A,B,VA^ 1 AB~"VA

D'un autre côté, 00, étant sensiblement égal à OV, le triangle GTC,, rectangle en T, peut être assimilé à un triangle isocèle, puisque Tangle C, est très-voisin de 45®. ■

♦ 91. Carte de France. — Tout le monde connaît la magnifique carte de France dressée par les officiers du corps d'étatmajor; nous allons exposer sommairement le système adopté

Fig. 6S.

dans la construction de cette carte. Il s'agissait de représenter la portion de la surface du globe comprise entre les deux paral-« lèles de 40® et de 50® (latitude boréale) et les deux méridiens de 6® (longitudes occidentale et orientale). Voici la méthode qui a été suivie (fig. 62 et 63) :

88 OOSMOGIUPHIB éuSMENTAIRE.

Imaginons un cône circonscrit à la terre le long du parallèle moyen de 45*, et supposons ensuite ce cône ouvert et développé sur un plan de part et d*autre de la génératrice SD, tangente au méridien de Paris. Le méridien moyen, celui de Paris, sera alors représenté par la droite f^d. et le parallèle moyen par un arc de cercle décrit du point S comme centre avec un rayon Sd=SD=R (rayon de la terre).

Pour les autres parallèles tels que AA' et BB', par exemple, on ne suppose pas leurs plans prolongés jusqu'à la surface conique, mais on porte sur la droite SD des longueurs exactement égales aux arcs DB et DA, de sorte que, pour avoir les positions des points a et b sur la carte, il suffit dé porter sur le méridien moyen, de part et d'autre du point d, des longueurs égales à Tare de 5*, longueurs qu'on peut ''icilement calculer à l'aide de la formule

. icRn

En décrivant ensuite deux arcs de cercle du point S comme centre avec les rayons Sa et S6, on a les deux parallèles qui limitent la portion de surface à représenter, dans le sens de la latitude.

Procédons maintenant au tracé des méridiens, de degré en degré. Pour cela, calculons la longueur de l'arc de 1® sur le parallèle moyen et ensuite sur les autres parallèles, puis portons ces longueurs sur les différents parallèles, de part et d'autre du méridien moyen. Nous obtenons ainsi, pour chaque méridien, un certain nombre de points; en unissant tous ces points par un trait continu, nous ayons la représentation du méridien ; nous n'avons tracé sur la figure que les méridiens limites.

Il résulte de ce mode de construction que les lignes courbes qui représentent les méridiens sur la carte sont sensiblement perpendiculaires aux parallèles, comme cela a réellement lieu sur la sphère.

Ce système offre aussi l'avantoge de ne pas altérer les surfaces. L'aire MNGL sur la sphère et l'aire mngl qui la représente sur la carte ont la môme valeur. En effet, on peut assimiler la figure MNGL (fig. 6k et 65) à un trapèze rectiïigne : l'aire de cette figure est donc exprimée par

[M±Çt]EF.

D'Un autre côté, Taire mngl est égale à

(pn+gÇ^ eA

Fig. 64k.

Fig. M.

Or, ef=^EF et les longueurs mn^gl sont respectivement égales à MN et GL. Les deux aires sont donc égales.

* 92. Cartes marines. — Les cartes marines sont généralement construites diaprés le système de Mercator. Imaginons un cylindre circonscrit à la sphère terrestre le long de Téquateur, et supposons les plans des divers méridiens prolongés jusqu'à la surface cylindrique qu'ils couperont suivant des génératrices. Développons maintenant le cylindre sur le plan tangent à la sphère, de part et d'autre du méridien pris pour origine. Les. méridiens seront représentés sur ce plan par des droites parallèles perpendiculaires à l'équateur. Si l'on représente les méridiens de degré en degré, on aura autant de parallèles équidistantes.

Les parallèles sont aussi représentés par des droites toutes parallèles à l'équateur, mais ce ne sont plus leurs latitudes qui mesurent leurs distances à l'équateur. En effet, l'avantage de ce développement consiste en ce que deux lignes quelconques tracées sur la carte se coupent sous le même angle que les courbes correspondantes tracées sur la sphère. Or, on ne peut arriver à ce résultat qu'en faisant croître les distances des différents parallèles à l'équateur plus rapidement que leurs latitudes; ces distances se calculent à Vaide d'une formule particulière.

11 est assez facile de faire ressortir l'importance de la conservation des angles. Le plus court chemin d'un point à un aulrc sur la surface de la sphère est Tare du grand cercle qui

COSMOGRAPHIE ÂLÉMENTAIRE.

joint ces deux points. Mais, en mer, lorsqu'on veut aller d*un point à un autre, il n'est pas facile de se diriger suivant Tare de grand cercle qui joint le point de départ au point d'arrivée. En effet, la boussole donnant la direction du méridien du lieu où Ton se trouve, c'est aux méridiens qu'on doit traverser successivement qu'il faut rapporter la route à suivre pour atteindre le but du voyage. Mais l'arc de grand cercle fait avec les différents méridiens des angles variables : il faudrait donc calculer d'avance ces différents angles pour pouvoir guider le vaisseau suivant l'arc de cercle qui joint les deux points extrêmes. Qu'un accident quelconque fasse dévier le vaisseau de sa route, de nouveaux calculs deviendront nécessaires I Ces inconvénients disparaissent lorsque les marins, au

lieu de suivre l'arc du grand cercle, se dirigent suivant la courbe qui coupe tous les méridiens sous le même angle. Dans le développement de Mercator, les méridiens étant figurés par des droites parallèles, la courbe à suivre est représentée sur la carte par une droile. On mesure l'angle que fait cette droite avec les méridiens, et l'on indique sa valeur au pilote chargé du soin de diriger le navire (fîg. 66). Celui-ci peut alors, en se guidant sur sa boussole, traverser sous cet angle constant les méridiens successifs. Si une cause quelconque vient jeter le navire en dehors de sa route, on vérifie la nouvelle position, puis, joignant le point où l'on se trouve au point d'arrivée, on obtient le nouvel angle sous lequel le navire doit désormais traverser les méridiens successifs.