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ce qui donne cette propriété remarquable du second degré : Si par un point ^xe on mène trois droites telles que la po* taire de chacune d'elles par rapport à une surface du second degré soit comprise dans le plan des deux autres^ elles rencontreront la surface en six points , tels que la somme des valeurs inverses des carrés des distances de ces points au plan polaire du point fixe , sera constante^ quel que soit le système des trois droites.

Paris, 7 mars 4830.

De tous les quadrilatères inscrits dans un rectangle , celui de moindre contour est un parallélogramme , ayant ses côtés respectivement parallèles aux diagonales du rectangle proposé; et il existe une infinité de quadrilatères inscrits de même contour minimum, ce minimum étant la somme des diagonales du rectangle. Problème proposé à la pag. aoo du V» vol. et résolu par M. Pierre Obici , cadet au corps Royal des pionniers de Modène.

Soit ABCD le rectangle proposé , dans lequel est inscrit un

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MATHEMATIQUE ET PHYSIQUE. SfcS^

quadrilatère quelconque MNQR. Posons

AB~a, AD=ft, AN=a7,AM=jr,CR=z,CQ=a; on aura

BM=:a— ^,BR = 6— z,DN=ft— x,DQ=a— 21.

Le contour du même quadrilatère est donne par l'expression

Afin que cette expression soit un maximum ou ua minimum , il faudra que les quatre équations suivantes se vérifient.

Vx^ ^y» Via —yY ^{h — zY

^^^ )/z^ -f. a» ~ ï/(^r^yj^":r(^ ~ z^ "^ ^

^^^ )/z-\u' ~ \/(b — xyt^ (a — «)' "^^^

De la forme des équations (i) et (3), on voit d'abord que si elles doivent subsister à la fois , on aura nécessairement .a:ss:z; et de (i) et (4) 9 on déduit ysszu ; ainsi nous n'ayriens qu'à considérer les seules deux équations ( i ) et (a) , qui se réduisent h celles-ci :

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a6o COnnESPOMDANCK

qui se yërifient quand

équation qui nous montre que le quadrilatère de contour minimum est un parallélogramme, dont les côtés sont parallèles aux diagonales du rectangle, et en outre qu'il existe une inanité de ces quadrilatères, ou parallélogrammes. Substituant alors en (a) la valeur de^ , déduite de {b) , elle se réduit à

ce qui fait voir que le contour d*un quelconque des quadrilatères précédons , est constant et égal à la somme des deux diagonales.

Par des considérations assez simples et élémentaires , on parvient aussi à la même conclusion. '

En effet : on sait que si de deux points partent deux lignes droites , qui se rencontrent sur une autre , de manière que l'angle d*incidence soit égal à Tangle de réQexion , la somme de ces lignes est la moindre possible.

Gela posé, qu'on prenne sur AB un point quelconque M , duquel on conduise la parallèle MN h BD, qui prolongée, rencontre en P la droite CD aussi prolongée ; il est alors clair que MP = BD , et prenant DQ = DP, et conduisant NQ, il en résultera NP = NQ , et rangle MN A = PND = DNQ , d'où le parallélogramme formé par MN , NQ , selon la remarque qui vient d*étre faite , aura pour contour un minimum , puisque ses côtés font en M, N, Q, R, des angles égaux deux à deux avec les côtés du rectangle : on voit ainsi facilement que le contour est égal à la somme des diagonales du rectangle proposé.

Ce qu'on a dit du point M, on peut le dire de tous les autres points du côté AB , qui , étant en nombre infini , montrent qu'il existe une infinité de quadrilatères inscrits de même contour minimum ^ ce minimum étant la somme des diagonales du rectangle.

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MATIliMATIQVE ET rUTSIQVE. a6l

Mémoire sur quelques proprie'tés des systèmes dejbrces, par M, LÉVY, lecteur li l'Université de Liëge.

M. Chastes a énoncé le premier le théorème suivant :

Des forces en nombre quelconque, appliquées dans des di* rections quelconques h des points invariablement liés entre eux , mais libres d'ailleurs de toute gêne étrangère, peux^ent dune infinité de manières différentes , être remplacées par le système de deux forces* Dans tous les systèmes de deux forces qui peui^ent leur être substituées y comme eTfuiualens , le té* traèdre construit sur les droites qui représentent les deux résultantes tant en intensité qu'en direction , considérées comme arêtes opposées , a un volume constant.

M. Gergonne , dans le dernier numéro des Annales de Mathématiques 9 pour l'année i8a8, a donné une démonstration analitique de cette proposition ; et , dans le Bulletin des sciences mathématiques^ de septembre i8ag, on en cite une autre par M. le professeur Môbius.

C'est la lecture de ce dernier article qui m'a engagé à chercher de mon côté à démontrer ce théorème curieux. J'y suis parvenu de deux manières différentes , dont l'une repose sur des considérations purement géométriques , et dont l'autre exige l'emploi de lanalise. J'ai trouvé en outre que l'on pou* vaît ajouter à cette propriété remarquable que possède un système quelconque de deux résultantes , celle qui résulte du théorème suivant :

Si Von joint par une droite les points d^ application de deux, quelconques des forces qui, ensemble, peuyent remplacer un système quelconque de forces , et par une autre droite les extrémités des lignes qui représentent les directions et les intensités de ces forces , la ligne qui réunit les milieux de ces deux droites de jonction a toujours la même grandeur et la même direction.

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a6a CORRESPOVDAVCE

Je commencerai par rappeler une çzpression du Tohiine d'une pyramide triangulaire qui est connue depuis long-temps. On sait que ce volume est égal au produit de deux arêtes opposées , cest'-à'dire de deux arêtes qui ne se -coupent pas , par le sinus de V angle qu'elles forment et par le sixième de leur plus courte distance.

Je démontrerai ensuite deux iémmes qui seront également utiles :

Lemme I: Soient A et ^A* deux forces dont V action simultanée peut' Yémplacer celle de toutes le^ forces que Ton considère , et soient B et B' deux autres forces équivalentes aux précédentes , je dis alors que si les directions des forces A et B sont situées dans un même plan^ il en sera de même de celles des forces A' et B'. ^ '

En effet," les deux forces A et A' étant équivalentes aux deux forces B et B', il est clair que si l'on substitue à ces dernières , deux forces qui leur soient respectivement égales en intensité et opposée^ en direction , les deux nouvelles forces et les forces A et A' se feront équilibre. Mais par hypothèse la force A 'et la force <^ùi agît en sens contraire de la force B sont dans le même plan, ces deux forces ont donc une résultante, et cette résultante doit faire équilibre à la force À' et à la force qui agit en sens contraire de la force B'. Or, quand trots' forces se font équilibre , leurs directions sont dans tlu teéme plan , donc les directions des forces A' et 'B' sont situées dans un même plan.

Corollaire. Soient MN, M'N' les directions des forces A et A', et PQ, P'Q' celles des forces B et B' {fig. 5). D'après la supposition qui a été faite , les lignes MN et PQ sont dans uninéme plan , et il en est de même des lignes M'N' et P'Q'. Supposons que les premières se rencontrent en un point S , et les dernières en un point* S'. On peut transporter les points d'applicatioti des forces A et B au point S , et ceux des forces A' ef B' au point S'. Joignons les points S et S\ et prenons sur les droites SM, SQ, S'M', S'Q', des parties SC , SD, S'C, S'D', proportionnelles aux intensités des forces A, B, A', B^;

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MATUiMATt4^tJE KT 1>HY8IQVEr 263

ai Ton mène les lignes CD, G'D', ces droites seront égalesentre elles , et Tune et l'autre parallèles II la droite SS\

En effet, si au lieu des forcer B et B' on applique aux points S et S' des forces qui leur soient égales en intensité , mais agissant en sens contraire, suivant les droites SP, S'P\ il y aura équilibre entre les forces A et A' et les deus nou« Telles forces. Or, il est évident que la résultante de la force A et d« la force égale ii B agissant dans la direction SP, est une force appliquée au point S dont la direction est parallèle h DC , et dont l'intensité est égale II cette même ligne DG ; la résultante de A' et de la force égale à B' agissant dans la direction ST% est pareillement une force appliquée au point S% dont la direction est parallèle à D'C, et dont l'intensité est égale à cette même ligne. D'ailleurs ces deux résultantes doivent se détruire , elles doivent donc être égales en intensité , agir en sens contraire et suivant la droite qui joint leurs points d'application , donc etc.

Lemme II. Soit enûore A et A' un système de deux résul-^ tantes , et C et O un autre système qui lui soit équii>alent. Si les directions des forces A et C ne sont pas situées dans le même plan^ il en sera de même, d'après le lemme pre'cédent des directions des forces A' et O; mais , dans ce cas , on peut toujours troui^r une infinité de systèmes de deux forces B et Jff^ chacun éqmualent au système A et A' ou C et C, et ielf en outre ^ que les forces B et A aient leurs directions dans un même plan, et 'que la même chose ait lieu pour les forces B et C

Soient MN, M'N' les directions des forces A et A', et PQ, P'Q' celles des forces C et C {fi%. 6). Menons une droite VMM'V qui coupe les droites MN et M'N', et qui ne soit pas parallèle à PQ; par cette droite et la ligne MN faisons passer un plan, et soit S le point oîi il coupe la droite PQ; joignons le point S avec le point M par la ligne SMT, cette ligne sera dans le plan de l'angle VMN.

Appliquons maintenant aux points M et M' deux forces égales, que nous désignerons, pour plus de clarté , par D

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^64 C0KllliSl>01VDAllCB

et D', l'une dirigée suivant la ligne MV et Tautre suivant la ligne M'V, Ces deux forces se détruiront, et si B représente la résultante des forces A et D , et B' celle des forces A' et D', les deux forces B et II' formeront un système équivalent au système des deux forces A et A'. Or, on peut toujours prendre Tintensité des forces D et D' de manière que la résultante B des forces A et D soit dirigée suivant la ligne SMT qui coupe les directions MN et PQ des forces A et G , donc le système des forces B et B% déterminées par le procédé qui vient d'être indiqué, sera tel que la direction de la force B coupera les directions des forces A et G, et alors, en vertu du premier lemme , la force B' sera nécessairement dans un même plan avec la force A', et aussi dans un même plan avec la force C

Ces préliminaires posés, passons h la démonstration du théorème de M. Chastes. Soit en premier lieu un système de deux résultantes A et A'. Il est évident d*après l'exprèssion de la solidité d'une pyramide triangulaire qui a été citée plus haut, que le tétraèdre construit sur les deux droites qui représentent les forces A et A' tant en grandeur qu'en direction, aura toujours le même volume en quelque point de leurs directions qu'on applique ces deux forces, car les longueurs des deux arêtes opposées , l'angle qu^elles forment et leur plus courte distance , n'auront poifit changé.

Considérons maintenant un autre système de deux résultantes B et B' équivalent au système A et A', et supposons d'abord que ces forces sont dans le cas du corollaire du premier lemme , c'est-à-dire que les directions des forces A et B se rencontrent en un point S, et celles des forces A' et B' en un point S' (voy,fig. 5). SC, S'Q\ SD, S'D' représentant respectivement les intensités des forces A , A', B et B', il faut démontrer que le tétraèdre construit sur les droites SC , S^C est équivalent à celui construit sur les droites SD, S^D'. Or, le premier peut être considéré comme ayant son sommet au point G et pour base le triangle SS'C ; le second comme ayant son sommet au point D , et pour base

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MATllitMATIQVi: ET PHYSIQUE. ^65

le triangle SS'D'; d*ailleurs ces deux triangles SS'C et SS'D' ont la même surface et sont dans le même plan , puisque d'après le corollaire déjà cite CD' est parallèle à SS' ; leà deux tétraèdres ont donc des bases équivalentes , de plus , CD étant parallèle à SS% leurs sommets G et D sont situés sur une ligne parallèle au plan SS'C'D' qui contient les deux bases, ils ont donc aussi même hauteur et par conséquent ils sont équivalens.

Considérons enfin deux systèmes quelconques de résultantes A, A' et G, C, équivalens entre eux, et qui soient dans le cas du second lemme, c'est-à-dire tels que ni les directions des forces A et G, ni par conséquent celles des forces A' et G' ne se rencontrent. On pourra toujours, par la construction indiquée dans le second lemme, trouver un autre système de deux résultantes B et B' équivalent au système A, A\ ou au système G, G', et tel que la droite suivant laquelle est dirigée la force B rencontre celles suivant lesquelles sont dirigées les forces A et G , et que la droite suivant laquelle est dirigée la force B' rencontre celles suivant lesquelles sont dirigées les forces A' et G'. Mais alors, d'après ce qui a déjà été démontré , le tétraèdre construit sur les droites qui représentent les deux résultantes B et B' tant en intensité qu'en direction , sera équivalent et au tétraèdre correspondant aux deux résultantes A et A'^ et à celui qui correspond aux deux résultantes G et G', donc ces deux derniers tétraèdres sont équivalens entre eux, G. Q, F. D.

Le second théorème se démontre encore plus facilement. Soient d'abord MN, M'N' (^g. 7), les lignes qui représentent les grandeurs et les directions d'un système de deux résultantes A et A'. Menons les lignes MM% NN'; soit G le milieu de la première et H celui de la seconde ; par le point M menons MO égal et parallèle à M'N'; menons aussi NO, et joignons M avec le point L , milieu de cette dernière ligne. Il est évident que l'on a N'O = MM', LH = 7 N'O =MG , d'où il résulte que ML est égale et parallèle à GII. Or, ML est la moitié de la diagonale du parallélogramme construit sur les deux lignes

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l€6 COARESPOKOAHCE

MN et MO . cette droite est donc parallèle à la direction de la résultante de deux forces représentées en grandeur et en direction ps^r les lignes MN et MO , c'est-à-dire à la direction de la résultante des deux forces A et A', en les supposant appliquées en un même point M; et quant à sa grandeur, elle est égale à la moitié de la ligne qui représenterait Fintefisiité de cette même résultante. Les mêmes conclusions s*appliquent donc à GH qui , comme nous Ta vous prouvé , est égale et parallèle à ML.

Il résulte de ce <]ui précède que la droite GH qui joint les milieux des lignes MM% NN% aura toujours la même grandeur et la même direction en quelques points de leurs directions , que les forces 4 et A' soient appliquées.

Soit maintenant un second système de deux résultantes B et B' équivalent au Système A et A' ; supposons d'abord que les directions de ces forces soient dans le cas du corollaire du premier lemme.

Nous venons de voir que Ton pouvait appliquer les forces en un point quelconque de leurs directions , il sufiira donc de prouver (voy. fig. 5), que la droite qui joint le milieu de SS' au milieu de CG' est égaie à celle qui réunifie milieu de SS- au milieu de DD', puisque les lignes SC, S'G% SD^ S'D' représentent respectivement les intensités et les directions des forces A , A' et B , B'. Or, cela résulte évidemment de ce que , comme nous l'avons démontré , les lignes CD et iyjy sont égales et parallèles , car alors les lignes CC', DD' sont dans le même plan et se coiipent réciproquement en deux parties égales.

Si nous considérons enfin deux systèmes de deux résultantes quelconques, équivaléns entre eux, A, A' et G, G', en employant la conistruction indiquée dans le second lemme, on trouvera un autre système de deux résultantes B et B' tel que la direction de B coupera à la fois celles de A et G, et la direction de B' celle de A' et G'. Ge dernier cas se trouve donc ramené au précédent, et par conséquent le théorème est généralement démontré.

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MATRÉMATIQVK ET PHTSIQUt. 367

11 mei*este à exposer là dëtnonst ration an^litiqae du théorème de iVf • Ckasleé. Je me servirai des notations dont M. Poisson fait usage dans son Traité de Mécanique , et je rappellerai d'abord que la quantité LZ + MY >h NX est nulle toutes les fois que les forces P, P', P", etc., que Ton considère, ont une résultante unique. Je dis ensuite que lorsque cette quantité LZ H- MT + NX n'est pas égale à zéro , elle ne change pas de valeur quels que soient les trois axes rectangulaires auxquels on rapporte les points d'applications et les directions des forces P, F. P", etc.

En efifet, considérons en premier lieu trois axes parallèles à ceux qui correspondent aux quantité X,Y,Z,L,M,N,et désignons par X,, Y,, Z, , L, , M,, N,, ce que deviennent ces quantités par rapport aux nouveaux axes. On aura X, = X , Y, = Y et Z^ = Z; et si Ton désigne par x^^y^ , z, , les coordonnées de la nouvelle origine , on aura , {Poisson^ pag. gS ).

L^L-^-Yx, — Yj',;M,=M-*-X8, — Za:,;N. = Z/.-Y«,.

Multipliant la première de ces dernières équations , membre à membre , par l'équation Z^ =s= Z « la seconde par Y, == Y , la troisième par X, =: X , et les ajoutant on trouvera