trouve dans le tome II de l'Académie. Ces courbes , dont la géométrie vous est redevable, jouissent de propriétés caractéristiqiies vraiment bien curieuses. J'ai compté jusqu'à huit descriptions différentes de la focale dans le cône droit.
Je me suis aperçu que les focales générales que M. Van Rees considère dans un cône quelconque du second degré, et qui sont aussi le lieu géométrique des points d'où l'on aperçoit sous le même.aQgle deux droites données , admettent une troisième description également simple : Qu'on conçoive une infinité de
Digiti
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cercles ayant un même axe de symptose (oa axe radical)^ que d^ un point fixe on leur mène des tangentes , les points de contact seront sur la focale.
Si les cercles coupent leur axe de symptose en deux points , on a la focale de troisième espèce {fig* 4 ^^ Mémoire de M. Van Rees) ; P, P' sont ces deux points; et les droites AP, AP' sont tangentes à la courbe en ces points.
Si les cercles ne coupent point leur axe de symptose, on aura la focale de première espèce {fig* i); les deux points P, P' représentent alors deux cercles infiniment petits qui font partie de Tinfinité de cercles. Chacun de ces points a , comme on sait , même polaire dans tous les cercles.
Enfin si tous les cercles se touchent en un point N , on a la focale à nœud (fi^^ 3) ; je vois dans le Mémoire de M. Dandelin , que vous avez déjà donné cette description de cette ' courbe»
Cette manière de former toutes les focales , au moyen d'une série de cercles, qui ont même axe de çymptose, fait voir que si , par le point S {fig* 2 , 3 , 4) > ^^ mène une transversale quelconque , les deux points ob elle rencontrera la» courbe seront également éloignés du point A.
On en pourrait conclufe aussi , par quelques considérations de géométrie \ les propriétés remarquables des points conjugués que M. F'an Rees a fait connaître , et diverses autres propositions. Mais je reviendrai sur ce sujet avec plus de détails, parce que j*ai reconnu que tout cela peut se déduire aussi de propriétés plus générales des courbes de troisième degr^.
Chartres, le M février ^830.
Sur une nouvelle manière de de'terminer la pesanteur spécifique des corps ; par M. Lêvy , lecteur à l'Université de Liège.
Il est assez difGicile de dire quelque chose de nouveau sur la manière de détei'miner la pesanteur spécifique des corps soli-
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des; j'indiquerai néanmoins ici un procédé que je n'ai vu indiqué nulle part, et qui ofiEre la solution d*un problème assez singulier que je m'étais proposé.
Il s'agissait de déterminer la pesanteur spécifique d'un corps solide , plongé dans Teau , sans le sortir de ce liquide.
Pour cela , imaginons qu'à l'une des extrémités du fléau d'une balance , au lieu du plateau , soit suspendu un petit vase A , rempli d'eau jusqu'à une certaine hauteur; supposons de plus que le fond du vase ne soit qu'à une très-petite distance de la table sur laquelle la balance est placée , et qu'on puisse facilement attacher et détacher le petit vase de l'extrémité du fléau à laquelle 'je le suppose maintenant suspendu. A cette même extrémité du fléau est attaché un fil B très-fin , de platine , par exemple , terminé de l'autre côté par un petit crochet, et qui plonge d'une petite quantité dans l'eau du vase A , de manière que , lorsqu'on détache le vase et qu'il repose sur la table , une petite portion du 61 «oit eocore plongée dans Teau. Dans le vase A, plongé dans Tcau et suspendu au crochet qui termine le fil B, se trouve. un .petit vase C qui ne touche ni les parois latérales, ni le fond du vase A.
Gela posé, soit P le poids qu^ .placé dans le plateau de l'au* tre côté de là balance , fait équilibre au vase A, lorsqu'il est suspendu, à l'eau et au vase G qu'il contient, et enfin, au fil B ; soit aussi p le poids qui doit remplacer P , pour faire équilibre au fil B, et au poids du vase G plongé dans l'eau, lorsqu'on a décroché le vase A de l'extrémité du fléau. Si , maintenant , on veut déterminer la pesanteur spécifique d'un corps quelconque D, on le placera dans le vase G; on suspendra le vase A , et ce qu'il faudra ajouter à P de l'autre coté sera évidemment le poids de D dans l'air ; ensuite , on décrochera le vase A , on ôtera le poids P du plateau , on le remplacera par p ^ et ce qu'il faudra ajouter pour l'équilibre sera le poids de D dans l'eau. De ces deux poids , on déduira alors , comme à l'ordinaire , la pesanteur spécifique.
Cette méthode a peut-être quelques avantages sur celle que l'on emploie communément. Le principal consiste à pow
