En effet : le produit i X a X 3 x»= wi , exprimant

de combien de manières différentes on peut distribuer n choses entre n individus, D^^d nest susceptible que de m valeurs dont on figurera le tableau en parcourant successivement tous les changemens d*ordre que peuvent subir les billets entre lea sociétaires. Ainsi , la première de ces valeurs étant

on formera les m — i autres en . laissant à leurs places les coefficiens Ky et en permutant les lettres J jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les arrangemens quelles peuvent avoir; d'où Ton voit que chaque expression algébrique de \D — d se composera de la somme des n coefEciens A*, ordonnés selon leurs accens , et multipliés , chacun , par l'un des termes 7. Ce tableau , que , pour abréger, nous désignerons par Ty indiquera, d'une part , tous les cas possibles de la repartition des n numéros; de l'autre, il exprimera les relations qui lient la variable d aux constantes ' J^ K ^ D,

Or, comme on est maître de ces dernières , on les choisira

telles , que de toutes les valeurs résultantes de Z> — J , il n'y

en ait pas deux qui soient numériquement égales. Par ce moyen ,

aussitôt qu'on sait quelle est la quantité a de jetons restans^

<S88) il suffit de îeter les .yeux sur la formule T pour conclure quelle «st la disposition des billets à Tégard des personnes.

4. Voici maintenant une oiétbcKle pour faire ce choix convenable des oanstantes.

Si l'on prend deux à deux toutes les expressions de D — d ,

en les sourtrayant l'une de l'autre , on obti^dra — ^-^^ — - différences dont aucune ne devt-a s'annuler lorsqu'on y remplacera les signes J et K par les nombres qu'ils représentent , et tonte hypothèse qui ferait évanouir une seule de Ces différences ne serait pas admissible.

Donc, si l'on égale à zéro toutes les différences ainsi formées , et qu'on traite séparément chacune des équations résultantes , en y regardant comme variables celles des inconnues J et K qu'elte contient, l'ensemble détentes les racines entières et positives de oes équations individuelles fera connaître les séries de nombres qu'il faut exclure dans les suppositions à faire sur ces inconnues. La difficulté se trouve ainsi ramenée à une discussion régulière d'analyse indéterminée.