Dcicnniner la courhe fixe hniW (fij
(jiu-île un poids P est assujeUi à glisser pour <ptCj dans toutes ses positions, ce poids fasse èqaildtre à un poids P' suspendu verticalenient à un cordon inextensible , qui passe sur une poulie (Z et s’attache au poids P. [On néglige le poids du cordon.)
Prenons pour axes la verlicalc CP'xet l’horizontale Cj-, soient .v et y hs coordonnées ilu poids P, r le rayon veeleur CP, x' l’abscisse du point P', l la longueur constante du cordon P' CP; on a
Le système étant à liaisons complètes, le principe des vitesses virtuelles ne fournit (pi’une seule équation
P t/jc -+■ P' dx' — ü ,
à laquelle il faut associer celle qu'on obtient en dilVéreii-, tiant l'équation de condition précédi'ule,
ctx' -t- i/r = O ;
éliminant dx:' , il vient
P f/.r — P' tir = O ,
et , intégrant ,
r ~ .r -I- consI
EXEUUCES DE mécanique;. 1C)I
Le rayon vecleur éiaiit Ibnclioii ralionnelle de l’abscisse,
la courbe cherchée sera une section conique ayant le point C
pour foyer, et pour axe principal la verticale Ct. Comme le
poids P est en partie détruit par la résistance de la courbe
sur laquelle il repose, et que le poids P' conserve toute son
action, il est évident que P doit être plus grand que P'; ce
qu'indique d’ailleurs l’équation P = V flr. On a donc
— I, et, par suite , la section conique ne peut <-tre qn une
hyperbole.
La constante arbitraire introduite par l’intégration sera déterminée par la condition que la courbe passe par un point donné. Si l’on suppose que ce point soit l'origine C, la constante sera nulle ; le rayon r sera proportionnel à l’abscisse x, ce qui caractérise une ligne droite, ou plutôt un plan incliné passant par le point C, et sur Icquid le poids P pourra glisser.
2. Une barre pesante A15 (fig. 45) est mobile dans un plan vertical ABC, autour d’un axe perpendiculaire à ce plan, et passant par l' extrémité A. yiu sommet C de la verticale AC est placée une poulie , sur laquelle s’enroule une corde 15Ci\I, inea tensible , dont un bout soutient l’extrémité B de la barre, et l’autre un poids i\L On propose de déterminer une courbe fixe DME, telle que le poids INI assujetti à reposer sur cette courbe , fasse constamment équilibre à la base.
La ligure peut représenter la section verticale faite par le* centre de gravité (i du tablier d’un pont-leois , et les tensions des deux chaines qui soutiennenl le pont seraient remplacées par leur résultante dirigée suivant le cordon lîC.
Les forces qu’il s'agit d’équilibrer sont le poids P de la barre appliqué à son centre de gravité (i et le poids M.
Soient. r et x' h-s abscisses des points (i et M , comptée»
iy2 TROISIEME l'UlTtE.
SUT l’axe \ei tieal C.r à partir de l’orit'iiie (i. la; principe des viiesses virtuelles donne r»kjuation
( I ) M dx + P dx' =: O.
Soient AC = h, AB = /, AC = .v, C,in = /■; n la lotigiieur totale du cordon BCM; nous introduirons comme variable auxiliaire l’abscisse CK du point B -, soit CK = X.
Les liaisons du système s’expriment par bîs dmix étpialions
( /'= /cH-(rt — r)' — 2/(X ,
d’où l’on tire
i rfX = dx’,
I (fl — r] dr + /i d \ = O ;
éliminant dx' et d\ entre les équations (i) et (2), il reste une équation entre les coordonnées r et a: du point M ,
— r)dr= -- - dx.
Soit, pour abréger, ^ = ù; l’intégration donne
ar = hx -t- c,
c étant la constante arbitraire; ou, si l'on désigne par 0 l’angle MC.r,
ni- — — br cos 0 c.
Soient r„, Q„ les coordonnées d'un point donné par letpiel la courbe doit passer 5 on aura
c = ( « — b < os 0, ) /'o — — ■ ' ' 2
iNous nous bornerons à discuter le cas où les cooidon-
EXERCICES DE STATIQLE. ig3
nées. / „ , Oo saiisl’onl à la cumlilion c = o. .Mors, on supprimant le facteur r, on a simplement
r — 7. a — 7. b ('OS 6 .
La eourb(î représentée par cette équation est bien connue;, c’est l’épicycloïde qu’engendre un cercle de rayon a, roulant .sur un autre cercle égal au premier, tandis qu’un point m pris sur un rayon du cercle mobile et distant de son centre de la quantité A, tourne avec celui-ci.
En ellct, soient A ( /%■ 4?) point où se touchaient les deux cercles à l’origine, m la position du point décrivant lorsque le cercle roulant , dont le centre est C', est venu toucher en b le cercle fixe dont (] est le centre; en sorte (jue arc AB = arc A' B ; soient C A = a , c' in = h. Prenons sur le rayon fixe CA , prolongé s’il est nécessaire , une longueur CO = /»; le point O sera l’origine des rayons vecteurs, et CO ar l’axe polaire. SoientOm = /', niOx = Q\ mOétant palàllqleà CC', se projette en vraie grandeur surcette droite, et l’on a
CC' = 0' w' -t- 2 CO', on 2 « = r •+- 2 b cos 9,
d’où
r — 7a — 26 cos 0.
Dans la construction de cette courbe, on distingue trois cas ;
Dans le cas où « = />, on a
r = 2 a ( i — cos 8 j.
Si l’on décrit un cercle du point C comme centre avec a pour i-ayon {Jig. 4d)î et que l’on tire un rayon vecteur qiudconque CIMN incliné à la verticale de l’angle 6, on aura
R.S = f/(i — cosO), el , par suite, r =2 RS;
194 TUOISIEME PARTIE.
on aura donc un point M de la courbe en prenanl (IM double de RS.
En désignant par \ l’angle de la tangente avec le rayon vecteur, on trouve
ce qui permet de' construire aisémentla tangente en cliaque point. La courbe touche en C la verticale Cx; elle coupe le cercle en un point T, tel que RT est égale au rayon , et la tangente en ce point est horizontale.
Le poids M ne saurait s’écarter du centre C au delà de '1', et, quand il atteint cette position, le pont-levis est devenu vertical; son poids est détruit par la résistauce de l’axe A, et le poids IM est également détruit par la résistance de la courbe sur laquelle il repose. L’autre position limite du pont-levis est l’horizontale AH; la valeur correspondante du rayon vecteur (’,«/ est
r = a — -h d oii cos 6 = — — — ;
2 fl
ces valeurs de r et de & déterminent un certain point V de la courbe, et la seule portion utile de l’épicyclo'ide,- c’est-àdire celle que le poids pourra décrire, sera l’arc VI’. Le point V sera en C, quand on aura n — -f- /*. Nous ne
nous arrêterons pas à la fliscussion des deux autres cas.
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