GÉOMÉTRIE

Par M. BuiANCfiôir j capitaine d^ artillerie.

Tulle, a3 nud i8i3.

On a déjà fait connaître dans ce Recueil (lom. 11, pag. 583-387), cuelques-nnes des conséquences auxquelles conduit le thëoréma Qonné par Pascal , sous le nom à* hexagone mjrstique. Voici de nouvelles remarques sur le même sujet.

Ayant une courbe plane , rapportée à deux axes quelconques , inclinons toutes ses ordonnées d'une même quantité angulaire «, en les faisant pivoter , chacune , sur son pied , et dans le même sens *y et cherchons les propriétés de la nouvelle courbe que déter^mine ce deuxième système d'ordonnées.

Pour cela y concevons qu'à tous les points du plan répondent des ordonnées qui suivent le même mouvement que celles de la courbe primitive, et désignons par A^ B^ C^ />,.... ceux du

}>remier système , et par a^h^c^d^ leurs homologues dans e deuxième y respectivement. Puisque , par hypothèse , les points

Aj B^ Cj Dj ont décrit des arcs de cercle semblables Aa^ Bh^

Ce, Ddy,^,,,* il est évident, i*. que deux droites homologues^

comme AB^ab, se crojlseQt sur la ligne même des abscisses |

ftn sot*le qae A j4 et B sont sur }a courbe donnée , et qu^on les y fasse glisser Pan vers l'autre jusqu'à ce qu'ils se confondent en un seul points les sécantes ABf aby se changeront en deux tangentes correspondantes qui n'auront pas cessé de se couper sur l'axe des x 'y 2?. que si n est le point de concours des droites AB, CDf et r celui de leurs homologues ab^cdy R et r seront deux points correspondans ^ 3^- que ceux d'entre les points

A, By C^ Dy A, .... qui y duus le système primordial y étaient

situés sur une même droite, conserveront la même disposition, rectiligne dans le systétiie déformé. Par exemple : soit pris , à volonté y six points AjBy Cy D^E^F sur la première courbe, et , sur la dcuxicme , cherchons leurs homologues a, />, c, dyCyf; les deux hexagones ABCDEFy abcdrf^ seront tels que, si, pour l'un d'eux . les trois points de concours des côtés opposés sont placés en ligne droite y l'autre jouira de la même propriété , c'est-à-dire que , si on a opéré sur une conique , la déformation indiquée n'en aura pas changé la nature, et les deux courbes feront à\x. même ordre.

Etant donnée une courbe 9 traçons^en une deuxième qui coupe en parties proportionnelles toutes les ordonnées de la première ; et, nommant toujours AyBy C, Z>; ••.... les points du prenucr

système, et a^by Cydy leurs homologues dans le deuxième,

respectivement y nous trouverons dans les deux courbes actuelles des propriétés analogues à celles de la construction précédente. ]<*. Les deux droites correspondantes AB^aby iront se rencontrer sur la ligne des abscisses 'y et ^ de même y si l'on appelle lanffcnies correspondanits celles qui sont menées par deux points homologues, Aya, l'une touchant la première courbe en A y l'autre touchant la deuxième en a y deux pareilles tangentes se croiseront aussi sur l'axe des x } a\ le point d'intersection de deux lignes quelconques du système donné a pour honiologne y dans le système déformé , le point d'intersection des deux lignes correspondantes ] 3^. si la courbe primitive est une conique y la déformée sera de même nature , ainsi qu'on le démontre par la considération des hexagones inscrits. Cette dernière propriété , même est indépendante du parallélisme y que , jusqu'ici y nous avons supposé aux ordonnées , lesquelles pourraient être con<^ courantes et réunies en faisceau ; c'est-à-dire qae : « Si d\in «r point 9 pris à volonté sur le plan d'une conique y on tire tant « de droites qu'on voudra qui aillent se terminer à la courbe , « et qu'on les divise toutes dans un même rapport , l'ensemble « des points de division formera une nouvelle conique semblable <ir à la première .»

On emploie souvent dans les arts graphiques les deux modes

de dëformMîon ae courbe que nous venons d'exposer. Le preniîef s'effectue en balançant ou faisant osciller toutes les oraonnéei sur leurs bases ; le deuxième , en augmentant ou diminuant pro« portionnelleuient toutes ces ordonnées , qui y dans ces variations f demeurent constamment parallèles entr'elles. Dans Pun et l'autre cas^ les tangentes se déplacent en tournant < chacune, autour d*un point fixe déterminé par Taxe des abscisses.

Appliquons ces considérations générales à un exemple remar« qnable : ABXY étant (pi. i ^ fig. i ) une circonférence de cercle rapportée à deux axes rectangulaires OA^ OXy qui partent de son centre O ; augmentons proportionnellement toutes ses ordonnées , et nous obtiendrons Tellipse concentrique abXy , dont les deux demiraxes sont Oa^ OX, ■ a et b sont^ res-

pectivement , les homologues de ^ et j9 ; ainsi , les sécantes abjAB se rencontreront^ en H ^ sur Taie des x^ et les tan-. gentes menées en £ et ^ se couperont anssi sur cet axe OX en A* ; enfin, les deux angles correspondans acb^ ACB , ont leurs sommets c,C, situés sur la même ordonnée^ partant , ocsslAC,

(Quoique la seule inspection de la figure apprenne que , d'après la théorie des lignes proportionnelles, ac = ACjjrd= iD y nous allons cependant présenter ce résultat sous un nouveau jour en le rattachant à l'hexagone , ou plutôt à Tune des conséquences immédiates <le l'hexagone de Pascal. La voici.

« Soient ( fig. a) deux triangles {ABC y abc) tels, qu'en joignant « leurs* sommets deux à deux par des droites (Aa,Bby Ce) « allant de l'un à l'autre, ces trois droites de construction con- ' « courent en un même point (S) : si Ton combine deux à deux , « et dans le même ordre, les côtés opposes aux sommets ainsi « appariés , et qu'on les prolonge suffisamment , \es trois points «c d'intersection résultans (//,/, K ) seront distribués sur une

« même ligne droite w. Réciproquement : « Lorsque deux

ce triangles ( ABC y abc ) sont tellement placés que y en corn* «r binant chacun des côtés du premier avec un de ceux du deuxième, « pour avoir leur point de concours , ces trois pomts de construc» « tioQ ( H y l^K) se trouvent sur un même augnement : si , par a des droites y on joint deux à deux , et dans le même ordre , •t les sommets opposés aux côtés ainsi appariés , ces droites , au « nombre de trois {Aa^ Bb, Ce) y se croiseront toutes en un « même point («$)• » Cela posé, revenons à la figure i'«. , et menons AC et ac parallèlement à HK. Les points //, I,K étant ici en ligne droite , les deux triangles ABC y abc sont dans le cas de la figure a, et par conséquent, les trois droites Aoy Bby Ce y sont concourantes ^ mais le point vers lci{uel elles tendent toutes, est situé à l'iofini ^ puisque | par construction ^ Aa et Bb sont parai-

lèles entr^elles^ donc "Ce lest aussi parallèle à l'axe des y^ et> ainsi, acsnACé On prourerait de la même manière que yd:=s YDi Or, par les propriétés du cercle (fig. i ) : BC=. AC^ BD=iYDy el le triangle COD^ rectangle en O, donne BC X BDz=z OB^f ou AC X rZ>=Ô5*=âX% ou enfin , ac Xjd c= O-X*; équation qu'on traduit par cet énoncé : « Si on mène aux extré-» « mités («9^). du grand axe d'une ellipse des perpendiculaires tf à cet axe, le rectangle {aeXjrd) formé des parties de ces « perpendiculaires y comprises entre ce même axe et une tangenta

« quelconque à la courbe, sera utie quantité constante (O A*), « égale au carré du demi-petit axe. » Cette proposition est tirée des coniques d*AppolIonius'j et Lagrangc s'en est servi dans sa Ttiiorie des Fonctions analytiques.

Du centre de similitude de deux courbes semblables y par M. MoifOE.

Deux courbes quelconques du deuxième degré étant données par leurs équations ,

j4 x*+ -Sj'*+ ^Cxy+ 2Z7ar'+ aJE/— i =0, A'x* + B'r*+ ^C'xr+ %D'x + 2 Ey — i = o ,

rapportées aux mêmes axes et à la même origine ; pour qtie les deux courbes soient semblables eatr'elles et semblablement placées^ il faut que Ton ait

BC —B'C=^6', et par conséquent AB' «^ A^B =3 o.

Le centre de similitude directe et celui de similitude opposée seront sur la droite qui passe par les centres de figures des deux courbes proposées } cela posé , si l'on nomme « et /g les coordonnées d'un de ces centres de similitudes , et m le quotient de la distance de ce centre de similitude au centre de la première des courbes^ divisée par la disUnce des deux centres de figure ; en faisant pour abréger

!a CDE — AÉ* — BD* ^{AB — 0)^H, %CD'E'— AE'^— BD'-— ^ (AB^O) = H%

Cû aura Off = C'«/f ( m — i )• ,

ou m = 1 4- —

* "^ -^^^/ — ca ) ~^'

^~ m{AB' -^Ca )

€x)mme la quantité m a deux valeurs , suivant que Ton substituera l'une ou l'autre dans les valeurs de a et /S , on aura les coordonnées des deux centres de similitude , dont l'un sera au-delà dts deux centres de figures , et doni l'autre sera enti:e les deux-

( Voftz l'application de cette théorie du centre de similitude, dans le Traité des surficea du second degré | vol. in-8^. i pag« 194 » édition 181 5.)

Pémonstrption ^un théorème {*) de Trigonométrie sphérique ; par M. CoaNELY (**).

Dans un triangle sphérique ABC{ ph 1 , lig. 3 ) , les trois arcs de grands cercles AO,É(y^COff, abaissés des sommets^, i&,Cperpen« diculairement sur les côtés opposés , se coupent en un même point /.

Cela revient à démontrer que les trois plans. ( fi g. 4 ) SAO ^ SBCy SCOff y menés par les trois arêtes SA^SB^SC^ per^ pendiculaireueat aux. faces respectivement opposées, se rencontrent suivant une même droite SI. £n effet , concevpn^ par* le point c un plan perpendiculairi; à l'aréte SC, et soit abc.y l'intersection de ce plan av.ec U pjrramide \ le plaa de la face SBC est perpendiculaire an plan du triapgle obc^ et au plan SAO ^ ou iao y mené par l'aréte ^^^perpendiculaireçiçut à la face opposée à cette arête \ donc il est perpendiculaire à TintersectiOA commune ao de ces deux plans ; d'où il suit que les deux droites ao tl bc ^ situées sur le plan abcy sont perpendiculaires entr'elles.

On prouve de la même manière que la droita bo'^ intersection de la face ASC et du plan SBO' perpendiculaire a cette face, coupe a angle droit le côté ac du triangle abe. Les perpendiculaires abaissée^ des^ trois sopnniets Uj (f^c du triangle rectiligne abc , se

(*) Lenteur de qb Untoréme est M. de Stainyille , qui Ta dçiDQptié par Tana- Ijte , danf un Recueil de problèmes , qa^il a public k Paris , en 1809 , i voL iD<8«.

(**) Les auteurs des cinq articles suiyans de géométrie, ont été admis à FScolt Poljoedmiqoe | en i8i3. ^

coupent. en un même point £; d'où il suit que la droite cîo^ est perpendiculaire au côté ab de ce triangle , et a cause de «Se per— pendicnlaire au plan abc , le plan du triangle ScoH ou du triangle SCO" est perpendiculaire au plan de la face ASB^ opposée à l'arête «se ; donc les trois plans SAO^ SBO', 5C0// nassent pay la même droite SU, et (fig. 5) les trois perpendiculaires aO,BO'^CO^ passent par le même point /.

Proposition de Géométrie^ démontrée par M. Chasles.

• « Si par un point cruelconque ^(fig. 5, pi. i ), de Tune des «t diagonales d'un quadrilatère gauche ou plan ABCD j on mène «t deux droites dpnt l'une coupe les côtés AB , AD ^ çt l'autre le^ <t côtés PC , CD , on aura

Al.BM.CK.BN = AN.BK.CM.BL

En effet , les trois points //, /, JV étant en ligne droite , on ^ ^ans le triangle ÀBD (Correspondance, %^. Yolunie) page 258);^

HB.AI.DN^IiD.AN.BI.

Ou a de même dans le triangle BDC j

HD.CK.BM=£[B.CM.DKi multipliant ces deux équations membre à membre^ on obtient