L.Z, -4- M, Y, -•- N.X. = LZ -f. MY H- NX
ainsi la quantité LZ + MY + NX n'a pas changé de valeur.
Considérons maintenant trois axes rectangulaires ox, , oy^ y oz^ , ayant la même origine que les trois axes ox ^oy , oz auxquels répondent les quantités X,Y,Z,L,M,N, mais d'ailleurs dirigés d'une manière quelconque dans l'espace.
Faisons
COS. x^ox = a , COS. x^oy = b, cos. x^oz = c , COS. jr^ox = a\ COS. y^oy=zh\ cos. y^oz ss d^ COS. z,oa:=sa", cos. z,qx =^", cos. «,oa =c",
En se rappelant que la quantité L , est égale au double
Digiti
^66 CORRESPÔNDAKCE
de la somme des projections sur le plan des Xyjr, des triangles formes en joignant Torigine des coordonnées aux extrémités des droites qui représentent en grandeur et «n direction les forces du système , et que M et N sont les quantités analogues relativement aux pians des a; , z, et des ^ « z * il est facile de voir qu*on aura , en désignant par X„ Y, , Z,, L, , M , , N,, les valeurs deX,Y,Z, LyM^N, relatives aux nouvelles coor* données ,
On a d'ailleurs évidemment ,
Z = Z,c" 4- Y,c' -f- X,c , Y = Zfi'' + Y, y ^ %b , X = Z,a' -+- Y,fl" ^ X,a.
Multipliant ces équations membre h membre , et les ajoutai|| , on aura encore, à cause des relations qui existent entre les quantités a^b^c, a\b\ </ ,a" ,1/' ^cf' ^
LZ -f- MY -f- NX = L,Z, -^. M,Y. -+- N,X,,
Gela posé soit A , A' un système de deux résultantes des forces P, P', P", etc. ; plaçons l'origine des coordonnées au point d'application de la force A , et prenons la direction de cette force pour axe des Z. Appliquons ensuite II l'origine des coordonnées, mais dans la direction des Z négatifs , une force égale à A, il est évident que les forces P, P', P" , etc., et la force A dirigée suivant les Z négatifs , auront une résultante unique qui sera la force A'. Les quantités X, Y , L , M, N, relatives au système des forces P , P' , P" , etc. , et aux axes que nous avons choisis , ne changeront pas par l'addition de la force égale II A et dirigée suivant les Z négatifs , seulement Z deviendra Z — ^ A. Ainsi la quantité LZ -+- MY -H NX deviendra L (Z — A) -+- MY -4- NX, et puisque dans ce cas il y a une ré-
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MATHEMATIQUE ET PHT8IQVE. "269
sultante , on aura L ( Z — A ) -f- MY -4- NX aœ o , d*où LZ + MY + NX ss AL. D'ailleurs A' étant la résultante des forces P , P' , P" , etc., et de A dirigée suivant les Z négatifs, L est égal, abstraction faite du signe, au double de la projection sur le plan des x, ^, du triangle formé en joignant l'origine des coordonnées aux extrémités de la droite qui représente en grandeur et en direction la force A\ Il est facile de voir que le double de cette projection a pour mesure le produit de la projection de A' sur le plan des x , j^ , par la plus courte distance de la direction de la force A' à Taxe des z , c'est-à-dire par la plus courte distance entre les directions des forces A et A'. Si donc nous nommons d cette plus courte distance, et <f l'angle que fait la direction de la force A' avec l'axe des Z ou avec la direction de la force A , on aura abstraction faite du signe , L = A'D sin. /p et par conséquent
LZ + MY -+- NX = AA'D sin, «^
Or , le second membre de cette équation est égal II six fois le volume du tétraèdre construit sur les forces A et A' , donc la quantité LZ -4- MY -4- NX est elle-même égale à six fois ce volume.
Pour un autre système de deux résultantes B et B', on prouvera de la même manière que six fois le volume du tétraèdre correspondant est égal à la valeur de la quantité LZ ^ MY + NX relative aux axes que l'on aura pris , tnais il a été démontré que cette quantité est la même pour tous les systèmes d'axes , donc, etc.
On peut aussi prouver , en supposant le nombre des forces P , P' , P" , etc. , égal à /i, que la quantité LZ -4- MY -+- NX est
égale à six fois la somme des — '- tétraèdres ayant
pour côtés opposés les lignes droites qui représentent ces forces prises deux à deux , les expressions des volumes de ces tétraèdres étant prises avec des signes convenables.
Les directions des forces P , P' , P" > etc. , et leurs points
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37^ comsspoxDAircE
d'application étant rapportes à trois axes rectangulairos 0X9 oy , 0Z9 on aura, en employant toujours les notations de la mécanique de M. Poisson .*
XssSPcos. a, Y = sPcos.C, ZsssSPcos.r»
h.9SstP(jr COS. A X COS. ff), M.= SP (X COS. y — Z COS. tf),
N = SP ( z COS. C — y COS. «).
Il est facile de vérifier au moyen de ces valeurs que dans l'expression LZ -4- MY -h NX , les coefficiens de P% P'' , etc., sont tous égaux % zéro , et que l'on a
LZ-f-MYH-NX=2:PP' [(x' — x) (cos- ffcos. y' — cos. Ccos-r)
-f- {y — y) (cos. ycos. «' — cos. y' cos. «) ^
-f- ( z' — z) (cos. a, COS. C' — cos. c^ cos. ff)].
Gela posé considérons un système de trois axes rectangulaires 0,0^3 o^jTi o^Zt , et supposons que la direction de la force P coïncide avec Taxe o^z, ; soient aussi L,, M,,N,y les valeurs de L, M, N relatives à ces axes, et /'a la portion de r, correspondante à P'. On aura, comme plus haut, P/'» égal, ' abstraction faite du signe, à six fois le volume du tétraèdre 1 correspondant aux forces P et P^ Par l'origine menons maintenant trois axes o,x,, o, j^, , o^z^ parallèles aux axes oXf oy et oz^ de sorte que a. , C, y soient les angles que forme la ligne 0,2,, qui est la direction de P, avec les nouveaux axes; représentons par L,, M,, N„ les valeurs de L, M, N relatives à ces nouveaux j axes, et par /\, m\ , n\^ les portions de ces quantités correspoudantes à la force P^ Si or,, ^, , z, sont les coordonnées du point d'application de cette force par rapport aux axes o^x^ , ^i y^ 9 o^z^ , on aura
f , SB P' {y^ COS. a! — x^ cos. C ), m's= P' (x^ cos. y' — z, cos. «'),
»\ =P' (z, COS. C' — J^, COS. «'). I
D'ailleurs on a aussi '
l\ = If^ COS. y -h m\ C08. C -1- n\ cos. « '
Digiti
. MATUÉMATIQVE IT PHYSIQVI. ^']l
Uexpression du sextuple du volume de la pyramide deviendra donc
PP' cos, y(^,cos.«' — j7,cos. C) -4- PP' COS. € (x, COS. y' — j&, COS. a! ) -+-PP'cos, a (z, COS. C — y^ cos/a').
Enfin pour passer des coordonnées o.x, , o,^, , o,»,, aux axes oxy oy , oz^ il suffit de substituer II x^yy^^Zj, les quantités j/ — a:, y^y, s' — 2, puisque j:',j^',z', représentent les coordonnées du point d'application de P' par rapport aux nouveaux axes 9 et Xi y f z, les coordonnées de^ o,, ou du point d'application de P , par rapport aux mêmes axes. Cette substitution donnera , toute réduction faite pour six fois le volume du tétraèdre correspondant aux forces P et P', en fonction des quantités qui déterminent la position de ces forces par rapport aux axes ox, oy^oz, l'expression
PP' [( Jf' — x) { COS. C COS. y' — COS. ^ cos. y) . -+- (y — y ) (cos. y COS. a! — cos. y' cos. a) -I- (z' — z) (cos. a cos. C — cos. a' cos. C)],
qui est précisément égale au term'e de la quantité LZ + M Y -+- NX qui a PP' pour facteur. On prouverait d'une manière semblable que le terme de LZ -+- MY -f- NX qui a pour facteur PP" est égal , abstraction faite du signe , à six fois le tétraèdre construit sur les droites qui représentent en intensité et en direction les forces P et P'% et ainsi de suite , ce qui démontre le théorème énoncé.
17> CORRESPONDAirCK
Théorèmes sur les surfaces du second degré; par M. Ghaslbs.
On sait que de quelque manière qu'on mène trois plans rectangulaires \ tangens à une surface du second degrë , leur point d'intersection se trouve toujours à la même distance du centre de la surface : par conséquent la somme des carrés des distances de ces trois plans an centre de la surface est une quantité constante.
Concevons deux demi-diamëtres de la surface conjugués entre eux j et parallèles au premier plan tangent : un troisième demi-diamètre , aboutissant au point de contact de ce plan , formera avec les deux premiers un système de trois demi-diamètres conjugués ; et l'on sait que le rhomboïde construit sur ces trois demi-diamètres a un volume constant Ce volume a pour expression le produit de la surface du parallélogramme, construit sur les deux premiers demi-diamètres , par la distance du centre de la surface au plan tangent. Donc cette distance est égale à une constante divisée par l'aire du parallélogramme.
Pareillement , la distance du centre de la surface au second plan tangent , est égale à la même constante divisée par l'aire du parallélogramme construit sur deux demi-diamètres conju gés , menés dans le plan diamétral parallèle à ce second plan tangent: la distance du centre au troisième plan tangent a une expression semblable. Or« nous avons dit que la somme des carrés de ces trois distances est constante ; on a donc ce théorème :
iSï, dans une surface du second degrés on mène trois plans diamétraux rectangulaires , et que dans chacun d'eux on construise un parallélogramme sur deux demi-diamètres conjugués de la surface , la somme des valeurs inverses des carrés des aires de ces trois parallélogrammes t^ira une valeur constante*
Si la surface est un ellipsoïde , le parallélogramme construit sur deux demi-diamètres conjugués , sera égal à l'aire de la section faite dans l'ellipsoïde par son plan , divisée par t (rapport de la circonférence au diamètre) ; d'ob l'on conclut cette propriété de l'ellipsoïde :
Digiti
MATUiMATIQVE ET PHYSIQUE. 278
De quelque manière qu'on mène dans un ellipsoïde trois plans diamétraux rectangulaires ,. la somme des valeurs ins^erses des carrés des aires des sections faites dans V ellipsoïde par ces trois plans sera constante.
Il est clair que cela a ëgalement lieu pour l'hyperboloïde à une nappe , quand les trois plans rectangulaires le coupent suivant trois ellipses.
Maintenant si on conçoit Thyperboloïde conjugué { Correspondance 9 tom. V , p. i44)i c^ qu'on lui mené trois plans tangens parallèles aux trois plans rectangulaires , /les sections que ces trois plans feront dai\s le cône asymptotique des deux hyperboloïdes seront des ellipses égales , respectivement aux trois sections de Thyperboloïde a une nappe par ses trois plans diamétraux; on a donc ce théorème :
De quelque manière quon mène trois plans rectangulaires ,
tangens à un hyperboloïde à deux nappes , la somme des valeurs
inif erses des carrés des aires des sections elliptiques que ces planai
feront dans le cône^ asymptotique de Vhyperholoïde aura une
valeur constante*
Ghnrtres, le 16 avril i83o.
STATISTIQUE DES TBIBUNATJX.
Relevé des crimes et délits commis dans les provinces du Brabant méridional^ des deux JFÏandres , du Hainaut et d'Anvers , pendant Vannée i8ag.
Nous avons prltfsenté dans le tome IV de la Correspondance des documens nombreux sur le nombre des crimes et des délits dans les provinces du Brabant méridional , des deux Flandres , du Bainaut et d* Anvers , pendant les années 1826, 1827 et 1828, pour faire suite à ceux que nous avions publiés sur le Royaume. (Recherches statistiques sur le Royaume des Pays-Bas ^inS^, chez
