AI.BM.CK.DN—AN.BK.CM.BJ

Il est clair que si réciproquement cette équation a lieu , les ^eux droites iV/, KM se couperont en un rnéme point // de la diagonale BD prolongée. Donc les deux droites A"/, MN seront touiours dans un même plan KHN y et se couperont en un point G.

Cette démonstration doit être ajoutée au théorème de M. Chasles. page 44^ ^^ tome 2> de la Correspondance.

Démonstration de quelques Théorèmes de géométrie; par M, GiORGiNi.

Désignons par «, &, c les trois distances (fig. 6, pi. i ) OAj OB^ OCy fiuxquelles un plan ABC coupe trois axes rectangulaires OXy OK, ÇZ ; l'équation de ce plan , par rapport à ces trpis axes , sera

rou

et par suile aussi

(7) Représentons de plus par (x), (r)> (z) fe« angles que le plan BAC forme avec les trois axes des a: , des j- et des z, et par (xyjr), (a:, z), (j-, ^) les angles de ce même plan avec ceux des a:, r; ^, « ; r 1 ^; ïes angles (z), (y) ^ {x) seront respectivement les compléniens des angles (x,^), {x^ z)^ {y^ z) j de sorte que Ton aura

sin {z) = cos (^ ,/) , sin (jr) = cos (Xjx)^ sin (or) = ces {y^ z).

De l'origine des coordonnées O, abaissons sur le plan BAC une perpendiculaire OH=zr, et joignons ^, //; le triangle O^^j rectangle en /f , donnera OHz=z OA sin OAH ^ ou bien,

f? =:r â sin (a:) j ^ ^^'" ^^) cosf^»^) «

1 sin [y) coa {X,z)

1 sin f^) co8(jr,/)

L*éqaation du plan deviendra donc

xsin{x) +yûn{y) + z nn (r) ^p, (a)

oa bien « cos ( jr, 4r) + j^ cos (ar, «) + r cos (x, ^) = p. (3)

Cela posé , l'équation (s) démon ire que la somme des trois per*pendicnlaires abaissées des trois projections d'un mâme point M du plan BAC y sur ce même plan ^ est égale k la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées , et par conséquent ce que « la somme des trois pyramides ayant pour base commune une « figure tracée dans un plan, et pour sommets les trois projec- « tions de ce point sur les. trois plans des coordonnées, est égale « à nne pyramide de même base , et qui aurait pour sommet i'ori- « gîne des coordonnées. »

En effet de la. projection P du point M sur le plan des x^y^ abaissons , sur le plan BAC , la perpendiculaire PK , et joignons Af, K ; le triangle MPK , rectangle en K , nous don^ ncra , PK = MP sin PMK =: z sin {z) -, d'après cela , si l'on représente la perpendiculaire PK par «• , et par »' , »^ les deux perpendiculaires abaissées des deux autres projections du point i9f; 90US aurons

ar=r sin(jr), %' =J^sîn(y ), w^ = « sîn(ur),

(8) t\ p«r suite diaprés Véqaation (a),

ce qu'il fallait dëmontrer.

Quant ^ réquation(3) » elle démontre ce théorime de M. Monge i « La somme des trois pvramides ajant pour sommet commun «r un point du plan , et pour base les trois projections d'une <r figure plane , est égale à la pyramide ayant son sommet à l'ori- ^ gine , et ppur base cette ngure. » En effet y le plan BAC étant le plan d'une figure dont l'aire serait représentée par F, multipliant l'équatipn (3) par j F^ nous aurons

^x.Fcos(yyz) + ^jr.FcQs{x,x) + ^z.Fcos(x,y) = ^p.F:

or y ip» F est la solidité de la pyramide ayant son sommet A l'origine , et pour base la figure plane^ et les expressions Fcos (y^ z) ^ F cos CXf z) , F cos (Xjy) représentant les trois projections de la figure F^ les trois termes du premier membre représenteront les trois pyramides i^ant pour sommet un point au plan | et pour base ces trois projections»

Nous allons voir tout-à-rheure que ce dernier théorème n'est qu'un cas particulier d'un autre plus général | et que nous énoncerons après avoir expliqué ce que nous entendrons par projec-?. lion de l'ordre n.

La figure F projettée sur les trois plans des coordonnées donnera les projections du prenyer op4re de cette frgure } ti de nouveau l'pn projette les projections du premier ordre sur le plan de la figure , on aura trois nouvelles figures , qui , projettées sur les trois plans des coordonnées 9 donneront les projections du second ordre : on passera de même des projections du second 0rdre aux projections du troisième, ainsi de suite. D'après cette construction y il est clair que les projections de l'ordre ' n seront au nombre de 3" , et je dis

« Que la pyramide ayant son sommet à Porigine et pour base «r une figure plane , est égale à la somme des 3" pyramides ayant i( pour sommet commun un point du plan de la ngure , et pour « base les 3** projections de l'ordre n de la figure. ».

Pour démontrer ce théorème , nous allons d^abord faire voir que si Pon projette sur le plan de la figure les projections d'un ordre quelconque , la somme des figures qui en résulteront seri^ toujours égale à la figure donnée. £a effet , considérons d'abord les projectipns du premier ordre de U figure Ft elles ont pour expression

F.çosiy^z), F.cos(x,z)j F.çot { jf ,^), .

(9> et leurs projections fff',f^ sur le plaa de la figure seront ? /=Fcos'(jr,*), f'=FQO^-{x]z) , y» = Fcos*(ar,jf ), et par suite

/+/'+/'/ = ^(co»*(ri*) + cos»(:r,^) + GOs«(x,>)); «t comme

cos» ( J, ;p) + cos* (cr , -r) + ces» (a:,^) = i , il s'en suivra

ce qai démontre le dernier principe énoncé pour les projections du premier ordre. Pour rendre ce principe tout-à-fait général , il sufHra donc de faire voir qu'étant démontré pour les projections de l'ordre n^ — i , il l'est aussi pour les projections de l'ordre nj or , représentons par <p , ^% ç", etc., les projections sur le plan de la ngure des projections de l'ordre n — i ; à chacune de ces ligures répondront trois projections de l'ordre n, qui pourront être regardées comme leurs Brojections du premier ordre^ et qui, d'après ce que nous venons de démontrer, donneront chacune sur le plan de la figure trois projections dont la somme lui sera égale. Si donc à la figure 9 répondent les trois 4") ^l^'» 4"^ ; à la figure 9', les trois 4^1 » -^/S 4'/'» «^c. , etc. , il s'en suivra que

9+ 9' 4.eic.=4+4'+4^+4'/+4/+4'/+«t«.^

or, par hjpothèse, ^-f- <P' +e*c-=-F y donc aussi 4'-f'4^+4^+^^c*=^9 ce qu'il fallait démontrer.

Cela posé, puisqu'il est généralement démontré que 9, 9^, ç^^etc. , étant les projections sur le plan de la figure , de sts projections de l'ordre n-p— 1 , qui sont évidemment au nombre de S""" ^ , on a

^ + <p' + etc.==Fj

il en résulte que la pyramide ayant son sommet à l'origine» et pour base la figure F^ est égale à la somme des pyramides ayant même sommet , et pour base les figures 9,9', etc. ; or , chacune de ces dernières est égale à la somme de trois pyramides ayant pour sommet un point du pian , et pour base ses trois pro* jections du premier ordre ^ qui sont trois projections de Tordre n de la figure , il s'ensuivra que la somme de toutes ces pyramides , ou la pyramide, ayant pour sommet l'origine et pour base la figure F j sera égale à la somme de toutes les pyramides ayant leur sommet en un point du plan de la figure , et pour base ht% projections de l'ordre ?t , ce qu'il s'agissait de démontrer.

Solution d'un problème de Géoméirie; parM.Ohwif^vky

M. Hachelte a commaniqaé à la Société phîlomatîque ( séance du 22 mai i8i5 ) une solution synthétique de ce probltlme s Trois circonférences quelconques de grands ou petits cercles , étant tracées sur la surface d'une sphère , trouver une quatrième circonférence tangente aux trois premières. Ce problème , dont M. Carnot a donné une solution analytique dans sa Géométrie de position 9 page 4i 5 y avait été proposé aux élèves de P£co1e polytechnique } M. Olivier Ta résolu très- élégamment en mcnantj par un point donnée un plan tangent à un cône oblique à base circulaire^ Les troi^ cercles étant donnés y M. Olivier fait passer par ces cercles pris deux à deux , trois cônes obliques ( voye^ Supplément de la Géométrie descriptive , par M. HachcUe | pag. 55 ) , et il ne considère d'abord que les trois cônes dont le& sommets sont au-delà des plans des cercles. 11 remarque que le plan tangent à deux de ces cônes , est nécessairement tangent au troisième y et qu'il coupe la sphère suivant un quatrième cercle tangent aux (rois cercles donnés. Ayant donc déterminé le premier cône , et le sommet du second , on mène par ce sommet deux plans tangens au premier €(\ne , et chacun de ces plans contient un des cercles cherchés /ces deux plans se coupent suivant une droite qui contient les sommets des trois cônes.

Les sommets des cônes obliques qui joignent troÎA cercles d'une sphère deux à deux, sont distribués sur quatre droites situées dans le même plan. Par chacune de ces droites, on peut mener deux, plans tangens à l*un quelconque des trois cônes qui ont leurs sommets sur cette droite \ d'où il suit que trois cercles d'une sphère peuvent f en général, être touchés par un quatrième cercle de celte. sphère , de huit manières différentes.

Etant données trois courbes planes d'une surface du second de- 0Té , on détermine , par des considérations semblables , la quatrième courbe plane qui les touche. En effet , il est évident que lorsque deux surfaces du second degré se coupent , la courbe d'in-* tcrsection est , en général ^ composée de deux branches } et si l'une de ces branches est plane, l'autre branche Test nécessairement. D'où il suit que , par deux courbes planes quelconques d'une surface du second degré , on peut toujours mener une surface conique Uu second degré. Ayant déterminé les sommets des cônes qui passent par les trois courbes planes données, on achève la solutioii comme pour les sphères ; en menant des plans tangens à ces cônes*

( it )

propositions relatives aux Courbes et aux Surfaces du second degré; par M. Cuàsles.

I*. « Si j par un point A ( fig. i , pi. a ) » pris dans le plan d'une (( section conique , on mène deu^ droites AU ; AD , puis les quatre ic tangentes RB , RC , TD^ TE^ et les quatre droites SEC y SDB, ce EIB , CW^ les quatre points RySj T^I seront en ligne droite, n

Toute section conique pouvant être regardée comme la perspective d'un cercle , il suffit de démontrer ce théorème pour le cercle, r^ous allons donc faûy voir que y dans un cercle j les trois points ( fig. 9)R,SjI sonWen ligne droite ; la même démonstratioa aurait lieu pour les trois points T^ S, L

xSB

Le triangle *

SB : Sx :: sin SxB : sîn SBx ,

RxlRC:: sin RCx : sin CxR ^

donne { SE: SB y. sin SBE : sin SEB ,

jc :iE :: s\n ce r : sîn Ecr,

JB :IC :: sin JCB : sin jbc.

Multipliant ces proportions terme à terme y et observant que sin SxB = sin CxR , sin SBx = sin ICB , sïnRCx = sin IBC , sin SBE = sifll ECJ , sin SEB = sin CEI , eiRC = RBy

on aura Rx.SE.IR = RB.EI.Sx j

d'où Pon conclut y en considérant le triangle xEB , que les trois points RySfl sont en ligne droite. Ce qu'il fallait prouver. a*. Dans le quadrilatère fi CED (fig. i ) ; on a

AC : AB::oC:oBi ae : ad :: ke : kd,

( Théorie des transversales de M, Carnot , théorème 6. )

Les points fixes o, R déterminent la droite oR} d'oii résulte ce théorème :

ce Si d'un point A , situé ^ans le plan d'une section conique , f( on mène des sécantes ACj AE j . . . : les tangentes aux points ¥ B, €} DyE'y» . , se coupent deux à deux sur une même droite ; ce les droites BD , CE , . . . ainsi que CD y BE , . • • se coupent ff aussi deux à deux sur cette même droite. )i

3^ c( Si d'un point A on mène des droites ACy, . . et qu'on

j . , AC oC , .

fc prenne des points o , ^els que -j^r- = — jr- , les points o seront

AB Oo

f sur ane droite »•

Cette droite snr laquelle se trouvent les points R, Sy Tj /, coupe la courbe en deux points m ^ n , et Àm , ^n sont évidemment tan-t gentes à la courbe. Par conséquent la droite Jin est parallèle au^ conjugué du diamètre jiV, On 9l

Ap : AqW Zp :Zq'y

d'où Ton déduit

TAlYg:: Yq\YZ, YZ^^,

Y étant le centre de la surface (*),

4**. « Si on prolonge les tangentes /ÎC, RB jusqu'à ce qu'elle», rencontrent la tangente y//i en F et G, il esSclair que les droites. FB^ GC st couperont sur US j d'où Ton voit que :

a Quand les trois calés d'un triangle touchent une section co<^. « nî^ue y les trois droites qui unissent les sommets avec les trois. « points de tangence se coupent en un même point. i>

La tangente en m et les droites CB , FG se rencontrent en un même point A , la Ungente en B' et les droites Cn, RGse ren« contreraient aussi en un même point pi en serait de même de la tangente en O et des deux droites 5/i, iîFj ces trois points seraient sur une ligne droite parallèle au conjugué du diamètre passant par le point /.

Puisque les troits droites Rn^ FB ^ GC st coupent en un même point / ^ on a

RC. Fn. GB= RB . Gn . FC,

Ce théorème étant démontré pour un polygone , il est facile de. le prouver pour un polygone d'un côté de plus.

Car soit ( fig. 4 ) un polygone quelconque jiBCDE ) je prolonge EA , BC jusqu'en m : on aura , par hypothèse , dans le polygone mEDC ,

mL.EH.DG. CK = mK. CG.DH.EL :

(*) Si ^ J^(fig. 5] est 1« conjogné de j4Y^ on «an scmblablement YZ' = .— : — - • Supposons que les deux tangentes Am y An soient perpeodicnlaircs entr'eUes, oi^, aura AZr=zZm, « par suite AY -=, YA\ Ainsi YZ =s -^ . rZ' = ^ .

or on a entre YZy YZ ', Yq , Yx , la relation Yq^YZ^ J^iTFz z=, Yq. Yn ;

d^oà Ton déduit AV -= Yp + Yn^ Le second membre est une quanlilé gous-« UDte. Âitiâi le sommet A des deux tangentes se meui sur mb cercfe.

( »3 ) or, dans le triangle vnAB > on a

mK.Bl.AL = mL.Al.BK 5 tanultipliant ces deux équations membre à membre 9 on obtient AL.EH.DG.CK.BI = AI.BK.CG.DH.EL.

5*. « La courbe de contact d'un cône et d'une surface du second « degré est plane, ut

En effet , par le sommet A ( fig. 1 ) du c6iie tangent , je mène une droite quelconque qui coupe la surface en deux points m^ n^ auxquels je conçois les deux plans tangens. Par la droite Rn , je conduis un

Slan qui coupe la surface suivant la courbe nCmBj le cône suivant eux arêtes jRC, RB tangentes à la courbe, et les plans tangens suivant deux droites Am^ An\ la droite BC passera par le point A (4°) \ de plus , elle coupe Rn en un point o , et on aura

•s — = . Ainsi la droite BC passe par un point fixe o • et par

Rm om M*

la droite intersection des deux plaflr tangens en m et n^ laquelle est aussi fixe; donc cette droite BC est toujours dans le même plan. Donc y etc.

Il résulte de cette démonstration que si; d'un point fixe > on mène des droites qui coupeut une surface au second degré^ le lieu géométrique de la droite intersection des plans tangens aux points d'intersection d'une même droite | sera un plan.

Il est évident que , par une courbe olane tracée sur une surface du second degré, on peut mener un cône tangent^ car si , par trois points de cette courbe on mène trois plans tangens , et qu^on conçoive un cône circonscrit à la surface , et ajant son point d'intergection pour sommet , il touchera la surface suivant une courbe plane qui se confondra avec la courbe donnée , puisque ces deux courbes ont trois points communs.

6^. u Si l'une des courbes d'intersection d'nn cône et d'une surface « du second degré est plane , l'autre le sera aussi, n

En effet y suivant la courbe plane qui se projette en CB (fig.i); je mène un cône tangent à la surface ) ]e joins par une droite le sommet R de ce côno) et le sommet S du cône donné ) cette droite rencontre la surface en deux points rh, n, auxquels je mène des plans tangens , ils se coupent suivant une droite située dans le plan CB (5*); par la droite RS^ je mène un planque je suppose être celui de h figure ; il coupe le cône donné suivant deux arêtes SC, SB p et les plans tangens suivant deux droites mA, nA. Les droites CD , BE se couperont en un point / de Ai} , et on aura

-^ = -=— ($•) 9 la droite ED passera par le point A ) de plus ,

on aura -j^t- = rrr^ Or* ^« point o et le point / sont fixes , le

point A l'est donc aussi. Ainsi la droite ED passe toujours par un même point k , et une même droite intersection des deux plans tangens en m et n ^ et par conséquent elle décrit un plan. Donc y etc.

Ou're le cône dont le sommet est en 5 ^ il j en a un autre dont le point I est le sommet.

7*. tt Par deux courbes planes tracées snr une surface du second « deQTç y on peut faire passer deux cônes, n

Par 'la droite intersection des plans des deux courbes , je conçois deux plans taneens à la surface^ et je joins les deux points de tan* gence par une droite mn (iiç. i ). Par cette droite, je mène un plan que je suppose être celui de la figure; il coupe les plans tangens suivant deux droites Am^ An^,^t les plans des deux courbes suivant deux droites AC^ AE , les ^ites CE , BD se rencontrent en S %\iï:'jnn prolongée. Si , par le point S , on mène un cône qui ait la courbe BC pour base^ il coupera la surface suivant une autre courbe plane , dont le plan passera par les points E^ D , et par l'intersection des deux plans tangens en m et n. Donc cette courbe sera la même que la seconde courbe donnée. Ainsi le point S est le sommet d*uQ cône passant par les deux courbes données. Par la même raison y le point / est le sommet d'un second cône. D'ailleurs y les sommets S et J sont liés entre eux par la rc- , . So lo

Les points R , T étant les sommets des cônes tangens , suivant les courbes CB , DE y on voit que les six points il, Ty S y lytriyn sont en ligne droite.

8°. <c L'intersection de deux cônes tangens à nne surface du « second degré y est une courbe plane dont le plan passe par l'in- « tersection de ceux des courbes de contact. »

Car la droite uv passe par le point fixe I et par un point A de la droite intersection des deux plans de contact.

£n combinant deux à deux les trois courbes BC^ ED j^y , on voit qu*on peut mener six cônes dont chacun passe par deux de ces courbes. Les sommets de ces six cônes seront sur une même droite.

On déduit de ce qui précède que :

Si, d'un point fixe><( fig.i), on mène une infinité de droites qui coupent une surface, du second degré , et si , sur chacune de tes

droites j on prend un point / ^ tel que les distances de ce point aut points oïl la droite coupe la surface , soient proportionnelles aux distances du point fixe aux mêmes points ^ le point / engendre un plan.

Si I par un point fixe A , on mène une infinité de droites AC^ AE,..>* et ou'on joigne par des droites CD ^BE y ou CEjBD, les points d'intersection de deux quelconaues de ces droites avec une surface du second degré ^ les points /, S engendreront un plan. Ce plan sera le même que le précédent.

Si un cône est tangent à une surface du second degré ^ et que le plan de contact passe par une droite fixe , le sommet du cône se luouvera sur uxie droite.

Si le plan de la courbe d'intersection de deux cônes tan^ens à une surface du second degré passe toujours par une même droite ^ les sommets des deux cônes engendreront une droite.

Si , par deux sections planes d'une surface du second degré ^ on fait passer deux cônes , leurs sommets engendreront une droite ^ quand las plans des deux courbes passeront par une droite fixe.

Si , à une droi||,file| on substitue un point fixe , le lieu géo-* métrique dessondppts des différeus cônes que nous venons de considérer , sera un jilan.

Si , par un point ^ on mène un cône tangent à une surface du second degré ^ et un autre cône quelconque qui coupe la surface suivant deux courbes planés semblables à la courbe de contact , et que , par ces deux courbes , on fasse passer un second cône , soii sommet sera en un point fixe sur le diamètre qui passe par le point donné.

9". Soient (fig. 5 ) y^, C les sommets de deux cônes tangens à «ne surface du second degré ^ Bj D deux points de leur courbe d'intersection j nij q y Tiyp les points où les arêtes AB , AD y CB , CD touchent la surface , les trois droites mq , np , BD se couperont en un même point 7 de BD y par conséquent on aura

Am.Bn^CféDq = Aq.Dp.Cn.Bm*

Cette équation a lieu y quel que soit le quadrilatère ABCD.

Il estfacile de l'étendre à un pol^^gone quelconque. Donc,

ce Si tous les côtés d'un poljrgone plan ou gauche touchent une « surface du second degré , on aura deux segniens sur chaque « côté y ou sur son prolongement 5 le produit de tous ces segmens ,

qui n'ont pas d'extrémité commune y est égal au produit de tous a les autres, n

lo^ (c Une conrbe plane quelconque est tracée sur une surface

te

« in second degré ;'on la projette sur un plan par un cane ayant « son sommet en un point de la surface pour lequel le plan tangent <c est parallèle an plan de projection , la projection de cette « coaroe sera une courbe semblable à celle qu'on obtiendrait en « coupant la surface par un plan parallèle à celui de projection. »

En effety soient C, O y deux courbes qu'on obtient en coupant la surface par deux plans parallèles à celui de projection. Par la courbe O et la courbe plane A tracée sur la snr/ace^ je fais passer ua cône , il rencontrera te plan de projection suivant une courbe IS semblable à la courbe C , et par conséquent à la courbe C, Or, le plan sécant qui donne la couroe C , se mouvant parallèlement à luimême, et s*ap prochant indéfiniment du plan tangent | la courbe B variera ^ mais sera toujours semblable à la courne C Donc , à la limite j c'est-à-dire au point où le plan sécant devient tangent y la courbe B est encore semblable à la courbe C

Ce qu'il fallait démontrer.

Il résulte delà que , dans les paraboloïdes il existe an plan sur lequel toutes les sections planes se projetent orfhogonalement j suivant des courbes semblables. Ce sont des elliptt| ou des hjrper* boles, suivant que le paraboloïde est elliptique Q^|ljperbolique (*)•

ProblAks.

« Mener sur une surface du second degré une courbe plane , (I tangente à trois autres courbes planes tracées sur cette sur- « face. »

Par les trois courbes 9 on mènera trois cônes oui aient pour sommet commun un point de la surface , tel qu'un plan sécant parallèle au plan tangent en ce point , donne un cercle pour section. On coupera les trois cônes par un plan parallèle à ce plan tangent \ on aura pour sections , trois cercles auxquels on mènera un quatrième cercle tangent. On considérera ce cercle comme la base d'un cône ayant même sommet que les trois autres. Il est évident que ce cône tangent à ces trois-ci^ coupera la surface, suivant un courbe plane tangente aux trois courbes proposées.

Ce problème admet huit solutions , puisque trois cercles tracés sur un plan peuvent étie touchés par un quatrième cercle de huit manières différentes.

Oh résoudra semblablement ,par rapport aux contacts des courbes planes ; tracées sur une surface du second degré , les problèmes relatifs aux contacts des courbes tracés sur un plan. ^ ■ " '

(^) Cette proposition a été démootxée pog. 33o , vol. a de 1« Gomspoadancc.

Soient^ y B, C trois courbes planes tracées sur une surfece dU second degré: par -4 et i5, on pourra faire passer deux cônes, l'un extérieur, auc je représente par {ab) ^ l'aulre inlérieur {a'b*)i De même A et C donneront deux cAnea (ac)^ {a^c' ), B et C, deux autres cônes (bc), {b'c'). Soient y, yS /ô, iô', #, «', les sommets respectifs de ces six cônes. Chacune des huit courbes qui touchent les trois courbes A^ B y C tsi dans un plan Ungent à trois des six cônes I et ces trois cônes seront tous les trois extérieurs, ou deux seront intérieurs , et le troisième extérieur 5 ce qui donne les qnatre systèmes

(ub), {ac), {bc),

(ab), (a^</), (^V),

(a'*'), (a'c'), (Ac),

(a'b^), (ac), (fcV),

a chacute desquels correspondent deux courbes planes tangentes aux trois courbes Ay B^ C. Les sommets des trois cônes de chacun de CCS sjstémes se trouvent donc sur Tintersection de deux plans , et par conséquent en ligne droite* Ainsi

Ces propriétés des surfaces du second degré ont lieu ponr les courbes du mémo ordre , dans lesquelles ou a tracé trois cordes.

Pour s'en convaincre , il suffit de concevoir que la courbe engendre une surface de révolution , en tournant autour d'un de ses axes principaux , et que les trois cordes représentent les projections de trois courbes planes tracées sur la surface^ et dont les plans soient perpendiculaires à celui de la figure. Les sommets des six cônes correspondans à ces trois courbes, seront évidenmient dans le plan de celte figure , et trois à trois en ligne droite*

les points / ^/ / * ' / «®°' ^^ ^»8«e d«>»te >

Propriété (*) des sections coniques.

Une droite se meut parallèlement a elle-même, en touchant une suite d'ellipses qui ont mêmes foyers \ le lieu des points de contact des ellipses et ae la droite mobile, est une hvperbole équilalère , concentrique aux ellipses , et qui passe par les foyers de ces courbes.

{*) GommQmqttée par M. Frégier , admis & TEcoIe polytechnique y^en 181 3. 3. 2

formule âe trigonométrie sphérique ; par M. Paradis i)K MocRiF , professeur de l'Ecole impériale de navi^ gation de Bayoruie.

Nommant a, by c les tl*ois cAtés d'an triangle sphërîque , AfByC les angles respectivement opposés à ces côtés , ia iov* mule connue :

cos r =±= ces a cos 6 -f- sin a sîft i cos C ,

peut être mise sous la forme suivante :

cosc=icos(«-ér)+icos(a+^)+icos(C+(a— fc))+icos(C-(a— ^))

— icos(C+(û+6))— icos(C— (a+6))*

GEOMETRIE DESCRIPTIVE

De la courbe de contact d'un cône ou d'un cylindre ^ et de la surface hélicoïde des filets de la vis trian-^ claire; par M. HacuilTtjs.

JLa surface des filets d^une vis triangulaire, est engendrée par une droite, qui a pour directrices, une hélice tracée sur un cylindre droit à base circulaire , et l'axe de ce cylindre j cet axe qui est aussi l'axe de la vis y est coupé par la droite mobile sous un angle donné , qui est constant pour toutes les positions de cette droite. Nous allons considérer sur cette surface les hélices décrites par les divers points de la droite génératrice , et nous déterminerons snr chacune ae ces hélices y le point où la surface hélicoïde est touchée par un plan mené parallèlement à une droite donnée , ou par un point donné hors la surface.

Remarquons \''\ que tous les plans P tangens à la surface , menés par les points d'une même hélice ^ font avec Taxe de la vis le même angleV puisque chacun d'eux passe par une tangente à l'hélice et parla droite génératrice; a"*, que la projection orthogonale de l'axe de la vis sur l'un quelconque des plans P tangens à la surface hélicoïde y et la droite génératrice contenue dans ce même plan , comprennent un angle ^ , oui ne varie ps , quelque soit le plan tabgent. Si; par un point quelconque de raxe^ on conçoit une suite

('9) (de plans parallèles aux plans menés tangenti'ëUement à la surface par les points d'une même hélice, renveloppéè de ces plans sera un c^he droit y dont on aura facilement la base circulaire sur un plan perpendiculaire à Taxe.

Siipposoni ce cône droit déterminé; on mènera un plan tangentà ce cône parallèlement à une droite donnée ^ ou par un point donnée et on déterminera Taréte de contact. Cette arête sera ta projectioa orthogonale de Taxe de la vis sur un plan parallèle au plan tangent cherché ; donc si y par le sommet du cône droit , on mène dans ce plan parallèle ; une droite qui fasse avec l'arête de contact du cône droit, un angle égal à l'angle dorlné, qu'on a désigné précédemment par la lettre Jï. cette droite sera la parallèle à la génératrice qui passe par le point ae l'hélice , pouî* lequel le plan langent à la surface hélicoïae est parallèle à une droite donnée , ou passe par un point donné; donc la projection de cette parallèle à la génératrice^ sur un plan perpendiculaire à l'axe de la vis, coupera le cercle projection de rhélice , en un point qui déterminera sur cette hélice, les points de contact de la surface hélicôïde ^ et des plans parallèles a une droite donnée^ ou menés par un point donné.

La suite des points déterminés de la même manière appartient à la courbe de contact d'un cône ou d'un cylindre ^ et de la surface hélïcoïde des filets de la vis. Dans le cas où cette surface sera tou* cbée par un cylindre , la projection de la courbe de contact sur le plan perpendiculaire à l'axe de la vis , sera à branches fermées ou à Dracches infinies , selon que l'angle de l'axe de la vis et de la droite génératrice de la surface hélicôïde, sera plus grand ou plus petit qu^ l'angle formé par l'axe de lâ vis, et la droite génératrice du cylindre circonscrit à la surface héHcoïde. Lorsque ces deux ai]gl<>s seront égaux j le nombre des brauches infinies sera réduit à moitié. Pour voir la raison de cette règle , il faut observer qu'à chaque point de la génératrice de la surface hélicôïde, correspondent une hélice , et une suite de plans tangens à là surface , qui passent par les points de rhélice, et qui font avec l'axe de la vis le même âns^Ie; pçur le point de la génératrice à une distance infinie de l'axe de la vis , et pour tous les points de l'hélice infinie qui passe par ce point, l'angle constant des plans tangens P^ menés par les points de l'hélice infinie, avec Taxe de la vis, est égal à l'angle de cet axe et de la génératrice de la surface hélicôïde. La condition pour que l'un des plans tangens P^ soit parallèle à une droite donnée £>, est la même que celle qui doit être satisfaite, pour qu'un cylindre engendré par une droite parallèle à la droite D, touche la sur&ce hélicôïde suivant une courbe^ dont la projection sur un plan perpendiculaire à l'axe de la vis , soit une antre courbe à branches innnies.

'Application de cette méthode au dessin de la vis triangulaire.

Nous avons déjà résolu cette question ( voyet la G>rrespondance, tome 2 f pages 09 et 447 ) ^^ déterminer sur la surface des filets d'une vis triangulaire , la ligne de séparation d'ombre et de lumière dans Phjpothèse des rayons de lumière parallèles entre eux , maïs la méthoae précédente est préférable , parce- qu'elle donne direc* tement les points de cette ligne sur Thélice arête des surfaces supérieure et inférieure des filets , sur les hélices intersections de ces surfaces et du cylindre noyau de la vis , et sur des hélices intermédiaires, en tel nombre qu'il est nécessaire pour tracer la courbe avec exactitude.

Cette construction apprend d'ailleurs quelle doit être rinclinaison du rayon de lumière | pour que la projection de la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur un plan perpendiculaire à Taxe de M vis I soit une courbe fermée ou à branches infinies.

Quand à l'ombre portée , par une courbe quelconque , sur la sorface hélicoïde des nlets , on la construira de la manière la plus simple en coupant d'abord les surfaces supérieure et inférieure des filets par un plan perpendiculaire à l'axe de la vis ^ et en remarquant que cette courbe est constante de forme. L'ayant tracée , on découpera une cherche, ou un patron suivant cette courbe. On considérera ta. li^ne qui porte ombre sur la surface hélicoïde comme la base d'un cylindre y dont les arêtes sont parallèles au rayon de lumière , et on cherchera l'intersection de ce cylindre et de la surface hélicoïde , en coupant ces deux surfaces par une suite de plans perpendiculaires à Taxe de la vis , et en projettant , par un système des droites parallèles au rayon de lumière , toutes les sections sur un plan perpendiculaire à Taxe de la vis.

On construira de cette manière tous les points du contour de l'ombre portée sur la surface hélicoïde , au moyen de deux courbes planes , l'une fixe et l'autre mobile, cette dernière courbe étant une section de la surface hélicoïde , qui varie de position , et dont la forme est çonsUnte.

(ai )

De la sphère qui touche quatre sphères données (suite de l'article , page 4^S-4^9 du 2«. volume) ;

par M. HACHETTE.

Conservant les dénominations précédentes de l'article cité 9 soient de plus €f" j b"'f c"' les coordonnées du centre de la quatrième, sphère donnée y et f" son rayon , supposons que la sphère du rayon fi, dont le centre a pour coordonnées «, $9 i^ soit tangente aux quatre sp'ières données^ Xy r^ z étant les coordonnées du point ou la sphère du rayon f toacne la première sphère > on a l'équation (6) :

d'où Pon tire ^ c=«îldbll:

Substituant cette valeur dans l'équation (fr) (pag. 4^7 ^ tom.a) s

flV(aar— gp — r(r> — r^') '— a(r(r— r') — aa'ar) ' ^ '

Par l'axe des x qui contient les centres des deux premières sphères données y et par le centre de la quatrième sphère, concevons un pian y et faisons tourner ce plan autour de l'axe des x^ jusqu'à ce qu'il soit confondu avec le plan des xy \ rapportant les deux pre-« mières sphères données y ainsi que la quatrième sphère y à ce nouveau plan , en conservant l'origine des coordonnées et l'axe des Xj les coordonnées du centre de la qu atrième sph ère seront a"'| et V^6w+ c"'». Faisant pour abréger V/6'"»4. c"'* s= i?» et désignant par j^' les ordonnées perpendiculaires à Paxe des ar, on aura pour l'équ&tion du plan du petit cerole » lieu de tons les peints de contact de ces trois sphères y et d'une sphère mobile qui KS touche ;

iF)

On obtient cette ëqyatîon en changeant, dans l'ëquation (F) ( pag. 428 , tom. II) , r^ en r"', et b** en B,

Faisant successivement dans l'équation {F') y = 0, a: = o, on aura les valeurs -Y et t^ de x et de x' 9 ^^ correspondent à /' = o , et à ir =05 la droite , dont l'équation est {F' ) , coupera l'axe des à: et Paxe des j"' en deux points^ distans des coordonnées de Torigine des quantités X et F.

Remettant Taxe des y et la poriion Y de cet axe à sa véritable place sur le plan des j--ç , et élevant une perpendiculaire 6ur cet axe par rextrémité de K, cette perpendiculaire sera sur le. plan des jrz la trace du plan du petit cercle , lieu des points de contact des trois sphères qui ont pour rajons r, r', ?" ^ et de la sphère mobile qui les touche. Celte trace coupe Taxe des x ^^

l'axe des z en deux points | dont les coordonnées sont -j-r- et -— ;

en sorte que le plan du petit cercle c^upe les trois axes des x , îles 7^, ^ en trois points distans de Torigine des coordonnées des quantités

BV BY

^' Ipr^ — ^

i^'oii il suit que l'équation de ce plan est :

^yf.t * étant les coordonnées du point de contact de la première Sphère du rayon r, et de la cinquième sphère du rajron ^^ on a pour ce point: >

Des équations (G) , (F//),'et de l'équation (F) (pag. 428, tom. II ) , linéaires en x,^, z^ f^ on tirera la valeur de ^.de Péquation du second degré ( «■ +>'*+' -^^ = '*)• Mettant successivement dans les quatre systèmes dVqualions (F), (F'') la différence r — r^'' des rayons r, r^", ou leur somme r^r"' , on parviendra à huit équa— ' lions du second degré , d'oii l'on tirera les seize valeurs du rayon p de la sphère , qui touche les quaire sphères données des rayons r, r', r^jf r'''. Quand aux coordonnées a^, fiy y, du centre de cette' ^hère tangente ; on tirera leurs valeurs des équations (6) :

fi y r+j

(ai)

mi . ■■* ■ '■ n .

^ole sur une difficulté relative à la rectification des courbes / par M. Poisson.

Si l'on représente par x et j* les coordonnées d\itt point quelconque d'une courbe plane j et par 9 l'arc de la. même courbe qui se termine en ce point, on a^ comme on sait y

ds* = dx^ + dy* y

et le problème de la rectification des courbes, considérj sous l^ point de vue le plus général , consiste à intégrer cette équation dif-^ tcrentielle à trois vanAblcs. Elle est de l'espèce de celles qui ne satis» font pas aux conditions d'intégrabilité , c'est'^à^dire , que Ton ne peut pas y satifaire par une seule équation eux ^jreXz^ qui laisseçait deux de ces variables indépendantes entre elles. Son intégrale générale , telle que M. Monge et M, Lagrange Toat tronréo | e$V représentée par le système de trois équations, savoir t.

j::= ç'a.sin« + 9^«.cos«, jr = 9'«.cos m — ç V» sÎQ «. I,

c étant une nouvelle indéterminée, et 9 « désignant une fonction arbitraire de cette quantité. On peut vérifier , en effet y que l'équa* Mon donnée est satisfaite par ces vaiieurs de x^^j «3 car on en Mrc

<fa: = + cos«,(^« 4* 9'%) du y

</f = — sin « ( ^'« + ^f'a ) dtt^

et par conséquent ds^ = dx^ -{- dy*.

Telle est donc , sous forme finie ^Ja rebtion qni existe danstoutes les courbes possibles entre Tare et les coordonnées. Lorsque la fonction ^« sera donnée j on. aura l'équation de la courbe en éliminant « entre lea valeurs de x et de^, et l'on obtiendra Tare en fonction de Tune des deux coordonnées , en éliminant « entre la valeur de 5 et celle de cette coordonnée. Mais si , an contraire , l'équation de la courbe est donnée en x et ^ , on j substituera les., valeurs précédentes de ces variables , et il en résultera une équationdifférentielle du second ordre par rapport à ç^^, qui devra servir à déterminer cette fonction. Or y il se présente ici une difficulté qu'il. est bon de remarquer : cette équation différentielle étant do second. %f^,t y U. valeur, de f « , tirée de spn intégrale y conlipndf «u

Atux constantes arbitraires; il semble donc que la valeur de s^ sayoir s 5 = f « + ^''« , devra aussi renfermer ces deux constantes , ce qui serait absurde, puisque l'arc indéfini d'une courbe ne comporte j dans son expression , cju'une seule constante arbitraire | dépendante du point fixe d*oii il est compté.

Pour ëclaircir cette ffifficulté, désignons par u=o l'équation je la courbe ; u étant une fonction donnée de x et y. Si l*on j met pour ces coordqnnées leurs valeurs , on ne voit pas d'abord pomment l'équation différentielle qui en résultera , pourra s'inté-r grer en général , et quelle que soit la forme de la fonction u ; mais heureusement elle est du genre de celles qui s'intègrent en commençant par les différcntier. £n effet ^ d'après les valeurs précédentes de <£r et dy^ on aura

(du du \

— .cos a — y-*sin • ) ( 9'« + ^"U)àm J

1-éqqation ^=0 se décomposera doue en deux facteurs , savoir :

du du

ax djr

le premier donne en intégrant

9« -J: ^^'^ =^ consl. ;

et si l'on élimine ^'^ « entre cette équation et u^=to j on aur^ une intégrale premier^; coniplette de u=:o. Quant au second facteur de dwssuOj il ne renferme pas ^^' m , et l'éc|uation qu'vi\ pbtient en l'égalant à xéro , est d^ second ord^e comme u = o : ^minant donc qf^m entre ces deux ëi^uations^

du du .

-^: — .cos a -^ — r^ sm « c=: o , u = o.

daç dy

f n obtiendra une équation du premier ordre j sans constante arbi- Vaire 9 qui séria une solution particulière de u. = 0. Or , main- ^nant on voit que l'intégrale de u ;z= o est étrangère à la question qui npus occupe « puisqu'elle donne une constante pour la quanuté 9« + f^ay qui représente la valeur de Parc i\ c'est donc la solution particulière qui devra servir à déterminer 9a: on en t(irera la valeur de 9' « » sans constante arbitraire , et en intégrant on aura celle de 9«; et par suite celle de s avec une seule constante y ainsi que cela doit être.

La même observation s'applique au cas oii l'on donne l'arc $ en fonction des coordonnées o: et 7* » et où l'on demande l'éqna- ^on de ia cofirbe* £n mettant dans l'équation donnée | à la place

àe X f y et Sf leurs valeurs y on aura une équation différentielle du second ordre, contenant ç«, ç'mj ^^m : ce sera sa solution particulière y et non pas son intégrale qui devra servir à déterminer (p«^ mais comme cette solution particulière contiendra 9« et ^'«, il faudra l'intégrer pour en déduire la valeur de ça, laquelle renfermera ainsi une constante arbitraire. Substituant cette valeur dans celles de x et ^ , et éliminant ensuite « ^ on aura en x ^ y et une seule constante arbitraire , l'équation de la courbe demandée.. On peut remarquer que la difificulté dont nous venons de parler est semblable à celle qui se présente dans la théorie des déye^ ïoppéeSf et que M. Lagrange a édaircie de la même manière. )^orsqnc l'équation de la développée est donnée , celle de la déve^ Ipppante ne peut contenir qu'une seule constante arbitraire , dépendante du point où l'on commence le développement ; cependant , si l'on met dans l'équation donnée j à la place des deux coordonr nées de la développée, leurs valeurs générales, il en résulte une équation différentielle du second ordre ) mais M. Lagrange fait voir que son intégrale complette est l'équation d'un cercle qui a. fion centre sur la courbe donnée , et que cette équation du second ordre admet toujours une solution particulière du premier ordre , qui est proprement l'équation différentielle première de la développante. (Voyez la Théorie des fonctions, page 208 de la seconde éiiition*) ^

Décomposition des fractions rationnelles en d* autres fractions plus simples 5 par M, De Stainville.

Soit ^^ une fraction rationnelle, dont le numérateur soit d'un ^x degré moins élevé que le dénominateur 5 si on suppose que ce dénominateur soit du degré p, et qu'il contienne le facteur x — a un nombre n de fois^ et que , de plus , on substitue a -^jr au lien de X, tant au numérateur qu'au dénominateur, elle se changera en nne autre dans laquelle le dénominateur ne pourra contenir 4e puissances de j, inférieures à n , de sorte qu'elle sera égale à

yn ^ 4. i 1 L. . . . vP .

Si on multiplie le numérateur et le dénominateur de celte fraction par :fj et qu'on fasse ensuite «y c= 1 , elle deviendra

(aG.)

Jï + ^P— *I __^ +JÏ

Le numérateur de cette fraction étant d'un degrë plus élevé que le dénominateur , on peut effectuer h, division et la pousser jus-

3u'à ce qu'on soit parvenu dans le quotient à un terme qui soit e même degré que la plus faible puissance de s dans le numérateur. Si on le représente par -^x" + ^•^"'* + Cz'^'^* +....+ Pr, et qu'on désigne le reste par R y on aura une équation qui , étant débarrassée de ses dénominateurs ^ donnera par la comparaison des termes affectés des mêmes pubsances de r, les équations, suivantes :

^a = A ^ rr ; 4''<* = ^ — î: — + B -^ ;

!.••.« I....n-|rl 1....»

De ces équations il sera facile d*en déduire les valeurs de A^ By C, etc. Les valeurs de ces quantités étant ainsi détermiuées , si

on substituç , tant dans If quotient que dans le reste ^ an lieu

de X, et x — a au lieu de y^ ou aura

<px ~ (X — û)" "^ (X— a)»-' ^ (x— a)»— "^^ ""^ /or "^

fx étant ce que devient çx , lorsqu'on a supprimé dans ce déno«minateur tous les facteurs égaux à x^-^a^ et «x étant un polynôme de degré inférieur àjTxy mais qu'il n'est point nécessaire d'obtenir puur avoir les fractions qui correspondent aux fac-» ^eurs X — bj * — c , etc.

Si on suppose que le factcnr a: -— a ne se trouve qu'une seule fois dans çx, il faudra, pour déterminer 1^ numérateur de la fraction qui carreapond à ce dénominateur , faire o = i dans la. première des équations précédentes, et on trouve

ce qui donne la règle connue^ puisque ^a est le résultat de la. substitution de a à la place de x dans le numérjsiteur de la frac<- ' tion proposée ^ et que ç^a est le résultat de la substitution de a à la place de x dans le coefficient différentiel du dénominateur de cette même fraciion«