CP PE PP=PD

d'où CPXPD = PEXPF.

Donc MP«=CPXPD.

Cela* posé, il va nous être facile de démontrer la première «ropriété des projections stéréographiques (fig. 56). Le point dei vue» le centre d» la spihèïe et la eentre 4u «eroiç

Fig. 54.

à projeter déterminent un plan qui coupe la sphère suivant un grand cercle. Prenons ce plan pour plan du dessin ; le cercle à projeter est représenté par son diamètre AB et le plan du tableau par la droite TT, perpendiculaire à OV. Les droites menées du point de vue aux différents points de la circonférence AB engendrent la surface d'un cône oblique à base circulaire, et la projection stéréographique de la circonférence de base n*est autre chose que la section de la surface conique par le plan du tableau. Mais AVB est la section principale du cône oblique : il nous reste donc à faire voir, pour démontrer notre proposition, que la section du cône par le plan du tableau TT' est précisément la section antiparallèle. Or, cela est évident, car le plan du tableau est perpendiculaire au plan du dessin, c'est-à-dire au plan de la section principale, et les deux angles DGV et BAV sont égaux comme ayant même mesure.

Démonstration de la deuxième proposition : L'angle de deux lignes courbes tracées sur la sphère est égal à l'angle de leurs projections.

Nous savons que l'angle de deux courbes n'est autre que l'angle formé par les tangentes à ces courbes menées à leur point

rig. 55.

Fig. 56.

d'intersection. Soient donc MR et MS les tangentes aux deux 20urbes qui se coupent en M sur la sphère, TT le plan du ta-

COSMOGRAPHIE ELEMENTAIKE.

bleau, HH' le plan tangent à ia sphère mené par le point de vue V ; ce plan est parallèle au plan du tableau (fig. 56). La droite MV et les deux droites MR et MS percent le plan TT aux points m, r et s. Les deux tangentes ont donc pour projections les droites fur et ms, et tout sera démontré lorsque nous aurons prouvé Pégalité des angles RMS et rms. Joignons au point V les deux points R et S où les tangentes percent le plan tangent à la sphère, et menons la droite RS. Les quatre droites RV, SV, rtn et sm, sont parallèles deux à deux comme intersection de deux plans parallèles par un troisième : les angles RVS et rms sont donc égaux. D'ailleurs les deux triangles RVS et RMS sont égaux, comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun, savoir : RS commun, RV=RM et SV=SM comme tangentes à la sphère issues d'un même point extérieur : donc: angle RVS =: RMS et, par suite, angle RMS= angle rms.

* 88. Projection stërëographlque d'un hëmispliére sur le plan de rëquateur. — Remarquons d'abord que les méridiens ont pour diamètre commun la ligne des pôles à l'extrémité de laquelle se trouve le point de vue : les demi-méridiens se projetteront donc suivant des rayons. Quant aux parallèles, leurs projections seront évidemment des cercles ayant pour centre commun le centre môme de l'équateur (fig. 57).

E El

Fig. 58.

Traçons donc la circonférence de l'équateur avec un rayon arbitraire, et soit 0,E| le rayon qui représente le demi-méridien pris pour origine; 0,E/, prolongement de E,0,, sera laprojec^ lion du demi-méridien dont la longitude est 180^, et nous obtiendrons ensuite les projections des autres demi-méridiens, de

LA TERRG.

30^ en 30®, par exemple, en partageant chaque demi-circonférence en six parties égales à partir du point E, (fig. 68).

Il nous reste à indiquer comment on peut obtenir la projectios d'un parallèle : supposons qu*il s'agisse du parallèle de 30®. Nous savons déjà que le centre de ce parallèle se projette en 0| : il nous suffira donc de déterminer la projection d'un des points de sa circonférence; cherchons la projection du point D. Faisons tourner le plan du demi-méridien PË autour de EO comme char^ nière, d'avant en arrière, jusqu'à ce qu'il soit rabattu sur le plan de l'équateur. Le point de vue V se rabattra en V à 90® du point E, et le point D en M sur l'autre demi-circonférence à 30® du point E; ces deux points s'obtiennent sur la carte avec la plus grande facilité. Pendant ce mouvement, le point D, qui se trouve sur la charnière est demeuré invariable : on obtiendra donc ce point sur lacarte en joignant les deux points V et M,. Nous n'aurons plus alors qu'à décrire une circonférence du point 0, comme centre avec 0,D, pour rayon. Cette construction est évidemment applicable à tous les parallèles, quelle qu'en soit la latitude. * 89. Projection stérëograpliique sur le méridien de Paris. — Supposons maintenant qu'on prenne le plan d'un méridien pour plan du tableau et que ce méridien soit celui de Paris. Le point de vue se trouve alors sur la circonférence de l'équa-

'" acKw, 90"

Fig. 60.

teur à 90® du méridien de Paris. La ligne des pôles est ellemême sa projection stéréographique, et elle est en même temps la projection du méridien dont le plan est perpendiculaire à celai de Paris. Soit PEP'E' le plan du tableau, PEP' le méridien de Paris, PE'P' le méridien dont la longitude est 180®, PP' la ligne des pôles et ËE' Téquateur, (flg. 59 et 60).

86 COSMOGRAPHIE éLéMEMTAIRB.

Dans notre hypothèse, les méridiens et les parallèles se projetteront suivant des circonférences de cercle. Occupons-nous d'abord du tracé des méridiens. Leurs différentes projections ont pour corde commune la droite PP' : il nous reste donc à déterminer un point de chacune d'elles. Pour plus de simplicité, nous choisirons celui qui se trouve sur E,E/. Supposons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse du méridien de 30®. Le point dont nous cherchons la projection est le point M et le point de vue est en V. Relevons le plan de l'équateur, d'arrière en avant, et faisons-le tourner autour de EE' jusqu'à ce qu'il coïncide avec le plan du tableau. Le point M viendra en D, tandis que le point de vue se rabattra en P'. Le point cherché se trouvera donc en M', à l'intersection des droites EE' et DP', car le plan du tableau a tourné de 90*. Les deux points D et P' sont représentés sur la carte en D, et P/, de sorte que la droite qui joint ces deux points donne le point cherché M4, par son intersection avec la droite EiE/.

Indiquons enfin le tracé des parallèles et prenons par exemple celui dont la latitude est 30®. Son diamètre DD' se projette suivant la corde D|D,', de sorte qu'il nous suffira de connaître la projection d'un troisième point de sa circonférence, le point G, par exemple, situé à 90® du point D. Faisons tourner pour cela le plan du cercle PGV'P', jusqu'à ce que son plan coïncide avec le plan du tableau, en rabattant le point de vue vers la droite. Celui-ci prendra la position E', tandis que le point G se rabattra en D. Nous aurons donc en G' la projection stéréographique du point G, le plan du tableau ayant tourné de 90®. Les points D et E' se trouvent sur la carte en D, et E/ ; l'intersection des droites D,E,' et P,P,' donnera le point cherché G,. * 90. Bezuarques sur les projections stëréographiqueB. — Nous avons énoncé deux propriétés des projections stéréographiques. La première a été appliquée à la détermination des projections des parallèles et des méridiens. Il résulte de la seconde que toute figure de petites dimensions tracée sur la sphère a pour projection sur la carte une figure semblable. En effet, une portion très-petite de la surface sphérique est assimilable à une figure plane, et on peut la supposer décomposée en triangles. Les projections de ces différents triangles sont des triangles respectivement semblables aux premiers, comme ayant les mêmes angles, de sorte que la figure dans l'espace et sa projection sur la carte se composent d'un même nombre de triangles semblables et semblablement placés : la surface et sa projection sont donc deux figures semblables.

Telle est la propriété la plus importante des projections stérôographiques. Il faut ajouter que ce système a un inconvénient assez grave, (contraire à celui du système orthographique. Un élément tel que AB qui se projette en A,B, vers le centre de la carte est réduit de moitié, tandis qu'uii élément Ct qui se projette en C,T sur le bord de la cart^ est représenté à peu près en vraie grandeur (fig. 61).

En effet, les deiix triangles semblables A,B,V, ABV, donnent

Fig. 61.