Quand deux cônes du second degré ont même sommet
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MATU£MATIQV£ ET fliySIQUI-. 2g^l
et mêmes plans cycliques , si on leur mène un plan tangent commun , les deux arêtes de contact comprises dans ce plan y feront entre elles un angle droit,
tuéobèmes relatifs a un seul plan cyclique;
8. Dans tout cône du second degré j le rapport des sinus des angles que chaque plan tangent Jait ai^ec un plan cyclique y et ai^ec la polaire de ce plan cyclique (*) , est constant*
9. lie plan tangent à un cône du second degré ^ et le plan mené par V arête de contact et par. la polaire d'un plan ç^clique^ rencontrent ce plan cyclique suivant deux droites rectangulaires^
10. Deux plans tangens à un cône du second degré , et le plan des deux arêtes de contact , coupent un plan cyclique suivant trois droites dont la troisième divise en deux également Vangle des deux premières*
1I4 Deux plans tangens ci un cône du second degré ^ et le plan mené par leur droite d'intersection et par la polaire d*un plan cyclique , rencontrent ce plan cyclique suii^ant trois droites , dont la troisième divise en deux également Vangle des deux premières*
12. Si par une dro^ite comprise dans un plan cyclique d^un cône du second degré , on mène deux plans tangens au cône:
10 Le plan des deux arêtes de contact coupera le plan cy" clique suivant une seconde droite qui sera perpendiculaire à la première ;
ol^ La somme des valeurs inverses des tangehtes trijgonométriques des inclinaisons des deux plans tangens sur le plan cyclique , sera constante*
i3* Quand un angle tétraèdre est inscrit dans un cône du se* cond degré j F angle que les traces de deux de ses faces con-
{*) La droite polaire d*ua plan , par rapport a un cône du second degrë^ est la droite qui passe par le centre de la section faite dans le cône par ce plan , ou par tout autre plan parallèle.
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agi COBBESPOHDAHCE
tigués sur un plan cyclique , font entre elles, est supplérnent, ou régal de V angle que les traces des deux autres faces sur le même plan (^clique font entre elles.
THiOBZHCS RELATIFS AX7X DEUX LIGUES FOCALES COHSIDEJBLiES SIMULTANEMEKT.
i4« Les plans menés par les deux lignes focales d^un cène du second degré, et par une arête quelconque ^font des angles égaux ai>ec le plan tangent au cane su^i^ant cette arête.
Et plus généralement :
i5« Les plans menés par les deux lignes focales éCun cône du second degré , et par la droite d'intersection de deux plans tangens au cône, font respectivement avec ces deux plans tangens , des angles égaux.
i6. Les quatre plans vecteurs menés par les deux lignes focales d'un cône du second degré et par deux arêtes quelconques du cane , sont tangens h un même cône de révolution , dont Vaxe est la droite d'intersection des deux plans tangens au cône proposé suivant les deux arêtes,
17. La somme oh la différence des angles que. chaque arête dun cône du second d^gréfait avec ses deux lignes focales, est constante.
i8. Dans tout cône du second degré ^ les plans vecteurs menés par les deux lignes focales et par une arête quelconque^ sont tels que le produit des tangentes trigonométriques des demi-angles qu'ils font avec le plan des deux lignes fjpcaks , est constant.
19. Dans tout cône du second degré , le produit des sinus des angles que chaque plan tangent fait avec les deux lignes
focales , est constant,
20. Si d^un point et une ligne focale d'un cône du second degré, on abaisse des perpendiculaires sur les plans tangens au cône , leurs pieds seront sur un cercle dont le plan sera perpendiculaire à la seconde ligne focale du cône.
21. Les projections orthogonales des deux lignes focales d!un
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MATIlilMATIQVË UT PHYSIQUE. ^g3
cône du second degré sur les plans tangens au cône , forment un second cône du second degré qui a un double contact auec le cône proposé ^ et dont les plans cycliques sont perpendiculaires aux lignes focales de ce dernier,
22. Si d^un point d*une ligne focale d-un cène du second degré on abaisse des perpendiculaires sur deux plans tangens y le plan mené par le sommet du cône , perpendiculairement à la droite qui joindra leurs pieds , passera par la seconde Afgne focale du cône.
a3. Si' deux cônes du second degré ^ qui ont même sommet et mêmes lignes focales , se coupent 9 leurs plans tangens me^ nés par chaque arête d^ intersection seront à angle droit ; c^està'dire , que les deux cônes se couperont à angles droits.
THÉOBÈME8 BBLATIF8 A VITE SEULE LIGNE FOCALE.
Nous appelons plan directeur d'un cône du second degré jp relatif à une ligne focale , un plan mené par le sommet du cône , de manière que tout plan qui lui sera parallèle coupera le cône suivant une conique, ayant son centre sur cette ligne focale.
24. Dans ^ut cône du second degré , le rapport des sinus des angles i/ue chaque arête fait a^ec une ligne focale et at^ec le plan directeur correspondant ^ est constant.
25. Si par une ligne focale d'un cône du second degré on mène deux plans vecteurs , dont le premier passe par une arête quelconque du cône , et le second par la droite d'intersection du plan tangent au cône suivant cette arête et du plan directeur ^ ces deux plans vecteurs seront à angle droit,
26. Si par une ligne focale d'un cône du second 'degré on mène trois plans vecteurs passant respectivement par deux arêtes du cône , et par la droite d'intersection des deux plans tangens au cône suii^ant ces arêtes , le troisième plan vecteur diifisera en deux également l'angle des deux premiers.
27. Les plans vecteurs menés par une ligne focale d'un cône du second degrés et par deux arêtes , sont également inclinés
Tom VL 20
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3^4 QOiinUSPOKBJklfCË
sur le plan vecteur mené par la droite tV intersection du plan des deux arêtes et du plan directeur.
a8« Si par une ligne focale d'un cône du second degré ^ on mène un plan tnansi^ersàl quelconque .*"
i^ Les plans tangens au cône suivant les deux arêtes corn- Cy prises dans ce plan ^ se couperont sur le plan directeur, et
le plan mené par leur droite d' intersection et par la ligne focale 9 sera perpendiculaire au plan transversal ;
a<* La somme des valeurs inverses des tangentes trigonométriques des angles que. les deux arêtes comprises dans le plan transversal feront avec la ligne focale , sera constante.
29* Quand un angle tétraèdre est circonscrit à un cône du second degré' , les plans vecteurs menés par une Ugne focale et par deux arêtes contigués de l'angle tétraèdre , font entre eux un angle qui est supplément, ou Cégal de V angle que font entre eux les plans vecteurs menés par les deux autres arêtes.
DESCRIPTIOir ORGAKIQVE DES CÔlTES DU SECOITD DEGRE.
Les cônes du second degrë peuvent être décrits par le mouvement continu de deux angles dièdres , ou de deux angles plans. Dans le premier cas on détermine toutes les arêtes du cône 9 et dans le second , tous se& plans tangens.
Ces deux modes de description organique des cônes du second degré , sont fondés sur les théorèmes suivaaa qu'on démontre aisément par la considération des lignes fçcales. et des plans cycliques.
3o. Si deux angles dièdres , de grandeur quelconque , mais constante^ dont les arêtes sont fixes et se rencontrent, pu' uotent autour de ces arêtes , de manière que deu3ç ' de leurs faces se rencontrent sur un plan fixe, mené par le point d^intersection des deux arêtes , l' intersection de leurs deux autres faces engendrera un cône du second degré, qui pensera par les deux arêtes fixes.
3i. Si deux angles plans, de grandeur quelconque , mais constante , ont pour sommet commun un point fixe , autour
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MATIIÊMATIQUE ET ritYSIQUI.. ^gS
duquel ils tournent dans deux plans donnés , dé manière que le plan déterminé par deux de leurs côtés tourne autour d'une droite fixe menée par leur sommet commun , le plan déterminé par leurs deux autres côtés enveloppera un cône du se cond degré gui sera tangent aux deux plans dans lesquels sje meuvent les deux' angles»
Sur la surface à laquelle est tangent un liquide renfermé dans une botte de forme cubique , par M. le Docteur Reiss.
L'énoncé de la question est celui-ci :
Une boîte déforme cubique renferme un liquide. On demande la surface à laquelle le niveau du liquide est tangent dans toutes les positions que peut prendre la botte. On pourra rendre la solution applicable à une botte de forme quelconque.
Proposons-nous d'abord de trouver la surface à laquelle le niveau du liquide que renferme un vase ouvert ^ fùtmé "par trois plans rectangulaires entre eux , est tangent dans toutes les positions que peut prendre ce vase. Cette question revient évidemment à trouver la surface dont les plans tangens forment , avec trois plans donnés et rectangulaires entre eux , des tétraè'^ dres de volume constant (^).
Pour résoudre ce problème , j'admettrai les trois plans donnés comme les plans des coordonnées. Soient X , Y , Z les axes suivant lesquels ces plans se coupent deux à deux; leur point commun d'intersection (soit A) sera l'origine des coordonnées.
(*) La courbe plane dont les tangentes forment ^avec deux droites données et rectangâlalres <|ntre elles, des triangles d'aire constante, est comme on sait , thypèrholé équUatère dont les droites données sont les asymptotes.
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ag6 GOREE8POHDAVCE
Nommons aussi x^y^ z les coordoiuiées d*un point H quelcoi que de la surface cherchée , et soit
Fdx + Qdy -f- Hdz ss= o l'équation différentielle de la même surface. Faisons
nous aurons %
pdx -f- ^'rfK -♦- ^2 = o (T
px -^ qy -^ rz =s i .(I|
Or 9 si nous nommons f , f^, ( les coordonnées d'an point qd conque du plan tangent au point M, l'équation bien connaeii ce plan sera
p^-k- qp -^rK — ipx '^pjr'^rz)=: o, ou-
rf? -4- yp -4- rÇ — I = o (éq.(
Ce plan coupera les axes X, Y, Z en trois points , dont ii distances respectives au point A seront
IL' P q r
ce dont on se persuadera en faisant successivement
Or , le volume du tétraèdre , formé par les trois plans des co données et le plan tangent, sera égal au tiers du produit de
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MATHEMATIQUE ET PHT8IQ17E. 397
trois distances , c'est-à-dire que
3^-«, ou wr=^.
en désignant par a le volnme constant du tétraèdre. Nous en tirons en di£férentiant
qr dp ^prdq -^pqdrss^ 0* . . . (ÏII),
En différentiant l'équation (JI), et en ayant égard à l'équation (I) , on trouve
X dp -^y dq '^ zdr^sAO* . • . (IV); et en combinant les équations (III) et (IV) , il viendra
— « — = — , ou px zss qy ;s=s rz*
qr pr pq ^
La substitution de ces valeurs dans l'équation (H) nous donne
/?^ = 7^==rz=-, ou - =r3ar;— =:3j^j-=32; 3 p q r
d'où il s'ensuit
3pqr ^-^
ou
ce qui est Téquation de la surface cherchée* Cette surface a quatre nappes parfaitement égales ; elle est évidemment du genre hyperbolique du troisième degré. Les trois plans coordonnés en sont les trois plans asymptotes.
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398 ç:oAn£$i>oNDA]rç;;E
Il est presque inutile d'ajouter que le.tnéme genre de solution pourroit encore sVtendre au cas où les trois plans donnes ne seraient pas rectangulaires entre eux.
En partant de Tëq.uation xyz = A , on peut démontrer trësfacilement et d'une manière tout élémentaire que la surface dont elle ^sjt l'expression analitique poss^djç la p]:x>priété qui nous a occupés jusqu'ici* On parvien4ra \ cette démons£ra tion , en considérant les tangentes menées au point M dans les plans perpendiculaires aux axes X, Y, Z. Or, les intersections de ces plans avec la surface sont des hyperboles équifat^rés, ce qui résulte immédiatement de l'équation x ^y^z =s A, en y considérant successivement x^ y et z, comme des quantités constantes^
M. Quetelet ayant bien voulu me faire remarquer que la surface xyz =s A ne résolvait pas complètement la question proposée , et que pour s'en persuader on n'avait qu'à considérer le cas où le niveau du liquide fût parallèle à une des faces du cube 9 j'ajouterai les considérations suivantes à la solution du problème que j'ai traité dans les lignes précédentes.
On peut supposer comme fixe un quelconque des angles solides de la boîte , de sorte que celle-ci soit assujettie à tourner autour de ce point. Désignons ce point par A , et nommons AB' , AB" , AB'" les trois àrétes qui se coupent en A , et qui répondent aux axes X , Y, Z.
La position du liquide peut être telle qu'il ne s'étende que sur les trois faces qui concourent au point A , ou bien telle qu'il s'étende encore sur une quelconque des trois autres faces. On voit d'après cela que le problème que nous avons résolu plus haut ne se rapporte qu'au premier genre de positions 9 et que le second demanderait une solution particulière qui aurait une marche analogue à celle du premier problème.
Il importe eqcore de faire remarquer que le premier genre de positions ne saurait avoir liea à moins que le volume du
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MATHEMATIQUE ET 1>HTSIQUE. :tC)Q
liquide ne soit moindre que celui du tétraèdre ÂB'B''B"'A, c'est-à-dire moindre que le tiers du volume cubique* Mais puisqu'il est indifférent de considérer le liquide lui-même , ou bien l'espace de la boite qu'il laisse vide, il sera facile de conclure que
Si le volame du liquidé esftplus petit que le tiers ou plus grand que deux tiers du volume cubique , une partie de la surface demandée sera exprimée par l'équation a:;yz = A ;
Si le volume du liquide est égal au tiers ou a deux tiers du volume cubique ^ Téquation xyz = A ne déterminera qu'un point de la surface demandée ;
Et si le volume du liquide est plus grand que le tiers et plus petit que deux tiers du volume cubique > l'équation ayz =: A ne conviendra à aucun point de la surface demandée.
Si nous nous arrêtons au premier cas , il sera intéressant de connaître la partie de la surface xyz =â A, qui répond à la solution de la question proposée ; c'est-à-dire d'assigner les limites convenables à cette surface. Or, si nous nommons B le côté
du cube, la plus grande valeur de -, de - et de -, ou de 3 j: ,
de Zy et de 3z sera nécessairement = B. Il faudra donc faire suc-
cessivementa: = rB,j^ ==- B , z =»* B. La première supposiô o S
tion nous donne
pour les équations de la courbe qui constitue en partie les limites cherchées. Mais cette courbe elle-même doit être prise entre certaines limites. Or , les plus grandes valeurs de / et de z
étant
nous aurons
ou
>ùrzQ
Lb.=
ou
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3oO COB]IE81K)llDAVCE
OU bien
Par conséquent les points (jui limitent cette partie des limites cherchées , auront respectivement pour coordonnées
.-iB, ,^^. ..iB.
Si nous faisons maintenant^ = - B , nous trouverons
pour les équations de la partie correspondante des limites cherchées ; partie qu'on devra prendre entre des points dont les coordonnées sont respectivement
jc=2-- y---.B, z=-B.
Si Ton répète ce raisonnement dans la supposition de z =: -B,
on verra facilement que pour trouver les liiiiites cherchées ,
(♦) Cela suppose ëvidemment qu'on ait^ B ^ — , ou B3 ^ 27 A. Mais a 3 B»
puisque A s= ^ , on aura B3 ^ 3a ; d'où il s'ensuit que le yolume du liquide
doit être moindre que le tiers du volume cubique , ce que nous avions d^jà remarque.
Digiti
MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE. 3oi
il faut d*abord déterminer sur la surface trois points L, M, N» dont les coordonnées sont respectivement
Ensuite on fera passer par les points L et M , L et N , M et N des plans respectivement perpendiculaires sur les axes X, Y, Z ; plans qui couperont la surface suivant des hyperboles équilatérales.
La figure formée par les arcs de ces trois hyperboles, comprises entre les trois points L, M et N, constituera les limites cherchées.
Ou bien , si l'on construit sur les trois axes X , Y, Z, un cube
dont le côté soit = - B , la partie de la surface ayz = A qui
répond à la solution de la question proposée , sera limitée par ce cube.
Nous voyons donc que la solution du problème, qui nous a conduits à l'équation xyz = A , bien loin d'épuiser la question proposée , ne s'y rapporte que dans un seul cas. Pour en compléter la solution , il faudra encore avoir égard aux cas oh. le liquide s'étend sur plus de trois faces de la boîte, i<* de sorte qu'il n'en remplisse aucune complètement ; a® de sorte qu'il remplisse complètement une des trois faces qui concourent au point A que nous supposons être fixe ; 3^ de sorte qu'il remplisse complètement deux des trois faces qui concourent en A. Chacun de ces cas demande une solution particulière ; et de plus les deux derniers nous conduiront chacun à trois surfaces , qui , quoique parfaitement égales , difièrent de position , et concourent chacune à former la surface demandée. Pour
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3o3 GOBRESl^OKDANGE
s*en coDTaincre , on n^a iqa*ii considtfrer , par exemple dana le second cas, qu'on doit regarder successivement chacune des trois faces qui concourent au point A comme étant complètement remplie du liquide.
On aura donc d'abord à chercher les équations de toutes ces surfaces , et puis à déterminer les limites entre lesquelles chacune d'elles doit être prise ; questions qui pourront se traiter d'une manière semblable à celle dont je me suis servi pour le premier genre de positions.
La surface demandée , quoiqu'elle doive se présenter sous une forme continue, n'en est pas moins composée, dans tous les cas , des parties de plusieurs surfaces distinctes.
Lettre sur quelques problèmes de géométrie , adressée au rédacteur , par M« Steichev , candidat «n sciences.
Monsieur ,
Veuillez insérer dans un des numéros prochains de la Correspondance l'article suivant , relatif aux questions proposées à la page 6i de la dernière livraison. Il n'y a pas longnemps que je denrandai à M. Pagani quelques éclaircîssemens sur les questions résolues par M, Reiss ; cet estimable professeur a bien voulu me montrer la véritable méthode pour résoudre ce genre de problèmes. C'est d'après cette méthode toute simple que j'ai opéré, et si je suis parvenu à quelques résultats intéressans , j'en suis redevable sans doute à M. Pagani.
Première Question. — On donne une courbe S et une droite 1 , déterminer la moyenne arithmétique des angles compris entre cette droite et les tangentes h la courbe.
Supposons que la longueur de la droite soit divisée en un nombre arbitraire de parties égales , et tirons de chacun des
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MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE. 3o3
points d^ diyisipD tuie, tangente à la courbe. Soit f l'angle (orw4 p^r la droite Jfcie «t la tangente , tirée de Tun quelconque des points.dont il s'agit , jeu désignant par M la moyenne arithmétique demandée , par n le nombre des divisions , on • aura évidemment :
OU d'après une notation connue Sf> = f> -*- f •+- y" -#. ,. h- çjC") ; y' , f" ... y(") étant les diiSérentes valeurs que peut prendre f dans toute l'étendue de /• Soit A la partie de la droite / , comptée depuis l'une de ses extrémités jusqu'au point de division quelconque que nous considérons. U est évident qa*on aura cette seconde équation
/ = n. AA (a).
AX étant la longueur comprise entre deux points de division consécutifs* Les équations ( i) (a) donnent par l'élimination de n cette autre expression :
quand le nombre des divisions devient infini , l'intervalle AA devient la distance entre deux points consécutifs de /, S.^AA se changera donc en Jfdx , et il viendra pour ce cas particulier:
M = Lffdx - (4).
Intégrant par parties, on peut donner à cette équation une autre forme quelquefois plus commode :
= -fX.—'j y^f (5)'
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3o4 CORRESPONDANCE
Pour montrer de quelle manière on peut faire usage des formules (4)) (5) , je suppose que les équations de la direction de / et de la courbe proposée soient respectivement :
au moyen de la dernière F=o, on trouve facilement la différentielle de Tangle ^, exprimée en fonction de Fabscisse x; ainsi on peut poser :
df sssjj:.dœ ,
Jx dénotant une quantité connue pour chaque cas particulier.
d'Y D'ailleurs l'équation de la tangente ^ — /3=-j-(x — .a) se
ax
réduit au moyen de F =; o à cette autre :
éliminant fi au moyen de l'équation de la droite , on obtient :
a = */; (A a -♦- B, ar) ou j: = */4| (A, B, a).
de là on déduira facilement df = (Jjo). cfx =» \//, ( A , B » a) i/^ D'un autre côté on a : A z^fx/Ja" -*- dfi^ = aV^i -♦- A*. Substituant ces valeurs dans la formule (5) on aur^ :
= const. -♦- —ya.!/ 1 H- A" — -- /i|/'i H-A'.J;, (A, B, a) da.
Intégrant cette expression entre les limites convenables , on obtient la valeur de M pour chaque cas particulier du problème général. Il faut remarquer qu'on pourrait suivre un ordre quelconque d'élimination pour arriver \ l'équation finale , ainsi on pourrait y conserver l'une ou l'autre des quatre variables ct^ fi^y , x. Mais il faut toujours préparer les calculs de manière que les intégrales qu'on aura à effectuer soient
Digiti
MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE. 3o5
les plus simples que possible. — Exemple. Considërons un cercle ayant pour équation :
dirigeons l'axe des j?, parallèlement a la droite donnée, Téquationde cette dernière sera donc ^9= const. =^. L'équation de la tangente , passant par (« , /3) sera de son côté :
i^ -*- âtr = R"
et l'on aura visiblement pour l'angle tp entre la tangente et la droite donnée ;
> = arc ( tang. =—-)=:
===arc( tang. = --db— r==:J; «==
si nous désignons par m et et les distances des deux extrémités de la droite A à l'axe des^^ nous aurons
Ra±^KR* — a:»
rf? = =F
dx
substituant ces valeurs dans la formule (5), en observant xque /ss AB 9 et qu'il faut prendre le signe négatif devantKR*— x» parce que nous prenons l'angle aigu pour 9» , on obtiendra :
M=const. + -arc(^tang.=p^==J(^m+-— — )
1 ^x R».». Z>^^R' — x'N^ dx
3o6 CORRCSPOlfDAlICK
^ I - . \ i ^ f . -ar N
fi=r C -I- - arc (tang. = •...) (...) -- -arcf sin. = x" J
intégrant celte expression êQtre les limites :ir e=^ R, a: = -^ R , on aura la moyenne arithmétique des angles aigns compris entre la droite donnée et les tangentes, r-* Si on roulait avoir la valeur de M pour le cas de l'angle t^ obtus , il faudrait prendre le signe positif devant K R' — a?'. On traiterait delà même manière tout autre exemple particulier.
Deuxième Question. — On donne une courbe et un point fixe^ il s'agit de trouver la moyenne arithmétique des angles Jbrmés par les tangentes . à la coufbe et les rayons vecteurs , tirés du point fixe h tous les points de la courbe.
Divisons la courbe donnée en un nombre arbitraire de parties égales ; soit toujours ^ Tangle formé par l'un quelconque des rayons vecteurs et la tangente tirée à la courbe au point où elle est rencontrée par ce rayon , la moyenne arithmétique M sera donc exprimée par l'équation r
soiXC la partie de l'arc courbe , comptée d'un point fixe jusqu'au point de contact qui répond à l'angle ^. Si S dénote la longueur totale de l'arp , ou ce qui revient au même , si l'on ÎBxxJv dx^ -h dy^ ss S , on aura :
S == n. Air d'où M = -^
quand n devient infini , Ao- se changera en dtr :== dS ^ S^A(r deviendraV'f^rfS , et nous aurons pour ce cas particulier :
M = g y*ç,^s= ~ ?S — - fsdf
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' MATHS1I1ATIQVE ET PHYSIQUE. 307
Premier Exemple, Si la courbe proposée était un cercle ayant pour équation y"^ = aRj: — x' , et que le point fixe fut placé sur la oirconférencQ même de la. courbe , on aurait «
y=çarc (tang. = . zz:);rf$ = ;
Vidx
V^^x — x^^ l/aRa: — *»
ainsi la moyenne arithmétique serait donnée par l'expression :
/. arc (^ tang. = pF^^, Jv/aR* — *» . .
S ou 2tR ^ ^
Si on demandait la valeur de M pour un arc de cercle seulement, il faudrait prendre l'intégrale précédente entre les limites qui répondent aux deux extrémités de cet arc , et remplacer* la circonférence totale a^R par la longueur de ce même arc.
La formule (m) donne le moyen dé calculer la valeur de l'intégrale qui se trouve «tu numérateur entre deux limites quelconques a: = a , a: = a' , a et a' ne pouvant devenir ni plus petits que zéro , ni plus grands que aR. En effet soit  le point fixe situé sur la circonférence AVA'V , concevons qu'elle soit divisée en un nombre pair de parties égales à partir de A , le diamètre AA' passera donc par l'un des points de division , opposé à A. Soit en général V un de ces points , son symétrique sera V , et l'angle du rayon vecteur AV avec la tangente «V étant Taigii AV^, celui dte AV avec ^V sera l'angle obtus A W, t* étant sur le prolongement de iS* ; cai^ quand là tangente angle Vf vient toucher le cercle en V , le prolongement Vf coïncidera avec Vf'. Or, il est manifeste que la somme de ces deux angles vaut deux droits , et comme ceci a lieu pour deux autres points de division quelconques V, V, il s'ensuit que la somme des angles des rayons vecteurs AV , AV , AVx, AVz\.. est égale à autant de fois un angle droit qu'il y a de divisions , la moyenne arithmétique de cette somme
Digiti
3o8 GORAEâPOlTDAKGE
est donc ëgale à go* ou à - « il est visible d*ailleurs que c€r^ sultat est vrai pour un nombre quelconque de divisions, tt Ton a pour tous les cas M sas » ainsi la formule fournira d'apiè cette considëration :
Dénotons actuellement par m, m' ce que devient M pour la arcs respectifs AV'V, AV,V/, ou entre les limites i=i X s= a', Soiient /, f les longueurs de ces mêmes arcs ; il esteVi dent qu*on aura : ^
M/ ï w:M::/:arR; m':M::/':arR ou m=^—-.^^-^
D*un autre côté l'intégrale dont il s'agit , prise entre les W^
af
assignées , et divisée par Vwccjvdx^ -*- dy'' = (f — I)ài
être égale à la différence (w' -— ''ï ) , de là je déduis :
/àrcf tang.= , l ) = — ;f=-(— ;
••^ V. KaRor-or-^'l/aRa:-*» a a^R RV aj
On pourrait donner à cette fornAle une forme beaucoup p^^ générale en y introduisant deux constantes de plus ; ce t reviendrait à placer le point fixe d'une manière qaelcoof . vis-à-vis de la circonférence. On peut aussi remplacer la tr# cendante arc (tang. s=s) , par tout autre expression sembla en mettant au lieu de la tangente sa valeur en sinus, coi nus 9 etc. , de cette manière on obtiendra les valeurs de :
/arc fsm. =. / ^ ^— r- ^ < \ y 2R>'J/aRr— or'
/arc/^cos. =- / 2R--x \ ^ ^^^
Digiti
«UTUiMATIQUE ET PHYSIQUE. Sog
Puis au lieu de x, dx^ on peut substituer leurs valeurs en y ; ce qui donne :
^/,arc(^tang ^^ J^__=....(^j^..etc.
observant que l'angle ^ est , en général , égal k
r;;— .log.(cos. ^ -♦- 1/— i. sin. 5») ,
réduisant convenablement , la deuxième formule conduira à cette autre
à laquelle on pourrait encore substituer une nouvelle en posant le logarithme de la somme :
/aR— ar / IT
égale b une autre variable.
On pourrait passer des coordonnées rectangles aux polaires en posant x^r cos« « , y^ssr sin. « ; alors on aurait des expressions de la forme :
•^ V^ I/4R'— cos.'^y
/ arc f tang. = . r Jar.
qui donnent elles-mêmes une suite d'autres expressions.
Deuxième Exemple. — Je considère une ellipse , et je sup- Tom. VL »ï
Digiti
3|0 C0RR£SlK>ZrS4KCE
po«e que le point fixe soit situ($ qu sommet du grand axe. LVqnation de la courbe sera :
yj es m^'ip^x — x») , pu Tou fait w^ = — .
D'oh :
f=airc|
/ x dx\ r ^^^ >v
/aax — x" -4- /»'(a — xY dSz=zdx\/ — 3 •
et de là suit pour M :
^ ' max \
y arc ( tang. = ' . r, j
j||«55 -*- const.
^/. ^ax — x'
remarcpiant que pour les limites x=:o,x=sia,M=z(-J on aura
S ëtant la longueur totale de Tellipse. On pourrait calculer comme dans le premier exemple , la valeur de Tintëgrale en6*e deux limites quelconques; mais on arrive à des formules trop compliquées. On trouverait pour la parabole et Thyper* bole des résultats analogues. On pourrait même intégrer par arcs de cycloïde , en considérant Téquation en quantités finies et Féquation difFéventielle de cette courbe, mais je vais revenir
à la question générale. Si dans les formules M == ^ffdx
M = -yyrfS on écrit tang. f au Heu de l'aogle ^^ on en client
mathàmatiqvë et physique. 3if
deux autres' qui résolvent deux nutres quefttioQS faciles à âBoncer. Par rapport à la seconde formule ou pourrait se proposer aussi de rechercher la courbe pour laquelle la quaptitë M serait une extrême grandeur. On aura par la nature de la question :
7ifS\
de là on déduit sans peine :
et comme on a par l'intégration
on obtiendra pour Tëquation des limites :
(ftf —ffds)ds =s o.
k Et pour réquation de la courbe cherchée :
Cette dernière est satisfaite en posant «f^ = o , ou «^ :s o ; car dans Tun et l'autre cas on a f» &= const , et (^ ss o, ^/j» = o. Ainsi re'qualion des limites est satisfaite indépendamment de toute restriction , et l'on voit que la question se réduit à trouver la courbe pour laquelle l'angle compris entre la tangente et le rayon , tiré du point de contact à un point fixe , reste constamment le même. Or , on sait que c'est une spirale logarithmique ayant pour équation :
v/; -!«• ac log. < as cODSt
Par rapport à la formule M = yjfd>> àe la première question
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3 13 courespondance
on pourrait demander la courbe pour laquelle la moyenne arithmétique M a une extrême grandeur ; dans ce cas on trouverait encore f s= const , et la ligne cherchée serait une droite ayant pour équation :
(A— C)a:-f- (AC— i)x = C.
A désigne la tangente de Tangle entre / et Taxe des abscisses, C =33 tang. ^, et C provient de l'intégration ; on pourrait se proposer plusieurs autres questions semblables , mais il est inutile de le faire , puisqu'elles n'offrent rien de particulier, et qu'elles se traiteraient toutes d'après des méthodes connues.
J'ai rhonneur , etc.
Lonrain, le 8 mai 1830.
Propriétés gene'rales des surfaces du second degré, par M. Ghasles.
Théorème I. Si par une courbe plane C , tracée sur une surface du second degré, on fait passer deux canes qui aient leurs sommets en deux points de la surface , Us se couperont suiuant une seconde courbe plane , dont le plan passera par le sommet du cône circonscrit h la surface ^ suivant la courbe C.
En effet, soit P le plan qui contient les sommets des deux cônes meries par la courbe G , et le sommet du cône circonscrit h la surface suivant cette courbe ; ce plan coupe la surface suivant une conique , et les deux premiers cônes suivant quatre droites qui font les quatre côtés d'un quadrilatère inscrit dans la conique. Les points de concours des côtés opposés appartiennent à la seconde courbe d'intersection des deux cônes. L'une des diagonales de ce quadrilatère est Fintersection du plan de la courbe G par le plan P , et les tangentes à la conique aux extrémités de cette diagonale, sont deux arêtes du cône circonscrit à la surface suivant la courbe G; leur point de concours est donc le sommet de ce cône. Or 9 ces deux tangentes se coupent sur la droite qui joint les
MATIÙSUATIQUE ET PllYSIQUC* 3l3
poiDts de concours des côtés opposés du quadrilatère ; ce que Ton voit par le théorème de Pascal , en considérant les deux tangentes comme deux côtés infiniment petits d'un hexagone inscrit dans la conique dont les quatre autres côtés seraient les quatre côtés du quadrilatère. Ainsi , il est démontré que le plan de là seconde courbe d'intersection des deux cônes passe par le sommet du cône circonscrit à la surface suivant la courbe C. C. Q. F. D.
Corollaire. On sait que le cône asjmptotique d'un hyperboloïde peut être considéré comme circonscrit à l'hyperboloïde, le plan de la courbe de contact étant situé à l'infini; on conclut donc du théorème précédent , celui*ci :
Si deux points pris arbitrairement sur un hyperboloWe sont les sommets de deux cônes semhlailes au cône asymptotique de Vhyperholdide et semblablement places , ces deux cônes se couperont suiuant une courbe plane dont le plan passera par le centre de Vhyperboloïde*
Théorème IL Quand trois surfaces du second de^ pas^ sent par une même courbe plane , elles se coupent deux à deux suivant trois autres courbes planes ; dont les plans passent par une même droite.
En effet, tout plan transversal coupera les trois surfaces suivant trois, coniques, qui auront une sécante commune ; leurs troif autres sécantes passeront donc par un même point {Annales de Mathématiques^ avril 1828, pag. 291); ce qui prouve que les plans des trois courbes d'intersection des trois surfaces passent par une même droite.
Théorème III. Quand quatre surfaces du second degré' passent par une même courbe pleine , elles se coupent deux à deux suit^ant six autres courbes planes dont les plans passent trois à trois par quatre dcpites, et ces quatre droites passent par un même point.
Ce théorème est une conséquence évidente du précédent.
Théorème IV . Si quatre cônes ont pour base commune une section plane C dHune surface du second degré ^ et pour sommet quatre points de cette surface , ils se couperont deux à
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de^x suiiHint six courbes planes , dont ies plans pasêeront trois k trois par quatre droites , ei eès ^fuatre droites passeront par le sommet du cône circonscrit à la surface suÙHxnt la courbé C. ■
liés quatre cônes ^tant quatre sârÙLces du second degrë, qni passent par nne même couil>e plane , la premib'e partie àa théorème résulte du précédent; la' seconde paitie est une conséquence du théorème I; . '
Àmsi le théorème est démontré. '
Les quatre théorèmes précédons donnent par la théorie des transformations polaires , lès suiyaos, qu'il serait facile d'ailleurs de démontrer directement.
* Théorème V . Un cône étant circonscrit à une surface du second degré, si on le coupe par deux plans iangens à la surfkce , et que par les deux courbes d'intersection on fasse passer un second cône, son sommet sera sur le plan de la courbe de contact du premier as^ec- la surface. •
€oroUaire* Si Von a un hyperboloide et, son cône asymptotique-^ et qvi^on mène deux plans tangens à l'kyperboloïde , par les de^x courbes suivant lesquelles ils couperont le cône asymptotique , on pourra toujours faire passer un cylindre.
Théorème YL Quand trois surfaces du second degré sont inscrites dans un cône ^ on pourra leur circonscrire ^ en les prenant deux à dçttx ^ trois autres cônes dont les sonanets sueront sûr ïiné mente droite.
Thé(^ème VII* Si quatre surfaces du second degré sont inscrites dans un même cône^ elles ont, deux à deux^ six autres cônes circonscrits , dont les sommets sont trois à trois sur quatre droites situéei dans un même plan.
Théorème VIIL Quand un cône est circonscrit à une sur* face, du second degré, si on le coupe par quatre plans tan^ gens à la surface , par les qjj^atre coûtées d^ intersection y prises deux à deux , on pourra faire passer six cônes dont lés sommets seront trois à trois sur quatre droites comprises dans le plan de la courbe de contact dit cône circonscrit à la surface.
Les théorèmes IV et VU! ont été énoncéà en d'autres ter-
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MATHEMATIQUE ET. PHYSIQUE. 3l5
mes« et $ftns démonstration, par M. BobUUer^ dans les Annaîes de Mathématiques ( novembre idaS )• Chartres, le 46 avrU 4830.
Illettré sur les propriétés de quelques courbes géométriques , adressée au rédacteur par M. Le François , docteur en sciences (i).
Le sujet que j'ai pris est un problème de mathémfitiques pures, un cas particulier de la question proposée par vous il rdccasiôn de quelques expériences de M. Plateau , sur les intersections apparentes de deux ) ignés qui pivotent rapidement. En vous comnîuniquant mon second article de la solution de cette question , j'avais eu Thonneur de vous faire part d\iii théorème général concernant les courbes engendrées par deux droites, qui se meuvent dans le même sens* J'ai reconnu depuis qu'un théorème analogue avait lieu lorsque les droites tournent en sens contraire. De ces propriétés générales se déduisent fort aisément une suite d'analogies qui ne m'ont pas semblé dépourvues d'intérêt. Mais pour les exposer avec plus de simplicité, et montrer mieux les dépendances des deux familles de courbes , j'ai dû établir quelques principes qui m'ont paru susceptibles d'une grande généralité. L'ensemble de ces principes développés autant que leur nature le comporte , conduirait particulièrement % un moyen de ramener un grand nombre de propriété» des courbes et des surfaces de second ordre , à celles du cercle. J'apprendrais volontiers si cette méthode , nouvelle pour moi , l'est aussi
(i) M. Le Fiunçoit a publie depuis peu, à l'occaiion de ta promotion ku ^rade de ddcteur , des recherches. très-intéreasanUs rar quelques cour* I>es géométriques : Dissertatio inauguralis de guibusdam curvis geometriciê t etc. , à Gand, 1830. Je me proposais de donner une idëo de ce travail, mais Uanalise que l'auteur lui-même a bien voulu m'en adresser dans une lettre particulière , écrite ayant sa promotion , m'a paru plus propre à remplir ce but. Elle fera mieux comprendre ses vues , tout en fournissant fdes preuves de sa modestie. On verra du reste que les courbes coDsidërées se rapportent au genre de» polaires réciproques. A. Q.
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3i6 coitRESPOiyuAircK
pour tout lé monde. Pa:mettez-moi de tous en soumettre le
principe fondamental.
Je considère une surface d*un degré quelconque et de position arbitraire , par rapport 'k un plan et à un point G situé hors du plan. Par le point C, je mène un rayon vecteur indéfini qui rencontre le plan en un point B et la surface suivant les points A„ Aa, As, La droite Gfi est divisée en
deux segmensj par le point A,; je la partage par un point A', en deux nouveaux segmens, harmoniques aux premiers. Ainsi , le point A^, sera conjugué harmonique de A,f On pourra de même construire les points A'a, A's,*.. respectivement conjugués de Aa, As.... et la suite ^es nouveaux points A',, A'a, A'a,... appartiendra à une nouvelle surface conju- {pée de la surface, donnée , de même degré qu'elle , et présen* tant avec celle-ci de nombreuses analogies faciles à découvrir. Par exemple , si à égale distance du point et du plan donnés, on mène un nouveau plan , le conjugué de celui-ci sera situé à Finfîni , en sorte que^ autant ce plan intermédiaire déterminera de sections sur la première surface , autant la seconde aura de ^nappes s'étendant à l*infîni , etc. Au reste , je me suis borné , dans mon mémoire , à la considération des figures planes , et je n'ai déduit de ce principe fondamental que les conséquences qui devaient m'être immédiatement utiles* Or , ce sont des analogies du genre de celles que je viens de vous indiquer , qui existent entre les detix familles de courbes engendrées par les expériences de M. Plateau. Vous sentirez donc jusqu'à quel point ce principe a dû m'aider dans leurs recherches; -j'ai pu aussi par lui étendre à la conjugée de la focale parabolique , celles des propriétés de cette dernière découvertes par M. J^an Rees , qui ne dépendent que de la direction indéfinie des droites. Depuis long -temps je connaissais les courbes de M, F'an Rees; je les avais déduites de la considération des cercles orthogonaux , et j'avais obtenu pour les construire, les mêmes moyens que M. p^an Rees déduit de leur équation. Une propriét<é qui leur est commune m'avait conduit à la construction de leurs tangentes ,
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MATHiMATIQVB ET PHYSIQUE. 817
et la même propriété donne une explication géométrique des ^ principes sur lesquels repose son intéressant mémoire , etc. Brages, le 42 février 4830.
Recherches sur Pintensiie' magnétique de différens lieux de rAUemagne et des Pays-Bas , par A. Quetelet ( extrait d'un Mémoire lu à TAcadémie de Bruxelles )•
Depuis quelques années , les savans se sont occupés avec assiduité de recherches sur Tintensité magnétique , et déjà Ton est parvenu à déduire de l'ensemble de leurs observations plusieurs résultats curieux. Mais il en est de ces recherches comme de toutes celles sur lesquelles se base en général la géographie physique ; ce n'est que de la multiplicité des observations faites avec des instrumens précis et sur un grand nombre de points , ce n'est que de leur discussion conscieur tieuse que l'on peut espérer de recueillir quelques lumières. M. Hansteen , l'un des physiciens qui se sont occupés avec le plus de persévérance et de succès ^ de tout ce qui se rapporte au magnétisme,* a publié récemment, dans le journal de M. Schumacher^ des cartes magnétiques d'après ses propres observations et celles des voyageurs les plus habiles. Le parallélisme et la régularité des lignes isodynamiques n'est certes pas un des résultats les moins curieux de ce travail ; mais il serait à désirer que de houvelles observations vinssent rem* plir les lacunes nombreuses qu'on remarque encore sur la carte de M. Hansteen , afin de vérifier si les conclusions que ce savant a déduites des recherches antérieures , se confirment ou présentent des anomalies ^our quelques points particuliers.
On remarque avec peine que la carte de M* Hansteen ne présente , pour toute la .J^rance , qu'une seule observation de l'intensité magnétique , celle qui concerne la capitale ; tandis qu'il ne s'en trouve aucune pour le royaume des Pays- Bas. J'ai profité du voyage que j'ai fait récemment en Allemagne ( voyez les numéros précédens ) , pour réunir quelques nouveaux documens sur le même sujet.
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L'instnniietit dont je me suis sérVi à été contetriiit à Bruxelles , sér le modale de celui de M. Hansteen , dcmt se sert aussi M. le capitaine Sabine , qui a bien voulu me le confier lors de son passage par notre ville , en i8a8. Les aiguilles étaient -deux petits cylindres d'acier de 66 millimètres de longueur environ , sur 4 millimètres d'épaisseur, Elles étaient terminées en pointe et suspendues à un simple fîl de soie de cocon, d'environ 12 centimètres de longueur. Elles faisaient leurs oscillations dans une botte, garnie de glaces , qui les abritait des agitations de l'air et au fond de laquelle était un cercle d'ivoire gradué d'an diamètfe à peu près égal à la longueur des aiguilles. Les oscillations avaient lieu à trois centimètres d'élévation environ au-dessus du fond de la boîte , dont on assurait l'horizontalité au moyen d'un niveau à bulle d'air « et au moyen de vis qui Servaient de pieds à l'instrument. Ma manière d'observer du reste était la même que celle de M. le capitaine Sabine,
Toutes les valeurs consignées dans le tableau suivant sont, en général, les moyennes des résultats obtenus par deux ou plusieurs séries d'observations.
Ces observations ont été réduites è la températuï*e uniforme de i2« Réaumur, afin de m'écarter le moins possible de la température moyenne à laquelle elles ont eu lieu. La formule que j'ai employée est celle de M» Hansteen
T «: T [i — o,oooi65 ( t' — 0].
T' est le nombre de secondes que l'on a comptées pour un certain nombre d'oscillations à la température tf , d'après Fahrenheit , et T est le nombre de secondes que l'on aurait comptées à la température donnée t » pour le même nombre d'oscillations.
Après ces réductions et après avoir fait subir aux nombres la correction provenant de la faible diminution de force magnétique qu'avaient éprouvée les deux aiguilles pendant le voyage , ' je suis parvenu aux valeurs suivantes :
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MATHÈBffATIQVe LT PHYSIQUE.
