COS
COS. o
p=Mb^ : 4 ' •
a» sm. 5>' -f- b^ cos. f*
On voit sans peine que dans les deux suppositions la moyenne arithmétique étendue à toute la circonférence elliptique sera la même que celle qui ne comprend que l'une des demicirconférences soutendues par le premier ou le Second axe. L'expression de M suivant la première supposition ne s'obtiendrait qu'au moyen d'une intégration plus compliquée qu'intëressante. Supposons donc au lieu d'une ellipse un cercle, c'est-à-dire, faisons a = A. Nous aurons alors S = S =:2aîr; 5 = ff = a(T — 2y); p = 2a cos. y; et
M = — / COS. 9. d(p , f o»s==- \ = — .
Digiti
56 COnHESPOlVDANGE
Dans la seconde supposition on a pour Fellipse , S = t , 0- =: ^ ; par conséquent
' r COS. g* <fo f <r=z^ j ^
•^ a* sin. y" -f- b* cos. y»» \ ^^ p / '
a» — b^ jcm bien , si Ton fait — r; — = ± a»., selon que a
la moitié du premier ou la moitié du second axe , c*est-3l-dire, selon que le point O se trouve «i A ou en A%
«• -^ i=fca»sin,<r» \<^o/ ainsi donc, si le point O est en A,
***== — arc tang, IJL— — •
et si le point O se trouve en A' et que Ton transforme a en b et vice versa
Mrs-
Dans le cas du cercle , lune ou l'autre de ces valeurs qui doivent alors être identiques, nous fournira
On en déduira la propriété inattendue que la moyenne arilh' metique des rayons partant d'un point de la circonférence circulaire est la même dans les deux suppositions.
Faisons encore a* = si^ , nous trouverons si O est situé en A
MATHjblATIQVE ET PHYSIQUE. Sj
et si O est situé en A'
Nous apprenons que la moyenne arithmétique est dans le premier cas égale à la moitié du premier axe^ et plus petite que dans le second cas*
3* Appliquons encore notre formiile au cas oh le point O se trouve à Tun des foyers de l'ellipse (soit F). Dans la première supposition nous pourrons remplacer la moyenne arithmétique des rayons menés de F à Tune des demi*cir« conférences elliptiques soutendues par le^ premier axe , par celle des rayons menés de l'autre foyer à l'autre demi-circonférence* De plus, par un raisonnement analogue à celui qu'on a fait plus haut {voy* II), on se persuadera que la moyenne arithmétique étendue à la circonférence elliptique entière est égale à la moitié de la somme des moyennes arithmétiques étendues aux deux demi-circonférences respectives. Par conséquent , si m représente un point quelconque de l'ellipse , et que nous fassions Fm = p , F'm = / ; nous aurons i: = S , ff = * , et
c'està-dire , que la moyenne arithmétique est dans cette supposition égale à la moitié du premier axe.
Dans la seconde supposition , il nous sera permis de ne considérer que l'une des demi- circonférences soutendues par le premier axe. On a alors , en nommant 9) l'angle formé par le rayon p et le premier axe ,
^ya^^b^—a^ b |/a«— a?*
dx
Digiti
58 CORRESPOVSAXICE
par conséquent
c*est-à*dlre , que la moyenne arithmétique sera dans la seconde supposition égale à la moitié du second axe.
Il pourrait paraître surprenant que cette valeur est plus pe* tite que la valeur minimum dans la supposition a* = ab» , que nous avons trouvée =r a«o,8346 = ^.i^iooS.Mais on n'a qu'à se rappeler que les valeurs minima ne se rapportent qu'aux cas oti le premier et le second axe de £,, tombent respectivement sur le premier et le second axe de S; et en effet, si nous établissions le centre de S au centre de l'ellipse , nous trouverions Msa, comme dans la première supposition. Il est bon de remarquer qu'en, général , la question du minimum ne peut être résolue que quand on connaît l'équation et la position de £•
4* Ces exemples pourraient sui&re pour mettre en évidence la nature de la question proposée. Nous allons cependant y ajouter encore un autre concernant Vhélice d'Archimède. Supposons que le point O est situé au centre du cercle générateur l(sbit C), et cherchons les valeurs de la moyenne arithmétique étendue à la partie de Fhélice qui est inscrite dans .le cercle ( soit S). Nommons a le rayon du cercle; p le rayon vecteur mené de G à un point quelconque de Thélice , et at^ l'arc du cercle intercepté par le diamètre touchant Thélice et le prolongement de p. Nous aurons
af
Dans la première supposition , nous établirons
(dp^ \ a y" - ■■■ •
et
Digiti
MATllKMATIQUE £T PHYSIQUE. Sg
or , r^quation de il^ nous fournit
2 = 8 =-[2îr|/i "♦- 4Ta -♦- log (asr -*- |/i -t- 4^»)] ; donc
JV[ = — • i .
^' ^'|/7T4i> + log. (ajr -f- K I + 4t.)
^ â.o,64^75« Dans la seconde supposition, nous aurons £= ar y o- as f)^ et
c'est-k-dire que dans la seconde supposition la moyenne arithmétique est égale h la moitié^du rayon du cercle générateur*
Il est assez curieux de remarquer que les résultats qu'on obtient en calculant suivant la seconde supposition , sont tous plus petits que ceux que nous fournit la première.
Il y a encore plusieurs questions plus compliquées qui se rattachent à la formule que nous avons trouvée au commencement de cet article. Je ne mentionnerai que la suivante, qui me paraît présenter quelqu'intérêt.
On demande le lieu géométrique des points O , pour lesquels la moyenne arithmétique^ par rapport à une courbe et un mode de dii^ision donnés , soit constante.
Choisissons le cas le plus simple , savoir celui oîi la courbe donnée est une ligne droite ÂB = Z , et calculons suivant la première supposition. Soit O un point quelconque , OP la perpendiculaire abaissée de O sur /; faisons AP = x , OP ^sy. Soit de plus m un point de /situé entre A et P ; faisons P/nssg^
Digiti
6o CO&BESPOIIBAVGE
Omss p = \^{y* Hh $*)• Or, si nous nommons M' la moyenne arithmétique étendue à la partie AP de /, nous trouverons L = j:, iffl- = rff , et
M' -i/ « V(>- * «•) ■ (Il
Vms, si nous désignons par M'' la moyenne arithmétique étendue à la partie BP^ il viendra M'' =
Nommons enfin M la moyenne arithmétique étendue à toute la ligne /• £n considérant que cette ligne est censée être divisée en une infinité de parties égales , on verra sans peine que le nombre des rayons menés h la partie AP est à celui des rayons menés à la partie BP comme x à / — x; partant
3M/=: iWx -*- îM" (/— or) = const. =
ar|/(x'+^«)+^Mog.
ce qui est l'équation assez compliquée de la courbe cherchée. Nous en tirons aussi l'équation différentielle
o = [|/( xi + y) - y/[{l - xy +H] ^
Ce serait un travail très-intéressant que de rechercher les propriétés de cette courbe. Je dois ici me contenter d'en avoir
MATHÉMATtQVE Et l^ttYSIQUE* 6f
établi les équations principales^ et je me hâte de terminer cet article en signalant aux personnes qui s'intéressent à ce genre de questions les deux problèmes suiyans , qui ont beaucoup de rapport avec celui qui nous a occupés jusqu'ici.
1® Étant données une courbe S, et une ligne droite L, déter-miner la moyenne arithmétique des angles formés par L et les lignes tangentes h S.
2» Étant donées une courbe S, et un point O , déterminer la moyenne arithmétique des angles formés par les lignes tangentes à S et les rayons vecteurs menés de O aux points respectifs de S,
Cette derniëre question principalement , mériterait bien une attention sérieuse , en tant qu'elle se rattache à la courbure des lignes courbes.
De la mesure des volumes que décrii^ent autour d^un axe extérieur , un demi-segment^ un secteur et un segment circulaires ; par J. N. Noël , principal de l'athénée de Luxembourg.
La méthode des premières puissances des nombres naturels que nous avons donnée , tom. I«' de la Correspçndance , pour remplacer le calcul différentiel et intégral dans certaines rcr cherches , nous a' servi alors à résoudre plusieurs problèmes importans de géométrie et de mécanique. Voici encore un problème facile à traiter, d'après cette méthode :
Troui^er le volume 'décrit par un demi-segment circulaire autour d'un axe extérieur dans le même plan ^ et parallèle à la flèche de ce segment.
Cherchons d'abord le volume décrit par le demi-segment APN, autour de l'axe MU , parallèle à la flèche PN = ^ {fig 6 et y). Du centre O , menons OH perpendiculaire à MU , et prenons OH = a et le rayon OA = r. Divisons la flèche PN <>u £? en un nombre infini n de parties égales à .r , de manière
Digiti
63 COnilKSPOllDANGE
que dsssnx. Par chaque point de division 9 menons une perpendiculaire à PN ; nous partagerons ainsi le demi'Segmcnt APN en n tranches 9 toutes de même hauteur x. Soit DRKC s3 tf, la t'** de ces tranches 9 à partir de N ; nous aurons donc NR s= jci^ et DR' s=^xu (ar — «i*) == iirxp — a?*j''« La hauteur X étant infiniment petite , il est clair que la u^^ tranche DRRC peut être considérée comme un rectangle , dont l'aire est par conséquent U s=: DR X ^* Ainsi le volume décrit par ce rectangle 9 autour de Taxe MU 9 a^our mesure xx (DR + a)* — sra** 9 lorsque l'arc AN est concave vers Taxe MU , et wa^x — 9rx (a — DR)* 9 quand l'arc AN est convexe vers le même axe ; ce qui donne 9 dans le premier cas 9 volume DRRG «s u.^Ta + {%7Frx^if — irx^v% et dans le second , volume DRKC s= tp.^ïira — (irrx**^ — îts'm*). On a par conséquent 9 pour les deux cas ,
vol. DRKC = r^.ara =fc (ajrrïV — jr*3«/').
Prenant successivement (^5=51,2, 3, 49— »»» on aura successivement les volumes décrits autour de MU par les tranches qui composent le demi-segment APN ; la somme de tous ces volumes sera donc celui décrit par ce demi-segment. Ainsi à cause de x infiniment petite et de nx=s:d , les quantités x'c et x^t^i donneront i rf" c*4 ^' (Voyez tom. !•' de la Correspondance 9 pag. 127) : en outre , comme f, f, -f- 1^ -f.,«-*- U = APN, il viendra
vol. APN = APN.îjrazb {xrd* — •^jrrf5)..,.(i)
Dans cette formule 9 on prendra le signe + ou le signe — , suivant que l'arc AN sera concave ou convexe vers l'axe MU. Pour le demi-segment BQN et en faisant QNs=rf% on trouverait de même
vol. BQN == BQN.ara -f- (jrrrf"— —jrrf'^).
Retranchant de cette équation la précédente , décomposant en
Digiti
MATHiCMATIQVE ET PHYSIQUE. 63
facteurè et posant dJ.^^dsas^ QP sss à , on aura
vol. QBAP = QBAP,aTû± \7(rHd'^d:)—\ ^h(d^ ^ dd'^d'*)]^
On peut donner k cette expression une autre forme ; car soient les demi-cordes AP = 2» et BQ s= c ; on aura donc b^ s= ^dr — rf« et c» = id'r — d^ ; d'oh ô» -«- c> ==: ar {d -*- éf)— {d^^d'^y Mais Féquation rf'— rf s= ^, donne rf» -^ £^» = A« -4- 2<f/i'; ainsi' /i» + c« s= 2r (rf -4- rf') — (A« ^:. arf^O ?.<>« r(rf+rfO = — (*» ^ c>) 4-- A» -♦- dd\ Substituant cette valeur et celle de d^ h- d!^ dans rexpVessîon de vol. QBAP et réduisant , on trouvera
vol. QBAP = QBAP.2Ta ± [- xh {b^ h- c>) +i rhn....(2]
Si Taxe passait par le centre O et que le demi-segment QBAP devînt égal au demi- cercle , le volume décrit serait la sphère f et comme alors a 9 b et c seraient nuls et ^ = ar , il viendrait j xh^ ou I îT/^, pour le voluzpe de la sphère.
Lorsque l'axe passe par le centre O , ou que a est nul., le, demi-segtnent QBAP, dans la figure 6, décrit le segn^ent sphérique S' , à deux bases xb* et xc* ; et alors on a
S' =- (rb^ H- TC^)h -*-4 »■&' ; 2 o '
ce qui fournit Ténoncé connu.
D'après cette valeur du segment sphérique , la formule (2) nous apprend que^e volume décrit par la révolution d'un demi'Segment circulaire, à une ou deux bases ^ autour d'un axe extérieur perpendiculaire à ces bases , a pour mesure Vaire de ce demî^egment multipliée par la circonférence çue décrit son centre , plus ou moins le segment sphérique que décrirait le même demi-segment autour d'un diamètre parallèle à l'axe; (plus si Parc du demi-segment est concat^e et moins s*il est convexe vers Faxe proposé. )
Corollaire /. Il est clair que , quand l'arc AN est concave
Digiti
64 corhespoudance
vers MU , on a vol. OAP = i T.OP.[(a+ by -^ a {a^h) •*■ a«| — îr.OP.a« = 5. T.OP. {lab -♦- h^) , et lorsque Tare AN est convexe vers MU , il vient vol. OAP =s jr.OP.a* — j T.OP. [aa -*-a(a— ô)-f-(a— *)*]= 5 r.OP. (Zab — b^) ; ce qui donne ^ pour les deux cas , vol. OAP = ^ jr.OP. (3ai db b^. On a aussi , dans les deux cas , aire APN = OAN — j OP.i , OP s= r— rf et i* = 2cfr — A. Avec ces valeurs et la formule (i) , l'ëquation voL OAN =c vol. APN -1- vol. OAP se réduit à vol. OAN =B OAN*2;ra zfc 5 ler^d* On aurait de mêitae vol. OBN = OBN. âjra d= j ;rr»^' ; donc vol. O AS B = OASB.ara db j Tr'A. Observant que , si l'axe passait par le centre O , le volume décrit par OASB , dans la figure 6 , serait un secteur spbérique qui , k cause de a a= o 9 aurait pour mesure ^ rr^h , on en conclura que le volume décrit par la révolution de tout secteur circulaire , autour d'un axe ex* terieur , dans le même plan , a pour mesure taire de ce seC" teur multipliée par la circonférence que décrit son centre plus ou moins le secteur sphérique que décrirait le même secteur circulaire autour du diamètre parallèle à taxe ^ (plus^t Varc de ce secteur est concave et moins s'il est cont^exe vers taxe en question*)
Corollaire IL II est aisé de voir que Taire du trapèze ABQPess j {b '■^c)h et que, suivant que Tare AB est concave ou convexe vers 'l'axe MU, le volume décrit par ce trapèze , autour du même axe , est vol. ABQP== ^ Th[3a {b -^ c) d=(i*-f-c' H-^c) ]. Or, soit S le segment circulaire ASB et m la corde AB ; il est clair qu*on aura d'abord le demi-segment
QBAP =iS-*- ~(^-*-c)A, et qu'ensuite le triangle rectangle AIB donnera (c — A)' ssm» — 'h^. Ainsi avec ces valeurs, celle du volume décrit par ABQB et la formule (2), l'équation vol. S = vol. QBSAP — vol. ABQP, deviendra, toute réduction faite,
vol. S = S.2TA dz -g xm^h , ou vol. S = S.2Tâc àz j rr»/*.
Digiti
MATllilILVTIQITC ET WIYSIQUt. 65
Cetteionnule fait voir que le volume décrit parla rel^olution de tout segment circulaire autour d'un axe exteneur, dans le même vlan, a pour mesure Faire de ce segment multipliée par la circonférence que décrit son centre, plus ou moins le demi-secteur sphérique que décrirait , autour du diamètre parallèle à F axe, ' le secteur circulaire dont le segment proposé fait partie, ( Plus si Farc du segment est concave , et moins s'il est com^exe vers F axe dont il s" agit, le segment et le centre étant d^ ailleurs éFun même côté de cet axe. ) Ils ne pourraient être de part et d'autre que quand l'arc est concave; et alors on aurait vol. S^BsL^r^h
Corollaire III. Supposons que le segment S devienne égal au demi-cercle— «t*, ayant son diamètre parallèle à l'axe MU; supposons de plus que le demi-cercle dont l'arc est concave et le demi-cercle dont l'arc est convexe vers l'axe, aient le même centre; il est visible que les volumes décrits par ces demi - cercles^ , seront respectivement i-rr^ka^a -♦- -^ rr^ et
^Tcr'.'iTfa — — jrH ; la somme de ces volumes, c'est-à-dire , le volume de \ anneau rond engendré par le cercle entier , sera donc jrr'.2îra. Ainsi le volume de F anneau rond produit par la réi^olution du cercle autour d'un axe extérieur et dans le même plan , a pour mesure Faire de ce cercle multipliée par le chemin que décrit son centre.
Remarque. Le théorème suivant a beaucoup d'analogie avec ceux que nous venons d'établir. Soit S' la surface décrite par un arc A autour dun axe extérieur, dans le même plan ; soit R le rayon de cet arc , C la projection de sa corde sur F axe , et D la distance du centre au même axe; i» si F arc est convexe vers Faxe, on aura S' a=s A.2irD — CixR; a® si F arc est concave vers F axe, il viendra S' = C^^R db A.^xD, le signe ■+ayant lieu lorsque Fatc et le centre sont éFun même côté de taxe , et le signe — quand ils sont de part et et autre.
Ce théorème fournit la mesure des aires de toute zone et do la surface sphérique : il en résulte aussi que la surface annulaire engendrée ^ar la circonférence du cercle tournant autour Tom. VL '5
Digiti
66 GOBBESPONDAHCE
JPim (uce extérieur 9 dans le même plan , a pour mesure cette circonférence multipliée par le chemin que décrie son centre. Voici encore uu théprèmej^ qtre Ton peut dëmontrer par la méthode des premières puissances des nombres naturels : Si une droite d et unejigure plane quelconque F sont perpendiculaires à un même plan P, et qu'une autre droite , appuyée sur la prenuère et sur le contour de F, semeuse de manière à être constamment parallèle au plan , le volume du conoïde résultant sera la moitié du produit de sa base F par sa hauteur h , en appelant hauteur la perpendiculaire menée du pied de la direction d sur le plan de la base F.
&ir rintensité du magnétisme à Bruxelles , Paris , Londres et Altona* (Extrait d'un mémoire lu le 5 décembre 1829, à l'Académie royale de Bruxelles., par A, Quetelet.)
L'intensité magnétique n'avait pas encore été déterminée à Bruxelles 5 du moinâ à ma connaissance, avant les observations qui ont été faites par M. Sabine et par moi , vers la fin de Fannée dernière et dans le courant de cette année. Les observations de M* le capitaine Sabine y ont eu lieu le 5 novembre 1828, Ters midi , dans le Jardin de l'Observatoire , avec un appareil semblable à celui dont se sert M. Hansteen. Les résultats ont été publiés dans le tome V de la Correspondance math., p. 226 , en même temps que les résultats obtenus à Altona et à Londres , avec le même appareil. Mais les nombres devant être réduits à cause de l'inégalité de température à laquelle les expériences ont eu , lieu , j'ai entrepris ce calcul , en faisant usage de la formule de Hansteen , dont M. le capitaine Sabine luimême a fait usage dans les Transactions philosophiques pour 1828, en déterminant la différence d'intensité magnétique entre Paris et Londres* Voici cette formule : en supposant que n
MATHiMATIQUB ET PHYSIQUE. 67
oscillations , s'effectuent en t secondes par une température de t degrés de Fahrenheit ^ et en T' secondes par une température de ^ secondes , on a :
En réduisant donc les résultats comme a'ils avaient été déterminés à une température de44« de Fahrenheit, on obtient les nombres suivans :
B&UXBUn.
hOVMXB.
