I. 3 r’ —ïSy'ir; 1 . 3.5 r’
série ijui ne dilTère de la précédente que par le changement de 0 en — 9 .
Puisque les séries (i) et (2) sont convergentes, par le fait seul du décroissement des modules , si on les multiplie membre à membre, en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de - , on aura aine nouvelle série conver-
gentc dont la somme sera le produit des sommes des deux autres.
Or celte multiplication produit des termes de deux espèces, les uns indépendants de 0,
, + {1 îl\ Vf ' • . . .
\2ay \2.4a’,' \2.4.6 a' j ’
les autres dépendants de 6, et cjuc l oir peut grouper deux .à deux de la manière suivante ;
OU 2 (1 eus [n —
mais lorsque ces derniers termes, nuillipliés par i/C, seront soumis à rintégratioii qui est indiquée dans l’expression de V, les intégrales s’évanouiront aux deux limites, o et 2 7: ; on peut donc les omettre, et, en intégrant entre les mêmes limites les termes de la première espèce multipliés par r/ 9 , on aura simplement
Supposons maintenant le point attiré intérieur à Vanneau, ou a. r. Le développement précédent de V n’est plus admissible; car, /'étant plus grand que a , la série est divergente. 11 faut alors développer suivant les puissances de en préparant le radiral sous la forme
\/ r’-pa' — 2 X /■ ros U et l'on trouvera
“V+( — -V-pl
Actuellement, pour avoir l’action exercée sur le point /\, il reste .à dilfércntier par rapport à a la première ou la seconde de ces expressions de \ , selon que le point attiré est extérieur ou intérieur .à l’anneau; et l’on a
Pour un jwint extérieur,
L expression de la force étant négative, le jMiinl sera attiré et marclicra vitrs la surface externe de l’anneau.
Pour un point intérieur.
EXEnCICES DE MÉCAMQEE. 1 85
l,a valeur île A esl positive; ilonc le point sera repoussé (lu centre vers la circourérence de raiiiieau.
Ainsi, il n’en est pas des actions exercées par les éléments d'un anneau sur un point placé à l'intérieur, comme des actions exercées par les éléments d'une couche sphérique qui envelopperait ce point; on sait que la résultante de ces dernières est nulle, en sorte que le |>oint qui leur est soumis reste en équilibre, quelle que soit sa position dans l'intérieur de la couche.
Cette diHércnce de résultats s'explique aisément ;
En ell'et, soit mm' un élément infiniment petit de l'anneau {fig. 4‘>) j joignons Am, Am'; ces droites prolongées interceptent un second élément l>j>' comparons les actions contraires de ces deux éléments sur le point :
L’attraction de mm' sur A est égale à
mm
uj P 'ù
1, attraction de pp' sur .A est égale à
/ pp'
Or, les triangles infinitésimaux Amm',
A/J/j' sont sem-
hiahles, et donnent la proportion
mm' pp'
A m A jj
doue le rapport de l'attraction exercée par mm' à l'attrac-
tion (;xerece par/J/> est égal a-^-^; et, par suite, le point A
est plus attiré par celui des deux éléments dont il est plus voisin. Sidoncondiviserauneau en deux parties Cmli, C/j B par une perpendiculaire élevée en A suroA, l'arc Cm B exercera sur A une attraction prépondérante, et ce point marchera vers 1 en s’éloignant du centre.
Si, au lieu d’un anneau plan, il s’agi.ssait d'une couche sphérique, les éléments lincaircs mm' , pp' seraient rem- (jlacés par des ('•Icments .vi//ir///cér7.< . liascs des deux cônes
|86 Tr.OISlivME I'AI\TIE.
iiilhiitéïiluaiiK doiil A sérail lesoininel; ces iiases éiaul semblables seraient entre elles dans le rapport
mm' Km
^ on — ^ ;
pp' ^p
et, par eonséijuent, les actions contraires de ces deux éléments de eouelie sphéricjue seraient égales entre elles. Le plan 15 AC partagerait donc la couche tui deux segments dont les attractions se détruiraient mutuellement.
2. L'attraction exercée par une barre homogène XX' (fig. 4')> 'Ir. longueur indéfinie et d’une épaisseur trèspetite, dont chaque point attire un point extérieur h en raison inyerse du carré de la distance, est égale à l'attraction qu exercerait suivant cette loi, sur le meme point A, un demi-anneau circulaire DoE de même matière et de même épaisseur, tangent à la barre, ayant son centre en A , et pour axe la perpendiculaire abaissée de ce point sur la barre ; V attraction est inversement proportionnelle à la simple distance du point attiré à la baire.
Soient ////«' = c/uninélément de la barre, xladistance owi, 0 l’angle oAm, a la distance Ao; et conservons aux lettres p, la même signification cpic dans le problème précédent. Si l’on pose , pour abréger, p,/ o) p = K, l’attraction exercée par l’élément mm' suivant A m sera
ado a
or X — a tani; 0 , d on d.v = , A ni =
cos- 0 cos 0
