Parmi oes équations , il s'en trouve de la forme

(j« J^){Ky /ik^) = o, et celles-là sont en nombre

r "(^ -^ ^) j\ çUeg n'apprennent rien sur les valeurs abso* lues des quantités cherchées, mais elles montrent qu'on ne peut résoudre la question qu'en prenant les n termes ^ tek qu'il n'y

en ait pas deux qui soient égaux.

7 Telles sont les conditions générales auxquelles sont assuletties les an constantes J, K, Quant a ^, qui du reste est arbitraire, il est évident que, pour chaque solution, il doit être au moins égal à la plus grande des valeurs numériques

de D — d.

8 On peut égaler à zéro l'un des termes 7, et en même tems Fun de ceux K, sans que T perde la propriété d'indi- <mer les arrangeraens qui répondent aux vateura données de jy j. n est aisé de se rendre compte de ce fait en observant que, dès qu'on connaît les lots de »— i actionnaires, ou

(389 ) ïes rang» de it-»i billets^ il n'y a plus d'incertitude sur le hort du w^'.

9. La manière dont sont composées les équations mentionnées cN dessus, montre , d'une part, que, si on veut limiter la mu1-> titude des solutions que comporte le problème, on peut disposer

à volonté de tous les termes de l'un des systèmes ^ , en s'as-

treienant toutefois à les prendre dîlFérens entr^enx ( S ^ ) ; de Pautre, elle fait toir que si, à l'un de ces systèmes , on substitue ; dans un ordre quelconque , les termes consécutifs d'une progression par différence , le nombre des équations se réduit à moitié. Nous remplacerons donc chaque coefiicient K par l'ud des A termes de cette progression

tontes les équations s'abaissent alors d'un degré et deviennent linéaires.

10. Reste à statuer sur les quantités /, dont deux quelconoues,. J' et J*, par exemple , sont arbitraires , mais qui , toutes , doivent être distinctes (^ b) ; les limites inférieures des it «- a autres sont des fonctions de n; et on en facilite beaucoup la recherche

en supposant d'abord que, dans chaque système »-> les lettres

affectées des plus forts exposans représentent les plus grand» nombres. D'après cette convention , faisant J' = o ( S 8 ) , J" = 1 , on reconnaît que , de toutes les valeurs de J^ qu'il faut exclure , la plus haute est donnée par l'équation

dont la racine est n — 1 . Donc J'=:n est admissible. De même , la limite inférieure de 7'^ se tiré de

dont la racine est i + ii(/i — 1) ; d'où 7*^=2+ '^('» — 0' En poursuivant, on trouve que

conduit à 7^= an 4- (/i — i)[a + n(n^ i)] , et

+ J'{K^^K') + r^K'^-^K") = o à J** = n+a + n(n— + (n— 0{a'»+C»— 0[a4-n(»— 03}- Ainsi des autres.

II. En adoptant ainsi une solution particulière i le tableau T* peut être réduit au système des permutations des numéros, dispoiiées selon la progression des valeurs de d, avec lesquelles elles sont appariées. Ces aeux suites conjuguées , dont Tune est littérale et 1 autre numérique , retraceront au premier coup d*œil toutes les circonstances du tirage des billets»

Et , puisqu'il suffit de connaître les lots de n — i partenaires , on pourra supprimer la dernière lettre de chacun des groupes de la première série, qui, ne présentant plus alors que Ten--' semble des combinabons n — i à n — i des n numéros , donnera tous les arrangemens que peuvent prendre les billets à l'égard des n— >i premières personnes.

Nous allons appliquer cette théorie à quelques exemples qui fourniront autant de théorèmes particuliers propres à faire découvrir, par une seule interrogation, comment 3, 4i ^>

choses quelconques ont été réparties entre 3, 4> ^>

personnes , respectivement.

(Art. la.)

Pour n = 3, le système

est représenté par la série

Et , comme on est maître de transposer les termes ( S ^ ) » nous prendrons

J=i, J^=3, J^=o, et, A'=i, K'zzza, K'=o.

Le maximum de D — £l est alors égal à 7. Posant donc Z>= 8 ( S 7) > il vient , pour les six valeun de d^ classées par ordre de grandeur,

et les combmaîsons des trois billets, pris deux àdenx(^ir)^ •ont respectivement

AE, m, EA, lA, El, AI;

d'où Ton tire cette règle : u Pour deviner comment tç)is numé* 9) ros, A, E, I, ou trois objets quelconques, ont été distrii bues à trois individus ,

n après » aToir » donné

9 an

actionnaire

dé-

cartes, on jetons; posez-en 8 autres, en prescrivant que celui ^i a le biJIet

Ifou , I de jet( que TOUS I Nu'il e soyez témoin| o |déjà reçus.

V Cela fait^ demandez ce qu*il reste des huit jetons; le nombre

prenne k cel i ifois autant ilêp6t,etsans|^ | de jetons "en II

(3gi )

T) qu'on accusera étant nécessairement un de ceux que renferme 7*, T> cherchez au tableau la permutation correspondante^ et vous 7) saurez quel numéro chacun a pris, y*

Je suppose qu'il reste ciiia jetons. Le groupe lÀ placé , dans l'index 7^ en regard du nombre 5 , m*apprend que , aans ce cas, les billets I, A sont tombés en partage aux première et deuxième personnes , respectivement.

Cette récréation mathématique est connue sous le nom de Tour des trois bijoux. On peut en varier l'exécution d'une infinité de manières, en modifiant convenablement les nombres

Pour jeter pins de merveilleux sur cette ingénieuse divination , et aussi pour soulager la mémoire , on a imaginé de lier les six couples de voyelles

A£ JE £A lA El AI

par ce vers hexamètre :