CM
Dénotons par /9„ ^o,, pi, etc., les valeurs de afc^ données par Téquation (20) , et distribuées par ordre de grandeur en commençant par la plus petite; en substituant, dans la dernière
formule, - à la place de /et, on aura a
(22) » s= — /l — ' J sw* - —
Digiti
a8 CO&AESFOJrDAlICE
En examinant cette expression de x, on voit sans peine que 5' pendant le mouvement de la membrane, il y aura plusieurs circonférences concentriques à son contour qui seront en repos. Les rayons de ces circonférences nodales seront successivement égaux à -^a,-^ a, —a -!!— ^a. LesosciUations de la
Pn Pn pi' pn
membrane seront isochrones , et la durée d'une vibration sera
égale à — • ; par conséquent la membrane vibrera d'autant
plus vite 9 toutes choses égales d'ailleurs , que sa tension sera plus forte et que l'indice n sera plus grand.
Supposons maintenant que l'on imprime une vitesse initiale b à tous les points de la membrane depuis le centre jusqu'à la
a ' distance très-petite— • Il faudra supposer Frsssb depuis r:s=:o
jusqu'à tœ: — , et Fra» o pour toutes les valeurs der plus m
grandes que — . En outre , en changeant (ji, en — , et en obser-
vaut que les limites de l'intégrale peuvent être o et — , la for^ mule (18) nous donnera
Mais, en développant la fonction /( ^—J en série , on trouvera , à l'aide de la formule (19) ,
partant
MATHEMATIQUE ET VHTSIQUE. 3^
a Si la quantité — est une très-petite fraction de a, on pourra , m
dans le second membre de ce cette équation , négliger tous les termes qui suivent le premier. Alors on aura , pour déterminer le mouvement de la membrane , cette formule assez simple
, ^, aht . ^ a y * a
cm p„J p »
11 résulte donc de cette ânalise qu^en frappant la membrane an centre et dans une très-petite étendue autour de lui , elle fera entendre plusieurs sons à la fois; mais il est évident que les deux ou trois premiers sons seront les seuls appréciables , et que le plus grave de tous est celui qui correspond à ^j, = ^,. Il est facile de voir , en outre , que le mouvement de la membrane dans ces cas a beaucoup d'analogie avec celui d'une corde que Ton pincerait dans un certain point de sa longueur ; seulement la corde vibrante se divise , en général , en deux , trois , quatre , etc. , parties égales , tandis que les circonférences no« dales de la membrane la divisent toujours en zones dont les largeurs sont incommensurables.
Nous aUons maintenant appliquer la formule (17) au cas oh. la fonction 4^r,a,) est égale à la constante b pour toutes les valeurs de r comprises entre les limites r', r", et pour les valeurs de a depuis^ â( ssar o jusqu'à «s 6^* En dehors de ces limites, la fonction ip est supposée égale k zéro ; et Ion admet en outre que les quantités r" — r', et 6f sont très-petites.
On aui^ d*abord
-v=Ç=cos.id r/(/ir)r dr f sin. i«e<£x
H- sin. i^ff^fJ^ r^-^-^drfsïvh iadA.
Digiti
30 GOEBSSPOHDiUrCI
En effectuant les intégrations par rapport à « , et en observant que Ton peut faire
à cause de la petitesse de r^' — K, on trouvera sans peine N == h(jH' — r') -^ [sin. itf sin. t (tf — ^)\f(fa^ ;
et comme on a
(m en dédoit>
N, « i(r" — r-) r-â^/Ow') , P. « - ay»'(a^) ;
et en substituant dans la formule (17) , il est aisé de voir qu'on peut la mettre sous cette forme
+ — rsin.a^sin,a(^->0) /^^' ^^'^ ^siacyc^f -♦- etc • ]
Dans le second membre de cette équation, le signe S*se rap porte aux valeurs de /c£^ , a^^ , /cf, , etc. , dont le terme général fju a une infinité de valeurs données par l'équation (lo), résolue par rapport à /u.
Digiti
MATniOLlTIQITE ET PHYSIQUE. 3l
En négligeant les termes du second ordre, par rapport à — ,
a* que l'on p^ut regarder comme une petite fraction, le second
membre de l'équation précédente se. réduit à son premier terme,
et l'on a, pour déterminer le mouvement de la membrane,
cette formule très-simple.
jra'c ^ a y \ a ^ a
En comparant cette valeur de z avec celle de la foiinule (23), on voit que les sons qu'elle rendrait seraient les mêmes dans les deux cas, quoique les circonférences nodales aient des rayons différeus.
Nous terminerons cette note par la remarque que la série donnée par l'équation (23), ainsi que les séries que nous fournissent les deux dernières formules, ne pouvant être réduites à un seul terme , qu'en négligeant ceux qui ont des va-leurs comparables è celle du premier terme dont la valeur est la plus grande ; la membrane fera entendre, dans tous ces cas, outre le son fondamental qui est le même, plusieurs autres sons appréciables , lesquels n'étant pas harmoniques avec le premier, causeront cette singulière sensation que l'on .éprouve lorsqu'on frappe d'un coup de baguette la caisse d'un tambour. Ceci nous explique aussi pourquoi la corde d'un -piano fait entendre un son lorsqu'on la frappe d'un coup de marteau , tandis que la membrane du tambour ne fait entendre qu'un bourdonnement ; et enfin , pourquoi ce bourdonnement est sensiblement le même , soit que l'on frappe la membrane au centre ou dans un autre endroit quelconque peu éloigné de ce point.
Digiti
32 'COBAESPOHBAVCI
Mémoire sur le centre de gravité cCune pièce de a4 ^^ hronie ; jpar M. TiMMEBHAVfl , i^ lieutenant d'artillerie, à Litfge (communique par la Société des sciences naturelles de Liëge).
Ayant éïé charge , ainsi que plusieurs de mes camarades , de la recherche du centre de gravité d'une pièce de ^4 ^^ bronze , j'ai cru que ce travail pourrait être de quelqu'intërét pour MM. les membres de la société des sciences naturelles , â*autant plus que jusqu'à présent, on n'avait pas réussi à trouver des formules exactes ^ tant pour le volume que pour le centre de gravité des anses et des envases des tourillons.
Comme cependant il serait trop long de faire ici tous les cal* culs nécessaires pour trouver le centre susdit , je me contenterai d'indiquer la marche que j'ai suivie et de poser à la fin quelques questions , qui me semblent découler naturellement du sujet. .
Avant de passer à la résolution même , je crois utile d'observer que, pour la faire avec Texactitude requise, il est nécessaire de prendre une petite unité linéaire.
Dans mon travail même , j'ai pris le millimètre pour unit^^ sans toutefois négliger dans Texpression des données les dixièmes du millimètre , ce qui me donnait l'évaluation des volumes en millimètres cubes ; puis je cherchais le poids , en multipliant ces volumes par le poids spécifique du bronze indiqué dans Gassendi^ qui , vu la confoi*mité de l'alliage du cuivre et de l'étain dans les pièces françaises et les nôtres , était aussi le poids spécifique de nos pièces ; quoique cette dernière évaluation ne fût point nécessaire , puisque je faisais la supposition de l'homogénéité du métal dans toute l'étendue de la pièce , j'ai pourtant cru utile de la faire , vu que cela m'offrait un moyen facile de vérification de mon travail , le poids moyen du canon étant connu.
Les formules intégrales contiennent pour la plus grande partie des arcs de tangentes. Il ne sera peut-être pas superflu de remarquer, qu'en voulant les évaluer d'après les séries qu*on obtient par le théorème de Maclaurin , l'opération serait lon-
Digiti
MATBitf ATIQVB ET PBT8IQUE. 3$
gue et ennayevsé; l'ai donc fv^été de cterchef'premiteeBieiit les angles qui appartenaient h ces tangentes ^ et alors favais par une »mple proportîcm les longueurs des arcs mêmes.
Pofur chercher le centre de graritë du canon , f ai commencé par supposer la pièce toute masshre ,' par conséquent non forëtf ; ensuite fai cherché sëparëment les centres des cinq parties suivantes , dans lesquelles on divise ordinairement une pièce :
!• Le cul»àe4ampe qui comprend le bouton ABG {Jig. i).
a* Le premier renfort BCDE.
. 3«,Le seeond reniÎHrt DEFG^ sans toutefois j comprendre ni les anses , ni las tourillons avec leurs embases.
4P La voMe FGHL
5« Le collet et le bourdet en tulipe HIRL«
Chacune de ces parties se divine elle-même en plmieurs subdivisions ^ dent il fallait chercher stfparéibewk le centre de gravita et les v<^«mes , pour trouver ceun dé t« gt^â^e divisiod elle-même* '
Après ce travail, je cherchai les volumes et centres de gravite :
a des anses {^. 3 ) ,
fi des tourillons avec leurs embases (^g. a), ydeFâme abedef{fig. i), et j'«vais dès-lors facilement le volume et le centre de gravite de la pi^ce entière. Car ce centre de gravite , devait être dans un plan vertical par l'axe du canon;, qui le divise en deux parties symÀriques ; de plus , la phipart des parties susdites étant dès corps de révolution autour de l'axe du canon même , leurs centres de gravité devaient se trouver dans cet axe , et pour les autres parties , qui n'étant pas corps de révolution autour de Taxe du canon, n'y avaient point leurs centres de gravité , il était possible de déterminer leurs distances au-des3us et au-dessous de cet axe ; prenait donc cet axe et une ligne qui le eoupeii angle droit , et qui passe par l'extrémité du boutdn dû cul-de-lampe À {Jig. i), j'avais mes deux axes de coordonnées, et puis parles momens le centre de gravité de
la pièce.
Pai* la simple inspection de U^. i , qui représente le canonl Tome VL 3
Digiti
34 COERKBPOKDANCE
de a4 en bronze , Ton se convaincra que les cinq grandes divisions sont des corps de révolution autour de Taxe de la pièce , leurs plans générateurs sont terminés de deux manières ^ ou par des lignes droites , ou d'une part par Taxe et dans les autres sens par un assemblage d'arcs de cercles et de lignes droites.
Les premiers n'o£Frent aucune difficulté ; pour les seconds , il faut distinguer deux cas :
!•' C(zs. Ou l'arc de cercle qui termine en partie le plan générateur , est convexe par rapport à Taxe du canon (^. 5.) ;
2* Cas. Ou il est concave par rapport à ce même axe {fig, 4)*
Je vais m'occuper successivement de ces deux cas.
Pour le premier, soit Ax l'axe; O le centre de l'arc de cercle ; la distance constante de ce centre à l'axe = a ;
Le rayon de l'arc = r.
L'origine des coordonnées de l'arc de cercle est au centre^ FUfh sera l'élément du plan générateur; nommant lordonnée du cercle y, l'ordonnée du plan générateur^', on aura :
et par conséquent l'élément du corps de révolution ,
rfy= ^'^dx =. vdx\a -f- |/(r» — a:»)]»
donc
yz=zf^dx\a^ -1- r' — »» -f- 2a \/{r^ — a:»)]
(a*-*-r»)a>— -'a:^+aa:(r' — x"^) *t-a>rarctang.
La constante étant = o , puisque x^=:^o donne y=zo; si au lieu de prendre O pour l'origine , on avait pris B» alors on trou-
Digiti
MATlliiaATIQtTE ET PHYSIQUE. 35
veraît :
= îr/[a* -f- 2rx — *' H- aa |/(ara: — jc')] rf* = sr [a'o: H- rx'^ — -rX^ — a* (r — a:) (ar — x)
ar"a arc tang.
%/ ar — X I
Pour le deuxième cas, en laissant auy lettres leurs significations susdites , on aura selon qu'on prendra l'origine au centre ou à l'extrémité du rayon ,
CAy-5.) y = a—y
jo y^=^a — l/(r» — jf») , aoy = a — |/(2rx — x')
ce qui donne pour les volumes , les deux formules suivantes :
y s ar I (r» + a>)x— - «^ — a« (r^a?»)
— i^a arc tang,
y/r»-.x'Jî
•^ — **! a*x -f- rx'— - x' -f- ax (r— *)(ar — x)
•^ar— xj'
^ ar*a arc tang.
Si Z'Z' désignent dans les figures 5 et 4 les centres respectifs des solides engendrés par les plans dont nous venons de nous
36 CORBESPONDAirGE
occuper , on aura : . ' '
en observant que
I ai»"»"»»^ »
JxdV'=^ -«"ar'-H^y-jr'— jjc4— -aj: (ar— or) —ara: (r— *)(ir— x) -«a 34^
arîa arc tang. m/^T^} on a aussi (^/^. 4)
E,'»-^. et C,'==^^^'
et observant que , d'après les premières formules ,
arx (r *— x){2r — x) — aar^ arc tang,
ar — jc
les constantes ëtan^ toujours s=s o.
D'après ce qui précède , il serait tout-Wait superflu d'entrer ^dans les de'lails de la recherche , et du volume et du centre des cinq divisions susdites , ainsi que de Tâme de la pièce , puisque ce sont , ou des cylindres , ou des cônes tronques , ou. enfin des corps de révolution dont les plans générateurs sont termina d'une part par Taxe du canon et dans les autres sens
Digiti
MATHEMATIQUE ET PHTJIQVC, $7
par des Ugnea droites et des arcs de cercles. Ayaatdéterminé géométriquement , ou quelques fois par le secours de la trigor Dométrie , les centres de ces arcs , la longueur de leurs rayons et la distance de ces centres à Taxe , on peut trouver par les quah-e formules susdites le volume et le centre de ces corps. Je passe donc aux parties du canon qui , n*étant pas corps de révolution autour de l'axe de la pièce , doivent lêtre déterminées d'une manière différente , et d'abord je prendrai les embases des tourillons. Ces embases sont , comme on voit par la figure a , un corps qui , latéralement est terminé par un assem- )>lage de surfaces cylindriques , et dont la base est une surface plane parallèle au plan vertical , passant par l'axe du qanon. Ce corps passe à travers le cône tronqué du second renfort.
Pour trouver et son volume et son centre de gravité , on cherche premièrement le cercle dont le plan passe perpendiculairement par l'axe du canon et qui contient en même temps l'axe des tourillons.
Soit ahc^fi^^ a , ce cercle. Soit defg la base des embases.
Si à présent on imagine un système de plans h(H*izontaux , coupant à la fois les embases et le canon , les parties de ces plans^ qui forment les sections des embases avec eux , sont une série de trapèzes ; la différentielle des embases est donc un prisme dont les bases sont deux de ces trapèzes variables ; or^ un trapèze est égal à la ligne qui joint les milieux des deux côtés nos parallèles , multipliée par la hauteur ; mais les lignes qui joignent les milieux des côtés non parallèles dans la série du trapèze , sont toutes situées dans le plan vertical passant par l'axe des tourillons , et perpendiculairement par l'axe du canon , et par conséquent égales à la distance constante de la base des embases \ l'axe du canon » moins l'ordonnée correspondante dit cercle ahc.
A présent il sera facile de trouver la différentielle de la partie supérieure des embases. Soit pour cela le rayon o/'s» r, opsax i pm rszy. La distance constante de la base à l'axe du canon oi sss a ^ hi :ssi b ^ rs sss^', le rayon Ac œs j , on aura
Digiti
38 corhespovdavce
pour la diffërientielle du volume, prenant l'origine des coordonnées au point o ,
ou puisqu'on a
dV = ^dx \/(r» — *>) [a — Vs^ — • (ô — *)»].
Cette formule doit être intégrée depuis x = o jusqu'à x=^r*
Pour la partie . inférieure des embases soit le rayon €& = R.
La distance ou^=AOt ^sssc ^ ot^sssx^ les ordonnées des cei>
clés dont t et u sont les centres y\ on aura i^x =y' — c ,
donc xa/ = a (^' — c ) ; nous aurons pour la différentielle de
son volume,
mais
donc
€iV'=:a[v/(R»^ar») — c] [a— V/[5»— (6 + »)']]rfx
à intégrer depuis or = o jusqu'à a: = og = rf.
Pour les centres de gravité on a :
fxxdx Vr" >^ ar' [g — |/[f ' — {h — xf^ ~ J^dxVr'—x' [a — ï/[5' — (6 — *)»]]
pour la partie supérieure , et
^ fixdx\y(^- — x^) — c] [g — 1/[^' ~ (^ -4- g:)']] ""^ /arf:r [|/(R' -X') -cWa^ V\s- - (ô + *)')]
Digiti
MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE. 3q
pour la partie inférieure , à intégrer entre les mêmes limites. Quant à Tintëgration de ces quatre formules , il m*a été impossible de la faire autrement que par des séries. J*ai développé pour cela les deux radicaux par le théorème de Newton , et la multiplication faite , j'ai eu une série de la forme
Ax<^ -4- Bjç3 ^Cary+ -*- etc.
où les exposans étaient entiers ou fractionnaires et par conséquent faciles à intégrer.
J'aurais pu me contenter de ne développer qu'un radical , puisque j'aurais également obtenu des formules différentielles faciles à intégrer ; cependant j'ai préféré le premier moyen , parce que prenant un des facteurs trop grand , Fautre trop petit , il j avait compensation.
. Les tourillons mêmes étant des cylindres , n'offrent aùcunç difficulté.
Les Anses.
Les anses sont des anneaux placés sur les canons et au*des8us du centre de gravité , attendu qu'ils doivent servir a les soulever , soit pour les placer sur des affûts , soit dans tout autre but.
La figure 3 , qqi est une section fkite selon la longueur de l'anse et la divisant en deux parties symétriques , fait voir que l'anse n'est point tout-à-fait circulaire , mais qu^elle se compose de parties droites , réunies par deux portions circulaires.
La figure abcdefg qui représente une section perpendiculaire à travers l'anse, montre que d'un côté cette section est fermée par une demi-circonférence ; de l'autre par la moitié d'un octogone régulier circonscrit à ce cercle.
L'anse s'adapte à la surface conique du canon par un plan semi-circulaire , semi-polygonal ABCDEFG, semblable à la sec- ^ tion perpenidiculaire susdite , ce plan est la base d'un petit corps prismatique dont hm est la hauteur , et la réunion de la base supérieure de ce corps prismatique avec le corps de l'anse se ftait au moyen des arcs de cercle hi ^ kl^ etc.
Digiti
4b 4!ORAS5l>0ll0ilfG£
Pour trouver le vohime du corps de l'anse , on ci^mmciicé par chercher Taire et le centre de gravité de la coupe transversale oÂc^fe/^/ on cherche ensuite le chemin que parcourt ce centre de gravité , et on a par la rbgle de Guldin , le volume du corps de l'anse.
Pour avoir le volume du pied de Tanse , il faut remarquer qu'il est composé de deux parties. Ltf portion prismatique, qui, quoiqq/e sa base inférieure ne soit pas plane , est considérée cependant comme telle ; vu sa petitesse , qui , sur la surface de la pièce , est à peu près plane , et n'o£Ere par conséquent aucune difficulté. Pour la seconde partie , qui unit la partie prismatique au corps de Fanse , on procède de la manière suivante.
On imagine un système de plans perpendiculairement par Taxe de cette partie ; alors ces sections sont des figures sem» blables à la base du pied ou à la section transversale du corps de l'anse abcdefg ; pour exprimer une telle section en fonction de sa hauteur , il est nécessaire de trouver Taire de là partie de cette section , dont ^vxyz est la projection horizontale et w la projection verticale» Cette partie forme le trapèze.
Nommant 2a Tangle polygonal de Toctogone ;
r Le rayon du cercle inscrit de la section transversale ahcdefg^
i L'aire de cette section ;
r^ Le rayon du cercle inscrit de la section transversale ABCDEFG;
a L'aire de cette section ;
s Le rayon , oi =: oh ;
o^ssso: , ^z =5: a : on a :
1 icota^s — 1/(5' — ;r') : -W* , 4V« =;: ÇQt 4 [* — V(*'r- *')]•
Donc
» wxs=a -4- 2 cof «1^5 — 1/(5' — a:»)],
et par conséquent la différentielle du corps dont le trapèze
MATBJXATIQITE ET PBY8IQVE. ^ï
irariable est le plan gtfn($rateur
££V = [a H- ço^ « [5 — 1/(5' — ar')]] [* — 1/(*' — *»)] rfxj ce qui fait pour la partie polj){onale :
dV =:4[a H- coi a[s — l/{s^ — x^)]] [s —»/(«• — x')] dx. Pour la partie circulaire , on a
dV TT:'^^r^S'^{s^r-x*)Ydx — ^wr" dx -=
— 3r[arr -I- a** — a(r ^. 5) |/(5> — *•) — a:*] Ac ;
donc enfin pour la différentielle de toute oette partie de l'anse , portion à base polygonale , circulaire et intérieure ,
ifV as [i •4- Has -^ 8* cot. a \/ (*» — x") — 4 co*« «*' -*-
8j» cot. « — 4« V/ (^" — J?») r ar' -*-
r5 (5 •+- r) — r (r -4- 5) V/ (5* — ar»)] rfjr s=3Arfx-4-Bdxj/(5'— x») — Ca:> dx-^ const.
facile à intégrer 1 et cela entre les limites a:=s et x =s ^.
Centre de gravite' des anses.
Le centre de Tanse doit se trouver dans le plan isq , qui le partage selon la longueur en deux parties symétriques ; de plus , il doit se trouver sur la ligne ss\ qui partage à son tour ce plan en deux moitiés parfaitement semblables. Pour le trouver, on procède de la manière suivante*
Le centre z de la partie prismatique du pied se trouve au milieu de sa hauteur*
Digiti
4^ COBBËSPONDAMCE
Le centre z' de la partie qui réunit cette partie prismatique au corps de l'anse , se trouve en multipliant la formule différentielle
Adx — Bdx )/ {s^ — x^) — Cx^ dx
par X y et l'intëgrant entre les mêmes limites on a alors ^ '__ /{kxdx — lèxdx ^/ (^' — x^) — Qx^ dx) ^ ~ f[ÈLdx — Bdx y/ {s^ — x^) — Cx« dx) ' ce qui donne aussi s'z'm
Pour avoir le centre du corps de Tanse, on suppose son poids également partagé sur la ligne yêi£X>i^ que parcourt le centre de gravité du plan générateur ; dès-lors la recherche du centre susdit est celui de cette même ligne ^ composé des parties perpendiculaires y^ et yjB y des parties circulaires ^e et Çjf et de la partie horizontale fÇ.
Le centre z" des premières se trouve à son milieu ; le centre de la dernière en z*Y ; et pour avoir le centre d'une portion circulaire <^£ on a : xg^ = • , si K est la corde de l'arc ,
arc <h et alors on a facilement la distance XfA , et par conséquent s'z'\
Si donc :
V est le volume de la portion prismatique dû pied ,
d la distance s^z ,
v' le volume de la partie du pied qui suit ,
d' la distance /z' ,
v" le volume de la partie du corps de l'anse depuis r jusqu'à <^,.
rf" la distance s'z'* ,
v"* le volume d*une partie circulaire de Tanse eTXe ,
ÉÎ"' la distance Vz'",
v^ le volume de la partie horizontale eÇ,
d^'^ la distance s'z^ ; on aura en nommant Z le centre de Fanse entière et en rapportant tout à la ligne ss* ^
li^d ^ ni^'d' -f- Qtp"^" -f- 1 f'"^"' -f- p ^^d^^
S^'Zi r — T ' . ■ ■ L •
Ay^nt trouvé ce centre , on détermine celui des deux anses
Digiti
MATHÉMATIQVB ET PHYSIQUE. 4^
qui doit se trouver dans le plan vertical , passant par l'axe du canon ; mais comme les anses sont inclinées par rapport à ce plan , il faut d'abord déterminer la hauteur à laquelle, au-dessus de Taxe du canon , la ligne qui joint les centres des deux anses rencontre le plan vertical* Ce point de rencontre est le centre des deux anse^i.
Ayant donc indique la marche que f ai employée pour trouver le volume et;le centre des dififërentes parties de la pièce , rien ne sera plus facile que d'en trouver le centre, et le volume de la pièce même.
Soit pour cela :
V le volume de la partie ABC , fig. i ,
d la distance de son centre jusqu'à A ,
v' le volume de la partie BCDE ,
d' . la distance de son centre jusqu'à A ,
v" le volume de la partie DEFG ,
it' la distance de son centre jusqu'à A ,
v'" le volume de la partie FGHI ,
rf'" la distance de son centre jusqu'à A ,
VIT le volume de la partie HIKL ,
(/■^ la distance de son centre jusqu'à A ,
v^ le volume de lame de la pièce ahcdef^
d^ Ja distance de son centre jusqu'à A ,
o^Ti le volume des tourillons ,
df^i la distance de leur centre jusqu'à l'origine des momens A,
é la distance de leur centre an-dessous de l'axe du canon ,
v^" le volume des embases des tourillons ,
dy» la distance de leur centre jusqu'à l'origine des momens A,
ef ' la distance de leur centre au-dessous de l'axe du canon ,
*!;▼>" le volume des anses ,
£?▼»" la distance de leur centre jusqu'à l'origine des momens A,
<f" la distance de leur centre au-dessus de l'axe,
G le centre de la pièce.
On aura pour la distance de ce centre jusqu'à A :
j, -4. j/' ^- (^" ^- ^^fff H-i'iv .» ^v ^. ç;vi ^- j/vii ^ i^vm '
Digiti
44 CORAKIPONDANCS
. en faisant , . • * •
on aura pour la distance au-dessous de l'axe du canon
Le résultat obtenu par quatre des* lieutenans-instructeurs^ fut h. peu près le même , quoiqu'ils eussent opëré d'une manière différente; je le communiquerais ici s'il ne se fut, égaré; au . reste , nous approchâmes par nos calculs jusqu'à 4 "^ ^ Ihrres du poids moyen , ce qui ne peut être imputé comme une faute , puisque sur un poids moyen de 285o kilogramme/s , ces icanous diffèrent quelquefois de loo kilogrammes ; tous , nous trouvâmes le centre de gi^avité trop en avant du véritable Cjentre qui doit naturellement correspondre avec celui des anses» La différence sur ce point , entre les calculateurs » était ppur ainsi dire zéro , puisque nous étions d'accord dans les quatre premières décimales. Cependant cette quantité dont nous trouvâmes le centre de gravité en avant du centre réel , était assez considérable. La raison en est fort simple , d'après mon opinion, puisque les masses de métal fluide se projetant avec force dans le moule , doivent par cette force de projeclicm et par leur pression naturelle , comprimer inégalement les différentes parties de la pièce , dérapger l'égale densité du canon , et renverser ainsi l'hypothèse qui était notre point de départ. Qu'il me soit permis à la fin de ma tâche de prier MM* les membres de la Société des sciences naturelles , de jeter un coup-d'œil sur les deux questions suivantes , que je crois offrir . quelqu'interét*
Première, question. La position du centre de gravité réel , et celle calculée d'après l'hypothèse d'une densité uniforme étant connues ^ ainsi que le poids et la forme des différentes
Digiti
MATHEliATIQtrE ET PHT5IQUE. 45
{Mirties du canon, peut'-oii déterminer d*apr%8 qiiene fol cette densité- augi^i^nté ^ en dVtiAigant Vër» la culasse?
Dêujnème ^uésikmî Eà^il possible dlntëgrer autrement que par des sériés les formules différentielles, que f ai empldyéeà pour tijotiver le Tolume 'et- le centre des embases des tourillons , et qui étaient de la forme
et dans le ca^ où il faudrait absolument te^ intégrer par des sériés, quelle serait là manière <i*en trouver une très-convergente ?
Étant donnée une courbe fermée ^ déterminer i^ Un' point tet que la somme de ses ' distances à îbus les points de cette courbe soit un minimjum; 2® uu point tel que la somtne d» ses distances à tous les points de la courbe soit un maximum. On exige que ce dernier point soit dans V intérieur de la courbe» Question proposée par M. Quetelet , à la pag. 204 du tom. ly, .et développée par M. Keiss , docteur en.sciences.
Problème. Soit S la circonférence entière ou une partie comprise entre des limités connues d'une courbe donnée par son équation, soit O un point quelconque; on demande la moyenne arithmétique des rayons vecteurs menés dé O à tous, les points dé là courbe S.
Four résoudre ce problème , il convient de diviser la courbe' S suivant une loi quelconque en une infinité de petits arcs , et de ne considérer que les rayons menés aux points de division. Or, il est évident que la moyenne arithmétique de tous les rayons variera avec le mode de division adopté. Pour
Digiti
46 GORBESPONDAKCE '
fixer ce dernier, je supposerai une seconde courbe dont 1» position soit déterminée de manière ou d*autre ; j'en diviserai la partie £ interceptëe par les rayons menés aux extrémités de S en une infinité de parties égales, et je considérerai tous les rayons vecteurs menés de O à la courbe S comme passant par les points de division de S.
Les cas les plus simples ont lieu i<^ si S se confond avec S; 30 si S est un arc de cercle dont le centre est.Q^^ et dont le rayon t== i.
Soit maintenant A Tune des extrémités de S , a l'extrémité de S située sur le même rayon OccA } soit O/kM un autre rayon quelconque; faisons
OM = /î; angle AOM =s ç>; arc a/u, = o*.
Quelle que soit l'équation de S, nous pourrons établir l'équation polaire /}=y(9?); or, l'équation donnée S nous conduira à ^=:^ (<r}, d'où nous tirons
^ = F (ff) = <x -♦- j8<r H- ya^ -+- d'a^ -^ ....
Il est bon d'observer que les coëfficiens a, /3, y, ••• sont variables avec les coordonnées du point O.
Supposons que la courbe S soit divisée en n parties égales, de sorte que S = ner ; désignons par ^« le rayon vecteur qui passe par l'extrémité a de S , par / celui qui passe par le premier point de division, par /' celui qui passe par le second point de division, etc.; nous trouverons
/>' = a -H /3(r.l -f- yj'i' ■+■ cTa^i^ -f. ••.
p" = a + i3<r.2 -H yj'a' -H d(T^2^ -4- ...
p" = a -4- fi(T.n -+- ycr^n^ -^ i'cfln} -4- ... partant, />•-»-/ -*- p" -*-... h- />" =
(« -h i) a H- /3<r(i -1-2-1-. .•-*-/ii) -f- ro"» ( 1 * •+- 2' H- ... r4- n^) ^- cAr^ ( i^ -♦- 2^ -♦- ... H- /i^ ) . -f- etc.
Digiti
Faisons ici en général
nous trouverons
I ri- a -♦-...-4- n BsS;^ 9
H-n -4-(/KH-iJ» H n -♦-...-4- (/t£-*-i) w+ I
En considérant que
Sn-4-i — Sn =(«-H>)
noQs obtiendrons, toute réduction faite,
La question exige que n soit infiniment grand; or, quoique ^lepuisse devenir de son côté, il n'y a pas de doute qu'on ne puisse toujours admettre a* infiniment petit par rapport à n;
48 connesKtirDANcc
nous ^ablirons dans ce cas
et /)• -♦- /+- /)"+...-*- /»'' =
De là il suit enfin que là moyenne arithmétique, cherchée (soit M) est éf die k
M as U -H -^ •+*'r- -*-
Jetons maintenant un coup d'œii sur la question proposée. H est clair qu'il s'agira de déterminer les coordonnées du point O de
telle sorte que " fpdcr entre les limites indiquées devienne un minimum ou un maximum. Mais le maximum absolu ne saurait avoir lieu que quand le point O est à une distance infiniment grande des courbes S 6t S. Le minimum et les maxima relatifs se détermineront dans chaque cas adonné d'après les procédés connus de l'anali&e. Remarquons etieel*e jue la solution qu'on vient de donner ne se rapporte pas seulement aux courbes fermées , mais en général à des portions données d'une courbe quekonquc.
Avant de passer à quelques applications particulières , démontrons le théorème suivant :
Théorème. Soient S et S des courbes à centre, situées de telle manière que le premier et le second axe de S tombent respectivement sur le premier et le second axe de S. La
Digiti
MATBiCMATIQUE ET PHYSIQUE. ^g
Moyenne arithmétique de tous les rayons veeteurs menés du centre commun à S, et passant pat* tous les points âe division de £, sera moindre que celle des rayons vecteurs qui , passant par les mêmes points de division , partent d'un autre point quelconque.
Soit G le centre commun ; ACB =: aa le premier axe de S ; MCm = 2r nn diamètre quelconque ; si nous faisons Fangle ACAfss^y nous pourrons établir
r =3 a — - (a sin. p" +• j3sin. p4 -f- ,..),
Supposons de plus que le point O soit situé sur un diamètre aCb ; faisons Pangle ACa =r v ; GO :s R ; MO as p ; nous aurons
/ï=sV/[R*-*.r» — aRrcos. (j» — v)].
Si , comme plus haut, nous désignons par o* l'arc de S compris entre l'extrémité a et le rayon OM , nous tirerons de Téquation de S
il est important de remarquer que ni <r ni d(r ne dépendent de R.
Ensuite nommons O' le point de aCb qui a la même distance centrale que O. Ge diamètre divisant les courbes S et S chacune en deux parties parfaitement égales , et les points de division de S ne dépendant pas de la position de O ; il est évident que la moyenne arithmétique des rayons vecteurs menés de O à l'une des demi-circonférences de S pourra être remplacée par celle des rayons vecteurs menés de O' à Tautre des demi-circonférences. Du reste le nombre des rayons h Tune des demi- circonférences sera évidemment égal à celui des rayons menés à l'autre des demi-circonférences; d'où nous concluons que la moyenne arithmétique totale sera égale à la moitié de la somme des moyennes arithmétiques partielles.
TQm. ri. 4
Digiti
45 COHRESPONDANCE
Faisons donc
O'M =^ / = 1/ [R» ^. ra + aRr cos. (? — v)];
nous trouverons la moyenne arithmétique des rayons vecteurs menés à la demi-circonférence aMb =
. puis , celle des rayons vecteurs menés à Fautre demi-circonférence =
de là nous tirons enfin
Faisons ici , pour abréger, R* -♦- r» =5 A ; ar cos. {f — v) = B , nous aurons
Si nous développons la quantité
J/A = |/ [R» -♦- [ a — (a sin. î>' -f. /3 sin. î»4 -♦-... ) ]»]
suivant les puissances de sin. j» , il est clair que R ne peut entrer dans les coefficiens que sous la forme J/ (R» -4- a*) =*=*»«. Or, B ne contenant pas R , on voit sans difficulté qu'on parviendra ensuite de l'intégration à une expression de M dont
Digiti
MATlliVATIQUE El' 1»HYSIQUE. 5l
tous les termes sont de la forme
N d&ignant une fonction <{uelconqae de v , indépendante de R*
Maintenant, pour déterminer les valeurs de R et de i;
qui rendent M un minimum , il faudra établir les équations
Tg- = o ; — = o. En donnant à N'... N» des significations
semblables à celle de N, il résultera de la première de ces équations
o = R [N' -t- ... -i-Nm. |/ (R» -*- a'> =b*. R»^ ^- ... ];
équation à laquelle on satisfait en faisant R = o.^Ainsi donc, quelle que soit la valeur de v , le centre sera toujours le pdnt pour lequel la moyenne anthméticpie' devient un mi" mmum.
Pour ce qui est de la seconde partie de la question proposée ^ on pourrait demander queb sont les points de la courbe S même , jouissant de la propriété que la moyenne arithmétique des rayons qui en sont menés à tous les points de S devienne un maximum ou un minimum* Cette question, traitée dans sa plus grande généralité, pourrait bien présenter quelques difficultés analitiq'ues. Du reste, elle exigerait de trop longs développemens pour entrer dans cet ai*ticle.
Il nous reste à faire quelques applications de la formule que nous avons trouvée pour la moyenne arithmétique M. La comparaison des résultats qu'on obtient en admettant différens modes de division ne laisse pas d'offrir quelque intérêt. Calculons donc dans les deux suppositions les plus simples, savoir : i» celle oîi S se confond avec S; a» celle où Z est un arc de cercle, dont le centre est O, et dont le rayon = i.
!• L'équation de Vellipscj par rapport au centre comme
Digiti
52 CORIVESPOUDANCE
origine des coordonnées, et au premier axe comme axe des abscis-
ses, est y^sss '-' {a^ — a:*); a et ^ désignant respectivement
les moitiés du premier et du second axe ; x et ^ les coordonnées d'un point quelconque m de Tellipse. Cherchons d'ahord les valeurs mirUma de la moyenne arithmétique , qui ont > lieu dans les deux suppositions si le point O se trouve au centre de Tellipse. Si nous faisons jr = a cos. <^, nous trouverons y^=h sin« ^. Ainsi donc , en nommant p le rayon mené du centre à m, et s Tare elliptique compris entre l'extrémité du premier axe et le point m, nous auront
p = l/(«" COS. <N -♦- ^* sin. <f* ) ; ifo ^idJ". \/{a^ sin. ^-^b* cos. c^*).
Il est évident que la moyenne arithmétique des rayons étendue à toute la circonférence elliptique (S), équivaudra dans Tune et Fautre supposition à celle qui ne s*étend qu'à un quart de circonférence intercepté par le premier et le second axe. On établira donc dans la première supposition S = S , o* =5 , et
M=:>.— ^— /^.Hi-/3cos.0,(,= ,J
T{a»+&") /a-tfV 1 i.i , 1.3 1.1.3.5 ^ \
Ensuite , de l'équation de ds , nous tirons
Digiti
MATIŒMATIQVE ET PHYSIQUE* 53
Admettons pour plus de simplicité que rexcentricité de l'ellipse soit égale au second axe; c'est-à-dire que a* = ai*. Dans
ce cas nous aurons « = , , /3 — — , et
S =r aa- ^ 3.0,992865 ; donc
M = fl.0,84749.
Calculons maintenant }a valeur minimum de M d'après la seconde supposition , et retenons les signes dont nous nous sommes déjà servis. Puisque Tare cr est dans ce cas la mesure de l'angle formé par le premier axe et le rayon p , nous aurons , en ne considérant qu'un quart de la circonférence elliptique ,
ab
a ' " l/(a' sin. c* -♦- b* cos. <r») '
ainsi donc
^ab /• d<T
jr -^ j/(a« sin. a^ + i» cos. <'') ' ( ^ - I '
faisons ; = rj nous trouverons
Égalons a' , comme nous l'avons fait plus haut , à r^&a , il viendra y== i>
M=«[.-(7)"-(r:)'-(âl)'--]
Digiti
54 ' COBRESPOWDAircÈ
On voit donc que dans cette Supposition la valeur de M est un peu plus petite que dans la première.
L'expression de M, que nous venons de trouver, est plus ëlëgante que commode au calcul; mais Û ne sera pas difficile d'en établir d'autres qui soient beaucoup plus convergentes. Nous avons trouvé
mais nous pourrons aussi établir, en faisant __r__«^ — *•. y a' — *»
jT ^ /'''*^'\* /*____f^____ A=o\
J ^/(^+y sin. ^ ' \^ „=Zj " ô -^ |/(i «^ cos. <r«) \ ^j
La première de ces expressions devient = et la seconde =
Si nous admettons a' = 2^' , il viendra
Digiti
MATIIÉMATIQVE ET PHYSIQUE. 55
expressions dont la dernière est évidemment la plus convenable au calcul.
On peut aussi ipemarquer que si l'on fait & = o , on obtient
/iN* /^i-3V ,r I ï»3 1-3 1.3.5.7 ^
V2«^ Vi.4y '^ V 2 2.4 a4 2.4-6.8 y
2» Occupons -nous maintenant des valeurs que prend M, si le point O se trouve à Textrëmité du premier ou du second axe. L'équation de l'ellipse par rapport à l'extrémité du premier axe ( soit A) comme origine des coordonnées , et au premier
axe comme axe des abscisses est ^* == — ^ ( 2ax — x )• Or,
si a désigne la moitié du second axe et b celle du premier, la même équation subsistera encore , mais par rapport à l'extrémité du second axe (soit A') comme origine des coordonnées , et au second axe comme axe des abscisses. Nommons donc p le rayon mené de A ( ou de A' ) à un point quelconque m dé l'ellipse , et f l'angle formé par le rayon p et le premier ( ou le second) axe. Nous établirons a:=p cos. j» ; j^ == p sin. f ; et
