SURFACES GÉOMÉTRIQUES

(20) Lemme. Quand on a un système de points en ligne droite et leur centre des moyennes distances , si Von fait la transforma-tion par rapport à un paraboioide , on aura un système de plans passant par une même droite et leur plan-diamètre, conjugué à la direction de Vaxe du paraboloïde.

Ce lemme se démontre absolument comme le précédent.

{^l) Faisons la transformation parabolique du théorème (2) ,

Digiti

la CORRESPOND Aires

nous aurons une seconde surface géomëtrique ; à chaque transversale correspondra une droite située dans un plan fixe parallèle à Taxe du paraboloïde ( I*' Mémoire 4i 9 3-®); les plans tangens à la seconde surface menés par cette droite , correspondront aux points ob la transversale rencontre la première surface , et le plan-diamètre de ces plans tangens , conjugué à Taxe du paraboloïde, correspondra au centre des moyennes distances de ces points ( lemme ) ; ce centre est sur un plan déterminé (i) ; le plan-diamètre passera donc par un point fixe correspondant à ce plan ; d'oti résulte ce théorème :

jSjf ron a une surface géométrique et un plan fixe , et que par une droite prise arbitrairement dans ce plan, on mène les plans tangens à la surface , et le plan-diamètre de ces plans tangens , conjugué au plan fixe (5) , ce plan-diamètre passera par un point fixe ^ quelle que soit dans le plan donné la droite par laquelle on a mené les plans tangens.

Nous appellerons ce point fixe le pôle du plan donné, par analogie avec la dénomination admise dans les surfaces du second degré où ce point fixe est le pôle du plan.

(23) Supposons que la droite D , prise dans le plan donné , par laquelle on mène les plans tangens à la surface , tourne autour d'un point m de ce plan ; le plan-diamètre correspondant à chaque position de cette droite , tournera autour de la droite menée du point m au pôle du plan donné (21). Or , tous les plans tangens à la surface , envelopperont son cône circonscrit qui aura son sommet au point m ; un plan parallèle au plan donnée coupera ce cône suivant une courbe géométrique, coupera les plans tangens menés par la droite D , considérée dans une de ses positions , suivant des tangentes à cette courbe toutes parallèles entre elles , et coupera le plan-diamètre des plans tangens suivant le diamère de ces tangentes; ce diamètre , quelle que soit la direction des tangentes , passe par le centre de la courbe (i3); le plan-diamètre passe donc par ce centre , quelle que soit la position de la droite D autour du point m ; ainsi le centre de la courbe est sur la droite menée du point m au pôle du plan donné ; on a donc ce théorème :

Digiti

MATHÉMATIQtJE ET PHYSIQUE. l3

Si ton circonscrit à une surface géométrique une infinité de cônes ayant tous leurs sonimets dans un même plan , et qui! on coupe tous ces cônes par un plan parallèle à ce premier plan, puisqu'on joigne par une droite le sommet de chaque cône au centre de sa section^ toutes ces droites iront passer par un même point.

(a3) On conclut de là que :

Si Von circonscrit à une surface géométrique des cônes ayant tous leurs sommets sur une même droite , tout plan parallèle à cette droite coupera les cônes suii^ant des courbes dont les cenires seront sur une même droite parallèle à la droite lieu des sommets des cônes.

Nous avons déjà démontré ce théorème dans le cas particulier oh la surface est du second degré. ( Annales de mathéma* tiques ^ tom. XIX«, pag. 171*)

(a4) Supposons , dans le théorème (ai) , que le plan fixe soît à Tinfini , il s*ensuivra que :

Si Von mène à une surface géométrique tous ses plans tangens parallèles à un même plan , puis le plan-diamètre de tous ces plans tangens , ce plan-diamètre passera par un point fixe , quelle que soit la direction des plans tangens.

Or , le plan-diamètre d'un système de plans parallèles entre eux , passe évidemment par le centre des moyennes distances d'un système de points pris respectivement sur ces plans ; on peut donc dire que :

Si Von mène à une surface géométrique tous ses plans tangens parallèles à un même plan , et que par le centre des moyennes distances de leurs points de contact on niène un plan qui leur soit parallèle , ce plan passera par un point fixe , quelle que soit la direction des plans tangens.

Nous appellerons ce point fixe , qui est unique dans la surface , centre de la surface.

Ce point, comme on voit , jouit de la propriété que la somme algeTfn'que de ses distances à tous les plans tangens à la surface menés parallèlement à un même plan est toujours nulle ^ quel que soit ce plan.

Digiti

i4 conncspovDANCi:

(a5) D'après Tacception que nous donnons au mot centre d'une courbe géométrique , il est ôlair que toutes les sections planes d'une surface cylindrique géométrique > ont leurs centres sur une même droite parallèle aux arêtes du cylindre ; nous appellerons cette droite axe du cylindre.

Si dans le théorème (23) , on suppose le plan lieu des sommets des cônes situé à l'infini , ces cônes deviendront des cylindres 9 et Ton aura ce théorème :

Si Von circonscrit des cylindres à une surface géométrique , tous leurs axes passeront par un même points centre de la surface,

(26) Un système de points dans l'espace peut être considéré comme une surface géométrique, les théorèmes précédens en donnent donc d'autres , relatifs à un système de points.

Ainsi, du théorème (ai), on conclut celui-ci:

Etant donnés un système de points dans t'espace et unplan fixe , si par une droite prise arbitrairement dans ce plan , on mène des plans passant respectii^ement par tous les points du système, le plan- diamètre de ces plans, conjugué au plan fi^e , tournera autour d*un point fixe, quelle que soit la droite prise dans le plan donné.

Nous appellerons ce point fixe , le pôle du plan par rapport an système de points.

{27) Le théorème (22) donne pareillement celui-ci :

Si Von a un système de points dans V espace et un planfi^e , et que par un point pris arbitrairement dans ce plan , on mène un faisceau de droites aboutissant à ces points^ faxe de ce faisceau de droites^ conjugué au plan donné (h), passera par un point fixe , quel que soit le point pris arbitrairement dans le plan donné.

Ce point fixe est le pôle du plan par rapport au système de points.

{28) D'après ce qui précède , on voit sur-le-champ que le théorème (8) donne , par une transformation parabolique , le suivant :

Étant donnés une surface géométrique et un plan, si par une

Digiti

MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE. l5

droite prise dans ce plan , on mène les plans tangens h la surface, le pôle du plan par rapport aux points de contact sera un point fixe , quelle que soit dans le plan donné la droite par laquelle on a mené' les plans tangens; et ce point fixe sera précisément le pôle du plan par rapport à la surface»

(29) Le plan donné peut être h Tinfini^ on a alors cette propriété générale des surfaces géométriques :

Si Von mine à une surface géométrique tous ses plans tan* gens parallèles à un même plan , leurs points de contact as>ec la surface auront pour centre des moyennes distances un point fixe, quelle que soit, la direétion commune des plans tangens ; ce point fixe sera le centre de la surface*

Cela offre une construction très-simple du centre d'une surface géométrique.

(3o} G)ncevons une surface géométrique et plusieurs cônes qui lui soient circonsciùts , et aient leurs sommets en ligne droite; tout plan mené par cette droite coupera, la surface suivant une courbe , et chaque cône suivant un faisceau de tangentes à cette courbe; les diamètres de ces faisceaux de tangentes, conjugués à la droite lieu des sommets des cônes, passeront tous par un même point qui est le pôle de cette droite par rapport à la cocrbe d'intersection de la surface (12); mais tous ces diamètres appartiennent aux plans-diamètres des cônes , conjugués à la droite lieu des sommets des cônes (2) ; tous ces plans passent donc par un même point. Ils passent pareillement par un même point de tout autre plan mené par la droite lieu des sommets des cônes, on a donc ces deux théorèmes :

*$ï Von circonscrit à une surface géométrique des cônes ayant tous leurs sommets sur une même droite^ les plans-diamètres de ces cènes , conjugués à cette droite, passeront tous par une seconde droite.

Et : Si l'on coupe une surface géométrique par des plans menés par une même droite , les pôles de cette droite par rapport aux sections de la surface par ces plans seront tous en ligne droite.

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l6 CORRESPOHDAirCB

(3i) Si la droite par laquelle passent tous les plans sécans est à l'infini , ce thëorème prend cet énoncé :

Les sections faites dans une surface géométrique par des plans tous parallèles entre euxj ont leurs centres situés sur une même droite.

n ne faut pas perdre de vue les propriétés du point que nous avons nommé centre d'une courbe géométrique. Quand cette courbe a un centre de figure , il est clair que ce point est aussi celui que nous appelons ici centre , pourvu que nous considérions la courbe isolément ; car , si nous la considérons comme section d'une surface géométrique , son centre , comme nous l'entendons , pourra bien ne pas être son centre de . figure , parce que la courbe ne serait pas la section complète de la surface proposée , soit par un plan , soit par une autre surface ; une autre partie de cette section- pourrait être imaginaire , ou composée de points conjugués invisibles, auxquels il faudrait avoir égard pour déterminer le centre de la courbe.

Nous ne pous arrêterons pas à faire voir que les propriétés générales des surfaces géométriques que nous venons d'exposer, renferment, comme cas particulier, un grand nombre des propriétés des surfaces du second degré,

COUBBES A DOtTBLE COtTBBtTBE.

(3a) Nous pouvons supposer, dans ce que nous venons de dire sur les surfaces géométriques , qu'une surface se réduise h une ligne courbe ; c'est ce qui aura lieu , si l'on considère dans le théorème (i) une surface développable ; car la transformation parabolique donnera pour polaire de cette développable une ligne courbe , généralement à double courbure.

Les théorèmes exposés dans le paragraphe précédent , renferment donc aussi des propriétés générales des courbes géo» métriques à double courbure. Ces propriétés nous paraissent d'autant plus mériter d'être connues , que l'on rencontre rare*

Digiti

MAtBBKATIQVE ET rarSIQUE* %m

ment l'occasion d'en signaler d'anssi génénà^ sur las eourbes à double courbure.

Nous allons donc en âioncer les principales , en indiquant les thébrëmes dont elles sont des conséquences.

(33) Étanidonnét une courbe géomélrU/ue à double courbure (ou plane ^ bien entendu), et un plan fixe, si par une droite prise arbitrairement dans ce plan on mène les plans tangent à la courbe , et leur plan^diamètre conjugué au plan fixe , ce plan^diamètre passera par un point fixé ^ quelle que soit la droite prise dans le plan donné {:ti).

: Nous appellerons ce point le pôle du plan par rapport à la courbe.

(34) Si par une courbe géométrique quelconque on Jhit passer des cônes ayant tous leurs sommets sur un même plan , qu'on coupe ces cônes par un plan parallèle à ce premier ^ et qu*on joigne par des droites les sommets des cônes aux centres de leurs sections^ toutes ces droites passeront par un même point qui sera le pôle du plan donné par rapport à la courbe (la).

Ainsi : Si par une conique on fait passer pluêieurs cônes ayant leurs sommets sur un même plan , leurs axes conjugués à ce plan passeront tous par un même point du plan de la conique^

(35) Supposons dans ces théorèmes que le plan fixe soit à Tinfini , on en conclura ceux-ci :

Si ton mène à une courbe géométrique h double courbure toutes ses tangentes parallèles à un même plan donnée le plan mené par le centre des moyennes distances de leurs points de contact auec la courbe , parallèlement au plan donnée passera par un point fixe , quel que soit ce plan (^4}*

Nous appellerons ce point le centre de la courbe.

(36) Si par une courbe géométrique à double courbure on fait passer une infinité de cylindres ^ tous leurs axes se rencontreront en un même points qui sera le centre de la courbe (sS)

Cela fait voir que « quand on projette une ligne à double >i courbure sur un plan, le centre de la projection est préci* » sèment la projection du centre de la courbe à double cour* » bure. »

Tom. FI. a

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l6 , -COBRESPOirDAMaS

Ou en d'autres termes :

« Toute courbe à double courbure tracée sur ua cylindre 9 » a son centre sur Faxe du cylindre. » . .

(37) Etant donnés une courbe géométrique quelconque et un plan fixe , si par une droite prise arbitrairement dans ce plan on mène tous les plans tangens à la courbe, le pôle du plan

fixe par rapport aux points de contact , sera le même quelle que^oit la» droite par laquelle on a mené les plans tangens ; ee sera le pôle du plan par rapport à la courbe (28).

(38) Le théorème (2g) nous donné cette propriété des côuiv bes à double courbure, 4^1 nous paraît digne d'être remarquée:

Si Von mène à une courbe géométrique à double courbure toutes ses tangentes parallèles à un plan donné, leurs points de contact auront pour centre des moyennes distances un, point fixe, quel que soit ce plan donné; ce point sera le centre de la courbe*

(3g) Enfin , les deux théorèmes du n^ 3o, donnent ces deux-ci :

Si plusieurs cônes passent par une même courie géçmétrique et ont leurs sommets en ligne droite, les plans-diamètres de ces cônes , conjugués à cette droite , passeront tous par une se-» conde droite»

Si Von coupe une courbe géométrique à double courbure par des plans passant tous par une même droite, et qu]on prenne dans chaque plan le pôle de cette droite par rapport au système des points oit ce plan rencontre la courbe, tous ces pôles se* ront en ligne droite.

Si les plans transversaux sont parallèles entre eux ., les* pôles deviendront les centres des moyennes distances des points où les plans rencontreront la courbe, et Ton aura le théorème (3) , que nous avons démontré directement.

(4o) Terminons ce paragraphe par deux propriétés des surfaces géométriques , que nous ne pouvions donner avant d'avoir exposé celles des courbes à double courbure.

Des deux théorèmes ( 28 et 3^ ) , résulte celui-ci :

Si Von circonscrit à une surface géométrique une infinité de cônes ayant tous leurs sommets sur un même plan , ce

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MATHEBIATIQUE BT PHYSIQUE. IQ

plan aura même pôle par rapport à toutes les courbes de con» tact des cônes et de la surface^ ce sera le pôle du plan par rapport à Ut surface.

(4i) Si le plan lieu des sommets des cônes est à Tinfini , ce théorème prend cet énoncé :

Si Von circonscrit à une surface géométrique une infinité, de k^yUndresy toutes leurs courbes de contact as^ec la surface auront un même centre^ ce sera le centre de la surface*

SUJRFACES DÉTELOPPABLES.

(4^) Lemme* Quand on a un système dépeints dans t espace et leur centre des moyennes distances , si Von fait la transformation parabolique , on aura un système de plans , et un dernier plan 9 correspondant au centre des moyennes distan-^ ces , qui sera le plan-diamètre de ce système de plans , conjugué à la direction de Vaxe du paraboloïde.

En effet, d'après le théorème Sa (I" Mémoire) , ce dernier plan sera tel que toute transversale parallèle à l'axe du pa« raboloïde le rencontrera en un point qui sera le centre des moyennes distances des points où cette transversale rencon> trera tous les autres plans; ce qui prouve que ce plan est le plan-diamètre de tous ces plans ^ conjugué à la direction de l'axe du paraboloïde (5)«

(43) Faisons la transformation parabolique du théorème (3)., nous aurons une surface géométrique développable ; à chaque plan transversal correspondra un point situé sur une droite fixe parallèle à l'axe du paraboloïde; aux pqints oîi le plan transversal rencontre la courbe , correspondront les plans tan-, gens à la développable menés par ce point , et enfin , au centre des moyennes distances de ces points , correspondra le plandiamètre de ces plans tangens , conjugué à la direction de l'axe du paraboloïde ou de la droite fixe (lemme) ; ce plan-diamètre passera donc par une droite fixe correspondante à Yaxe

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aO COABBSPOIIDANCE

de là eourbe là double courbure , conjugue à la directioii Aa plan transversal (3)^; ainsi Ton a le théorème suivant :

Étant données une surface déi^eloppable ^ométrique et unie droite fixe y dans V espace , si par un point de cette droite on mène tous les plans tangens à cette des^eloppable et leur plan* diamètre conjugué à la droite donnée , ce plan-diamètre tour» nera autour d'une droite fixe, quand le point par letjuel on a mené les plans tangens parcourra la droite donnée^

Ce théorème , que nous venons de démontrer directement pour avoir occasion de donner le lemme précédent , qui peut «être utile dans plusieurs applications de la méthode des transformations paraboliques , se déduit très-aisément des propriétés générales des surfaces géométriques quelconques ; on voit en effet qu'il est une conséquence des deux théorèmes (3o).

On peut supposer que la droite fixe soit à l'infini ; il est facile de voir comment se modifie l'énoncé du théorème. '

On peut supposer que la surface développable se réduise à un système de droites, on aura de nouveaux théorèmes, que nous nous dispenserons d'énoncer, parce qu'ils sont des cas particuliers du précédent, ainsi que des deux théorèmes (89) sur les lignes à double courbure , puisqu'un système de droites dans l'espace peut ctre considéré comme une telle ligne»

(44) Enfin le théorème (9) donne , par une transformation parabolique , en vertu du lemme ci-dessus , le théorème suivant :

Si Von a une surface développable géométrique et une droite fixe dans V espace , que par un premier point pris arbitraire^ ment sur cette droite on mène tous les plans tangens h la surface , que par un second point pris arbitrairement aussi sur la droite on mène des plans passant par toutes les arêtes de contact; le plan-diamètre de ce système de plans passera par une droite fixe , quels que soient les deux points pris sur la droite donnée.

Ce théorème aurait pu être déduit aussi de ce qui précède et du théorème (1^) sur les courbes géométriques.

(45) Tout plan tangent à une sufface développable , est osculateur en un point de son arête de rebroussement ; on

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MATffiKMATlQVE ET PUYMQVr, 21

pourroit donc donner aux théorèmes prëcédens d*autres tfnon* ces, en considérant une courbe à double courbure, au lieu d'une surface développable.

Pareillement, en observant que les tangentes à une courbe à double courbure sont les génératrices de la développable qfn a cette courbe pour arête de rebroussement , on pourra appliquer aux surfaces développables les théorèmes sur les courbes à double courbure compris dans le paragraphe précédent. Par exemple , on peut donner au théorème (38) , cet énoncé : Si Fort prend sur une surface dés^eloppable géométrique toutes ses génératrices parallèles à un même plan , les points oà elles toucheront l'arête de rebroussement de la surface auront pour centre des moyennes distances un point fixe , q^el que soit ce^ plan / ce point fi^e sera le centre de V arête de rebroussement.

SYSTEMES DE COURBES PLANES GÉOMÉTRIQUES , ET SYSîilMES DE SVR" FACES GÉOMÉTRIQUES QUI ONT LES MEMES POIITTS COMMUNS.

(46) Nous avons vu que l'équation d'une courbe du degré m étant

ocm ^ ^ay -^b) a;"*—» -♦- •••• -♦- A s= o ,

l'équation de son diamètre conjugué h. Taxe des x est

mx 'h (ay ^ b)ssso.

Soit une seconde courbe du degré m ayant pour équation

x^-^- (a'y ^ b') a^-^ -»- .••. + i'sto,

celle de son diamètre conjugué à l'axe des x sera

mx -f- ( «y -f- i') =s o.

Soit enfin une troisième courbe du degré m , passant par les points d'intersection (réels ou ijgotaginaires) des deux premières^

Digiti

22 COBAESPONBAirCE

son équation ne pourra être que de la forme I

j:w(i4-/tt)^-[(tf^+i)^-/tt(a>--i-i')]a:»--* -♦-.*.• -♦-(*-4-AtA')*==^^ i et Fëquation de son diamètre conjugué à Taxe des x sera

{ay'^h)'\'f.(ay^b')

mx -I- ■ =s o*

Si Ton fait mx + {ay -4- & ) =: o dans cette équation , elle se réduit à mx -4- {a'y -4- ^' ) = o ; ce qui prouve que les diamètres des trois courbes 9 passent par un même point. On a donc ce théorème :

Quand plusieurs courbes ge'ométriques ont toutes , d&is h deuXf les mêmes points d'intersection {réels ou imaginaires)^ leurs diamètres conjugués à une même droite passent tous par un même point.

(47) Soient plusieurs surfaces géométriques ayant toutes , deux à deux, la même courbe d'intersection (réelle ou imaginaire ) ; concevons leurs plans-diamètres conjugués à une même droite; tout plan transversal parallèle à cette droite y coupera les surfaces suivant des courbes qui auront, deux à deux, les mêmes points d'intersection, et coupera les plansdiamètres suivant des droites qui seront les diamètres de ces courbes , conjugués à cette même droite ; tous ces diamètres passeront par un même point , d'après le théorème précédent ; cela prouve que les plans-diamètres auront tous la même intersection ; on a donc ce théorème :

Quand plusieurs surfaces géométriques ont toutes , deux à deux, la même intersection, /ez/r; plans-diamètres conjugués à une même droite passent tous par une même droite.

(48) L'équation d'une surface géométrique du degré m , rapportée à trois axes coordonnés des x^yetz^et ordonnée par rapport à x est de là forme

x^ -♦- {ay + iz *|. c) x»-' -f* .... -»- Aasso;

Digiti

MATHEtfATIQVB ET PRYSIQTTE. *a3

et IVquation du plan-diamètre de cette surface, conjugué à Taxe des x est

mx H- {ay -f- fo -♦- c) = o.

Soient

a:* H- (a>* + Vz h- c') a?«-« h- •..• + A" = o ,

les équations de deux autres surfaces du degré m ; celles & leurs plans-diamètres conjugués à Taxe des x sont

mx -I- (a!y -f- A'2 ^- c') = o, mx -f- (a'y -f- A"z -♦- c" ) = o.

Une quatrième surface du degré m , passant par les points d'intersection des trois premières , aura son équation de la forme

(H-A-i-/tf)a:~-f-[ [ay -f- iz -f- c) -♦- A (a'^ ^- h'z -f- c') ^ A* (a"^ H- Wz -f- c" )] a:'»-! -f- .... 4- * -ï- A*' ^. /oA" = 0/

Téquation du plan-diamètre de cette surface , conjugué à Taxe des x^ est

I H-A-»-/ifi

Cette équation fait voir que le plan qu'elle représente passe par le point d'intersection des plans-diamètres dès trois premières surfaces, on a donc ce théorème :

Quand plusieurs surfaces géométriques ont toutes, trois à trois, les mêmes points cC intersection , leurs plans-diamètres conjugués h une même droite passent tous par un même point.

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vn.

«rSTElUCS DE COURBES PLANES GSOMÉTBIQUES QUI ONT MEMES TAS* CENTES COMMUNES, ET SYSTEMES DE SURFACES GEOMETRIQUES QUI ONT MEMES PLANS TAN GENS COMMUNS,

(4g) En appliquairt la méthode des transformations paraboliques aux trois théorèmes du paragraphe précédent, comme nous avons fait ( la et 21 ) pour les théorèmes ( i et a), nous «n obtiendrons de nouveaux*

Ainsi le théorème (46) donne celui-ci :

Quand plusieurs courbes géométriques ont toutes , deux à deux , les mêmes tangentes communes (réelles ou imaginaires) , leurs pôles relatifs à une même droite sont tous sur une autre droite.

(56) Si la droite proposée est à l'infini , on en conclut que :

Quand plusieurs courbes géométriques ont toutes , deux à deux , les mêmes tangentes communes , leurs centres sont tous en ligne droite.

(5i) Le théorème (47) donne celui-ci:

Quand plusieurs surfaces géométriques sont toutes inscrites dans la même dés^eloppable , les pôles d*un même plan , par rapport à toutes ces surfaces , sont sur une même droite.

(5a) Si le plan est à l'infini , on en conclut que :

Quand plusieurs surfaces géométriques sont toutes inscrites dans la même dévehppable , leurs centres sont tous en ligne droite.

(53) Enfin le théorème (48) donne celui-ci :

Quand plusieurs surfaces géométriques ont toutes , prises trois à trois , les mêmes plans tangens communs , les pôles dHun même plan , par rapport à ces surfaces , sont tous sur un autre plan.

(54) Si le premier plan est & l'infinî , on en conclut que : Quand plusieurs surfaces géométriques ont toutes , trois à

trois, les mêmes plans tangens communs j leurs centres sont tous $Ur un même plan.

Digiti

MITRilCATIQVX XT niYAlQVB. aS

Ces divers thëorèmes généraux donnent , comme eas parti* culiers , les propriétés connues des coniques et des surfaces du 4(econd degrë.

(55) Nous avons vu que le théorème (3) , relatif aux courbes géométriques à double courbures coupées par une suite de plans parallèles entre eux , n'est qu'un cas particulier d'un autre , dans lequel les plans passent par une même droite (Sg)* Pareillement le théorème de Nçwton sur les courbes planes , et son analogue dans les surfaces géométriques, ainsi que ceux . que nous avons démontrés sur les systèmes de courbes planes et de surfaces qui ont les mêmes points d'intersection (parag. VI) . ne sont que des cas particuliers d'autres théorèmes où les transversales , au lieu d'être parallèles , émanent d'un même point; ces théorèmes plus généraux s'obtiendraient par de nouvelles transformations paraboliques de ceux que nous avons déduits, dans ce mémoire, des premiers. Mais comme il est une marche beaucoup plus simple pour les conclure directement de ces premiers sans employer deux transformations paraboliques , nous ne les exposerons que quand nous nous occuperons de cette méthode.

Fin de la Note sur le moui^ement vibratoire , etc. , insérée è la page 2^7 du tome V, par M. Pagaiti^ professeur extraordinaire à rUniversité de Louvain.

Supposons que l'on ait ^(r, d)asBO , c'est-k-dire , que la forme initiale de la membrane soit plane; seulement nous admettrons que l'on imprime , à l'origine du temps , une vitesse initiale aux divers points de la membrane perpendiculairement à son

Digiti

a6 COKRESPOHDAHCE

plao. Bans cette hypothèse , la formule (i6)'iious donnera

I No '— * r* N

(15) z=- 2 -— -/(iur) sin. CfU + S "2 -^/(a^) «in. CfU, ' ac /uJto /=3 1 *^ A*"

les fonctions /(fo)^ N, P ëtant déterminées par les formules (g) , (i5) , et la quantité fx, étant racine de l'équation (lo). N© et Po indiquent ce que deviennent N et P lorsque î= o.

Cela posé, considérons d'abord les cas où la vitesse initiale est une fon<!tion de la seule variable r; et faisons , pour cela,

xPl^r^ .$) =2 Fr. En observant alors que y cos, w. da est égale à

xero pour toutes les valeurs entières de t, excepté le cas où / = 0/ et que l'on a toujours Jr sin. w. dct=zo; on trouvera facilement, au lieu de la formule (17) 9 la suivante

dans laquelle on doit prendre,

( 19) f(j^) = /"cos. {fir COS. w) rfw ,

et déterminer fi au moyen de l'équation

(20) /*cos, (a/t4 COS. a) da =z o*

Les racines de cette équation étant incommensurables , on voit que les termes de la série (18) ne peuvent devenir nuk toos à la fois pour la même valeur de t, excepté lorsque le mouvement commence. En conséquence , la membrane ne pourra faire entendre un son unique , que dans les cas oh la fonction

Digiti

MATHEHATIQDE ZT PHYSIQUE. 37

fr sera telle que le second meiid>re de l'éqiiatî6a (18) se réduise à un seul terme* Pour réaliser cette supposition, nous remarquerons me la

fonction Fr désigne la valeur du coefficient différentiel -7- , en

7 faisant ^= o. En admettant donc que Ton ait simplement

on devrait avoir

Or, en supposant Fr = K/'(/Mr) (en dénotant par K une constante quelconque) , il est facile de s'assurer que la dernière équation est satisfaite ; car il résulte de la dernière formule de

la page aSo, que Ton doit avoir rf{f£r)rdrssi —y (a/ct); ce

qui établit l'identité entre les deux membres de l'équation cidessus. En substituant donc dans la formule (ai), on aura, pour déterminer le mouvement de la membrane (dans Thypo-

dz

thèse z =0 et -;- =5 lLf{fir) lorsque t == o) , dt

'Kf{(ir) sin. Cfit.