THÉ0HEMK8 GEHÉRAUX SUE LES STSTEKES DE VOSGES , ET SUR

LES SYSTEMES d'aIRES PLAHES,

(i) Quand plusieurs forces sollicitent un corps^ solide libre, on peut les remplacer , d'une infinité de manières , par d'autres forces ; on dit que le système de ces nouvelles forces est équi\^alenl au système des forces proposées. C'est là ce que nous entendrons par systèmes de forces équivtilens , sans avoir besoin de répéter que les forces sont supposées appliquées à un corps solide libre; et quand nous parlerons de deux systèmes de forces , sans dire qu'ils sont équivalens , ils seront tout-à-fait arbitraires l'un à l'égard de l'autre,

(2) Théorème I. Quand on a deux systèmes de forces^ si an multiplie chaque force du premier système par eluique force du second système , et par le cosinus de F angle de ces deux forces , la somme de tous ces produits sera la même que la somme des produits semblablementfoits à regard de deux autres systèmes de forces équivalens respectii^ement aux deux proposés*

Soient a^ à\*. les forces du premier système, eXh^h'..^ celles du second système. Représentons par £ a% b. cos. {a,b^ la somme de tous les produits dont chacun sera formé d'une force du premier système^ d'une force du second système et du cosinus de l'angle de ces deux forces ; il s'agit de prouver que cette expression conservera la même valeur , quand aux deux systèmes de forces on substituetti deux autres systèmes qui leur seront équivalens , respectivement.

Digiti

MATHÉMATIQUE ET rUYSIQUE. 98

Ainsi on aura S a*, h. co«.(a,6) s const. , quels que soient les deux systèmes de forces à^a\^m. et ^ , ^'... , parmi tous les systèmes équivalons , respectivement.

Pour démontrer ce théorème > il nous sudGit de prouver qu'il a lieu quand on remplace une force d'un des deux systèmes par ses composantes suivant trois directions quelconques ; car il aura lieu , dès-lors , dans ce nouveau système , si on y remplace un autre force, quelconque par ses composantes suivant trois directions arbitraires ; et comme ce n'est que par de telles décompositions de forces , et par des recompositions semblables qu'on change un système en un autre équivalent, il en résultera que le théorème sera démontré.

Soient a, > a^ , ^s les trois composantes de la force a suivant trois axes quelconques menés par un de ses points. Le système des forces a, a%... sera remplacé par celui des forces a» ^ af ^ Um 9 a%.*. ; et si on forme , relativement h ce nouveau système, l'expression analogue à Sa. h^ cos. (a,^), elle ne différera de celle* ci que par les termes oh entre la force a , lesquels seront remplacés par des termes où entreront les forces a» ^ ay ^ a». Ainsi au lieu du terme a. b\ cos. (a,^), on aura les trois termes a«. &,cos. (ajgfb); a^ h, cos. (o^,^); aih. cos. (aa,^); mais ce premier terme est égal à la somme des trois autres , parce qu'on a

a, cos. (a, h) ssa^r. cos. (a^^h) -^Oy* cos. (o^, h) -i- a,, cos. (a.,^);

il s'ensuit donc que les deux sommes^ sous le signe S seront égales. Ainsi le théorème est démontré.

L'équation que nous venons d'admettre est fort connue, puisqu'elle exprime que la projection orthogonale de la force a sur la direction de la force b est égale à la somme des projections orthogonales sur cette même ligne , des trois composantes de la force a.

(3) La formule Z a. b, cos. {a*b) s=Bconst. qui représente le théorème que nous venons de démontrer , est la base unique de tout cet écrit : elle est susceptible d'autres interprétations géométriques différentes , qui oÉrent des principes tout aussi généraux que le précédent. Ces principes donnent lieu à un

94 CORAESPOUDAVCE

grand nombre de conséquences dont nous ne présenterons dans ce moment que ceUes qui sont de géométrie pure, remettant à un autre écrit celles qui renferment des formules de géométrie analitique.

(4) Corollaire. Supposons toutes les forces a, a\:. appliquées à un même point , et soit A leur résultante : soit B la résultante des forces h , &'••• supposées aussi appliquées toutes à un même point ; on aura , d'aprës le théorème que nous venons de démontrer ,

. A. B. COS. (A,B) sasSa. ^. cos, (a^^. )

(5) Si les forces h , b\.. sont respectivement les mêmes que les forces a^ a\^,, cette équation devient

A* s= ç a* — r a S a. a', cos. (a, a').

Cest-cHlire que : le carré de la résultante de plusieurs Jbrces est égal à la somme des carrés de ces Jbrces , plus deux fois la ^somme des produits de ces forces , muttipliées deux h deux , et par le cosinus de F angle <ju^ elles comprennent.

(6) Quand des forces se font équilibre , la résultante de plusieurs d'entre elles est égale et directement opposée' à la résultante des autres ; on conclut donc des expressions des carrés des résultantes 9 que :

Quand des forces se font équilibre^ la somme des carrés de plusieurs d^ entre elles ^ prise arbitrairement^ plus le double de la somme des produits de ces mémesforces multipliées deux à deux, et par le cosinus de F angle qu'elles comprennent^ est égale à la somme des carrés de toutes les autres forces , plus le double de la somme des produits de ces forces multipliées deux à deux , et par le cosinus de l'angle quelles comprennent,

(y) Remarque. Les forces étant représentées en grandeur et en direction par des droites, on pourrait substituer dans l'énoncé du théorème i le mot droite au mot force. Alors on entendrait par composantes d'une droite ses projections sur trois axes quelconques menés par un 9e ses points^ et par systèmes de droites équiualens , deux systèmes de droites dont l'un serait

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MATHÉMATIQUE ET PUY8IQ17E4 " gS

forme par la décomposition et la composition des droites de l'antre système , comme si ces droites étaient des forces.

Nous allons faire usage de cette remarque dans ce qui va suivre ; et nous supposerons toujours que chaque droite a une direction donnée , comme si elle représentait une force.

(8) Lemme. Si ton -projette une aire plane sur trois plans coordonnés Quelconques yz, xz et xy, et si Von décompose une droite, de grandeur donnée, et perpendiculaire au plan de cette aire, en trois autres dirigées suii^ant trois a>xes ox% oy', oz', respectivement perpendiculaires aux trois plans yz, xz et xjy les composantes de cette droite seront aux projections de Faire plane comme la droite elle-même sera h cette aire.

En effet, soit r l'aire plane, et a la droite menée perpendiculairement au plan de cette aire.

sin«(9r,J?)

Laprojection défaire ;rsurleplanyzestégaleàr. ■■ . r ;

S\Xi»\X,J^%j

. et la projection de la droite a sur l'axe ox^ est égale a «• . — / , , •

8m.{x^,yz')

Or , on a sin. (t, x) ^i sin. (a , y z' ) , puisque la droite a et l'axe des x sont perpendiculaires repectivement aux plans ir et^ »' ; on a aussi sin. {x,y z) =: sin. (x\ y z') parce que les deux axes ox , ox^ sont perpendiculaires respectivement aux deux plans j/z' , et j^z. Le rapport de la projection de l'aire à'ia

projection de la droite se réduit donc à — ; ce qui démontre

a le lemme.

Ainsi, si l'aire t est représentée par la droite a perpendiculaire à son plan , les projections de cette aire sur trois plans coordonnés seront représentées par les projections de la droite a sur trois axes perpendiculaires à ces plans respectivement.

(g) Corollaire, Il résulte de ce principe que si l'on a un système d'aires planes situées dans des plans quelconques ^ et qu'on conçoive un système de droites perpendiculaires à ces

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06 CM>KBESI*OlilDAlfCE

plans et proportionnelles aux aires respeetiyement , puis qu'on décompose ces droites > de manière à former un autre système équivalent (7), et qu'on conçoive dans des plans perpendiculaires à ces droites des aires qui soient avec elles respective* ment , dans le rapport des aires proposées aux premières droites, on aura un nouveau système d'aires qu'on aurait pu former avec le système proposé par des projections des aires de ce système, analogues aux décompositions des premières droites/ Nous dirons ^par cette raison que ce nouveau système d'aires est équi\f aient au système d'aires proposé; et l'aire q^i correspondra à la résultante de toutes les droites sera Taire résultante de toutes les aires ; cette aire seule représentera un système équivalent au système des aires proposées. Nous appellerons com] posantes d'une aire ses projections sur trois plans quelconques , de même que nous appelons composantes d'une, droite ses projections sur trois axes (^).

Les aires sont toujours positives , de même que les droites que nous leur supposons proportionnelles et perpendiculaires ; mais leurs composantes pourrpnt être prises négativement, et auront toujours les mêmes signes que les composantes correspondantes des droites relatives à ces aires. Ces signes proviennent des angles que ces droites font avec les axes suivant lesquels on les décompose.

(10) Le lemme précédent n'est au fond que le principe dont M. Poinsot s'est servi pour la composition et décomposition des couples.' Envisagé d'une manière générale , par rapport à des aires planes quelconques, ce principe présente comme lout-à-fait évidentes des vérités qui ont été longtemps le sujet de beaux théorèmes sur la projection des aires planes et

(^) Il est entendu que les projections sur trois plans donnes se font par des droites parallèles respectivement aux trois droites d*intérsections de ces plans , deux à deux ; de même que les projections d*une droite sur trois axes se font par des plans parallèles respectivement aux trois plans que ces axes ôiterminent deux à deux.

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MATlliMATIQVi: KT PIIYSIQUL. 97

sur la composiiîOD des momens. (Voyez Géométrie de position de M. Carnoty la Statique de M. Poinsot , la Mécanique de M. Poisson^ et les Elémens de géométrie à trois dimensions de M, Rackette).

Ces diverses théorèmes , que nous pourrions énoncer sur-lechamp comme traductions directes , eh vertu du lémme , des propriétés connues des systèmes de droites , ou systèmes de forces , peuvent être tous féprésentés par le principe général que voici :

(m) .Théorème IL Si ton a deux systèmes d'aires planes m , m' ... cf n, n' ..., et qu'on multiplie chaque aire du premier système par chaque aire du second système et par le cosinus de tangle compris entre les plans des deux aires , la somme de tous les produits ainsi formes, que nous représenterons par Sm.n. COS. (m, n), aura une valeur qui restera constante quand on substituera aux deux systèmes d'aires deux autres systèmes équivalens^

Soient a , a'... des droites proportionnelles aux aires du premier système et perpendiculaires à leurs plans , et ^ , ^'.., des droites proportionnelles aux aires du second système et perpendiculaires \ leurs plans ; on aura

Sm.n. COS. ( w.«) =» k.V S a,h. cos. (a, 6) ;

A, k étant deux constantes qui représentent les rapports des aires des deux systèmes, respectivement, aux droites a^a\..^

et b,b'

Si nous remplaçons les deux systèmes d'aires par deux autres systèmes d'aires /u, /»'... et (^, t^'... qui leur soient équivalens respectivemenj; , à ces aires correspondront deux systèmes de droites et, a!.,, , et C, C'..., qui seront équivalens aux deux systèmes a , a'... et ^ , y... {9); et Ton aura

S ^.y. cos. (fi^ y) = kk £ a*C. cos. (a, â*.)

Mais, d'après le théorème i , on a

s a.b cos. (a, ^ ; = S jc.tfl cos . («, C) Tarn. FL n

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gB COIIRX$IK>irDiafGi:

On a donc aussi

S m.n. COS. (m, n) =s^fA.v» cos. (/k» y)«

Équation qui démontre le théorème ënoncë.

(la) Corollaire. Soit M l'aire résultante de toutes les aires m, tn\.. du premier système, et N L'aire résultante 4^ tputes les aires n, n'... du second système (9); on aura, d'après le théorème que nous venons de démontrer,

M. N. cos. (M, N)s=: £iii.ii c08.(m,n).

(i3) Si les aires du second système sont respectivement les mêmes que les aires du premier système, cette formule devient oelle-ci :

M> = l>m^ -4- a Lm.m^ cos. (/n,/»')

ce qui exprime que : le carre de faire résultante tTun système JC aires est égal à la somme des carrés de ces aires , plus deux /bis la somme des produits de ces aires multipliées deux à deux et par le cosinus de V angle compris entre leurs plans

(f4) Corollaire II. Supposons qu'il n'y ait qu'une aire r dans le second système ; la formule du corollaire précédent deviendra.

M. cos. (M , n ) s= S m. cos. ( m, n } ;

ce qui fait voir que la somme des projections orthogonales d'un système d'aires sur un plan quelconque est égale à la projection orthogonale de l'aire résultante.

Il en serait de même si les projections étaient faites obliquement ; car les projections obliques de deux aires sont aussi les projections des projections orthogonales des deux aires sur un plan perpendiculaire aux droites qui projettent; les projections orthogonales étant égales, les projections obliques des deux aires sont donc aussi égales. Ainsi , la somme des projections

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d'un système d'aires , sur un plan , est toujours égale à la projection de Faire résultante^

(i5) Si les projections sont orthogonales, on en conclut que la somme des projections orthogonales d'un système d*aires , sur un plan , a la plus grande valeur possible quand ce plan est celui de l'aire résultante.

Ainsi l'aire résultante d'un système d* aires planes n'est autre que la plus grande somme des projections orthogonales de ces aires sur un pian»

Le carré de cette plus grande somme des projections orthogonales des aires est donc égal à Lw* + a L /n.m'. cos, (/7î,to').

11 résulte aussi de là que la somme des projections orthogonales d*un système d'aires , sur un plan perpendiculaire à celui de Taire résultante , est nulle.

(16) Théorèiùe III. Si Von a deux systèmes de eouples ^ et qvHon Jusse le produit de chaque couple du premier système par chaque couple du second système et par le cosinus de rangle compris entre les plans des deux couples^ la somme de tous ces produits conservera la même valeur quand on remplacera les deux systèmes par deux autres systèmes de couples , respectivement équivalens. *

En efifet , M. Poinsot a appris , en créant la théorie des couples , à les décomposer comme nous avons décomposé tes aires planes , et à les représenter par des droites proportionnelles à leurs énergies , et perpendiculaires à leurs plans. On peut donc substituer dans le théorème II , au mot aire , celui de couple. Ainsi le théorème est démontré.

(i^) Corollaire* Soient m ^ /»'... les couples du premier système, et M leur couple résultant, et soient n , n\%» les couples du second système et N leur couple résultant ; on aura

M.N. COS. (M,N)=Sm.«. cos, (m, fi).

(18) Si les couples /i, /»'... du second système sont respectivement les; mêmes que les cbuples; /» , w'... du premier système , cette formule deviendra

M* = S /w 2 -H 2 2 in.m'\ ces. (wi', m' ).

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lOO ^ CORBCSPOHOAKCi:

('9) Quand on a un système de forces et qu'on prend leur» momens par rapport h un point fixe , ces- momens ont les mêmes expressions que les énergies des couples formes par ces forces et par des forces égales , menées en sens contraire par le point fixe.

Si on change le système de forces en un autre équivalent , et qu'on prenne les momens de ces nouvelles forces par rapport au même point fixe , ces momens auront pareillement les mêmes expressions que tes énergies des couples formés avec ces nouvelles aires. Les plans des momens sont les mêmes que ceux des couples. Nous pouvons donc substituer aux couples , dans le théorènië Il(, les momens des forces qui donnent lieu à ces couples.

On a donc ce théorème général :

(20) Théorème IV. Quand on a deux systèmes dé Jbrces^ et qu'on prend les momens des forces du premier système par rapport à un point fixe , et les momens des forces du second système par rapport à un second point fixe ; puis qu^on multiplie chaque moment du premier système par chaque moment du second , et par le cosinus de F angle compris entre les plans des deux momens , la somme de tous ces proâuils consertfera la même valeur si on substitue aux deux systèmes de forces deux autres systèmes equifalens dont on prendra les momens par rapport aux deux mêmes points fixes respectivement*

Ainsi soient m, m\., les momens des forces du premier système, par rapport h un point fixe, et n, n^.• les momens des forces du second système , par rapport à un second poiut fixe; et soient ^, ^'•.* et v, /... les momens de deux autres systèmes de forces équivalens respectivement aux deux premiers ; ces momens étant pris par rapport aux deux mêmes points fixes respectivement ; on aura

S/n.fi COS. (m, i»)=s£/K.y COS. (/c, y).

(21) Corollaire. L Supposons qu'il n*y ait dans le second!

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MATaiMATIQUË ET PHYSIQUE. lOt

système qu'une seule force , et consëquemmeDt , qu'un seul moment n ; cette formule devient

Z m. COS. ( m , n ) =s s /t£. cos. (^, /i) ;

le moment m ëtant le produit de deux lignes^ représente une aire; m cos. (m, n) est la projection orthogonale de cette aii*e sur le plan n., on l'appelle la projection du moment m sur ce plan ; cette équation prouve donc que :

La somme des projections orthogonales , sur un plan , des momens d'un système de forces y est e'gale à la somme des projections orthogonales des momens de tout àutré^ système de forces ét/uiualent.

Il est clair que cette égalité a pareillement lieu , quand les projections sont obliques ( 1 4)*

Il est bien entendu que les momens sont tous pris par rapport à un même point.

(il) Toutes les forces peuvent être remplacées par deux forces dont l'une peut passer par le centre des momens ; son moment sera nul ; le moment de l'autre force aura donc sa projection sur un plan quelconque , égale à la somme des projections des momens de toutes les forces du système proposé.

11 suit de là que si les projections se fout orthogonalement , leur somme aura une valeur maximum quand le plan de projection sera celui du moment en question. Ce moment unique s'appelle le moment principal du système de forces , relatif au point pris pour centre des momens.

Ainsi le moment principal d!un système de forces ^ relq.tif à un points ^-^^ ^'so.1 h la plus grande somme des projections orthogonales, sur un plan^ des momens de toutes les forces pris par rapport à ce point*

(23) Corollaire II. Pour avoir la valeur de ce moment principal , supposons que dans le théorème IV toutes les forces du second système soient respectivement les mêmes que les forces du premier système^ et qu'on prenne les momens des deux systèmes par rapport au même point ; il résultera de ce théorème

I07. COHRESrOKDANCE

que Texpressiôn S m» 4- 2 S m m' cos. {m, fn') conserve la même valeur quand on change le système de forces en un autre équivalent.

Soit donc M le moment principal du système de forces , ce moment étant seul dans un système de deux forces qui peuvent remplacer le système proposé , on aura

M'=S 771* -«- 2 Swi.m' COS. (m,i7t').

■Ainsi le carré du moment principal d'un système de forces pris par rapport à un point , est égal à la somme des carrés des momens de ces forces , plus le double de la somme des pro* duits de ces momens multipliés deux à deux , et par le cosinus de f angle compris entre leurs plans*

(24) Remarque, Cette dernière formule , et celle qui donne le carré de la résultante d'un système de forces (5) , ont été données en premier lieu par M. Binet , dans un mémoire lu à l'Iiifititut de France en 1814 » (voyez 17' cahier des journaux de FEcole polytechnique); puis démontrées par M, Gior^ni, dans un excellent écrit sur la théorie analiiique des projections. (*).

(25) On voit d'après ces formules que les deux équations

S a* -f- 7 S a.a' COS. (a, a'} = o , et

i:77i»-+- iZm.m' COS. (/72,m') = o,

où a , a'... sont des forces appliquées a un corps solide libre , et m , Tw'... les momens de ces forces par rapport à un point quelconque , sont l'expression géométrique des deux conditions d'équilibre données par M Poinsot ; et qu'elles remplacent complètement les six équations par lesquelles on a coutume d'exprimer l'équilibre d'un coi'ps solide libre.

(♦) Teoria analiu'ca délie ptxfjezionidi Gaeiano GioT^ini. Lucca, 4820. (Voy. Bulletin des Sciences Mathématiques , tom. IV, pag. <29.)

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MATHEMATIQUE ET PttYSIQtJl.. tod

(26} Théorème Y. Quand on a un système de droites et un système d'aires, si Von fait le produit de chaé/ue droite par chaque aire et par le sinus de Vangle que cette droite fait avec le plan de cette aire, la somme des produits ainsi formés aura une valeur qui restera constante quand on substituera au système de droites et au système d^ aires ^ deux autres systèmes de droites et d'aires qui leur soient équii*alens.

Soient a, a\.. les droites , et m, m\.. les aires; et soient A, a'*.. d*autres droites formant un système équivalent à celui des premières 9 et/tc, /c'... d'autres aires formant aussi un système équivalent à celui des aires m,.;»'... ; il faut prouver qu'on a toujours

L a. m. sin ( a , m ) = £ a. /u. sin. {a , fit).

Concevons des droites b^ b\., perpendiculaires aux plans des aires /n, m'... et proportionnelles à ces aires, on aura m = kb, sin. (a , /ii)=s cos. {a, b)^ ••.•• et par conséquent

S a. m. sin. (a , m) = A.S a. b. cos. {a,b).

Soient les droites C, C.*. proportionnelles aux aires /tt, fc'..* et perpendiculaires à leurs plans , on aura

S a. fit. sin. (« , ^) ss te £C. C. cos. («, C).

Mais les deux systèmes d'aires w, /n', ... et /«, /tf'... étant équiyalens, les deux systèmes de droites b^ A'... etC, C..., sont aussi équiyalens (9); et les deux systèmes de droites tf , a', .•• et âc, «% «««f sont équivaleus par supposition ; on a donc :

S a. b. cos. (a^ ^) sss s «. Ç, cos. («, ^ 9 d'après le théorème I.

I04 €X>RRESrOT(DAnCC

Les deux équations précédentes , en vertu de cette dernière , donnent celle qu'il s'agissait de démontrer.

(27) Corollaire^ Supposons que toutes les droites passent par un même point; elles auront une résultante unique A; supposons aussi que les plans de toutes les aires passent par ce même point, et soit M Taire résultante; on aura , d*après le théorème que nous venons de démontrer,

A. M. sin. (A, M)s=::sa. m. sin. (a, m).

a. m. sin. (a , m) est le tiers du volume de la pyramide qui a pour base Taire m, et pour sommet Textrémité de la droite a; on conclut donc de cette équation que ;

(28) Théorème VI. Quand on a un système de droites issues d'un même point , et^ un système d^ aires situées dans des plans passant par ce point, si, combinant chaque aire avec chaque droite , on prend le volume de la pyramide qui aura pour hase cette aire , et pour sommet textrémité de cette droite , la somme des volumes de toutes les pyramides ainsi Jbrmées sera égale au volume de là pyramide qui aura pour sommet V extrémité de la résultante de toutes les droites , et pour hase Vaire résultante ( ou , en d'autres termes , la plus grande somme des projections orthogonales) de toutes les aires,

(29) Si Ton n'a qu'une droite , ce théorème prend cet énoncé : Quand on a un système d'aires situées dans des plans passant

tous par un même point, la somme des volumes de toutes les pyramides qui ont ces aires pour hases ^ et pour sommet un point pris dans V espace , ' est égale au volume de la pyramide ayant même sommet^ et pour hase l'aire résultante de toutes les aires ^

Il suit de là que si le sommet commun des pyramides se meut dans un plan parallèle à celui de Taire résultante , la somme des volumes de toutes les pyramides restera constante.

Et si le sommet commun des pyramides parcourt le plan même de Taire résultante , la somme des volumes des pyramides, sera nulle.

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M.t*llli:]VIATIQt7K i:T l»ttVSIQt7E. îo5

(3o) Si les plans des aires , que nous avons suppose passer par un même point, s'éloignent de ce point parallèlement à eux-mêmes , et prennent d'autres positions dans l'espace , les volumes des pyramides qui ont ces aires pour bases , et pour sommet commun un point o de l'espace, seront augmentés d'une quantité constante qui sera la somme des volumes des pyramides qui auront ces aires pour bases, et pour sommet commun le point par oh passaient d'abord tous leurs plans. Donc quand le point o parcourra un plan parallèle à celui de l'aire résultante , la somme des volumes des pyramides , sera encore constante ; donc :

Étant données des aires planes dont les plans sont situes d*une manière quelconque dans l'espace , si on demande un point tel que la somme des volumes des pyramides qui auront ces aires pour bases et ce point pour sommet commun , soit une quantité donnée , ce point aura pour lieu géométrique un plan parallèle au plan fixe sur lequel les projections orthogonales des aires ont leur somme maximum.

(3 1 ) Si toutes les aires sont égales , on conclut de là ce théorème :

Étant donnés des plans disposés d'une manière quelconque dans r espace, le lieu géométrique d^ un point dont les distances à ces plans ont une somme constante^ est un plan , de direction déterminée par cette propriété unique ^ que la somme des CO' sinus des angles que ce plan fait ai^ec les plans donnés est un MAXIMUM (*).

(Sa) Nous avons vu que , quand on prend les momens d un

(*) Voici une question qui présente un rapport remarqYiable avec celle dernière :

Étant donnés plusieurs points dans t espace , si on demande un point dont les distances à tous ces points aient une somme constante , ce point aura pour lieu géométrique une surface dont la normale en chaque point sera la droite qui fera at^ecJa droite menée de ce point aux points donnés des angles dont la somme des cosinus sera un maximum.

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to6 COHRESPONDAMCE

sjrstème de forces, par rapport à un point fixe, ces momens peuvent être considères comme un système d'aires ; et que si Ton remplace le système de forces par un autre équivalent , les momens de ces nouvelles forces, formeront un nouveau système d'aires équivalent au premier ; nous pouvons donc substituer dans le théorème général V, les momens d*un système de forces au système d'aires ; et en considérant les droites comme des forces , on aura cette propriété de deux systèmes de forces.

Théorème VII. Quand on a deux systèmes de forces , si on prend les momens des forces du premier système , par rapport à un point fixe , et qiCon multiplie chacun de ces momens par chaque force du second système^ et par le sinus de V angle que cette force fait as^ec le plan du moment y la somme de tous ces produits restera la même quand on remplacera les deux systèmes de forces par deux autres systèmes , respectit^ement équis^alens»

Ainsi, soient m, m'... les momens des forces du premier système, et b ; b\,. les forces du second système, la somme j: b.m, sin. (^, /»), aura une valeur qui restera constante , quand on changera les deux systèmes de forces en deux autres systèmes respectivement équivalens.

(33) Le signe de chaque terme de la somme 2 b» m. sin. (6, m), dépendra de la direction de la force & ^ et de la direction de la droite par laquelle on représentera le moment m ; car \ sin. {b ^m), on substituera le cosinus de l'angle de ces deux droites, lequel sera positif ou négatif, et ce cosinus donnera son signe au terme dans lequel il entre.

Mais on peut aussi déterminer les signes des termes de la somme I, b.m. sin. (6, m ), sans avoir besoin de considérer des droites perpendiculaires aux momens m, m\*.

Car il est facile de voir qu'on peut , en plaçant l'œil h. l'extrémité de chaque force ft , et en dirigeant la vue vers le point d'application de cette force, regarder dans quel sens la force dont on a combiné le moment m avec la force b , tend à tourner; et donner au terme b* m. sin, (&,/»), le signe -i- ou le signe — -, suivant que cette droite tendra h tourner à droite ou à gauche ; et ainsi à l'égard des autres termes.

Digiti

(34) Soient tf , a'... les forces du premier système , dont nous avons âésif^né les momens par m , m', .,. ; et soient n , n\ ..• les momens des forces b , b\».. du second système , pris par rapport au centre des momens m, m', ... La somme S a. n. sin. (a, n), aura une valeur qui restera constante de même que celle de S b, m. sîn. (^ , m) , quand on changera les deux systèmes de forces en deux autres ëquivalens. La somme

S SB [s a. /i. sin. (a, n) + £^* m. sin. (^, ^)]9

conservera donc aussi la même valeur.

Soient CD une des forces a , a', ... du premier système, EF une des forces ô, b\ ... du second système , et O le centre des momens. Les deux forces CD , EF, combinées ensemble , donneront dans la somme S les deux termes

2 ai. OCDxEF.sin.(EF,OCD), eta ai.OEFxCDsin.(CD,OEF).

La somme de ces deux termes, divisée par 6, est égale au volume de la pyramide qui a pour sommets les quatre points C, D , E, F; car le premier, divisé par 6, est égal à la somme des volumes des tétraèdres qui ont pour sommet commpn le point O, et pour bases les deux triangles ECD , FCD ; et le second , divisé par 6 , est égal à la somme des volumes des tétraèdres qui ont pour sommet commun le point O et pour bases les deux triangles CEF , DEF. Donc la somme de ces deux termes , divisée par 6 , est égale à la somme des volumes des quatre tétraèdres qui ont pour sommet commun le point O, et pour bases les quatre faces du tétraèdre CDEF, laquelle somme est, comme on sait • égale au volume de ce tétraèdre. Ce tétraèdre a pour arêtes opposées les deux forces CD , EF , appartenant respectivement aux deux systèmes de forces a , a\ ... et b, ^',,.. La somme S est donc la somme des volumes des tétraèdres construits sur une force du premier système et une force du second système , comme arêtes opposées ; on a donc ce théorème :

Théorème VIÎL Quand on a deux systèmes de forces , si sur chaque Jorce du premier système et chaque Joitc du second

lo8 CORRESPOlfDAMCE

système , comme arêtes opposées-^ on construit un tétraèdre ^ la somme des volumes de tous ces tétraèdres restera constante quand on substituera aux deux systèmes de forces^ deux autres systèmes qui leur soient équivaUns respectii^ement.

(35) Dans cette somme de tétraèdres , le signe de chacun d'eux est le même que le signe de la quantité [a. n. sin. (a^n) -t- b, nu sin. ( 6, m)] qui exprime ce tétraèdre. Mais les deux termes de cette quantité ont toujours le même signe ; car il est visible que si la force b^ vue, comme nous l'ayons dit (33), de Textrémité de la force a , semble tourner à droite , la force a , vue de Textrémitéde la force à, tendra à tourner aussi à droite, et qu'ainsi les deux termes en question ont toujours le même signe* Concevons, par exemple, trois axes coordonnés des x , y et z ; prenons l'axe des y positives pour la force a , son point d'application étant à l'origine des coordonnées ; et supposons la force b dans le plan des xz et parallèle à l'axe des z positives , son point d*application étant sur l'axe des x positives.

La force à , vue de l'extrémité de la force b, tendra à tourner de droite à gauche ; et la force b , vue de l'extrémité de la force a , tendra aussi ^ tourner de droite à gauche. Ainsi les deux forces, vues réciproquement de leurs extrémités, tendent b tourner autour Tune de l'autre dans le même sens, ainsi que nous l'avons avancé.

Il faut bien observer que la vue doit toujours se diriger de l'extrémité d'une force vers son point d'application ; si le contraire avait lieu , le sens de la rotation de l'autre force changerait. Par exemple, si l'œil est placé sur l'axe des j^ négatives , et la vue dirigée vers l'origine, la force b tendra à tourner de gauche ^ droite; tandis que, vue dans Tauti^e sens, elle tend h. tourner de droite à gauche.

(36) Ainsi nous pouvons dire que :

Dans le théorème VIÎI, pour connaître le signe du volume de chaque tétraèdre , il faut voir le sens de la rotation d'une des deux forces qui forment ce tétraèdre^ autour de l'autre force ^ la vue étant dirigée en sens contraire de la direction de cette seconde force. On donnera au volume de chaque tétraèdre le

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MATluéMATlQUE ET PHtSlQU£. 100

signe -^^ ^ ou le signe — , suii^ant que la rotation se fera ddns un sens ou dans Vautre.

(37) Corollaire. Supposons que les forces h ^ h\*, du second système, soient respectivement les mêmes que les forces du premier système, le thëorème Vlll, donnera celui-ci :

Quand on a deux systèmes de forces equiualens , la somme des volumes des tétraèdres construits sur les forces du premier système 3 prises deux à deux, comme arêtes opposées, est égale à la somme des volumes des tétraèdres construits semblable^ ment sur les forces du second système.

Les signes des volumes des tétraèdres seront déterminés , comme nous venons de le dire, par le sens dans lequel l'une des deux forces qui donnent lieu h chaque tétraèdre ,' tendra à tourner autour de l'autre force , pour un œil placé à l'extrémité de cette seconde force.

(38) On conclut du théorème précédent que :

De quelque manière qu'on remplace par deux forces un système de forces appliquées à un corps solide libre, le tétraèdre construit sur ces deux forces, comme arêtes opposées, a toujours le même volume.

(89) Ce volume sera nul si les deux forces sont dans un même plan , auquel cas elles formeront un' couple , ou bien aui*ont une résultante unique, et réciproquement; donc

La condition géométrique pour qiCun système de forces appliquées h un^ corps solide libre ait une résultante unique, ou se réduise à un couple, est que la somme des volumes des tétraèdres construits sur ces forces , prises deux à deux, comme arêtes opposées, soit nuUe.

(4o) Le théorème (38) fait encore voir, d'après ce que nous avons dit sur le signe qui convient au volume de chaque tétraèdre , que :

De quelque manière quon remplace par deux forces un système de forces quelconques, Vune de ces deux forces étant 'vue de V extrémité de la seconde force tendra toujours à tourner dans le même sens autour de cette seconde force*

Quand des forces, en nombre quelconque, appliquées à

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HO COAHl::Sl*Oni>AKCi:

un corpd solide libre , se foat équilibre , si aux points d'ap^ plication de plusieurs de ces forces on applique des forces qui leur soient respectivement égales, et directement opposées, ces nouvelles forces formeront un système équivalent aux autres forces du système proposé; on conclut donc da théorème (87) que :

Quand des forces appliquées à un corps solide libre se font équilibre^ la somme des volumes des télraèdres construits sur plusieurs de ces forces , prises deux à deux , comme arêtes opposées , est toujours égale à la somme des volumes des tétraèdres construits sur les autres forces , prises deux à deux , comm^ arêtes opposées.

(42) Donc ; quand quatre forces se font équilibre » le volume du tétraèdre construit sur deux quelconques d^ entre elles est égal au volume du tétraèdre construit sur les deux autres (*}.

(43) Les théorèmes sur les systèmes de forces que nous vepons de déduire d'une proposition générale sur les systèmes d'aires combinés avec des systèmes de droites, peuvent être démontrés directement de plusieurs manières*

Nous ferons d'abord remarquer que le théorème relatiif au^ systèmes équivalens de deux forces seulement , est une conséquence , ou plutôt , n'est qu'une traduction géométiûque de la propriété suivante des couples, donnée par M. Poinsot dans son Mémoire sur la composition des momens. u De quelque » manière qu'on réduise un système de forces à une force uni- » que et à un couple , le produit du moment du couple par le x sinus de l'angle que son plan fait avec cette forceest constant.» ( Voyez Statique de Poinsot p 4* ^<1^^* 9 P^g* 3 19*)

Multipliant ce produit constant par la force unique K qui est aussi constante, jet supposant qu'une des deux forces F et — F

(*) Quatre forces qai se font équilibre jouissent de plusieurs autres propriétés, par escemple, de celle-ci, facile à démontrer : Ces quatre forces sont toujours les génératrices d'un même mode de géniixttion d'un hyperboloide à une nappe.

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MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE* tif

qui composent le couple , la seconde — F par exemple , passe par le point d'application de cette force -R , ou en conclut que : « la pyramide qui a pour arêtes opposées la force R et la » force F du couple , a un volume] constant. » Or, la force F du couple se combine avec la force R , et il en résulte une autre force F' dont Textrémitë est à la même distance du plan du couple que reztrëmitë de la force R ; donc le volume de la pyramide qui a pour arêtes opposées *oette nouvelle force F' et la force F du couple , est égal au volume de la première pyramide , et par conséquent est constant ; mais ces deux forces F et F' remplacent tout le système , le théorème (38) est donc démontré.

(44) Quant au théorème général VIII » voici comment on le démontre dii*ectement.

Il suffit de iàire voir , d'après le raisonnement que nous avons fait pour démontrer le théorème I , que si on remplace une force quelconque a d'un des deux systèmes par ses trois composantes Uxi Ajr 9 ^j 9 suivant trois axes menés par un de ses points , on aura l'équation

Pyr. ia,b)= Pyr. (a^, b) -+- Pyr. (a^, 6) h- Pyr. [a,, b).

Or , si on prend les momens de la force a et de ses compo* santés , par rapport au point d'application de la force b , et qu'on les projette orthogonalement sur le plan mené par ce point perpendiculairement à cette force , la projection du moment de la force a sera égale à la somme des projections des momens de ses trois composantes (ai).

r étant la plus courte distance de la force a à la force b , la projection du moment de la force a sera a.r. sin. {a,b) ^ £i%b,r» sin. (û, b\

ou ■ —- . Le numérateur est égal à six fois le volume

de la pyramide qui a pour base la projection du moment , et pour

sommet l'extrémité de la force b. Or, en supposant que la force a ait son point d'application sur le plan de projection , on voit sur-le-champ que le volume de cette pyramide est le

lia UOHKE5K>KDAMC£

même que celui de la pyramide qui a pour arêtes opposée» les deux forces a et b; car ces deux pyramides ont trois sommets communs , et leurs quatrièmes sommets sont sur une parallèle au plan de ces trois premiers. Ainsi a.b.r. sin. (a, b) exprime six fois le volume de la pyramide qui a pour arêtes opposées les forces a et b. Les projections des momens des forces a, , tf^ , a^ seront pareillement exprimées par les volumes des pyramides qui auront pour arêtes opposées la force b et chacune de ces forces , ces volumes étant multipliés par six et divisés par b ; Téquation qui a lieu entre les projections des momens donne donc Téquation entre les volumes des pyramides ; ce qu'il s'agissait de prouver.

Ainsi le théorème est démontré.

On voit bien par cette démonstration comment on doit prendre les signes des volumes des pyramides. Car dans l'équation des momens on sait qu'on doit prendre avec le signe + ceux des forces qui tendent à tourner dans un sens , et avec le signe** ceux des forces qui tendent à tourner dans le sens contraire pour un œil placé h l'extrémité de la force b et qui dirige sa vue vers le point d'application de cette force (*)•

(*) Les ih^rèmes (37 el 38) que uoiu aTioni eu occasion d'ëiumcer ailleurs, et qui sont des conséquences d'un ibéorème plus général (théorème VIII) , dont nous avons donné deux démonstrations . ont été démontrés difTéremmeni par M. Gergonne et par M. Mœbius. (Voy. Annales de Mathématiques , tom. XVIU , no <2 ; Journal de M. Crelle, tom. IV, 2« livraison , et Bulletin des Sciences Mathématiques, septemb. 4828 etscptemb. 1829). M. Ginrgini, de son côlé, était parvenu précédemment à ces théorèmes. Lui ayant communiqué Van dernier plusieurâ propriétés générales des systèmes de denx forces équivalens, objet dont il venait de s'occuper pour faire suite à sa théorie des protections , feus la satisfaction d'apprendre , qu'ainsi que cela nous était arrivé souvent dans nos premières études, nous nous étions rencontrés dans la plupart des résultats, quoiqu*ayant suivi deux marches différentes.

Je donnerai dans un autre moment ces propriétés générales des systèmes de deux forces équivalens , et leur application à un mode de transformation des relations métriques des iigures.

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WATItiMATIQVE tT KllYSIQVE. I l3