II

Les réductions pour la température ont été faites comme plus haut. Si l'on calcule la partie horizontale de l'intensité^ celle pour Altona servant d'unité, il vient 1,02870 pour la première aiguille et 1,02374 pour la seconde.

Mes observations, ainsi que celles du capitaine Sabine , s'accordent donc k donner la partie horizontale de l'intensité magnétique , un peu plus grande à Bruxelles , qu'à Londres et à Altona.

Pour avoir l'intensité totale, il faudrait diviser les quantités précédentes par les cosinus respectifs des angles d'inclinaison. On aurait de cette manière , en adoptant les valeurs des inclinaisons données par M. Sabine^ pour Paris et Londres , et en prenant celle que j'ai trouvée pour Bruxelles, ( rinclinaison pour Altona m'est inconnue.) :

IRT. HC^RIZ. IKCUK.

ïVtEffSTié.

Paris: .

Londres.

Bruxelles

En adoptant comme Ta fait M. Hansteen , dans les Astrono* mische nachrichten , 1,3482 pour Tîntensité totale à Paris , ou

obtient :

Paris 4,3482

Londres. . . . 4,3639

Bruxelles . . . 4,3383 d'après M. Sabine,

— ... 4,3494 d'après mes observ.

Ainsi, d'après mes observations, l'intensité magnétique à Bruxelles , est plus grande qu'h Paris et moindre qu'à Londres. La valeur obtenue par M. le capitaine Sabine serait moindre que dans ces deux villes; ce qui paraît peu probable. J'ai des raisons de croire d'une autre part, que l'inclinaison que j'ai déterminée avec beaucoup de soins et à plusieurs reprises avec un excellent instrument de Troughton, ne doit guères différer de l'inclinaison véritable.

Sur la production des bandes colorées par des miroirs plans^ (Addition à l'article de la p. 894, du t. V) , par A. Quetelet.

J'ai parlé dans le volume précédent de la Correspondance , d'une manière simple de produire des bandes colorées en se plaçant à quelques pas devant un miroir plan sur lequel on a fait passer une légère vapeur, et en observant l'image d'une chandelle qu'on tient à peu de distance de l'œil. Mais en faisant passer la vapeur de l'haleine sur le miroir , on a l'incon-

Digiti

^O COaHESFOICDAirCE

vénient de voir bientôt disparaître le phënomine. J'ai trouTé depuis^ qu'on peut le rendre durable en employant, au lieu de la vapeur d'eau, une légère couche d'une substance grasse, d'huile ou de suif, par exemple, qu'on étend d'une maniée bien égale. On peut alors observer les bandes- colorées à loisir. On trouvera qu'elles se prononcent surtout nettement , s» }'on a eu la précaution d'appuyer légèrement un linge sur les différentes parties de la couche très-mince de substance grasse, afin de faire disparaître les petites stries parallèles et régulières que l'on forme en étendant cette substance sur le miroir.

De V action qu'exerce sur une aiguille aimantée , un barreau aimanté tournant dans un plan et parallèlement au^deesous de r aiguille 9 par M. Plateau, docteur en sciences.

Disposez un barreau aimanté de manière qu'il puisse tourner dans un plan horizontal autour d'un axe passant par son milieu, et placez au-dessus de ce .barreau une aiguille aimantée , soutenue sur un pivot ou suspendue à im fil de cocon. Si vous donnez au barreau un mouvement de rotation d'une lenteur suflSisante, l'aiguille, comme on doit s'y attendre, le suivra et tournera avec lui ; mais si vous augmentez jusqu'à un certain point la vitesse du barreau, l'aiguille cessera de tourner et ne fera plus que d'écrire de grandes oscillations : en augmentant encore la vitesse du barreau, ces oscillations diminueront d'amplitude, et enfin, pour un certain degré de vitesse, elles cesseront tout-à-faît, et l'aiguille demeurera immobile et dirigée dans le méridien magnétique, absolument comme si le barreau n'existait pas.

Ce fait ne tendrait-il pas à prouver que la transmission de l'action magnétique n'est pas instantanée, et ne pourrait-on pas s'en servir pour mesurer le retard qu'elle éprouve ? (i)

(1) 11 nous semble que M. Plateau a fort bien senti le parti qu'on pour*>

Digiti

HATHÉMATIQITE ET PRYSIQVC* 7I

Consommations de Londres et de. Paris , comparées à celle de Bruxelles.

M. Moreau de Jonnès a pubKë rëcemment dans la Reifue de Paris lt)j quelques recherches statistiques sur les p&turages de l'Europe, dans lesquelles on trouve les valeurs suivantes pour les consommations de Londres :

TOID8. SOmAIfT MBT UTEIS.

II 0000 bœufs. • • 800 liv. 554 60940000

iSoooo veaux. • • i4o io5 aGaSoooo

770000 moutons. • 80 76 585ioooo

aSoooo agneaux • • 5o 4^ laoooooo

aooooo porcs. • • 175 160 3!2000000

iSSoooo animaux. Quantité de viande totale 1 8971 0000

La population de Londres étant de i,t225,ooo individus , c'est pour chacun d*eux i55 livres de viande , réduites en livres françaises à 14 3. Cette énorme consommation individuelle , la plus grande qu'il j ait dans le monde entier , en nourriture animale , se forme d'un tiers en bœuf, de près d'un autre tiers en mouton, d'un sixième en porc , d'un septième en veau, et d'un quinzième en agneau.

La consommation annuelle de Paris, d'après M. De Chabrol ^

mit tirer de cette expérience très-simple. Noos rengageons k vërifier si les rësultata qu'il obtiendrait par cette voie , en estimant le retard qa'ëprouve la transmission de Faction magnëtique, s'accorderaient avec ceaz qu'ont trouvés en Ang1eten*e , MM. Herschel et Babbage , en suivant une autre marche. Nous avons extrait la note prëcëdente d'une lettre de M. Plateau , qui sera insërëe dans le numéro suivant. A. Q.

(i) M. Moreau de Jonnès y dans un tableau des pâturages, qu'il donne pour l'Europe , indique successivement les Pays-Bas pour 680 lieues carrées , la Belgique pour 338 , la Hollande pour 242. Nous ne comprenons pas bien ce que l'auteur a voulu désigner par les mots Pays-Bas , Belgique , Hollande, surtout si nous avons égard aux nombres qu'il donne; nous aurions désiré qu'il eût indiqué ses sources.

Digiti

73 COmiliSPOKDAVCE

est estimée ainsi qu'il suit :

rOIDS. DOHHAHT MET IITAKS.

857^5 bœufs. . • 600 4^^ 38576a5o

74385 veaux.. • •. 110 90 6694650

337697 moutons. .38 36 io8o63q4

88640 porcs* • • 175 160 .1418240

58644? animaux. Donnant 57495444

Viande h. la main et issues 44^ ^^^o

Quantité de viande totale 61927444

La population moyenne ayant été de 716000 habitans, c*est pour chacun d'eux 86 livres de viande , pour sa consommation annuelle , savoir : les deux tiers en bœuf, un sixième en mou- * ton , un neuvième en veau et un tjuarantième en porc.

D'après les nombres qui ont été indiqués pour Bruxelles, dans le volume précédent de la Correspondance , et qui expriment assez bien les moyennes des dernières années , du moins quant \ la consommation des viandes^ on avait compté en 1828 :

roiss (i). DomcÀNT kht uveks.

9190 bœufs 600 554 5091260

17172 veaux i4o io5 i8o3o6o

26933 moutons et agneaux 5o 4^ 1292784

3362 porcs • • • • • 175 160 567920

56657 animaux. Donnant 8755024

Viande à la main 1 33ooo

Quantité de viande totale 8888024

La population de Braxelles peut être évaluée à 100^090 habitans , c'est pour chacun d'eux 89 livres de viande environ , et par conséquent à peu près 3 livres de plus que pour un ha-

(i) Le poids a été estimé d*après le prix des animaux.

Digiti

MATHEMATXQITE ET PHYSIQUE. 78

l)ilaDt'de Paris. Cette consommation se compose : des trois cinquièmes en bœuf, d'un cinquième en veaoa, d'un sixième en mouton , d'un seizième en porc.

La consommation en bœuf est très-grande comparativement i^celle des autres viandes , cependant dans l'espace de lo ans , elle a diminué d'un tiers , tandis que la consommation des porcs et des moutons a augmenté d'un tiers , et que celle des veaux a doublé.

Quant aux boissons, «un individu consomme annuellement à Bruxelles 33o litres de bière, environ g litres de vin et un peu moins de liqueurs fortes. Cependant la consommation pour la bière a diminué beaucoup en 1828.

Académie Royale de Bruxelles^ '

Séance du 5 décembre^ — Après la lecture du procès verbal de la séance précédente, M. Dewez annonce que S. M. le &oi a confirmé la nomination . de M. Sauveur fils , comme membre ordinaire. M. De Réiffenherg présente im monument typographique curieux, sur lequel iljse propose de faire un mémoire. C'est le pardon accordé par Maximilien, roi des £.omains, aux Brugeois, en i488, et une bulle en placard par laquelle le pape Innocent excommunie les Flamands infidèles au Roi. Il y joint une lettre d'indulgence sur vélin de l'an i5oo , et qui n'était pjis connue. -— M. Quetelet fait connaître le résultat de ses expériences et de celles du ca^ pitaine Sabine, pour déterminer la difiérence d'intensité magnétique entre Bruxelles et les villes de Paris , Londres et Altona. ( F^oy. pag. 66). — M. Pagani lit un extrait d'un mémoire intitulé : Considérations sur les principes qui sentent dejbnde^ ment h la théorie mathématique de V équilibre et du mouvement vibratoire des corps solides élastiques* (Il sera inséré dans le prochain numéro)* — - L'Académie reçoit aussi communi-

Digiti

>j4 COBBESPOVDAHGE

cation d'un mémoire de M. Marchai , sur les sceaux des archives dé l'ancien château de Nainur. *- M. Blume fait hommage d'un exemplaire de la partie de sa Fore de Java , intitulée : Magnoliaeœm. — Il est également fait hommage de divers ouvrages de MM. Hoekette, Van Morts ^ etc. — - Dans la même séance MM. Robert Browh , Enckè et Sehunuicher ont été nommés correspondàns ; l'Académie a résofu de plus que le nombre des correspondans serait désornàais limité et fixé à 60 y savoir : ao pour les sciences physiques et mathématiques; Âo pour les sciences naturelles, et 20 pour les lettres.

Correspondance et Annonces scientifiques.

— Nous avons donné dans le 5* vol. de la Correspondance, un extrait du projet de loi pour rétablissement d^un nouvel obsenmtoire à Genève. Nous recevons aujourd'hui le rapport de la commission da conseil représentatifs sur le même projet. Ce rapport a été rédigé par M. le professeur Gautier* Nous en donnerons quelques extraits , qui intéresseront sans doute nos lecteurs. « La commission a résolu par l'affinnative la question de la convenance générale du projet, convenance contre laquelle , après le rapport du conseil d*élat , il n'a pas même été fait une seule objection dans le tour de préconsultation ouvert dans ce souverain conseil.... Il s'agit dans le cas actuel 1^ de

procurer aux astroncMues les moyens de faire , le plus commodément et complètement que possible , toutes les observations les plus importcmtes ; 1^ de fournir un local convenable à des démonstrations et leçons d'astronomie ; 3* de faciliter , soit pour l'horlogerie , soit pour la météorologie et la physique^ les essais et observations qui lient ces branches à l'astronomie...... Un

examinant attentivement tous les articles du devis , la souscommission en a trouvé un qui étoit susceptible de réduction. Cest celui de la seconde coupe méridienne, dont la dépense se

Digiti

MATHKMATIQVE ET PHYSIQUE. 7$

trouve comprise tout entière dans le devis , ainsi que celle des piliers, quoiqu'il ne soit point proposé d'utiliser cette ouverture en la destinant à un instrument méridien. L'usage constamment suivi dians les observatoires modernes , de pratiquer dans le bâtiment plusieurs coupures dans la direction du mëridiai, pour les observations qui se font dans ce plan et qui seront toujours les plus importantes 9 rend convenable de prévoir dan^ une construction nouvelle , le cas où l'on aurait besoin d'une seconde ouverture semblable à celle de la lunette méridienne et faisimt sjmétrie avec elle. Il y a donc un avantage réel à diri-* ger la bâtisse de manière k pouvoir une fois pratiquer cette ou-» verture sans difficulté, et y établir un nouvel instrument dont les découvertes postérieures feraient sentir la nécessité* Telle a été l'opinion bien prononcée de MM. Arago et NicoUet^ l^rsqu'ik ont été consultés lè-dessus sur les lieux mêmes... Le troisième et le plus considérable des changemens proposés, est la substitution dans la salle principale d'un parquet en dalles de pierre, porté sur de petits murs de refend , au simple pavé en briques communes , reposant immédiatement sur le sol , qui était marqué dans le devis. Outre que cette dernière espèce de pavé serait bien peu en harmonie avec un édifice soigné d'ail-* leurs, il pourrait avoir un inconvénient réel, sous le rapport de l'humidité, dont on doit se garantir autant que possible dans un observatoire , et dont notre expérience ne nous a que trop appris à redouter les pernicieux effets. » La commission finit par adopter le projet de loi d'une dépense de 65ooo il. destinés ^ la construction du nouvel observatoire, nonobstant 55ooo florins pour l'acquisition d'instrumens.

-^- On lisait dernièrement dans un de nos journaux les plus répandus , une lettre communiquée sur les embéllissemens de Bruxelles , dont nous exti*ayons le passage suivant : « Je n'en dirais pas autant si l'on ne voyait pas de l'argent dépensé pour des objets de pur luxe, comme l'observatoire par exemple. Songez plutôt à notre monde, braves municipaux , à nôtre terre d'ici-bas. Je vous demande de quelle utilité sera un observatoire à une si petite distance de Paris? Je connais la science de

76 CORRESPOKÛAKCË

l'astronomie , el je vous dis qu'il ne reste rien à feiire que quelques calculs sur quelques corps célestes , qui ont de l'intërêt seulement pour quelques savaivs professeurs. » Cet amateur a jugé convenable de garder l'anonyme; mais nous sommes assez disposés à croire que c'est le même qui annonçait il 7 a deux ans dans un autre journal , qu'ai» venait cTobseaver une comète qui paraissait large comme une assiette , et dont là queue at^olt plusieurs pouces de longueur* De pareilles phrases sont carractëristiques ; et quand on les émet avec tant d'assurance et qu'on ne trouve point de contradicteur , elles méritent défigurer dans la statistique d'unTpays. Heureusement l'observatoire qu'bû termine en ce moment , prouve assez que notre gouvernement et que nos braues municipaux pensent à peu près coJnme le sénat dej&enève , et je dirai comme celiii de Hambourg, qui vient de bâtir un grand observatoire , quoiqu'il en existe uii trèis-célë1)re KixTC portes de cette ville, à Altouai Edimbourg et Cainbridge, qiii viennent de faire construire également de nouveaux observatoires, Berlin qui se propose de renouveler le sien ; M. South qui en a fait construire un à ses frais près de Londres et à quelques milles de Greenwich , en savent sans doute bien moins que notre amateur , et ont la folie de croire qvUil reste encore quelque chose h faire en astronomie.

— Nous avons reçu le prospectus d'un ouvrage nouveau pour lequel on souscrit à Mons chez Hoyois-Derely. Cet ouvrage est intitulé : Cours de Géométrie élémentaire^ descriptive et du compas , de trigonométrie recliligne et sphérique , des transversales et depofygonométrie avec leurs applications à V industrie , aux beaux arts , hVart militaire^ à la marine^ etc. ; par M. V.- J. Van Der Elst. Il formera un gros volume in-8<> , en caractère petit texte; et coûtera 4 florins aux souscripteurs. Nous aurons soin d'en rendre compte dès qu'il aura paru.

— Les sciences viennent de perdre M. Bangma , membre de l'institut des Pays-Bas, et auteur de plusieurs écrits estimés sur les mathématiques.

— Nous apprenons de Berlin que les dernières nouvelles de M. De Humbold sont datées d'Astracan , et que cet illustre savant étoît attendu vers le milieu de décembre.

Digiti

MATllisftIATlQU£ ET PHYSIQUE. 77

— M. .De Haddat vient d'observer que , lorsqu'au moyep d'uu barreau aimante , on trace des figures sur des lames de tôle d'acier , à peu près comme quand on promène le barreau dans le procédé ordinaire de l'aimantation; et. qu'ensuite on répand sur les lames.de la limaille de fer très-fine « cette limaille i^ent s'attacher sur les traces invisibles qu'a laissées l'aimant ; les caractères ne doivent pas avoir . plus de 4 ^ ^ centimètres de. hauteur* Ces figures rappellent celles A^Lich'^ tenberg^ que l'oi^ trace, sur Tëlectrophore.

— Nous. avons reçu trois dissertsftions nouvelles quî.ox^t éié défendues dans nos Universités, pour l'obtention du grade de docteur en sciences : l'une à Liège , par M. Brasseur ^ et le^ deux autres à Gand , par MM, Lescheuain et Lagrange , que no3 lecteurs connaissent déj^ par différentes solutions de problèmes insérées dans la Correspondance,

La première dissertation renferme un exposé clair, et suc-* cinct des travaux des géomètres sur la séparation. des fonc-^ tions algébriques entières en facteurs réels du premier ou du second degré* Le même sujet a aussi donné lieu à une dissertation intéressante de M* yerhulsU -M* Lagrange a traité de la théorie des aires et du plan invariable, et a enrichi son travail de plusieurs observations utiles M* Lescheuain a fait également preuve du succès avec lequel il s'est occupé des études mathématiques, en discutant le principe d€ Dalembert. La manière dont il déduit les oscillations du pendule des mouvemens de deux points pesans agissant aux extrémités d un levier , mérite d'être remarquée*

Nous désirons vivement que ces jeunes savans continuent à suivre une carrière dans laquelle ils ont débuté d'une ma* nière si avantageuse ; nous avons appris avec plaisir que déjà. M. Lagrange était attaché au collège de Gand , pour l'ensei* gnément.des mathématiques* Le voyage qu'il fait en ce moment à Paris , ne pourra que lui être utile pour ses études ; il y rencontrera sans doute avec plaisir son compatriote ]Vf. Brasseur, à qui le gouvernement vient d'accorder un subside pour séjourner quelque temps dans la même ville. L'ardeur avec

Digiti

^8 GORAESPOlVDAirCB

laquelle on commence à s'occuper chcK nous des sciences snatliânatiqttes, nemanquana pas d'avoir la plus heureuse in< iluence sur la direction que prend l'étude des sciences d'observation.

— La première partie du tome II des Éhmens de physique expérimentale et de météorologie , par M. Pouillet^ est venue satisfaire en partie^ l'impatience des nombreux souscripteurs que compté cette publicaiiom Elle comprend ce qui concerne les actions moléculaires, Facoustique, ainsi que la catoplrîque, la dioptrique, la décomposition de la lumière, les raies du spectre , l'achromatisme et la construction des instrumens d'optique* M. Pouillet a répandu sur la composition de soo ouvrage, l'agrément et l'intérêt qui font suivre avec tant d'avidité les leçons qu'il donnef à la faculté des sciences de Paris.

— L'Académie Royale de Bruxelles a lait paraître le V* vo> lume de se$ Nouveaux ^Mémoires (in^*, chez M. JEbf-AS, à Bruxelles, iSag). On trouve dans ce volume, les écrits suivans, pour la partie des sciences : \^ Démonstration et déi^ioppement des principes fondamentaux de la théorie mathématique des caustiques secondaires^ par M. Queteletf %^ Mémoire sur le développement des fonctions en séries , dont les termes dérù vent de la même fonction continue , en y faisant varier une constante ou paramètre , par M. Pagani. Il s'agit de déterminer tous les coefficiens des termes d'une série qui dérive d'une même fonction, d'après une certaine loi, de manière que la somme de tous ces termes soit égale à la valeur d'une f<inction arbitraire donnée^ pour toutes les valeurs de la variable, comprise entre les deux limites connues. On suppose que la fontion génératrice de la série, ainsi que la fonction arbitraire, ne peuvent devenir infinies entre les deux limites de la variable , et qu'aux limites mêmes les valeurs de la fonction arbitraire dépendent de celles de la fonction génératrice; 3o ObsiervcUions sur les hyménoptères d! Europe , de lafamilk des Fouisseurs , par M. Van der Linden ; 4® Essai sur les insectes de Jtwa et des îles voisines , par le même ; 5* Recherches statistiques sur le royaume des Pays-Bas , psac A* Quetelet ; 6^ Se-

MATHEMATIQUE BT PHYSIQUE. 79

cherches degiométriepure, sur les lignes elles surfaces du second degré, coinjMPenant : les principes des transformations polaires des coniques et des cônes du second degré ; les propriëtës gé* nërales des surfaces du second degré de révolution ; quelques propriétés générales des canes du second degré, et une construction dés directions des lignes de courbure , des surfaces du second degré , par M. Chasles, Ce volume contient encore le Journal des séances et plusieurs mémoires historiques , par MM. le baron De Reiffenherg et Dewez , ainsi que des observations météorologiques, par M* Kickx, L'Académie a pris des arrangemens qui permettent actuellement de séparer les mémoires ; le prix des volumes se trouve aussi réduit de plus de moitié, à partir du tom, Vf:

— Nous venons de recevoir un nouveau volume des Reçher" ches statistiques sur la ville de Paris, pour iSag. Cet important recueil continue à présenter la série des documens statistiques relatifs à la capitale de la France , et comprend plusieurs recherches nouvelles qui n'avaient pas encore été comprises dans les publications précédentes. On y trouve entre autres le&véponses ^ deux. questions sur la durée des générations 9 qui intéressent à la fois l'histoire naturelle de l'homme et la chronologie. Ainsi , pendant le 18* siècle , Fàge moyen des époux dans la ville de Paris , au moment d'un premier mariage , a été de ag "», 68 pour les hommes , et 24*"> 72 pour * les femmes ; et Ton peut parier aoooo contre un , que Terreur à craindre n'est pas d'un an. Les âges moyens, au moment de la lïaissance d'un fils,' ont été 33«», 3i pour les pères , et 28*"», 17 pour les mères , et l'on peut encore parier 20000 contre un , que l'erreur à craindre n'excède j^s 16 mois. Il est remarquable que Tâge auquel les hommes se marient , et auquel les femmes mettent au monde leur premier fils , corresponde à la durée de la vie moyenne qu'on a calculée être de 28 ans , g mois , pour la France. Ce recueil est précédé d'un second mémoire très-intéressant sur les résultats moyens et sur les erreurs des mesures.

— M. Chaslcs nou» a adressé une lettre relative à un mé-

Digiti

8o CeARESPOMDAIfCB

moire sur un nouveau système de coordonnées , inaéré par M. PUicker^ dans le Journal de M. Crelle* Nous la donner«Mi& dans le prochain numéro.

— On annonce comme devant paraître sous peu chez Firmm Didot, un nouvel ouvrage de AL le baron Fourier, intitule t Analise des équations déterminées y en 2 voL in-4®.

QUESTIONS

On demande les réponses aux questions qui terminent la lettre de M. Timmerhans ainsi que larticle de M. Reiss* (Voyez pages 47 et 61 de ce vol. )

Digiti

MATRl^MATIQUE ET PHYSIQUE. 8l

Lettre de M. €hasles au rédacteur, au su/et d'un Mémoire de M. Plugker, inséré dans le Journal de M. Grelle.

Je reçois aujourd'hui le 6* n^^de-la Correspondance; j'y vois ranuonce d'un écrit de M. Pliick'er^ sur un nouveau système de coordonnées , comme faisant partie de la première livraison du tom* V du Journal de M. Crelle.

M'étant aussi occupé d'un nouveau système de coordonnées propre à un gi*and nombre de questions auxquelles les systèmes usités ne s appliquent pas y je m'empresse de vous en faire cx)D]iaitre très-rapidement le principe , pour donner date à mon travail dans le cas où je me serais rencontré avec M. Plucker.

Vous vous rappellerez peut-être , Moûsieur , que dans ma lettre du ii juin dernier, j'avais rhonneur de vous dire que je terminerais un travail par un essai sur une méthode propre à la démonstration directe d'un grand nombre de propositions qu'on déduit aujourd'hui d'autres propositions connues, par divers modes de transformation.

J'ai eu occasion aussi , d'annoncer cet écrit à M* Hachette , dans une lettre du 5 juillet : u Je me suis occupé, disais-je , » d'un nouveau mode d'application de l'algèbre à la géométrie, H qui* se prête à la démonstration de propriétés toutes nouw velles des figures , qu'il me paraîtrait difficile de traiter par » les systèmes de coerdonnnées en usage. Voici quelques-unes » de €65 propriétés , etc. »

Voici, en peu de mots, mon système de coordonnées. J'ai pour but de représenter chaque surface par une équation qui donne tous ses plans tangens, de même que dans le système usité , on représente chaque surface par une équation qui donne tous ses points.

Pour cela , par trois points fixes A , B , G , je mène trois axes parallèles entre eux. Un plan quelconque rencontre ces axes Tome ri. 6

8a COREBSPONDAirÇE

en trois points dont les distances aux points A, B, G respectivement , sont les coordonnées x, y^ z du plan.

Une équation F (*,^, z) = o entre ces coordonnées donne lieu à une infinité de plans , et représente , par conséquent , la surface enveloppe de tous ces plans.

Si cette équation est du premier degré , elle représente un point.

Pour faire une application de ce système de coordonnées, je me propose de démontrer le théorème suivant :

Étant donnés unes urface géométrique , un plan , et une trans- \ versale parallèle à ce plan ,

Par une droite prise arbitrairement dans le plan , on mène les plans tangens à la surface, et un dernier plan guipasse par le centre des moyennes distances des points oh tous les plans tangens rencontrent la transversale;

Ce plan passera par un point fixe , quelle que soit dans le plan donné la droite par laquelle on a mené les plans tangens h la surface.

Rapportons la surface aux trois axes coordonnés parallèles entre eux, Aa:, 'By et Gz, dont le premier soit la transversale donnée , et dont les deux autres soient situés dans le plan donné.

Soit F ( j:, j^, z) = o l'équation de la surface* On peut la mettresouslaformeF(a?'-haf— ^'ij^H-j^— y, z'-*-»— z')==^> ou •

„ , , , d¥ , d'¥ ix — x')^

F(y,y, z') -K-— U-*' +— - L ^ etc.=o.

dx ax» 1

dF

■^^(j^-y)-*- etc.

dF

-i--r7{z — z')-t- etc.

az

Soient^ et z' les coordonnées de la droite par laquelle on mène les plans tangens à la surface , eo faisant ^^^ et Z8=z' dans l'équation de la surface ^ on aura une équation en a? ^ qui donnera les distances du point A au^; points oh les plans tan

Digiti

gens rencontrent l'axe As:. Cette éqiiathm est ^

F(x',y, .') +-^(0.-*') -^^^ -^ etc. = o.

x' est arbitraire ; faisons *' = o , il vient

F(o ,r', o -*- ( ^> -H Q — ;„- ^. etc. = o.

La spmme des racines de cette équation , c'est-à-dire la somme des distances du point A aux points où les plans tangens rencontrent l'axe des x est

(m étant le nombre des plans tan gens )

L'ordonnée du centre des moyennes distances de ces points , e^t donc :

Les coordonnées du plan mené par ce point et par la droite par laquelle on a mené les plans tangens , sont

^ dnt^'F \ r dnF\

En éliminant j/ et z' entre ces trois équations , nous aurons l'équation de la surface enveloppe de ce plan; elle est

Om

d'^F Or, -r-;- ne renferme ni y ni z', parce que l'équation de la

dx ^ Jm-\Y

surface proposée est supposée du degré m; -— ne ren-

dx *»T'ï ferme y' et z' qu'au premier degré , par la même raison ; l'équation à laquelle nous venons de parvenir , est donc du premier

Digiti

84 GORBCSPOKPAirCE

degré; et par conséquent, elle représente un point. Ainsi le théorème est démontré.

Si on suppose que le plan donné soit à l'infijoi , le théorème prendra un nouvel énoncé d'où l'on conclura aisément cette propriété générale des surfaces géométriques : <Si on conçoit tous les plans tangens à une surface géométrique^ parallèles à un pian donnée le centre des moyennes distances de leurs points de contact sera un point unique , quelle que soit la direction commune des plans tangens.

Je donne les formules pour passer d*un système de coordonnées à un autre, et je généralisé le système en question, en supposant que les trois axes que j'ai pris parallèles entre eux passent par un même point.

J'allais oublier de faire mention d'un autre système de coordonnées , tout différent de celui dont je viens de parler, mais qui n'est qu'une généralisation du système en usage. Les droites qui projettent un point sur les trois plans coordonnés, au lien d'être parallèles aux trois axes coordonnés, passent respectivement par trois points fixes pris sur ces axes.

Ce mode de coordonnées peut suppléer dans une fouie de questions à l'emploi des principes de la perspective.

Soient Oor, O)^, Oz les trois axes coordonnés ^ et A, B, G les trois points fixes pris sur eux. Pour avoir les coordonnées d'un point m de l'espace , on mènera par ce point trois plans passant respectivement par les trois côtés du triangle ABC ; ces plans rencontreront les trois axes coordonnés en trois points a, ^, c; en désignant par les variables x^ y^ z les rapports

Oa O^ Oc "^ ^ . . u. ,

r— , KT» •jT'» on prendra ces trois variables ^pour les coordonnées du point m.

S'il vous semble , Monsieur , que l'un ou l'antre de ces deux nouveaux systèmes de coordonnées ait quelque rapport avec celui de M. PUkker { ce que je ne puis vérifier moi-même , n'ayant pas le Journal allemand où il se trouve ) , veuillez avoir la bonté d'insérer cette lettre dans la Correspondance* Chartres, \% 10 ilëccnbrc tSiî).

Digiti

MATniEMATIQlJE ET PHYSIQVl-. S5

Note' supplémentaire à la lettre précédente.

Pour donner un exemple de l'usage de ce système de coordonnées , je vais démontrer le théorème suivant :

iSÏ, ayant une surface du second degrés on mène par un point fixe trois droites dont chacune ait sa polaire comprise dans le plan des deux autres , la somme des carrés des distances de ce point aux trois points oà ces droites perceront la surface , rfiVisés respectivement par les carrés des distances de ces points à ceux où ces droites percent le plan polaire du point fixe , sera une {juantité constante , quel que soit le système des trois droites.

Si le point fixe est le centre de la surface , on voit sur-lechamp que les trois droites forment un système de diamètres conjugués, et le théorème indique que la somme des carrés de ces trois diamètres est constante.

Pour démontrer ce théorème général , je prends le point fixe pour origine des coordonnées , et le plan des trois points A , B , G pour plan polaire de ce point ; on pourra toujours représenter la surface par une équatioa de la foime :

Lx» ^M>'-+-Nz'= I.

Soient^ « > ^9 r; «'» ^'1 r% et a", C, y" les coordonnées des points où les trois droites percent la surface ; on aura les trois équations

On trouve que les conditions pour que les trois droites satisfassent à la question , sont exprimées par les trois équations

"Ua h- MC:' -I- Nyr' = o , Im" -+. MâT'" -4. Nry" =0, LaV -I- MCff" -f. Ny V" == o.

Digiti

86 ÉORRESPOKDAVCE .

On sait que ces six équations donnent lieu 2i quinze autres , dont les six suivantes vont nous servir :

«tf-t-ixT ^-«"C" =0,

Je fais voir que si on représente par /j, le rapport des distances du point («y ^, y) à l'origine , et au point où la première droite rencontre le plan ABC , on a

f = à -f- tf -f- y,

on aura pareillement, en donnant des significations semblables à / et />",

Elevant ces trois équations au carré , et les ajoutant mem- ^ bre à membre, nous aurons, en vertu des six équations ci-dessus,

équation qui démontre le théorème énoncé.

Ainsi que je l'ai dit en commençant , ce théorème est une généralisation d'une propriété connue des diamètres conjugués. Mais il est remarquable qu'il s'applique aux paraboloïdes de même qu'aux surfaces du second degré qui ont un centre.

Si le point fixe était à l'infini , on conclurait de ce théo« rème , comme corollaire , celui-ci :

Si par trois points pris dans un plan diamétral d'une surface du second degré y de manière que le plan polaire de Vun passt.

Digiti

par les deux autres , on élève sur ce plan trois parallèles à son diamètre conjugué^ la somme des valeurs ins^erses des carrés des cordes comprises dans la surface sur ces trois parallèles sera constante , 4fuel que soit le système des trois points.

Ce théorème convient aux paraboloïdes , parce que tout plan parallèle à l'axe d'un paraboloïde , peut être considéré comme un plan diamétral.

Cette méthode peut conduire à la généralisation d'un grand nombre d'autres propriétés des diamètres conjugués des surfaces du second degré. Elle sert à démontr&r des théorèmes très-généraux sur ces surfaces que je n'ai fait qu'énoncer dans les Annales de mathématiques ^ septembre et octobre iSsS.

Chartres, le 25 d<Scembre 1829.

Considérations sur les principes qui sentent de fondement à la théorie mathématique de Véquilibre et du moui^ement vibratoire des corps solides élastiques; par M. Pagahi. (Extrait d'un mémoire lu le 5 décembre 18-29, à l'Académie Royale des sciences.) .

M. Navier a donné , le premier, les équations fondamentales de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques. M. Poisson est parvenu ensuite aux mêmes équations dans un mémoire fort étendu , où l'on trouve plusieurs applications importantes des formules générales (i). Il s'est pourtant élevé une contestation entre ces deux illustres académiciens au sujet du principe qui leur a servi de base, et du mode que l'on a employé pour le traduire en langage algébrique.

Nous examinerons d'abord les principes et la marche adoptés

(1) Tom. VIII des mémoires de l'Institut de France.

88 COAHESPOKDAKCE

par icB deux sa vans géomètres, afin d'arriver, s*il est possible « à expliquer la contradiction apparente des hypothèses et la coïncidence remarquable des résultats*

Tous les physiciens sont d'accord qu'il faut regarder un corps solide comme un assemblage d'un certain nombre de . molécules d'une petitesse extrême , dont la forme est inconnue ; ces molécules sont séparées les unes des autres , et elles sont retenues dans leurs positions relatives par l'action simultanée de deux forces contraires agissant entre deux molécules quelconques* On adniet, en outre, que ces forces décroissent rapidement et qufe leur intensité devient insensible , aussitôt que les molécules sont à une distance sensible les unes des autres.

Enfin , l'expérience a démontré que les molécules d'un corps solide élastique, dérangées tant soit peu de leur position d'équilibre par l'action instantanée d'une cause quelconque, reviennent toujours à leur position primitive , dès que Faction de la cause perturbatrice vient à cesser.

Voilà les faits ; voyons maintenant par quelles suppositions on peut parvenir à traduire ces données en formules algébriques.

En examinant avec attention tout ce que M. Nai^ier a écrit sur ce. sujet {*) ^ on reconnaît que ce géomètre suppose que l'action réciproque de deux molécules M et M', dont la distance est r dans l'état naturel du corps solide , peut s'exprimer ArJFr après le dérangement qui aura changé la distance r en r + Ar; la fonction Fr n'aura de valeurs sensibles que poui* des valeurs insensibles de r, et l'action entre une molécule et l'autre sera une attraction ou une répulsion seUn que la distance ùr sera positive ou négative* En partant de cette hypothèse qui n'est point incompatible ni avec la raison ni avec les faits dont nous

(*) Voy. Mémoires de V Institut de Ffance , tom. Vil ; la» AnnaUs de Chimie et de Physique , et le Bulletin des Sciences , publié sous la direction de HL. De Féntssac.

Digiti

MATBÉMATIQVE ET PHYSIQUE. 09

avons parlé plas haut , on parvient aux équations fondamentales à Taide des principes généraux de la mécanique.

On ne saurait reprocher à cette théorie aucune inexactitude dans les calculs; mais on pourrait douter de la légitimité de rhjpothèse fondamentale, d'après laquelle Faction réciproque de deux molécules jie serait pas seulement une fonction de leur position relative après le dérangement , mais elle dépendrait, en outre, de la distance primitive entre les molécules.

M, Poisson suppose i® que chaque molécule d'un corps solide élastique, dans Y état naturel ^ est en équilibre en vertu de l'action de toutes les autres molécules ; a® que Faction entre deux molécules M et M% dont la distance est r, peut être exprimée par Fr; cette fonction n'ayant des valeurs^ sensibles que pour des valeurs insensibles de r; 3* que cette action est une attraction ou une répulsion selon que la fonction yr aura une valeur positive ou négative. Ajoutons que M. Poisson est conduit à admettre enfin que la fonction yr doit être telle que, dans l'état naturel du corps, on ait SrJ/r=:o, en étendant la somi^e à toutes les molécules comprises dans la sphère d'activité de, M. Je. ne crois pas nécessaire de faire observer que M. Poisson fait usage d'une analise différente de celle de M. Navier^ et des autres géomètres qui se sont^ occupés de soumettre au calcul algébrique les relations mathématiques provenant de l'action des forces moléculaires. Il s'agit ici du principe et non des moyens d'en calculer l'application.

Maintenant, pour concilier les deux hypothèses admises par MM. Nawr et Poisson ^ et nous expliquer, par-là, la coïncidence de leurs résultats^ imaginons un corps solide homogène dont les molécules sont en équilibre en vertu de leurs attractions et de leurs répulsions réciproques , en faisant abstraction de toute force qui proviendrait d'une cause extérieure au corps. On peut supposer raisonnablement que les molécules de ce corps sont douées d'une égale énergie, et qu'elles sont distribuées uniformément dans l'espace occupé par le corps; de

Digiti

go GOBRESPOUDAirCE

sorte qu'en dénotant par a la distance entre deux molécules voisines, et par i un nombre entier quelconque , la quantité ia représente la distance entre deux molécules quelconques. De plus , si On désigne , en général , par r la distance qui sépare deux molécules M, M^ par fr l'attraction réciproque de M et de M', et par ^|^r leur répulsion; on pourra dire alors que M' attire M avec une force j^=fr — i//r, pourvu que cette attraction devienne une répulsion toutes les fois que la fonction /r aura une valeur négative. Supposons enfin que l'on ait

9>ra=nr

,^=nr|^,-x(^)J;

en dénotant par Tir une fonction dont la nature est de devenir insensible pour des valeurs sensibles de la variable, et par

xf^j uiie fonction inconnue qui est toujours nulle pour

des valeurs de r égales li a ou à un multiple de a^ et qui a une valeur positive ou négative, selon que l'on suppose r:B M d= tf , en dénotant par « une tràs^petite valeur moindre

que -. Il est facile de s'assurer qu*il existe une infinité de pareilles fonctions dont la plus simple est sin. — ,oîi^ désigne la longueur de la demi-circonférence dont le rayon est égal à Tunité*

Gela posé, il est évident i<> que, dans l'état 'naturel du corps solide élastique, la molécule M sera en équilibre , puisque la force /lia, avec laquelle cette molécule est attirée par une autre molécule quelconque M' est nulle ; ^^ que les distances réciproques des molécules étant changées, il y aura attraction ou répulsion entre deux molécules quelconques M et M' ,

Digiti

selon que la distance primitive ict qui séparait ces molécules sera devenue plus grande ou moindre ; 3® qu'en nommant r la distance primitive des molécules M et M% et r H- Ar leur distance "après le changement de forme du corps élastique >

Tattraction de M' sur M sera exprimée par An -^ , en négligeant les puissances supérieures de. Ar, et en observant queyr= o lorsque r exprime la distance entre deux molécules dans Tétat naturel du corps ; 4^ qu'enfin , l'attraction d'une molécule M' sur la molécule M étant représentée, en général, par^r, on aura nécessairement Sr^rrrro dans l'état naturel du corps, puisque, dans cet état, l'on slJtssso.

Nous pouvons conclure de tout ce qui précède que les deux théories de MAI. Navier et Poisson rentrent l'une dans l'autre , si l'on suppose que les équations (i) expripient la nature des actions réciproques entre deux molécules quelconques d'un corps solide élastique. On voit aussi que la , fonction que M. Navier dénote par J]) est la même que la fonction prime dérivée de celle que M. Poisson a nommé ^. D'après cela il n'est pas étonnant que ces deux illustres géomètres soient parvenus aux mêmes formules fondamentales qui ont davantage, en outre, d'être parfaitement d'accord lavec l'expérience dans tous les cas particuliers auxqueb M. Poisson en a fait l'application. Mais ces équations fondamentales étant déduites d'une hypothèse probable et non exclusivement conforme aux faits , on pourrait douter s'il n'existe pas d'autres suppositions également probables et en harmonie avec les résultats de l'expérience, et qui auraient, en outre, l'avantage de con« duire à des formules générales plus simples et plus symétriques que celles que l'on a trouvées au moyen des principes que nous venons d'analiser. G'eàt la solution de ce problème qui forme l'objet du mémoire présenté à l'Académie.

Digiti

9^ connESPoiioAKrGi-

Mémoire de géométrie pure^ sur les systèmes de forces , et les systèmes d'aires planes; et sur les polygones , les polyèdres , et les centres des moyennes distances ; par M* Chasles , ancien élève de TÉcol^ Polytechnique.