ANALYSE

Des principes fondamentauœ (*) et des régies générales du calcul différentiel. ( Extrait des leçons d'Analyse

deM.PoiiîsoT)(*^.

Dams le calcul infinitésimal , on considère les , grandeurs comme formées par l'addition successive de leurs parties homogènes. On Mot nommer ces parties ou différences successives , les élémens do la grandeur; et leur somme recompose la grandeur ménie^ puîsquo c'est en ces élémens qu'on l'avait soi •même décomposée. Cela est numifeste»

Mais comme ces élémens ne seraient pas plus fiiciles à traiter que les grandeurs eiles«>mémes , on prend à leur place d'autres quan<» tités voisines qui soient faciles à évaluer par les premiers principes de la géométrie et du calcul. Si ces quantités voisines , que nous nommerons différentielles , s'approchent beaucoup des différences ou élémens , le résultat s'approchera beaucoup de la vérité : c^est ce

(*) Le programme adopté , il y a deox ans , poar renseignement de l'Ecola FDljrtedniiqtie , porta qv^on espoiara les priocipes da «alcul différentiel pir la coosiiléniioQ des infînimeot petiu , et qu'on fera yoir dans les cas plus simpici p Faocncd de cette méthode avec celle des limites , ou du développement en série.

^**) Cet extrait et le raÎTaot relatif au changement de la Tariable indépendante, doivent être regardés comme dm notes rapides ^u'on a jugé à propos d impciimt ici en iaveoT des Elèves.

Volume 3. 8 *

que Von sent d'abord en général. Mais il J a plus : si les dilTeren» tiellcs sont tellement choisies , qne leurs dernières raisons avec les élémens soient la raison d'égalité, et si le problème dont on sWcupe ne dépend précisément qne de ces dernières raisons , vous pourrez, en tonte rigueur substituer les différentielles aii« élémens vmtabies qne' TOUS -aviez dessein -de considérer, et le calcul infinitésimal , <}oi ne se présentait d'abord <^e comme une méthode d'approximation | deviendra un calcul aussi rigoureux que l'algèbre.

Nous devons donc poser d'abord ce premier principe du calcul infinitésimal , et qne l'on peut nommer le prindpe de l'égalité des dernières raisons : c'est qu'on ne doit jamais prendre , au lieu des différences ou el^mens des grandeurs j que des quanUlés dont la dernière raison avec ces élément soit la raison d'égalité. ■ Ainsi y on se conforme an principe ^ quand on prend dans le segment d'une aire plane , au Heu du trflqpèze curviligne qui est l'élément lui-même ^ le rectangle inscrit ou circonscrit; parce qu'il est manifeste que la dernière raison du rectangle au trapèze est la raison d'égalité.

Mais quoique les deux figures se confondent à la fin , ce serait violer Le principe y que de prendre le petit côté du rectangle pour le petit côté adjacent du trapèze ; parce que leur dernière raison n'étant pas l'unité , vous seriez conduit y par exemple j à cette erreur grossière, que la longueur de la courbe est égale à celle de Tabcisse qui lui correspond. Mais vous pourrez très-bien prendre pour le

1>etit côté du Irapèze ou pour la différentielle de l'arc , la corde <]ui e*soustend.; parce que la dernière raison de l'arc à Ja corde est la raison d'égalité.

Vous vojez de quelle importance est ce premier principe fondamental , et avec quel soin vous devez l'observer , puisque des choses qui paraissent se confondre dans l'infini , ne peuvent néan« moins être prises l'une pour l'autre à cette limite.

Un autre principe non moins important , est celui qn'on peut nommer le principe de l'homojgénéité , et qui veut que les d^fé^ rentielleSf quelque petites qu'on tes suppose^ soient toujours de même nature que les grandeurs que l'on considère. C'est à la vérité co qu'on a sous^entendu dans le principe de Tégalité des dernières raisons : car on ne peut considérer le rapport de la différentielle à la dif* férence^ sans les supposer homogènes;«t desontsôlé, la différence est une partie de la grandeur aussi homogène avec elle par hypothèse. Mais comme dans les applications de la méthode des infiniment petits p ce principe pourrait quelquefois nous échapper ^ je ne crois

pas in«t])e de le rappeler à votre esprit ^ et de voua le faire ici partîcahèrenieiit remarquer.

Ainsi y la différentielle d'un solide qnc Ton suppose coupé en une snite de tranchesipar des plans parallèles équidistaus^ serait elle-même ône tranohe prisHiatîqtte solicte ; la différentielle de cette tranche prise de k même manière ^ et la différentielle de cette seconde diffé-^ reudelle, seraient encore des solides. Ëtquoiaue les rapports du s«lide à la tianche, de la tranche à la colonne rbornooidale , et de celle-ci au petit rhomboïde, puissent devenir infinis, auquel cas ces différentielles «uooessives seraient des infiniment petits duf ., du a*, et du 3*. ordre ; H n'en faudrait pas moins les considérer comme des solides parfaitement homogènes entre eux. £t de wskème, il faudra toujours regarder la différentielle d'une surface, comme une surface ^ et celle d'une ligne, comme une ligne.

Maïs on violerait le principe de l'homogénéité , en regardant un solide comme compose d'un nombre infini de surfaces^ la sur" £ice , comme composée d'nne infinité de lignes : et la ligne , d'une infinité de points. Par là, on pourrait également tomber dans des erreurs grossières 5 et si on les évite dans la méthode des indivinbUs de Camllieri , c'est qu'on £ut une supposition tacite conforme an principe précédent. Ainsi , par cette méthode , si deux triangles de même base «t de même hauteur sont égaux, ce n^est point parce qu'ils sont composés d'np même nombre de lignes égales et parailèles , mais parce qu'on y peut tracer le même nombre àé ces figues égales êoMUes é^uidistantes } de sorte qu?on a tacitement égard à la conmmne largeur des tigiMs ou ç\at6t des ziônes ^'on iiuiagine dans les deux triangles que l'on considère,

Tels sont les deux principes fondamentaux du calcul infinitéaimai i ils renferment iadéfinition rigoureuse de et que l'on nomme nae ^tifférentielle. La d^mnUeUe est une partie de la différence ^ mais dont Ut dernière raison 01^0 ceUe différsace est l'unité '^ et dans toutes les applications k la géométrie , à la mécanique et à la phfsiqne^il ne &ut jamais peràre do vue que les diftérentiellea âonrcnt:étre homogcnes avec les grandeurs mêmes que Ton considère , comme cela résulte évidemment de la nature des choses*

1a partie du calcul infinitésimal , qui apprend à trouver ces différentielles dont la dernière raison avec les différences est la raison ^'égalité , s'afi^lle le cqlcul différentieL L'autre partie qui apprend à trouver la somme de ce nombre infini de différentielles, l'appelle le calcul intégral y c'tzl l'inverse du calcul différentiel; et l'objet de ces calculs est la solution de tous les problèmes qui ne ilépendent que des dernières raisons<

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Mais pnîsqne, par la définition toémc des différentielles, le cal* cul ne peut être exact que dans les problèmes qui dépendent de leurs dernières raisons, et non pas de ces quantîlés mêmes ^ il semble qu^on ne devrait exprimer par aucun nom , ni marquer par aucun signe ces différentielles qui n'existent pas ^ mais qu'il niadrait uniquement représenter les limites de leurs rapports, eu ces dernières raisons qui nous occupent , et qui seules demeurent quand les différentielles s'évanouissent. On conserverait par là j et dans le langage, et dans les signes, la rigueur même qui est dans nos conceptions. C'est en effet ce que l'on peut facilement obtenir, comme on le voit dans le calcul des fluxions de Newton , et dans la théorie des fonctions dérivées de M. de Lagrange. Car les fluxions des quantités variables , ou les vitesses avec lesquelles ces quantités sont supposées croître et se former à chaque instant, ne sont autre chose que les dernières raisons de leurs accroissemens â Taccroissement de la variable uniforme , dont elles sont regardées comme des fonctions ; et il en est de même des fonctions dérivées qui sont hs fluxions successives les unes des autres. Mais ce premier artifice qui traite en apparence les différentielles comme de véritables quantités, est aussi siir que ces méthodes , et il est bien plus commode dans les applications à la géométrie et à la mécanique. Le calcul a au fond les mêmes principes , et dans, le langage on rappelé tout à la même exactitude ^'en nommant ces différentielles et ces élémens . des infiniment petits ; ce qui fait souvenir qu'on ne doit regarder à la fin que les limites de leurs rapports ; ou s'il s'agit de la somme des oifférentielles , qu'on ne doit également regarder que la limite vers laquelle cette somme converge à mesure que le^ différentielles diminuent. Car je remarque que CCS sommes de différentielles ont des limites aussi bien oue les rapports dont on vient de parler : si chaque différentielle diminue sans cesse, d'un autre côté leur nombre augmente, et la somme de ces quantités , dont chacune tend à s'évanouir , a pourtant une limite existante qui est la somme des élémens eux-mêmes, et qui se confond rigoureusement avec la grandeur que l'on voulait Irouver.

Ainsi , l'on révient toujours d'une manière naturelle an calcul de ces infiniment petits , dont on cherche les rapports , s'il faut mesurer les affections des grandeurs qui varient par nuances in* sensibles , ou qu'on prend en nombre infini , s'il s'agit de mesurer ces grandeurs elles-mêmes. Cette méthode est la plus directe et la plus féconde , parce Qu'elle est la plus conforme a l'idée qu'on se lait naturellement de la génération des grandenrs.

Il reste donc maintenant à établir les règles du calcul infinitésimal y et d'abord celles du calcul différentiel y qui apprennent à trouver la différentielle de toute fonction d'une variable 3 ce qui s'appelle différenlier.

Ces ^règles générales nous sont bien connues , et elles ne laissent absolument rien à désirer y comme nous le verrons tout à l'heure. Mais auparavant y il convient d'établir un point important sur l'expression générale de la différentielle d'une fonction.

La différentielle d'une fonction (quelconque y it x peut toujours être prise de la forme Xdx y X étant une fonction finie de :r , et dx désignant la différentielle de la variable x. De sort* que toutes les règles du calcul différentiel en lui-même se réduisent à trouver cette fonction X, qu'on peut nommer la Jonction différentielle.

Considérez y en effet y une quantité y qui dépende continuellement d'une autre x par une loi quelconque y y sera ce qu'on appelle une fonction de a: , et cette fonction variera d'une manière continue en même tems que x , sans quoi elle ne dépendrait pas continuellement de x , comme on le suppose | et n'en serait point une fonction.

Si donc X change et s'augmente de la différence A« , 7* changera aussi et s'augmentera ou diminuera d'une certaine quantité que

je nommerai A^*; et l'on pourra considérer le rapport — ^ de

l'accroissement de la fonction à celui de la variable. Si Ax dimi«

nne y Ay diminuera aussi , puisque ces deux quantités sont nulles

en même tems, et qu'elles changent d'une manière continue. Maia

(juoique Ax ei Ajr diminuent ensemble et s'évanouissent à-la- fois ^

ay leur rapport — ^ peut bien ne pas diminuer jusqu'à zéro , ni

croître jusqu'à l'infini , mais tendre sans cesse vers une valeur finie et qui en sera la limite. On en peut voir une foule d'exemples ;

ainsi la fonction y étant , je suppose a:», la limite de sera 2x;

Ay û la fonction était ar**, la limite de — ^ serait mx"»-" 5 pour

Ax '^

yzssmXfil est aisé de prouver qu'elle est cos x'y etc. On peut

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même dire que, le rapport de deux choses homogènes ne dëpen-* dant ni de leur nature ni de leurs grandeurs absolues , par la

définition même du rapport , la quantité a toujours une li-

mite ; et c'est ce que la considération d'une courbe et de sa tangente dont l'existence n'est pas douteuse , fait voir d'ailleors nvec la dernière évidence,

Ay Ainsi, ^ étant une fonction, quelconque de ar, le rapport — ^

de l'accroissement de la fonction y, à l'accroissement simultanée de la variable a: , a une limite qui ne dépend plus que de x ^ et «ui est ainsi une fonction nouvelle de x. En désignant donc

cette fonction par X, on aurait : limite du rapport - — = X. Or,

îl est permis de supposer que la différence Ajr est égale à -X Aar, plus une certaine fonction de x ti Ax, que je désigne par ^(ar, Ax); ainsi on aura A^c=Xa« -4- 9 (ar, Ax). Mais d'après ce que nous avons dit^ il suffirait de prendre pour différentielle^ la première partie XAx^sîIb dernière raison de Xa x à la différence entière AAa: + 9(ar,Aar) était l'unité. Prenant donc le rapport, et divisant de part et d'autre par Aa?, on trouve:

'-XAa: + (p(ar,Aar) Aa: , <p(a p, Aa?) « « j^ = *+ Xax •

Mais la quantité ^^^^^"^^ = ^ — X est nulle a la limite zéro T Aa: Aa:

Av de A a: 9 sans quoi X ne représenterait pas la limite de — ^

Aa:

contre l'hypothèse. On a donc à la limite de A a: , le rapport de la partie XAar à la différence XAa: ^ ^{x^ Ax^ égal à l'unité. Donc on peut prendre XAa: pour ^expression de la différentielle de f ; et changeant la caractéristique A en <2 , pour marquer qu'on passe aux différentielles | on aura ày = Xdx \ ce qu'il fallait démontrer.

Il ne s'agît donc actnellenaent que de voir comment on peut trouver ce coefficient différentiel X pour toutes les fonctions ; et c'est ce que nous pouvons réduire aux tro» règles saiyanles qat j'exprimerai sur-le-champ dans ce tableau.

Règles du calcul drffereruieL

Soit rsnfx /équation où r «st tu directement comme fonction de jr ; on aura cette première règle**

. -^ss — ,alalmnte(o)dcAx, 5:r^.

Smtjrzr:/ ip) ip éunt fonction de dr ), on aora cette seconde

T ^ — fiP + à.p)—fp ,,,..,, V , ^ dy dp