J IZ

cot’ 6

— ce : on ne connaît

Soit, en général , in ^ a

oc

' e " ; mais on peut

la développer en série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de a. On a d’abord

r r fvc*.

Or

Intégrant, on aura

, la’ la’ la

dzT= a.

(ii'lie série est convergente, (|uelr|uc .soit a, et comme ses

KXKRCICKS I) ANALYSE.

termi^s sont alUTnaliveincnt positifs et négatifs, reireur coiutnisc en s’arrêtant à un terme tic rang quelconque est de signe contraire à ce terme et une fraction du terme suivant.

l.r’intégration par parties fournitun autre développement en stû’ie convergente de la môme intégrale.

Lorsque a} est égal ou supérieur à 2 , les séries précétlentcs ne sont pas d’une convergence assez rapide pour être commodément employées. Laplacc, dans sa théorie des réfractions astronomitpics ('*'), a donné, pour le cas dont il s’agit , un développement d(! l'intégrale sous forme de fraction continue. A cet elfet, il part d’une troisième série ,

qu’on obtient aisément par les transformations suivantes ;

2af'*'' 2

mais , comme le rapport d’un terme au précédent

loin de converger vers une limite plus petite que i pour des valeurs croissantes de n , croit justju’.à l'infini, cette •série est divergente; il vaudrait mieux, pour la rigueur

(*) Mt caniqur i viestv , tome IV, page 283.

l68 DEUXIÈME PARTIE.

du raisoiiiiemcnl, n’on pas faire usage. Voiiû couimciit M. Jacobi a reciiOé le procédé de Laplace ;

(Les développements qui suivent sont empruntés à une , leçon de M. Liouvillc, au Collège de France.)

Posons

d’où

\ = jT* dz,

— = 2a e I e dz — i = 2 a v — i ,

Soit

dx'* dx!' ùa”“'

— = V| ; et, en gener.il ,

on aura

Posons, en général, V„ = ( — i)" '■< l'équation (H)

deviendra

fl -f- I

ou, si l’on pose <7 = et qu’on divise par y„^, , (B')

Transformons de même l’équation (,A). A cet elVet, on déduit V, et V de l’expression de V„ , en y faisant n = i , « = o , savoir ;

KSERCICES d’analyse.

(-•l, subslilu.ini dans (A), on a

Acluolleincnl , on

lire des écjualions (A') el (15'),

(iO "

ifiy

Il importe de démontrei' que ■ restera positif quel que

soit n ; pour cela, il suflit de faire voir que est jiositif <iuel que soit //•, et, comme on a

la question revient a prouver que ( — i)" - — est positif.

' ' dx" ‘

Pour simplilier la recherche de — — , transformons la

dx"

fonction V de manière que les limites de l’intégrale soient indépendantes de or. En po.saiit z = a 4 - 3 ,, les limites deviendront O et oc , et l’on aura

résultat essentiellement positif.

Ee dévcloppcriient de l’intégrale proposée en fraction continue se déduit immédiatement de ee qui précède.

nEtMLMfc Ï'AKTIK.

( )ii n

Pour appliquer celle fraclioii eonlinue au calcul approché de l’iiiiégrale, ou l’oi'uiera les réduilcs successives, <jui seronl alleruali veraeul plus grandes el plus pelitcs que la fi-aclioii continue. 11 suftira de calculer dirccicmcnt les

<leux premières réduiles ( -el 1 ; Icssuivaules s’endé-

duiront d’après la loi connue : le numérateur d’une réduite (juelconque est égal au niunérateur de la réduite précédente, plus, au numérateur de la réduite qui précède de deux rangs mulli]>lié par le numérateur de la fraction intégrante à latjuelle on s’arrête. Les dénominateurs se forment il’après la même loi. Ainsi, les cinq premières réduites ■sont ;

I 1 -+-<■/ i-t-Sy I -+-67-1-37’ I -+- 107 157’ '

à [)arlir de la cinquième, le numérateur el le dénominateur d’une réduite de rang quelconque sont des trinômes du second degré en 7, dans lesquels le terme indépendant de q est égal à 1 .

d. Parmi les courbes définies par l’équation différentielle.

EXEnCICES d’akalvse. i^i

détcnnincr celles (jui coupent à angle droit le cercle dont l’équation est y* x' =

L’équation (i) rentre dans la classe des équations de la f'ornie

il‘ y f/x’

qu’on intègre immédiatement en les divisant par—; car

le premier membre devient une somme de dillérentielles exactes.

On trouve pour intégrale

puis la seconde condition de l’énoncé fournit, entre les

constantes a et l>, la relation z= î « y/ r' —

l’ar conséquent, les courbes cherchées sont renfermées <lans l’équation

l. Étant donnée l’équation n, = o, on

propose de déterminer la relation tpii doit exister entre les paramètres a et pour que les courbes représentées par cette équation aient pour cneeloppe une courbe donnée dont l’équation est ç (x, y) = o.

La relation cherchée résultera de l’élimination de a; et p entre les trois équations

vr ; ^ ! \ dV (la dV d-i

Soit, par exemple, l’équation y' -y ax y- b ~ o , (pii représente une suite de paraboles de même axe. et cherchons la condition pour epu^ ces paraboles aient pour en-

nELXlKME l'AiniE.

nous troinci'ons

vdopju! lo criA'lc y* + .r~ — r- — o;

— r‘ ; Cl, par suite, réqualion des paraboles , réduite à ne plus contenir qu'un seul paramètre arbitraire a,

V’+ ff.C — O.

3 . Dclerminer la relation tjiii existe entre deux fonctiotis M et jN de X et y ^ telles que la quantité

M dx 4- K dy iMz -I-

soit une dijjerentiellc exacte. ^

L’expression proposée ne reui'erme (pie le rapport et

l’on doit seulement se proposer de déterminer ce rapport. . . ÎN'

Soit — = 2 5 la condition pour que l'expression

dx -4- zdr X 4- Z y

soit une didérenlielie exacte, se réduit à dz dz

(•qualion aux dillérences partielles dont l'iniéftrale est

,\insi , les fonctions M et iN doivent (‘ire telles, (jue leur rap- ])ort soit une simple fonction de -5 ou, ce qui revient au

m(';me, une fonction du degré o de y et x.

Celle condition est évidemment remplie, si l’on prend

pour ÎM et t\ deux fonctiotis homogènes du même degré;

. , , . , (/j; 4- iN

et, en cllcl, on sait qu alors la quantité ■

EXF.RCICKS t) AXAl.VSE.

iin<‘ tliiréit'iuiellc ('xaile. Mais on voit , do plus, (|u'oIlo le sera «‘iicore, si, après avoir pris à volonté la foiielion M,

on rlioisit unq fonction j\ qui soit égale au produit Mç »

^ étant une lonction arbitraire. Par exemple, soient

M = .r’ — 3a;, N = (.r’ — 3.z ) = .vf — 3 j ;

expressioti

— 3 X ) c/x -I- ( x r — ’ix) <ly X' — 3.x’ .X) ’ — 3/’

s(!ia un<! dillérenticlle exacte.

(). //ifègrcr i’ Lujuntion (lifj'érentialle

rx' -h f dx-

I z/) \’ dr

liette équation étant homogène par rapport à •)■ et à scs

dérivées, on pose^ = ; il en résulte une équation du

premier ordre entre ii et X, qui est vérifiée par la valeur

u = -i et l'on en conclut l’intégrale générale t;n posant, comme dans Vt-f/nnlmn d’Euler, ii = — i- z, etc. I/iiité-

;rale est

r’ = (IX + è.r*.