CHAPITRE III
SLR LES PETITES OSCILLATIONS RECTILIGNES DE DEUX POINTS MATÉRIELS LIÉS ENTRE EUX, ET A DEUX POINTS FIXES, PAR DES FILS ÉLASTIQUES.
Deux points matériels m , m' , de masses égales, sont liés entre eux, et à deux points fixes A et li (fig. 91), par trois fils élastiques en ligne droite Am , mm', w'B ; ces fils, de même matière, sont susceptibles de s’allonger ou de se contracter de quantités très-petites , et l’on admet que leur élasticité varie en raison inoerse de leurs longueurs : on propose de déterminer les petites oscillations des deux points m , m' .
Dans l’état d’équilibre, les trois fils ont même longueur, a = et même force élastique ou tension f. Au bout du temps /, soient
K m — a -+■ X , mm' a y, m' B = « + z.
I.a distance AR étant invariable, les variations de longueur, positives et négatives, des trois cordons satisfont à la condition
D’après la loi admise, la tension du fil Am sera »
ou sensiblement f(^ — - j , puisque la variable x est supposée très-petite par rapport à a. Pareillemént , la tension du cordon mm' sera représentée par /'| 1 — et celle du
cordon m ' H par ./ ( ' — - ) •
TROISIEME RARTIE.
Cela posé, les équations du mouvement sont
J rff’ a
^ ^ } '^H-^-yy) /i^—y)
En les retranchant l’une de l’autre, on élimine x cA z, et il reste
L’intégrale de l’équalion (2) est
y z= K COS nf ^ + B sin nt y'S.
Avant de substituer cette valeur de j' dans la première des équations (i), remarquons que la valeur particulière
X = — -\y = — -J (Acos/it \/3 -H B sin nt y/S),
vérifie cette équation, puisqu’elle la réduit à l’égalité
3 D’après cela, l’équation linéaire fournie par la substitution dey,
Ht
^ + n’x = (a cos \/3 + b sin nt
aura pour intégrale complète
X = — ÿy -h C cos nt + J) sin nt, ou
X = — -j ( A ros \/3 B sin nt \f%) -+- C cos «/-HD sin nt.
X et y étant connus en fonction du temps, on connaitra les distances A m = « -H .r , Am' = ua-h-x -+-J.
Soient A m = /•, A m' = .«; il vieni
r=. a — -J- A cos nt yjZ — ÿ B sin nt \[Z -\-C cos /i/ -H D sin nt, ï = 2 « -H 7 A cos «/ ^3 -H 7 B sin nt -H C cos «/ 4- D sin nt.
EXERCICES DE M flCÀNlQCE . !i87
Les valeurs des eonstaiiles A, H, (i, 1), dépendent des écarts et des vitesses donnés à l’origine du temps.
Supposons, par exeiriple, que les deux masses aient été écartées de quantités égales et d’uu même côté de leurs positions d’équilibre , sans vitesses initiales; soit w l’écart commun, on trouvera
A — O, B = o, C= — (. 1 , D = o, et, par suite ,
r = « — w ros nt , s z= la — 6) eos nt.
Les oscillations rectilignes de chaque masse suivront donc la môme loi que les oscillations cireoilaires d'un pendule simple, de longueur «, écarté de la verticale d'un angle w, et sollicité par une force verticale égale à f.
11 Y a un autre cas dans lequel chaque masse oscille encore comme un pendule simple : c’est celui où elles ont été primitivement écartées de quantités égales et de côtés opposés de leurs positions d’équilibre. On trouve alors
r = « — w cos nt \f 3 ,
.!■ =r 2 a -(- w cos nt \/3.
Les oscillations ont encore une amplitude égale au double de l’écart initial; mais elles sont plus rapides que dans le premier cas, le rapport des durées des oscillations étant celui de I à v^3.
La solution précédente s'étend sans difficulté aux inouvcments rectilignes de trois, ou d’un plus grand nombre de corps m, m', ni", de masses égales, liés entre eux consécutivement, et <à deux points fixes, par des ressorts dont les contractions ou dilatations sont supposées très-petites.
Euler a appliqué ces formules à la propagation du son à travers une file de molécules équidistantes.
Parmi les diverses liypollièses qu’on peut faire sur l’état initial , nous laisserons au lecteur le soin de discuter le cas où la masse m a été d’abord écartée de sa position d’équilibre de la quantité très-petite w, puis retenue en ce lieu jusqu’à ce que les deux autres masses , s’accommodant à ce déplacement, aient pris de nouvelles positions d’équilibre; puis la masse m étant rendue libre, son mouvement propage peu à peu aux autres. On assignera les époques de plus grande vitesse pour chaque masse, etc.
EXEIICICKS DF. MÉC.ANiyilE.
