er L ^ a la limite (o) de A* , as

djc Ax ' ^ ' ^ dp dx

étant deux fonctions de jd)^ o* anra

tte troisième règles

cette

^ A JT ' ^ ^ ^ dp dsTdq dq

La première règle n'est an fond qae la définition du coefficient dy diCRrentiel -r — > et ne donne évidemment aucun moyen de le

découvrir I à moins qu'on ne particularisa la fonction /x«

Mais la seconde règle fait voir que , si l'en savait dilTërentier nne fonction simple , on saurait aussi dif féreutier une fonction de fonction. Elle se démontre facilement en mettant l'expression

AX Ap Ax' ^ '

la limite, devient^ en vertu de la première règle : "j— j^-

Ainsi , pour différentier une fonction de p ^ p étant une fonction de « y il faut différentier la fonction par rapport à p , considérée comme une simple variable y puis différentier p par rapport à x, et nmlliplier ces coef&cieus oifférentiels.

Et si l'on avait r=:/(P) • Pétant fonction de p qui est fonction . /,. ^ dr àr dp . dP dP dp

de x • on aurait d'abord : -r-="7rr "T" i «»*** •j~='T~"' j # ' iix dP dx dx dp dx^

dr dr dP dp .' . j

et par conséquent "r^=5n"Tî — Zi^ et ainsi de suite,

I« UuiêHmê rèfjk apprend ^e pour di£Eérentier une foactifl»

àe deux fonctions p et g de x y il faut diffërenlier sucoessîvement par rapport à chacune d'elles , considérée comme seule variable , et ajouter ces fonctions différentielles.

Cette règle peut se démontrer assez facilement de cette manière :

Supposez que , dans la fonction proposée qui est yz=zf(pyg), p croisse seule d'abord de Af y par la substitution de x -^ A x à la place de x, dans cette fonction seule j jr deviendrai j-,=f[p^Ap, g) t et si à présent q seule croît de même à son tour de Aq^jr, deviendra

deux fonctions p et q.

Mais au lieu de prendre tout. d'un coup la diflEérence dey à j^^, il est évident qu'on peut prendre d'abord la différence de j* à y-/, prendre ensuite celle de jr,^^ T^, et ajouter ces deux différences. On aura donc: m—jr oa £kjr={jr,—jr) + ( m— Xi ) > «t divi-

santparAx, •^= ^f"^ + Tu— y» ^ c'est-à^irc,