CHAPITRE III
SDK L’ÉQlULIBnF. n’iTIK FIL FLEXIBLE ET INEXTENSIBLE.
C De la figure d'équilibre d’un Jil flexible, homogène, d’une épaisseur constante et d’une longueur donnée , at~ taché par ses extrémités a deux points fixes A, B, et dont chaque point est sollicité par une force dirigée vers un centre fixe o , et fonction de la^ distance du point à ce. centre.
Prenons le centre fixe o [fig. 48) pour origine des coordonnées. Soient R la force appliquée au point m {^x , y, z) et rapportée à l’unité de longueur du fil ; T la lension en ce point; r le rayon vecteur om.
[.es équations d’équilibre sont
dx
ds
dy
d.'lf- —
R - ds o,
ds
dz
R - f/.f zr 0
ds
Démontrons d’abord que la courbe AmB est plane.
En combinant deux à deux les équations préccdenli's, pour éliminer les seconds termes, on en tire
Xf/ . T — rd . T o
ds ds '
. ~.dz , dx
xrf.T zd.T — = o
ds ds
dx\
dz dx\
et , intégrant ,
T {xdy — /dx") = cds,
T ( xdz — zdx ) = c'ds.
ig6 tho’isikmf. haktie.
Di visons niombro à membre, poui' éliminer T, et niellons x' en diviseur, il vient
xdz — zelx k ( xdy — ydx )
/r désignant la eonstante - ■ Enfin, par une seeonde intégration , on a
-=rk-- + k',
ou z = kj-f~k'x,
équation d'un plan passant par l’origine. Les eonslanles A' et // seront déterminées par la condition que ce plan renferme les points extrêmes A et IL
Le fil en équilibre est donc contenu tout entier dans le plan conduit par ses deux extrémités fixes et par le centre d’attraction, ce qu’il était aisé de prévoir.
Prenons ce plan pour celui desa:i'; nous ne conserverons ainsi que les deux premières équations (i),
dx X
T- R - ds —
ds r
ris
Nous en avons tféjà tiré {’-)
ils
R-’-rA<= O.
dx\
ds
Le premier membre de cette intégrale représente le mometit de la tension T par rapport au centre fixe. Ainsi le moment de la tension en chmjue point, par rapport au centre jixe, est constant. Soit p la distance oD ( fig. 4p) du centre à la direction de la tension , l’équation préct^ dente peut s’écrire
la tension varie donc en raison inverse de la distance du
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exehcices de statiqee. i97‘
fCiitro iîs«î à sa direction, ou encore, crt raison inverse de la projection du rayon vecteur sur la normale ml\.
Si l’on multiplie les équations d’équilibre respeclive-
— et qu’on ajoute les produits, on a,
;zr’ *
comme on sait,
rfT = R rfr, d’où ( 3 ) T = c' +J R fir.
(ie tpii montre tpie Vaccroisseinenr de tension, en passant d’nn point h an antre du fil , dépend unùjueinent des distances de ces points au centre d’attraction.
En éliminant T entre (2) et (3), on a l’équation difl’érentielle de la ligure d’équilibre,
(r' + y’Rrf/-) {xdr — vrfx ! = rds.
Soit mox — 0-, on a
xdy — rdx = r^dO, d.f = sidr’ -H rV 0’
ou tirera de l’équation précédente
± c.ir
dd-.
r\/{c' -^- fRdry r’ — c’
La recherche de la figure d’équilibre est ramenée à une quadrature qu’on saura déterminer exactement pour certaines valeurs defnnées de la fonction R.
Nous avons trouvé (page 67), pour l’expression génélale du rayon de courbure d’une courbe plane,
rdr
^ (•/(rsinV’ ’
où V désigne l’angle de la tangente avec le rayon vecteur. Or
donc
csinV = /. = -=;,-^— ;
d[nin V ■ =
cRf//
-/Rù/)’
igS
et, par suite,
/•(c' + fR(lr)- P ~ cR
Telle est l’expression du rayon de courbure en fonction du rayon vecteur.
Examinons, en particulier, le cas où la force centrale suit la raison inverse du carré de la distance ;
L’équation (4) devient
it c dr
/• ^ ( U — r' rf — c’
et SI I on pose - = z ,
\cdz
\/ c” — 2 fi c' Z -t- (fi’ —
L’intégrale s’obtient sous forme finie et prend des (ormes différentes selon que
fi>-C ou fi<[c, 'ou fl = c. ^
Soit, par exemple , u* — c’ = — n’ ; on trouve
fie' c' / / 9 •
1 — y u’ cos ( ' ' — — M
" " \\j n‘ + fl’
Cette équation pourra se construire à l’aide d’une section conique.
Pour déterminer les trois constantes «, c’, w, on a les conditions que le fil passe par les points donnés A et B, et qu’il ait une longueur donnée; si ces conditions ne fournissent pas des valeurs réelles et finies pour les constantes, on en conclura que la forme adoptée à priori pour l’intégrale n’est pas admissible, et l’on recommencera le calcul en partant d’une autre forme.
F.XERCICKS riE STATIQUE.
I•'n gélu’i al , la courbe est rectifiable , car on a
ds 7= tir
rVO’
((A — c' r) tir y^(fi — cV)’ — c’
A = c" y/(fi — c’r)’ — c’.
Remarque sur l’élimination de la tangente T dans . la recherche de la figure tl’équilibre du Jil flexible.
Dans la question qui vient de nous occuper, il a suffi, pour obtenir l’équation de la courbe formée par le fil, de substituer dans une combinaison des équations (i), la valeur de T tirée de l’équation (3). Eu général, l’élimination de T pourra se faire ainsi , toutes les fois que les composantes X, Y , Z de la force (centrale ou non centrale) qui sollicite chaque point du fil, satisferont à la condition d’intégrabilité
Xrfx -1- Y -f- Ztlz — ti^ [x ,Y , ^i)', parce qu'alors on aura
T = f — (Xrf.r-(- \dy 'Ldz) — const. — z).
Cependant , si (Xcir -|- Y^V -I- Z,dz) n’était pas une différentielle exacte, on peut demander comment s’ellécluerait l’élimination de 'F. Pour répondre à cette question, nous prendrons les équations de l’équilibre du fil sous la forme générale
proposons-nous d'en éliminer T (U z afin d’avoir une équation dill’éreiilielle entre >■ et j: seulement. Si l’on cllcctue
THOlSll.ME PARTIF..
les (lilîëmitialiüiis iudiquées , en prenant par exemple X pour variable indépendante, les quantités qui dépendent de 'r et de z dans nos trois équations sont au nombre de einq,
T, (/T, Z, dz, d‘z.
En dilVérentiant de nouveau trois fois de suite cliacunc de ces équations, on aura en tout douze cfjuntious, d’où l’on pourra éliminer les onze inconnues
T, dT, d’T, d^T, d‘T,
Z, dz, d’z, d'z, d'z, d'z.
Il restera une équation dilférentielle du cinquième ordre «mtre et J’; cette équation fera connaître y en fonction do X et de cinq constantes arbitraires ; par suite, et T seront aussi des fonctions connues de x et des mêmes constantes. On aura , pour déterminer ces cinq constantes, les conditions que la courbe passe; par deux points donnés et ail une loiii^ueur donnée.
Voici une autre; méthode d’élimination plus simple. J.e système des équations (t) peut être remplae;é par le suivant :
Yd.r
Xdz
' \ ds ds ds d.s I
... I dx , dz
Ltix z= r I —d
dz dx , d.v ' ds I ’
dT
ds ds — ( Xdx -h Y f!j- -f- Zf/z) ;
puis, si l’on elieiseles eleux pi-emières, membre n membre, e»n a, e‘n premaiil .7’ peuir variable; indépendante,
Y d.r — X dr dx '
Xdz — Zdx d’z’ dx'
e''ejiialiou inelépendaute’ ele ’l’ ea du deuxième o/y//y; par rapport à V e’i à Enlin, en substituant dans la Ireeisiémeéepiatievii la vale’ur de* T lire-e ele l une ele's deux pi emièiTS,
on a
EXERCICES riE STATIQCE.
5SO t
\t/x -4- Y (h '/,rh~ — fl •
(ix‘
équation dilVérenlicllc ilu ordre entre j', z et x.
Ainsi , on est amené à intégrer deux équations simultanées, l’une du deuxième ordre , l'autre du troisième. Les intégrales renfermeront, eoni'orrnément à ce que l’on a vu dans la première méthode, cinq constantes arbitraires. ,
il. De in chaînette sur une surface courbe.
Soit L = O l’équation de la surface rapportée à un système d’axes rectangulaires dont l’un, celui des z, est supposé vertical et dirigé en sens inverse de la pesanteur; posons
! dL '\ ■
(4jrl
et soient N la résistance de la surface rapportée .à l’unité de longueur tlu lil , p le poids de cette unité ; les équations d’équilibre sont ;
(t -f- fis - o,
\ as ] dx
on en lire flT = pdz ,
d’on T- = /JS -f- .
J.e fil ayant une longueur donnée, et étant fixé par ses deux extrémités à deux points donnés de la-surface, il v aur;i, dans la figure d équilibre, un certain point plus bas (|ue tous les antres. .Soient r i'oidonnéc' verticale, et pit la
au2
TROISIEME rAUTIF.
tension «lu (il ('n ec point ; on aura
])h ~ f)c -(- A , d’où \ — /> (/i — c);
d'où l’on voit que si le plan des xj est demeuré arbitraire , il suflira qu’il soit placé à une distance h du point le plus bas, pour que la constante A soit nulle; alors on aura simplement
c’est-à-dire (|ue si l’on venait à rompre le (il en un point quelconque, on pourrait maintenir une des portions en équilibre, en lui ajoutant un prolotigemenl vertical de même densité passant sur une poulie (ixe, et terminé au plan fixe des x, j. ‘
Plus généralement, la din'érenee des tensions en deux jtoinls quelconques égale le poids d’une longueur de fil égale à la dilVérence des hauteurs de ces deux points au-dessus d’un même plan horizontal.
Discutons quelques cas particuliers.
i". La suif ace L es! cylinilrique et son axe est vertical.
On a • ^
L = /(x,7) = o, d’où = O. .
La troisième équation (i) se réduit, en y remplaçant T par ]>z,ù
zdz \
d ^ j = ils., d’où z‘ — ,<t- + h',
en comptant l’arc s à partir du poiut le plus bas. Cette relation est précisément celle qui a lieu, dans la ebainette ordinaire, entre l'arc et l’ordonnée verlicale: donc la courbe tracée par le fil sur le cylindre est telle, qu’elle a pour transformée une chaînette dans le développement d»; la surl’ace.
La résistance .N est égale et contraire à la pression exercée
EXEnCICES DE SXATlQt'E.
tli; dehors en dedans sur la surfaee par le iil; on la ealeuhx a au moyen des deux premières équations (i).
Supposons qu'il s’agisse d’un eylindre à base eireulain;,
on lire des tioux premières équations (i), multipliées respee-
itiais puisque
ds
dl. dL
7 x' dr'
( d'if d'ü-
ds <ts
V ds ds
+ = on
d'if
dx- -h dr’ 1 1
+ ds =
ds'' \ 1
donc rN = ± /.2 [ ( - I ] = ±; !>z ~ ■ )
ou , enGn ,
rN =
pid
La pression varie donc en raùon inrerse de la hauteur du point considéré au-dessus du plan horizontal des x ^ y . '
Comme on a T = pz , on peut dire eneore que la pression en chaque point varie en raison inverse de la tension corrcsp ondante.
a". La surface L est une swjace conique de révolution dont l'axe est vertical.
Ici , il convient de prendre pour origine le sommet du cône, et, par conséquent, la constante A de l’expression de T ne sera plus nulle en général; on aura T = -f A /' ( s -t- h — '
2o4 troisième partie.
F,n pmiaiu pour axe des z Taxe du cône , et désignant par a le demi-angle du sommet, il vient
L = -H cos’ a — 3’ sin’ a ,
— = IX cos’a, — = 2 )• cos’ a , — — 2 s siii’ a .
rlx (iy ■ rtï
Substituant ces valeurs dans les éijuations (i), on tirera des deux premières,
/ '■èr 1 . / ax \
et, intégrant,
dx •<
= 0 ou d.T[x'-^ds
dx\
/ (ty dx\
Cette intégrale, transformée en coordonnées polaires, va nous fournir la projection horizon taie de la courbe cliercliée Soit & 1 angle que fait atec l’axe des x, la pro|ection horizontale de l’arète du cône aboutissant au point (x, r, z ) du lil ; on a
, , , , , cos a , cos a .
X dy — Y ilx — dO , z = r , ilz 3= — — dr,
sin a sin a
dr^
siu’a'
et. ces valeurs substituées dans l’équation précédente, 011 tire
B dr
de =
r ^{/jr cos a -I- A sin a)’ r’ — B’ sin’ a
Cette expression n’est pas intégrable, en général, sous forme finie. Klle le devient si l’on suppose e = /i, ou A = o; alors
dO =
dr
B’ sin’ a
F.XEUCICES DE STATIQUE.
, . K sin a
ou bien , en iio.sanl — = u ,
* < f cos a . r‘
,, . — du
2 sm a. tlH — — ---
I ,’intcgi'ale est
2 (0 — o>) sin X = arc cos
R sin a
, i>cusx
Au point le plus bas, ou peut supposer 0 = ^ en l'aisant
passer le plan des yz par ce point ; et, de plus, on a alors /i sin a
cos a
etc.
Pour avoir la transformée de la courbe décrite par le fil dans le développement du cône , désignons par R la longueur de l’arè le dont la projection est et part) l’angle du développement du cône (jui répond à 6,
r=Rsina et 0/-=«R, d’on 0 ■ •
sin a
Ces valeurs étant substituées dans l’intégrale précédente, on trouvera l’équation d'une hyperbole équilatèrc.
Le calcul de la pression N ne présente rien de remar- (juablc.
•4. Délcriiu'ncr ràpuùscur variable et supposée très-petite d’un fil flexible, homogène et pesant, suspendu à deux points Jixes, de sorte <pie sa figure soit une courbe donnée.
Kn prenant le plan de la courbe pour celui des , et pour axe des y la verticale dirigée en sens contraire de la pesanteur, on a les qqualions
dx
</ . T -t- g o> ds -xz 11 ,
ds , .
'»> désignant le produit de la densité du fil et delà seetion noiTuale qui a lieu au point in ( fig. 49).
ds
De la première équation , on tire T = gh — ? gh étant la
tension au point le plus bas C; et cette valeur de T, substituée dans la deuxiciiie équation, donne
dv
hd
dr / rfv’
dr
Soi t =])\ on ti re dx '
dx
F,a courbe ACH étant donnée, on tirera de son équation
les valeurs de P et ^cn fonction de x, et, par suite, on
aura la fonction de x que ü) représente. L’équation précédente peut s’écrire
O désignant le rayon de courbure de la courbe donnée ; supposons que cette courbe soit un cercle ayant son centre en D sur oy , et soit G l’angle (>D/n ; on aura p = tang 0 , et, par suite,
P cos’ 0
P étant constant, on voit que w , c’est-à-dire l’épaisseur du lil , variera en raison inverse du carré du cosinus de l’angle 6: elle sera la plus petite possible au point le plus bas C
ou 1 on aura w = —
EXEUCICES UK STATK^liE.
ao7
