équation (3) se réduit à

(4) sin9— + cos9 = o.

Si l’on y remplaçait et par leurs valeurs tirées des

équations ( a) , on aurait une relation entre 0 et < , qui ferait connaître le mouvement de rotation du point m autour du point A. Mais, comme on ne peut pas intégrer en général cette équation dillérentielle, nous ne l’écrirons pas et nous nous bornerons à la former directement dans quelques cas particuliers où elle est intégrable.

En premier lieu, supposons que le point A soit assujetti à décrire une ligne droite d’un mouvement uniforme; prenons cette droite pour axe des x, et soit h la vitesse du mouvement ; on aura

~dF

et l’équation précédente se réduit, après la substitution indiquée ci-dessus , à

ù’9 „ dd

— — = 0 , U ou — =const. = — c.

dp dt

(Nous représentons la constante par — c, parce que 0 diminue quand t'augmente.)

Ainsi, le mouvement relatif du point ;/i, [>ar rapport au point A , est uniforme.

EXEIICICES EE MÉCAMQEE. 219

• Ce résultat est une conséquence du principe général des mouvements relatifs. En etlét, la force qui sollicite le point A dans son mouvement •rectiligne étant nulle, la force égale et contraire qu’il faut appliquer en tn pour avoir le mouvement relatif de ce point autour de A est nulle : d’ailleurs , la tension du fil dirigée suivant le. rayon niK ne donne pas de composante tangentielle ; donc Iç point m tournera uniformément autour de A. ,

On conclut Immédiatement de là que la trajectoire du point m sera du genre des cycloïdes. En ellét, si l’on considère un cercle d’un rayon indéterminé AB = ;• [fig. 54) , qui roule d’un mouvement uniforme sur une droite CD parallèle à ox et distante de cet axe d’une quantité égale à le centre A décrira lui-même, d’un mouvement uniforme, l’axe ox ^ et le rayon AB tournera aussi uniformément. Prenons sur ce rayon prolongé, s’il est nécessaire, un point M distant du centre de la quantité Am = /. Pour que ce point ait exactement le mouvement de la masse rn, il suffira que le centre A marche sur ox avec la même vite.ssc b que l’extrémité homologue A de la tige mobile, et que le rayon /■ satisfasse à la condition ,

— rd fj = bdt, d’où /•= — •

Selon que l’on aura / > ou I cf -, ou / = -, le point in

décrira une cyc/oide allongée, ou une cycloïde raccourcie, ou une cycloïde ordinaire. *

L’analyse va nous conduire aux mêmes conséquences. Les équations ( 2 ) donnent ;

rfx , . . .

— = h — c isin 4 = à — cr.

de .

^ = — f /cos 0 = — c

d OÙ Ion conclut l’équation différentielle de la trajectoire

du poi nt/« on coordonnées rcclangulaires

dont rintégrale est

X = -arc cos"^— v//‘ — const.

On reconnaît ici une courbe du genre des cycloïdes. En cllet, celle courbe serait engendrée par un point du plan

d’un cercle de rayon - , dont le centre parcourrait l’axe ox ,

tandis que le cercle roulerait sans glisser sur une parallèle à cet axe , l représentant la distance du point décrivant au centre du cercle.

La valeur de la constante c dépend des données initiales. Supposons qu’à l’origine du mouvement, le fil ait été placé dans la position o C (/îg- 55), perpendiculaire à la directrice ox, et prenons cette ligne pour axe desj'. Le point mobile, qui est alors en C, a jxtur coordonnées x—o, y = oC = l', nous supposons de plus que ce point n’ait pas de vitesse initiale.

On aura pour t — o,

fj = -, — = 0 , ou ti—cl=.o, (1 ou r—-‘