CHAPITRE IV
SI U LES PETITES OSCILLATIONS d’tJNE BALANCE CHARGÉE DE DEUX POIDS.
line balance dont le point de suspension O est placé au-dessas du fléau, et à égale distance de ses extrémités A et 13, supporte des poids égaux suspendus à des fils de mente longueur AM , RIN dont on néglige la masse. Cette machine ayant été dérangée de sa position d’équilibre d'une manière quelconque , sans toutefois que le fléau et les poids cessent d'étre renfermés dans le même plan 'vertical AO 15 , on propose de déterminer les mouvements oscillatoires du fléau et des deux poids (fig. 92 ).
Soit A0I5 la position de la balance au bout du temps t \ la perpendiculaire abaissée du point O sur AB contient le centre de gravité G de la balance, et l'angle w = GO^^ que fait cette droite avec la verticale, est égal à l’inclinaison du lléau AB sur l’horizon ; soient ç et les angles que font avec, la verticale les fils AM et BN auxquels sont suspendus les (leux poids égaux. Les trois angles o) , f et déterminent à chaque instant la position de la machine.
Posons encore OA = OB = a , A.M = BM = b , angle OAB = £, OG = c; désignons par P l’intensité des deux poids, par T, T' les tensions des deux fils, par M le poids «lu lléau et des parties de la machine qui lui sont invariablement attachées, telles que les bras AO , BO et l’aiguille OG.
Les coordonnées .r, y, x', j des centres de gravité des poids placés en M et N s’expriment aisément en fonction
TKOISIKME l'ARTlE.
3yo
des angles w , çp ei :
X- == OP = U cos (s — ta) b sin ^ , y =z MP= (I sin (: — m ) -f- 6 cos y, x' = — OQ = — a cos (e -:1- w) -t- i sin .{i, y' = NQ =r fl sin ( £ -t- w ) -(- é cos -1/ .
Kii ayant égard aux tensions T, T', on pourra appliquer à chaque poids les formules du mouvement d’un point libre, ce qui fournira d’abord cjuatre équations ,
gTsin;p
T cos y
dt' ~ “ \
(Px'
g T' sin i|i
( T' cos -i
do
11 faut y joindre l’équation du mouvement du lléan qui peut être considén; comme tournant autour d’un axe fixe passant par le point O et perpendiculaire au plan AOB; or le moment de la tension T, dirigée suivant AM, pur rapport au point O , est , en valeur absolue ,
T. 01 = T fl cos (y-+-£ — w)=:T [.feos — s>) — csin (ip — <*>)],
en posant
fl eus £ on AC fl sin £ on OC =
Le moment de la tension T', dirigée suivant BiN , est pareillement '
T' (/ cos ( w — ■} ) — e sin ( w — ■>!')];
enfin le moment du poids de la machine est M.GH = Mesinw.
La tension T' tend à faire tourner le fléau dans le sens où nous supposons que le mouvement a lieu, c’est-à-dire de manière que l'angle oj croisse avec le temps; le moment de
KXERCICES DE MÉCANIQUE. 39I
celle force devra donc èlre pris posilivemenl , landis que les deux aulres seront pris avec le signe — . On aura donc réquatiou
— (K’ — Mcsino) — T[/'cos((p — w) — csin(ij> — w)]
-l-T'[/cos;w — ij<) — esin (u —
MK'
désigne le momenl d’inerlie de la balance par rapport
à un axe passant par le cenln; de gravité.
On aurait pu obtenir l’équation du mouvement de rotation , directement et sans recourir à rintermédiaircdcs tensions , en exprimant que les forces perdues se font équilibre sur le système. '
La force perdue, appliquée au poids situé en M, a pour P d->x „ P d'y
composantes — et P ; son momenl , par rap-
port à l’axe O, sera la somme des moments de ses deux composantes. On aura pareillement le moment de la force perdue par le poids ^i. La somme des moments des poids de tous les points du fléau est M. Gll = Mesin w. Quant à la force effective qui anime chaque molécule p située à une distance rde l’axe, on peut la décomposer en deux, l’une
centripète — qui va rencontrer l’axe, et dont l’effet est par conséquent nul, l’autre tangentielle u oupr
dont le moment est — ur’ — la somme des termes sem- ' dt’
blablcs étendue à tous les points de la balance est
— M (K’ -H c ') rf'M
higalaiit à zéro la somme algébrique de ces moments, on aurait l’équation ci-dessus, d’où les tensions seraient éliminées.
Les cinq équations précédentes renferment la solution complète du problème.
Cas des petites oscillations .
Nous négligerons les carrés de w , ® et i|/ ; alors
jr z= e — fw + b .
Et , par suite, les cinq équations se réduisent à
dO
rf’ (f
dt= ^ V ^ ’
dt
Pour éliminer les tensions, on tirera des équations ( 2 ) et (4) les valeurs de T et T',
rf'c.
g <lt^
„ P/rf'w
• et on les substituera dans les trois autres équations.
En négligeant les produits œ qui sont du
même ordre de petitesse que les carrés de w , iji , ip , et posant, pour abréger,
M(K’-hc>) -I- 2 P/
= /i, 2 Pc - 4 - Mc = /,
il vient
(bl
dr-
IIP
''‘’-v7 + ér? = »>.
il)
"'dF
‘dr
KXEHCIl’.ES DE MÉCAÎIlyllE.
,tO ’
— + /(ü — Pe((p + -^)=o.
La (jiiestion esi ramenée à intégrer le système de trois équations linéaires à coefficients constants.
2. Examinons d’abord le cas particulier oh le point tic suspension coïncide arec le milieu C du fléau AIL
Il faut faire, dans les formules précédentes., t? = o , et l’on a , en posant
-=A- et | = fxL
lîr
d * ^ tir
fi> — O )
-4- n ‘ y =zn,
équations où les variables sont séparées. Les mouvements du lléau et des deux poids seront donc indépendants les uns des autres.
La première équation a pour intégrale o> = A cos (\l -4- u).
Les constantes A et a: dépendent de l’état initial. Par
exemple, si le lléau a été originairement incliné à l’horizon
d’un angle Wo sans vitesse initiale, on aura a = o, A = Wo ,
et, par suite, w = Wo cos Xr. En général, la constante A
sera une très-petite quantité.
•\insi , le lléau oscille comme un pendule simple dont In
, g M ( K’ -t- c’ ) -(- a l'rt’
longueur est — ou — ^ ^
Mc
TKÜISIEME PARTIE.
La durée d’une oseillation est tr
Si le centre de gravité G est, comme à l’ordinaire , trèsvoisin du point de suspension, la distance c sera trèspetite, et il en sera de même de À. Si le centre de gravité coïncidait avec le centre de suspension, X serait nul, et le fléau n’oscillerait plus. En efl'et, il serait alors en équilibre dans toutes les positions possibles; toutefois, ceci suppose qu’à l’origine le fléau a été simplement incliné à l'horizon sans recevoir d'iiupulsion : autrement, comme aucune force ne s’opposerait à son mouvement, l’angle w. irait en croissant et ne pourrait plus être regardé comme très-petit, ainsi que l’exigent nos formules. Elles cesseraient donc d’ètre applicables.
Si le centre de gravité G était au-dessus du point de suspension, il faudrait eliangcr c en — c dans les formules, et, par suite, X deviendrait imaginaire. Le mouvement cesserait encore d’être oscillatoire, et la balance serait folle. 1.,’inclinaison du fléau croîtrait avec le temps, suivant une loi dillérente de celle qu’assignent nos formules.
Les équations (lo) et (ii) ne dillèrcnl Tune de l’autre que par le changement de ç en tp •, leurs intégrales sont les mêmes aux constantes près :
(f = B cos((iZ -H fi) , ij/ = C cos (fit -+- 7 ).
Les petites oscillations des deux poids coïncident donc avec celles de deux pendules simples , de longueur ; elles ont même durée, mais non la même amplitude, en général .
Pour déterminei' (j> et ip avec une approximation plus grande, on rétablira, dans les équations (lo) et (ii), les
EXERCICES DE MÉCAMQIIe’.
a </’w ti ,
UTUios-rV-; — 1 — T -7— 1 <iui pi'ovieiiiicnl (le 1 ehiiiili • ilc^ b ‘ </e’ *
nation des tensions, et que nous avions d’abord supprinu^s 5
et l’^on remplacera, dans ces termes, par sa valeur
— A?.* cos (Àt + a). Les équations (10) et (1 1) , ainsi complétées, deviennent
<P ç fit-
A ti ,
fi’ If = — — fl eos ( /. < ■
rf’ 4 <
— >)/ cos (ht Ctj.
Nous' allons eu déduire deux lennes de correcliou à ajouter aux valeurs principales trouvées plus haut pour (E et é.
Soit f) B cos (ut -h P) -j- A U ,
!.. a tl ‘ U
‘ — Bp’cos (fit + ^) -+- A — -
Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation (la), et t/uon néglige, dans cette seconde approximation , le terme ajj'eclè du carré de A , il vient
-+- fi’« = B cos (it -f- a) cos (fit -4- P)
— - B I cos[(fi-f-À)f-t-^-J-a] -1- cosj^f* — À) t ,
On obtient aisément une valeur particulière de u, de la forme
« z= M cos |(fi-4-i)f-f-p-4- a]-(-N cos [(fi — i)t- 4 -p — a],
Cl les valeurs tle M el N sont
2/.>(2ft -t- i)
Cette solution particulière permettrait de ramener l’intégration de l’équation diHérentiellc précédente, à celle d’une équation linéaire sans second membre; mais on remarquera qu’on n’a besoin que de cette intégrale particulière, et qu’on n’obtiendrait rien de plus général, en prenant l’expression complète de «, puisque déjà le premier terme de la valeur de cp renferme les deux constantes arbitraires B, /3 , qui suffisent à l’intégrale générale.
"On a ainsi
0 = Bcos(ftr-Hp)-(-AMcos[(fx-l-X)t-t-fl-)-a]-H-AN cos[(fx— À) f-|-p— aj.
En changeant a en — n dans les valeurs précédentes de M et N, et les constantes B, (3 en C, y, on aura
’!' = € cos ((zf -t- y ) — AM cos [(fi -+- X t y — an cos [(fi — À)/-l- y — a].
Ainsi les mouvements de pendules simples que nous avions trouvés dans une première approximation, pour chaque poids, seront soumis à des perturbations provenant du mouvement oscillatoire du fléau.
Si l’on suppose qu’à l’origine du mouvement le fléau ait été horizontal et en repos, on aura pour < = o ,
(.1 = 0 et — — = O ,
dt
d’où ‘A = o;
par suite , w sera toujours nul : le fléau demeurera horizontal , et , comme les valeurs de ^ et de se réduiront à leurs < premiers termes, les deux poids oscilleront, indépendamment l’un de l’autre , comme deux pendules simples de meme longueur.
Si I on suppose qu’à l’origine les deux poids aient été laissés en repos dans la verticale, et que le fléau seul ai ^
EXERCICES DE MÉCANIOIE. 397
été incliné d’un angle &>o, sans vitesse initiale, on aura, pour t = O,
db> da rf J)
" = «c, ? = O. ^ = ~dt~°'
On conclut des deux premières conditions, comme on l’a vu, 3t = O, A = w„ ; ,
les deux suivantes donnent
„ . ( n wb I
(‘t les deux dernières fournissent deux conditions qui ne didèrentdes précédentes que par le changement de a en — n, de B en (i et de (i en 7, savoir :
On ne peut satisfaire à ces équations qu’en posant B = o, C = o; donc tf et <p seront constamment nuis, c'est-à-din^ que les fils de suspension des poids ' resteront toujours verticaux, tandis que le fléau oscillera à la manière d’un pendule simple.
Il ne faut pas perdre de vue que ces conséquences de nos formules n’ont lieu qu’autant queles oscillations sont trèspetites, et que, de plus, le point de suspension C est supposé parfaitement fixe, et en ligne droite avec les points A et B, supposition qui ne se réalise jamais complètement dans la nature.
B. Revenons au système des équations (6), (7), (8) qui
TROISIÈME PAIITIE;.
résolvent le problème, dans le eas général ou le eentre de suspension est situé hors de A 13 .
Si on leur appliquait immédiatement la méthode ordinaire, qui consiste à poser
6) = C sin \/p -f- /«),'
t = C/> sin ( / -H /n ) ,
ifi = Cq sin ( / \/p -t- fH ) ,
où Cet ni désignent des constantes arbitraires, et p, p, q, trois constantes qu’il s’agit de déterminer de manière que les équations soient satisfaites, on trouverait p = q, attendu que les équations (6) et (7) ne dillèrent l’une de l’autre que par le changement de ç en (|/. 11 en résulterait (p = et l’on n’auraitpourdéterminerp qu’une équation du second degré, comme s’il ne s’agissait que de deux équations linéaires seulement, par exemple les équations (6) et (8); on obtiendrait donc les valeure de u et de çp = ip, avec quatre constantes arbitraires au lieu de six.
Cette solution n’aurait pas le degré de généralité désirable.
Mais, de ce que les équations (6) et (*7) se confondent en une seule, quand dans la seconde on remplace <p par f, il n’en faut pas couclure que les deux fonctions du temps que ces inconnues représententsoient identiques. Posonsen effet dans l’équation ( 7) ,
p ~ f -h II,
et elle se réduira, en vertu de l’équation (6), à (9J h — +gu = o-,
on est ainsi ramené à considérer le système dis trois équations (6), (8), (9).
Or l’équation (9) n’est pas seulement vérifiée par u =0,
EXERCICES DF. MÉCANIQUE. 3pQ
elleapourintégralc
« = E sin (é - 4 - ftc) en posant ^ =
donc on n’est pas en droit d’écrire ■> mais bien
*|< ’ü "I” E sin (c -|- ).
Actuellement il reste à'appliqucr la méthode des équations linéaires h coefficients eonstants aux équations (6) et (8); on posera donc
w = C sin (f v^, O -(-/«) , y C/.» sin ( / \' p -f- /« ) ,
et l’on trouvera
p = —^~, {l — hp){g — bp) — iVe‘p = o.
Cette équation du second degré en p a ses deux racines posi-
tives, puisque l’hypothèse donne un résultat négatif,
et que p = o, p = x donnent des résultats positifs.
Soient p,, pt CCS racines, et /J,, />j les valeurs corresjxtndaiites de j) -, les expressions complètes de w, ç et seront
O) =: C, sin (f vpi Wi ) -f- Cj sin ( t y^o, -4- /«,) ,
(f = C,/>, sin (r Vp, - 4 - m,) -4- C.p, sin(ry'p, - 4 - tu,),
•j< = C,/)| sin (t v'pi -4- "ti) -I- C,p, sin (t\/p, -4- m,) -4- Esin(e -t-pr).
Au lieu de chercher y et la dilTérence u = i|/ — (ji, on aurait pu prendre pour inconnues ( ) et y —
Soient
= ae,
d’où
on trouverait ainsi plus de symétrie dans les expressions de CCS variables, qui prendraient la forme
® = sin (^V^p, -h /»,)■+■ C,/>,sin (r -4- /n,) -4- Esin(£ -4- pt), C, p, sin (n/p, -h m,)-+- C,p, sin (t \/p, -4- m,) — Esin û -4- pt).
4oO TROISIÈME PARTIE. EXERCICES DE MÉCANIQUE.
S’il arrive qu’à une ccrlaineéjioque onail s = e, lepoidsJN se trouvera dans la verticale, tandis que le poids M en sera écarté d’une manière sensible. J.e contraire aura lieu s’il arrive que l’on ait , à une autre épioque , .v = — e, et ces alternatives pourront sc reproduire, line grande variété de phénomènes pourra naître ainsi des circonstances initiales qui servent à déterminer les six constantes arbitraires. C’est par ces considérations <\\jl Euler (*] a expliqué certaines apparences singulières observées par Jean Bernoulli sur une balance en mouvement.
(*) Acta Academiæ Peirop dilanæ , 1777.
■ . Di^ilized
