SECOND MÉMOIRE

Sur la transformation parabolique des relations métriques des figures {*), par M. Ghasles, ancien élève de l'Ecole Polytechnique. ( Voyez le volume précédent*)

SUR LSS DIAHÈTRES, LES PLAVS-DIAMETAES , LES AXES 9 LES POLES ET LES CEHT11E8 DES COVRBES ET DES SURFACES GEOMETRIQUES.

(1} Nous allons prendre, pour nourelle application de notre principe de transformation des relations métriques , la propriété générale suivante des courbes géométriques , donnée par Newton, dans son Enumeratio linearum terlii ordinis : «c Si l'on n mené dans le plan d'une courbe géométrique une série do » transversales parallèles à un axe fixe , et qu'on prenne sur 3> chacune d'elles le centre des moyennes distances des points » oh cette droite rencontre la courbe , tous ces points seront •» sur une même droite* » On a appelé cette droite diamètre de la courbe. ( V. Enumeratio linearum , et V Encyclopédie , art. Courbe. )

Chaque courbe a ainsi une infinité de diamètres , dont chacun répond à une droite donnée de direction. Nous dirons que

(*) Ce second mémoire sur les transformations paraboliques a élé adressa avec le premier , le 7 mars , à l'Acadëmie royale de Bmzelles , qui en a ordonne l'insertion dans le recueil de ses Mémoires.

Tom. rjf^ I

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^ CX)HRESPONDANCE

<:haque diamètre est conjugué à la droite h laquelle il rëpond.

Comme cette belle propriété des courbes géométriques, est la base de toutes les recherches contenues dans ce mémoire , nous allons en rappeler une démonstration qui est une conséquence immédiate de la théorie générale des équations.

L'équation de la courbe, rapportée aux axes des x et des j^, et ordonnée par rapport à or , est de la forme :

La somme des abscisses des points oh une parallèle à l'axe des X rencontre la courbe , est égale au coefficient du second terme , pris en signe contraire , c'est-à-dire à -:— (ay -+- b) ; l'abscisse du centre des moyennes distances de tous ces points

est donc a?=g— ^ ; l'ordonnée de ce point est j^; cette équation représente donc le lieu géométinque du centre des moyennes distances des points où une transversale quelconque parallèle à l'axe des x rencontre la courbe ; or , cette équation est du premier degré; ce lieu géométrique est donc une ligne droite ; ce qui démontre le théorème énoncé.

Plusieurs des points oîi chaque transversale rencontre la courbe , et même tous ces points , si l'équation de la courbe est ^'un degré pair , peuvent être imaginaires ; mais , la somme de leurs abscisses étant toujours réelle, le centre des moyennes distances de tous ces points sera toujours réel.

(2) On déduit du théorème précédent, cette propriété générale des surfaces géométriques :

u Si l'on a une surface géométrique et qu'on mène une série M de transversales parallèles à un axe fixe , puis qu'on prenne » sur chacune d'elles le centre des moyennes distances des »• points où elle rencontre la surface , tous ces centres seront » sur un même plan. »

En effet, considérons les transversales qui se trouvent dans un même plan ; les centres situés sur ces transversales seront sur une même droite (i) ; ainsi tout plan parallèle aux transver-

MATHÉMATIQ17E ET PHYSIQUE. 3

sales rencontre la surface lieu des centres des moyennes distances suivant une droite; ce qui prouve que cette surface est un plan.

Nous appellerons ce plan plan-diamètre conjuguée, l'axe fixe , auquel les transversales sont parallèles.

(3) On de'duit aussi du thëorème de Newton , une propriété générale des courbes géométriques h double courbure, que voici :

tt Si Ton a une courbe géométrique à double courbure , » qu'on mène une série de plans parallèles à un plan fixe , » et qu'on prenne le centre des moyennes distances des points » oii chaque plan rencontre la courbe , tous ces centres seront » sur une même droite. >»

En efifet, projetons la courbe sur un plan quelconque par des droites toutes parallèles entre elles , et parallèles au plan fixe. La projection de la courbe sera une courbe géométrique , la trace de chaque plan transversal sur le plan de projection , renconti'era cette courbe en des points A', B', C, .... qui seront les projections des points A, B , G, .... où le plan transversal rencontre la courbe à double courbure ; le centre des moyennes distances des points A', B', C, ••.. sera la projection du centre des moyennes distances des points A , B, G ,....; or , quand le plan transversal se mouvra parallèlement à lui-même , sa trace sur le plan de projection se mouvra parallèlement à elle-même; le centre des moyennes distances des points A', B', G' ...• engendrera donc une droite (i) ; ainsi la ligne lieu des centres des moyennes distances des points oîi les plans parai* lèles rencontrent la courbe à double courbure, a pour projection sur un plan quelconque une ligne droite ; ce qui prouve que cette ligne est elle-même une droite.

Nous* appellerons cette droite axe de la courbe conjuguée au plan fixe.

(4) Quand plusieurs droites sont dans un même plan, on peut les regarder comme formant une courbe géométrique ; ces droites auront donc une infinité de diamètres^ dont chacun sera conjugué à une droite donnée de direction.

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4 CORRESPOlfDAirCE

L'existence de ce diamètre , dans le cas particulier d un système de droites 9 est aussi une conséquence du principe de la conservation du mouvement du centre de gravité.

Toutes les droites peuvent converger vers un même point , alors tous leurs diamètres passeront par ce point.

Si toutes les droites sont parallèles entre elles , elles n*auront qu'un seul diamètre , qui leur sera parallèle.

(5) On peut regarder comme une surface géométrique , l'ensemble de plusieurs plans disposés d'une manière quelconque dans l'espace. Ces plans auront une infinité de plans-diamètres , conjugués respectivement à des axes donnés.

Si tous les plans passent par un même point , tous leurs plansdiamètres passeront par ce point.

Si tous les plans passent par une même droite, tous leurs plans- diamètres passeront par cette droite; et il est clair qu'alors toutes les droites situées dans un même plan fixe mené par cette droite , auront même plan-diamètre conjugué ; par cette raison nous dirons que le plan-diamètre est conjugué dM plan fixe.

Si tous les plans sont parallèles entre eux^ ils n'auront qu'un seul plan-diamètre , qui leur sera parallèle.

(6) Enfin, on peut regarder comme une courbe géométrique h double courbure, un système de droites disposées d'une manière quelconque dans Tespace ; ces droites auront une infinité Saxes , conjugués respectivement à des plans donnés de direction.

Si toutes les droites passent par un même point , tous leurs axes passeront par ce point.

Si toutes les droites sont parallèles entre elles , elles n'auront qu'un seul axe , qui leur sera parallèle.

(7) Reprenons le théorème de Newton ; menons à la courbe ses tangentes aux points où une des transversales la rencontre; le diamètre de ce système de tangentes , conjugué à la direction des transversales , passera par le centre des moyennes distances des points oîi la transversale qu'on considère rencontre la courbe ; mais si l'on conçoit une seconde transversale infiniment voisine de la première , et qui lui soit parallèle.

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elle rencontrera la courbe en des points infiniment voisins des points de rencontre par la première transversale, ces points appartiendront aussi aux tangentes ; donc le diamètre de ce système de tangentes , passera aussi par le centre des moyennes distances des points de rencontre de la courbe par la seconde transversale ; ce qui prouve que ce diamètre des tangentes se confond avec le diamètre de la courbe ; donc :

« Si dans le plan d'une courbe géométrique , on tire par un » point quelconque une transversale parallèle à un axe fixe, » et qu*on mène les tangentes h la courbe aux points où la M transversale la rencontre , le diamètre de ces tangentes con- » jugué à Taxe fixe , se confondra toujours avec le diamètre de » la courbe conjugue à cet axe. »

(8) On conclut de là le théorème analogue relatif aux sufaces , savoir :

(c Si , ayant une surface géométrique , on tire une série de » transversales parallèles à un axe fixe , et qu'on conçoive les n plans tangens à la surface aux points où une quelconque des » transversales la rencontre , le plan-diamètre de ces plans tan- >i gens, conjugué à la direction de Taxe fixe, sera toujours 1) le même quelle que soit cette transversale ; ce sera le planji diamètre de la surface, conjugué à Taxe fixe. »

Car d'après le théorème précédent , tout plan mené par la transversale rencontrera le plan - diamètre des plans tangens et celui de la surface suivant la même droite , ce qui prouve que ces deux plans se confondent.

(9) Enfin : u Si ayant une surface géométrique à double » courbure , on mène une série de plans parallèles à un plan » fixe , et qu'on conçoive les tangentes à la courbe aux points » où un quelconque de ces plans la rencontre, l'axe de ce » système de tangentes , conjugué au plan fixe , sera toujours » le même quel que soit ïe plan transversal ; ce sera Taxe de » la courbe , conjugué au plan fixe. »

En e£fet , deux plans transversaux infiniment voisins , intercepteront sur la courbe des élémens «qui appartiendront à un système de tangentes ; et l'axe de ces tangentes passera , comme

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6 COnitOrONDANCE

Taxe de la courbe, parles centres des moyennes distances des points où les deux plans rencontrent la courbe; ainsi ces deux axes se confondent.

(lo) Appliquons maintenant la méthode des transformations paraboliques aux théorèmes que nous venons d'exposer ; nous obtiendrons sans peine un grand nombre d'autres pro» priétés générales, tout-à-fait différentes et nouvelles , des courbes et des surfaces géométriques.

COURBES PLAITES.

(il) Lemme. Quand on a un système de points en ligne droite^ et leur centre des moyennes distances ^ si Von fait la transformation parabolique , on aura un système de droites concourant en un même point , et le diamètre de ces droites , conjugué à la direction de Vaxe de la parabole auxiliaire^

En effet soient A, 6, G, •••• les points , et O leur centre des moyennes distances ; on aura :

OA -I- OB -4- OC -*- —. = o.

A ces points correspondront des droites a, h ^ c, •.«. et o, passant toutes par un même point; soient cj, /3, y, ..•. et 6) les points oîi ces droites rencontrent Taxe X de la parabole , on aura:

CM = OA COS. (OA, X), «i9 =? OB COS. (OB, X) ,

Les points étant en ligne droite , tous les cosinus sont égaux , Téquation ci-dessus devient donc :

«a -4- Wj3 H- «y 4- .... =3 o ;

ce qui prouve que le point o, est le centre des moyennes di^

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MATHEBfATlQtTIS ET PHYSIQUE. j

stanced des^ points a, /3, r> ••••> et que par conséquent, la droite o est le diamètre des droites a, b, c^ .,.,, conjugue h la direction de Taxe de la parabole. €• Q. F. D.

(12) D'aprës cela, appliquons la transformation parabolique au théorème de Newton^ nous aurons une seconde courbegéométrique ; à chaque transversale correspondra au point situé sur une droite fixe parallèle à Taxe de la parabole ; aux points oîi la transversale rencontre la courbe, correspondront les tangentes à la seconde courbe menées par ce point, et au centre des moyennes distances de ces points , correspondra le diamètre de ces tangentes , conjugué à la direction de Taxe de la parabole (lemme); ce diamètre passera par un point fixe correspondant au diamètre lieu des centres des moyennes distances situés respectivement sur les transversales. On a donc ce théorème :

Si Von a une courbe plane géométrique et une droite fixe tracée dans son plan , et que par chaque point de cette droite , on mène un faisceau de tangentes à la courbe , et le diamètre de ce faisceau, conjugué h la droite fixe (4), tous ces diamètres passeront par un même point.

Plusieurs des tangentes menées à la courbe par un même point peuvent être imaginaires , et néanmoins le diamètre de ces tangentes , conjugué à une droite donnée , est toujours réel , par la raison que dans le théorème de Ne'wton , plusieurs des points d'intersection de chaque transversale avec la courbe peuvent être imaginaires , et que néanmoins le centre des moyennes distances de ces points est toujours réel , ainsi que nous en avons fait la remarque (i).

Quand , dans le théorème précédent, la courbe est une conique, le point par où passent les diamètres des faisceaux de tangentes issues des différens points de la droite fixé; est évidemment le pôle de cette droite par rapport à la conique ; par cette raison nous appellerons aussi ce point, dans le cas d'une courbe géométrique quelconque , le pôle de la droite fixe par rapport à cette courbe.

Ainsi le pôle d'une droite, pris par rapport h 'une courbe

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8 GOARESPONDAHCE

géométrique donnée , est un point co'niqne par oit passent les diamètres de tous les faisceaux de tangentes à la courbe menées des différens points de la droite, ces diamètre étant conjugués à cette droite : c'est-à-dire, que si Ton mène une parallèle à la droite, le diamètre de chaque faisceau de tan«gentes passera par le centre des moyennes distances des points où cette parallèle rencontrera les tangentes de ce faisceau.

(i3) Si la droite fixe est à Tinfini, les tangentes de chaque faisceau seront parallèles enti*e elles ; on a donc ce théorème :

Si Von Tnkne à une courbe géomélrique toutes ses tangentes parallèles à une même droite , le diamètre de ces tangentes pas* serapar unpointfixe^ quelle que soit la direction de cette droite.

Nous appellerons ce point fixe , le centre de la courbe. '

Suivant cette définition , toute courbe géométrique a un centre.

(i4} Le diamètre d*un système de droites . parallèles entre elles , passe par le centre des moyennes distances des points où une transversale quelconque rencontre ces droites (4)* Si donc on prend arbitrairement un point sur chacune de ces droites, le centre des moyennes distances de ces points sera sur le diamètre des droites ; le théorème précédent peut donc être énoncé ainsi :

Si Von mène les tangentes à une courbe géométrique parai-lèles à une même droite , et que par le centre des moyennes distances de leurs points de contact as^ec la courbe j on mène une parallèle à ces tangentes , cette parallèle passera par un point fixe j quelle que soit la direction commune des tangentes.

Ce point fixe est le centre de la courbe.

D'après cela nous pouvons dire que : le centre d^une courbe

igéométrique , est un point unique qui jouit de la propriété que

a \ somme algébrique de ses distances à toutes les tangentes

à la courbpfmenées parallèlement entre elles , est toujours nulle,

quelle que soit la direction commune des tangentes»

Mais nous trouverons tout à Theure une autre propriété plus caractéristique de ce point.

(i5) Remarquons d*attord qu'en vertu du théorème précédent , on a celui-ci :

Si Von mine à une courbe géométrique toutes ses tangentes parallèles à une même droite , et qu'on applique aux points de contact suivant ces tangentes des forces égales , leur résultante passera par un même point, quelle que soit la direction des tangentes*

> Gela est, comme on voit, une extension de la propriété du centre des forces parallèles qa'on fait toorner autour de leurs points d'application»

(i6) De même que , dans le théorème de Ne^vton , la courbe peut se réduire à un système de droites^ ainsi que nous T^vons dit (4) 9 nous pouvons considérer , dans les théorèmes que nous Tenons de démontrer, un système de points comme une courbe géométrique ; alors le théorème (la) donne , comme cas particulier, celui-ci:

Si Von a dans un plan un système de points et une droite

Jixe , et qu on fasse tourner autour de ces points un faisceau de

droites dont le point de concours parcourt la droite fixe ,

le dianiètre de ce faisceau , conjugué à cette droite , tournera

autour {Pun point fixe (*)•

' Nous donnons à ce point la même dénomination que pour le cas d*une courbe géon^étrique , c'est-à-dire , que nous l'appellerons le pôle de la droite fixe, par rapport au système de points*

(17) Faisons maintenant la transformation parabolique du théorème («j) ; nous pouvons , d'après ce qui précède , énoncer sur-le-champ cette propriété remarquable des courbes géométriques :

Etant données une courbe géométrique et. une droite fixe ^ si d^un point quelconque de cette droite on mène les tangentes à la courbe , etqiCon conçoit^e tous leurs points de contact ^ le pôle de la droite fixe par rapport à ce système de points sera toujours le

(*) Nous avons di\k dëmontrë directement ce thëorème dans notre premier Mëmoire sur les transformations paraboliques, et avons dit qu'il a été donne antërienrement par M. Poncelet, dans son Mémoire sur les moyennes harmoniques.

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I O CORRESPOND Ail CE

même , quel que soit sur cette droite le point par lequel on a mené les tangentes à la courbe ; et ce pôle sera précisément celui de la droite par rapport à la courbe,

(i8) Si la droite est à Tinfini, le thëorëme prend cet ënoncë:

Si Von mène à une courbe géométrique toutes ses tangentes parallèles à une droite donnée , leurs points de contact auront pour centre des' moyennes distances un point fixe , quelle que soit la direction commune des tangentes ,* ce point fixe sercé le centre de la courbe.

Ce théorëme , en même temps qu'il exprime une propriété singulière des courbes géométriques, donne une construction très-simple de leurs centres.

(19) Pour faire une application de ces théorèmes, qui nous paraissent d'un genre tout nouveau , et dont , par cette raison ; Futilité pourrait sembler douteuse , quoiqu'on sache qu'il n*est point dans les sciences de principes généraux qui ne trouvent tôt ou tard de nombreuses applications , considérons une courbe géométrique , telle que par un point quelconque on ne puisse lui mener que trois tangentes ; et soient les trois tangentes menées à cette courbe par un certain point o , par le point de contact de chaque tangente on pourra mener une autre tangente à la courbe , ces trois nouvelles tangentes se coU' peront toujours en un même point.

En effet soient a, ^, c, les points de contact de la courbe et de nés trois tangentes issues du point o ; et soit & le point de rencontre des deux nouvelles tangentes à la courbe menées par les points a^b.W à'âgit de prouver que la nouvelle tangente menée par le pointe, passera par ce point o'. Si cela n'avait pas lieu , on pourrait mener par le point o' une troisième tangente à la courbe. Le diamètre des trois tangentes issues du point 0% conjugué à la droite 00^ ^ passe par le pôle de cette droite pris par rapport à la courbe (12) ; le diamètre des trois droites menées du point o' aux trois points a , è , c , conjugué à la droite 00' , passe par le pôle de cette droite pris par rapport au système des trois points ût, ô , c (16); mais le pôle de la droite 00' par rapport à ces trois points, est le même que

MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE. Il

son pôle par rapport à la courbe (17) ; on en conclut donc que le diamètre des trois tangentes issues du point o', est le même que le diamètre des trois droites menées de ce point aux trois points a, & , c; les deux premières de ces droites sont deux des tangentes à la courbe , la troisième est donc la troisième tangente à la courbe ; ainsi le théorème est démontré.

Nous ferons voir ailleurs que ce théorème est applicable à certaines courbes du sixième degré et à toutes celles du quatrième , qui ont trois points de rebroussement , ainsi qu'à toutes les paraboles cubiques.

Le même théorème fait voir que les tangentes aux trois points de rebroussement de la courbe , passent par un même point.

U est clair qu'une nouvelle transformation parabolique conduit de ce théorème au suivant, qui appartient à toutes les courbes du troisième degré :

Si une transversale quelconque rencontre une courbe du troisième degré' en trois points , les tangentes à la courbe en ces points rencontreront la courbe en trois noui^eaux points qui seront toujours en ligne droite.

D'oîi l'on conclut sur-le-champ que les trois asymptotes d'une

* courbe du troisième degré , rencontrent toujours la courbe en

trois points qui sont en ligne droite, et que les trois points

d'inflexion d'une courbe du troisième degré , sont toujours en

ligne droite.