V- — [b — c/)’ + r’ ( /’ — /’) = -h c’’ f — 2 bcy
les maxima et miniina de cette vitesse correspondront aux mlnima et maxima de l’ordonnée y.
Dans le cas que nous venons de discuter, on a plus simplement
Aux points de rebroussement C et D, la vitesse est nulle ; et, au sommets, elle atteint son maximum égal à 2 ft, c’est-à-dire au double de la vitesse de translation du point A.
Si le mobile avait une vitesse initiale /r, inclinée à l’axe des X du même angle a que le fil moteur (angle que nous ne supposons plus droit), on aurait, pour f = o,
rfx (iy
— k cos a, — = — A- sin a ,
(U de
d’où
k cos a — b — c/ sin a , sin a = c/ cos a ;
Cl l’élimination de la constante c conduirait à une équation de condition entre les données du problème, A, b, a, savoir :
k = b cos a .
Ainsi , pour que le problème fût possible, la vitesse initiale du point m devrait être la projection, sur la direction du fil, de la vitesse constante qui anime le point A.
En général , puisqu’on a
dx
di
• ely
c/ sin G , = — cl cos 9 ,
dt ’
on voit que la vitesse du point m peut toujours être décomposée en deux autres, l’une constante égale à h et parallèle à l’axe des x, l’autre dont la grandeur c/ peut être quel-
TROISIKME I‘ARTIE.
conque, et tloiil la direclion csi perpendiculaire au fil moteur m T.
^ous avons supposé jusqu’ici que le point A se mouvait unifonnémenl. Examinons le cas où il décrit une ligne droite d’un mouvement unij’ormément accéléré.
En prenant toujours celte droite pour axe des x, on a d' a.
fJ=o, — = const. = /.
Par suite, l’équation (4) se réduit à f/’O /■
— -f--s.nô = o.
Il en résulte que le fil A m oscille de part et d’autre de l'axe oj:, comme un pendule simple de longueur /, dans lequel la force de grandeur et de direction constante qui remplace la gravité , serait égale à A.
Le principe des mouvements relatifs permettait encore de prévoir ce résultat, puisqu'ici la force qu’il faut appliquer à m, pour avoir son mouvement relatif autour de A , est une force A constante en grandeur et en direction : le point m oscillera donc autour de A , comme un pendule simple.
Le mouvement du point m se ramène encore à celui du pendule simple, dans le cas où le point A est assujetti à décrire un cercle d'un mouvement uniforme.
Soient R le rayon o A [fig. 56) et m la vitesse constante avec laquelle ce rayon tourne autour du centre o, pris pour origine des coordonnées ; on a
a = R cos ti>t , P = R sin w t.
Par suite , on tire des équations (a) les valeurs de
— en fonction de 6 et de / : et en les substituant dans l’édf‘ ’
<{uation (4) on a
/ — ; — R w' siii ( 0 -h oü t) = o.
EXEIICICES DE MÉCANIQUE.
Si l’on pose ô -|- oit = (p (ç désigne l’angle du iil m A avec le rayon o A), réquation précédente devient
l — — !■ — R w’ sin ç = O.
fit' ^
Elle exprime que le fil A m oscille autour du rayon o A , comme tm pendule simple de longueur l, soumis à une force R (i)*, de direction constante.
2 ". R = oc : /e frottement est supposé infini.
Cela revient à supposer que le mouvement du point nt ait lieu par une suite de chocs instantanés imprimés dans la direction du fil m A , et que la vitesse acquise soit incessamment détruite parla résistance du plan.
Le point m décrit alors une courbe dont la tangente coïncide, à chaque instant, avec la direction même du fil moteur.
Cette première conséquence est mise en évidence par l’équation (3), qui se réduit à
. , . dx dy
(5) sin 9 - — f- cos 9-^ = 0 ,
d s ds
d ou — = — tang 9.
La courbe ainsi décrite se nomme tractoire.
La détermination de la tractoire est un problème de pure géométrie.
Le point A étant assujetti à décrire une courbe donnée f'[x,y) = o, on aura , entre a et |3 , la relation
puis , si l’on pose
(Jx ,
dx
on a
cos 9 =
sinG==
ces valeurs substituées dans les équations ( 2 ) donnent
-Ip
Digitizçd by Coogic
224 TROISIEME partie.
L’éliminalion de a etjS entre les équations (6) et (7) fournira, entre x , y et /a , l’équation diflerentiellc de la courbe cliercbéc.
On pourra , dans certains cas, diriger avec avantage le calcul de la manière suivante :
Les équations (7) donnent
cl a. — dx —
d’où
Ipdp
f/p = pdx +
Idp (i +/>’)’
P — pd a =
Idp
Comme S est une fonction connue 9 (a), on a
= 9' (a) da ;
et substituant dans l’équation (8) , on a une équation du premier ordre entre 71 et « ,
\/ 1 (“) — P] do- — Idp = o,
dont on peut faire disparaître l’irrationnelle en posant
-t- p’ = Z — p, d’où
dp
ch >
l’équation dilfércntielle devient
ch , , , Z I
da. ^ ' 2 2
CcslVc'f/ualion d’Euler. On sait l’intégrer, généralement, toutes les fois qu’on en connaît une intégrale particulière ; car alors on la ramène à l’équation linéaire.
Lorsque z et par suite p sont connus en fonction de « , le reste du calcul s’achève sans dilBculté.
Examinons d’abord le cas où le point A décrit une ligne droite o.r (fig. 57).
EXKKCICES DE MÉCAMyDE. • 2a5
On a (3 = O, et la seconde des équations ( l'ouniit immédiatement 1 ’équation difféi eiulelle do la tractoire
Avant de chercher l’intégrale entre eto:, on peut obtenir une relation très-simple entre l’arc a et l’ordonnée y,, en
remplaçant par son égal l’équation devient
(lo)
d’où l’on tire
dr
en prenant pour origine des arcs le point H dont l’ordonnée r = /•
Cette équation montre que la tractoire est asymptote à la directrice ox; car s = oo donne >' = o. Elle touche d’ailleurs en B l’axe oy.
L’analogie de l’équation (lo) avec celle qui a lieu entre l’ordonnée d’une chaînette de paramètre l, et l’arc compté à partir du point le plus bas, nous conduit à rechercher dans cette courbe une propriété de la tractoire : si l’on considère une chaînette LCL' 58), ayant pour équation
on sait qu’on en déduit
ds
,rfY YdY
.« = / -rrr > et , par suite , s =
(iX
ds
or, si du pied R de l’ordonnée mR, on abaisse une p<;rpendiculaire sur la tangente mT, on a
dX
donc m'î =: .V et ’I'K
JX^—s‘ = /.
Ainsi la courbe CTV , lieu des points T, est une développante de la chaînette, et de plus la tangente à cette développante, dont la direction n’est autre tpie celle de la perpendiculaire TR, est telle, que la portion comprise entre le point de contact et l’axe ox est constamment égalé à l. Si l’on transportait la chainetle sur la figure précédente, de manière que son axe prit la direction oy, et que son som- . met C coïncidât avec 11, les deux courbes CTV , RmlJ coïncideraient.
La tractoire est donc nue développante de la chaînette, dont le paramètre est la longueur constante diijil moteur.
On déduit de là une construction fort simple du rayon de courbure delà tractoire. En effet, il suffitd’éleveraupoint A une perpendiculaire à l’axe ox, et le point D où cette droite rencontre une perpendiculaire elevécen m sur mA, est le centre de courbure correspondant au point m. Les triangles semblables DmS, AmS donnent ensuite
/// D ; w A : III S : as , d’où D = l y/ — I ■
l’elle est la longueur du rayon de courbure.
La longueur de la normale mlV s’en déduit; car le triangle DNA donne
»j D . OT N = in A ’ =
On peut remarquer aussi qu’entre les ordonnées correspondantes mP, DA delà tractoire et de la cbainette, on a la relation = /*.
Reveiionsà l’équation ( 9 ) ; on en tire
et si l’on pose V/’ — y ’ = s , on a dx
=1 — de -4—
/-<lz
(La caractéristique log désigne ici des logarithmes népériens.)
Telle est l’équation delà tractoire B t«U.
L’équation différentielle ydx = — \! P — mani-
feste une propriété remarquable de l’aire de la tractoire, c’est qu’elle est réductible à l’aire du eercle. En effet , on a
Donc , si l’on décrit de o comme centre, avec o B ou Z pour rayon, un quart de cercle BLHE, l’aire B/nPo de la tractoire sera équivalente au segment circulaire BLHI , et l’aire asymptotique Bmxo aura pour mesure le quart de cercle
Comparons entre eux les chemins parcourus simultané- * *
ment par les points m et A. On a déjà ds = — l puis ,
comme a = x , on en tire
Donc
tls
da. l
= cos
ou
ydy —l'dy y/7î3y.
V b cos 0 ,
b désignanila vitesse constante ou variable du point A , et e celle du point m : ainsi la vitesse du point m sur la tractoire est, à chaque instant, la projection sur sa propre direction de la vitesse du point A.
Dans le cas oxï le mouvement du point A est uniforme, b est constante, et si l’on compte le temps à partir du
point B, pour lequel x = o, 0 = - , on u
X = bt — /cosO, j^=/sinO,
d’où
(tx (I fi
— = ti + / sin 0 — , (it (U
dr d 0
— = / cos 0 — • dt dt
Ces valeurs, substituées dans l’équation (5) , donnent
(II) / — -P 6 sin 0 = o ,
lani; - 0 = e ^ ;
0 étant connu en fonetioii du temps , on connaîtra aussi y par la formule y = / sin (5 , d’où
bt
et par suite, on pourra assigner à chaque instant la position du mobile sur sa trajectoire. Enfin, si l’on demande quelle serait la force accélératrice R capable de faire décrire la tractoire au point ni supposé libre, on tirera des équations ci-dessus ,
sin’ 0 COS0, ~~ï^~ y s*" ® (cos’ 0 — sin’ 9j;
d’où
(ST =r‘"«=
Cette force décroît proportionnellement h la distance du point in à la directrice, et sa direction fait avec l’axe des y positives un angle égal à 2 0. Comme la tangente à la trac-
toîre fait avec le même axe un angle ^ 0, on voit que
ces deux directions ne coïncident qu’au point de départ B
F.XmiClCES DE MÉCAMQEE. 22y
pour lequel 0 = et l’angle qu’elles l’ont entre elles est égal à ^ — Ô*
Pour terminer , nous analyserons brièvement le cas traité par Euler , où la courbe décrite par le point A est un cercle : alors, dit Euler, singulari fortund cvenitut tractoria definiri possit.
Nous emploierons les coordonnées polaires om = r, moA =d (fig.^g). Soient
OT T = / , O T = « , T ma ~ If ; puisque /«T est tangente à la tractoire, on a nlO
tang(f = d ailleurs, «’=/’ + /-’ — a/cros^. <
En éliminant r entre ces deux équations, on exprimera alsémeut 9 en fonction de (f par une quadrature. A cet cfl’ct, on dill’érentie la seconde équation , ce qui donne
flr — r r
donc
Isin d If
/ cos ' ’ — /’sin’ip’
et, par suite ,
dr
l sin f d If
— /’ sin’ (p
/siii
y tang fdif
— /’ sin’ If
sin*
© = Z sin^
^ ç / sin y rf ■;) Idz Idz
d’où
Z cos f /■' -+- 3^ — a’ -f- 3* '
9 = arc.ang!-/J 4- const .
La dernière intégrale oH’rc trois cas .à distinguer :
i“. Si a , 011 a
dz
L arc tang -
et par conséquent, si l’on rétablit la variable ®, ona l sin q> t/ — a’ l sin ip
sin <> <J l'‘ — d arc tang — arc tang
' sJ d — sin’ç
\/ a' — < ’ sin’ (p
La constante arbitraire a été déterminée par la condition que pour 6 = o , on ait y = o, c’est-à-dire qu’à l’origine le fil AB soit dans la direction prolongée du rayon oh.
L’angle y ne saurait dépasser la valeur pour laquelle
sin 0 — J-, alors r=\J — a’ , et l’angle au centre moT est droit.
Ô et r étant exprimés en fonction de ç, on peut regarder le problème comme résolu,
2°. Si / a , on a
- fl’ + z’ a sj d — / ’ X -f- V a’ — l‘‘
etc.
3 ". Si / = a , on a directement
/•/ 8 = tang- ly f ,
d’où 6=:tang<p — ç, et rz^a/cosçp.
A l’origine , Q — o, <p = o, et ra sa plus grande valeur a/; 0 allant en croissant, ip augmente continuellement puisque
^ est positif; mais o ne peut dépasser ni même atteindre
^5 auquel casr=o, et 6 = 00 .Ainsi, tandisquelefilfaitune
infinité de circonvolutions autour du cercle, le point mobile m s’approche indéfiniment du centre, qui est un point asymptote de la tractoire.
2 . Nous rapprocherons de l’élude de la tractoire , celle d’une courbe analogue qui a été l’objet des recherches de plusieurs géomètres. (Consulter les Annales de GergonnCj
eseiicic.es de mécamque. a3i
tome XIII, solulions de MM. Slurni,QuciTol cl Thomas de Saint-Laurent.)
La ligne de poursuite est décrite dans les circonstances suivantes :
On suppose qu’un chien se dirige avec un effort constant vers l'endroit où est son maître, qui, de son côté, parcourt unijoimément une ligne droite ; mais une résistance d’inten~ sité constante et parallèle à la route que suit le maître détourne sans cesse le chien de la direction qu’il tend à prendre. (C’est ce qui a lieu , par exemple, si le chien nage dans un canal dont le bord recliligneesl parcouru par le maître ; le courant fait dévier le chien de la direction qu’il veut prendre, en l’entrainant parallèlement au hord du canal , soit dans le sens de la marche du maître, soit en sens contraire.) On demande la courbe que décrit le chien, la distance qui le sépare à chaque instant de son maître , sa vitesse , etc.
Soient O B {fig. 6o) la droite que parcourt le maître ; B sa position au bout du temps /; m celle du chien; g la vitesse du maître; h la vitesse également constante avec laquelle le courant entraînerait le chien s’il s’y abandonnait : h sera positive dans le sens mR, et négative dans le sens opposé; h la vitesse constante qui résulterait de l’ellbrt fait par le chien dans le sens m B, et avec laquelle il marcherait de m vers B, si le courant n’existait pas.
D’apr ès le principe de l’indépendance des mouvements simultanés , il est facile de ramener la question au cas où le mouvement du chien aurait lieu dans un fluide stagnant qui ne lui opposerait aucune déviation. A cet elfct, il suffit de concevoir que le canal et le terrain sur lequel il est situé soient entraînés d’un mouvement commun-, dans le sens du courant et avec la vitesse h , sur un plan fixe , et que le maître marche sur ce terrain mobile avec une vitesse égah' à g — h\ tandis que le chien se dirigera vers lui avec la vitesse A. On déterminera la irajcctoin' ainsi décrite en
TROISIEME l’AKTIE.
la rapportant à deux axes rectangulaires tracés dans le plan mobile; ensuite on passera aisément des coordonnées relatives à ces axes , aux coordonnées relatives à deux axes tracés dans le plan üxe sur lequel tout le sj'stèmc est censé glisser. Kclaircissons ce dernier point.
Prenons pour axe des la droite parcourue par le maître, et pour axe des x la perpendiculaire abaissée sur cette droite du point do départ A du chien. Soit o k = a\ comptons le temps L et l'arc s décrit par le chien, à partir de l’instant où il était en A , en sorte que l’on ait à la fois
,\u bout du temps soient X, Y les coordonnées du point m où se trouve le chien, relatives à deux axes fixes; ,r, r ses coordonnées relatives aux deux axes mobiles avec le plan de la trajectoire, et qui , à l’origine du temps , coïncidaient avec les axes fixes. L’axe desj)^ ne cesse pas de coïncider avec celui des Y; mais l’axe des X s’est transporté parallèlement à lui-mème de la quantité (Y — j) avec la vitesse /i, tandis (jue le point ni décrit sur le plan mobile l’are s avec la vitesse A ; on aura donc
La question est ramenée à déterminer, s’il est possible, et s en fonction de x;.ct l’on s’est all'ranehi de la déviation causée par le courant.
Actuellement, la droite mobile wB doit être, comme dans le (iroblème de la iractoire , considérée comme tangente à la courbe A ru ; seulement, la longueur inli n’est pas constante.
Lu désignant oB par y,, on a
<■/) — Vi
n îifi'a I** iM|)|HU l (|f la vili’ssr ilii mailro à (•elle du rliiiui ,
EXKRCICKS I>E MÉCAMQUE.
sur lo plan mobile, et eotnine ce rapport est celui des éléments r/)‘, et t/s, on aura
— ntls — nr/.r
L’élimination de y, entre les deux é“quations ci-dessus fournira l’équation dill’éreiitielle de la courbe décrite sur le
plan mobile ; en posant on trouve
et intégrant, on a
‘'P de
P \J \ -t- p‘=: [cx)'‘.
Déterminons la constante arbitraire c. Comme la lai'geur du canal n’entre pour rien dans les calculs précédents, on peut la supposer itidéfinic du côté où se meut le chien, et regarder celui-ci comme nageant depuis un temps illimité. D après cela, le point A, pris arbitrairement comme point de départ, peut être supposé tel, que la droite qui joint le chien à son maitre soit alois perpendiculaire à oy : ainsi , quand le chien est en A , le maître sera o, et l’on aura en même temps
X ■= a, p~ O, (I ou c = - ;
Lne deuxième inlégration donne
puis , eoinme
il vient
TUOISIE.MK PAnTIE.
Ces formules sont en défaut pour h — i. Dans ee eas, on a
Connaissant >-■ et s en fonction de on aura, par les formules ( I ) ,
et si n = I ,
Discutons d’abord le cas où h — a, e’est-à-dire où le chien se dirige sans déviation, comme il le ferait sur un terrain solide , vers le lieu où il voit son inaitrc; alors Y se confond avec j, et la trajectoire est définie par les forinules( 2 ) ou (4), selon que n est di fièrent de i, ou égal à i.
Si n diffère de i , la trajectoire sera toujours une courbe algébrique; on la construira au moyen de deux courbes auxiliaires, en posant
car J
On pourra môme faire disparaître les termes constants que n et c rciifermcnl, en transportant l’origine au point de
l’axe des y, pour lequel y = — slo** l’expression
générale de y se réduit à
EXERCICES DE MÉCANIQUE. a35
Soit;’ la distance mBdu chien à son maître; on aura, par le triangle mBQ, /• = x V^i + p* , ou
w '=ï[©'-(î)"]=î[(;)”'+(îrj-
Cette distance ne pourra devenir nulle avec x, qu'autant que n sera plus petit que i .
Il existe une relation remarquable entre /■, x et le rayon de courbure p ; on a
dx
dp n i p‘ dx
P = ^ ; or -7- = — ^ ^ donc P
ou bien
Ainsi le rayon de courbure de la trajectoire est une troisième proportionnelle à la distance du chien à son maître , et auproduit de la distance du chien à la droite que parcourt le maître multipliée par le rapport des vitesses. Ce théorème fournit une construction simple du rayon de courbure en un point donné de la courbe.
On doit remarquer que ces résultats n’exigent pas que les vitesses du maître et du chien soient constantes, mais seulement qu’il existe entre elles un rapport constant.
Quand lavitcsscduchicncst uuc constante donnée A, on a
szzz kt.
et comme s est connu en fonction de ar, on en conclut l’expression du temps en fonction de la même variable,
^=drr[(;) T^L(r-l-
Soit, comme cas particulier, n = -j , ou la vitesse du maître moitié tic celle du chien ( lig. 6’i).
Digilized by Googlc
TROISIKME PARTIE.
Si l’oii iraiisporlc l’origine au point o' de l'axe oy , pour lequel y= 7 rt, il vient
Ces é([uations sont faciles à discuter sans recourir aux fonctions u et r*.
La trajectoire est symétrique par rapport au nouvel axe o'x', et située tout entière à droite de py; l’origine o' est un sommet. Pour ,r = n , on a jy =: ± j rt , ce qui donne deux points A, A', pour lesquels l’ordonnée est maximum.
Pour .r = 3 a , on a y = o , /7 = ; les deux branches (jui
partent du sommet o' se croisent sur cet axe à une distance 3 en faisant avec lui des augles de 3 o degrés ; au delà de ce point, elles s’étendent à l’infini au-dessus et au-dessous de l’axe. Pour o, les formules (8) et ( 3 ) donnent r=o,s—l a.
L’arc A o', parcouru par le chien jusqu’à la rencontre de son rnaitre, est la seule partie de cette courbe qui convienne au problème de dynamique. Cet arc est égal à la distance initiale o A augmentée d’un tiers, et pendant le temps employé par le chien à décrire cet arc, le maître a parcouru les deux tiers de cette même distance.
Soit, en second lieu, w = i, c’est-à-dire, la vitesse du maître è^ulc à celle du chien ( fig. 62).
Si l’on transporte l’origine dans le sens desjy négatives ,
de la quantité la formule (4) devient
x' a . [ x\ .r’ tt f n\
y~ 11 - ,Oll>=-^ (--II - .
[\ a ] ij « x***/
EXF.ncicF.s DE mec\iniqi;e.
Ce cas est le seul où la trajectoire soit une courbe transcendante.
On la construira à l’aide d’une parabole ^ ^ et
d’une logarithmique | t>= -1 J ’ entièrement
située dans l’angle des coordonnées positives jo'.r', attendu que l’on a toujours
etelle.se compose de deux branches infinies , convexes vers l’axe desx, dont l’une AD a pour a.symptotc l’axe des j';
l’autre AD' n’a pas d’asymptote rectiligne , puis(|ue ~ croit
indéfiniment avec x; l’ordonnée AP est minimum;
tance rw B ou r =
/■ décroît avec
la dis- .r, et
tend vers la limite Ainsi le chien se rapprochera de plus
en plus de son maître, sans que la distance qui les sépare soit jamais nulle, ni mêinc égale à la moitié de sa valeur primitive.
Le rayon de courbure p = — • Pour le construire, on
prendra sur la normale une longueur wS = wtQ = x, on joindra SB, et la perpendiculaire BC a cette dernière droite ira couper la normale au centre de couibure.
Revenons au cas général où le chien est dévié par un courant. La trajectoire est définie, comme on l’a vu, par l’équation
n “«-t-ilya) 'J n— IL\^/ J
et le temps s’exprime en
l'onction de l’abscisse X. — .T par
TROISIÈME VARTIE.
l’équation
Il n’y a rien à changer non plus à l’expression de la distance /•,
Enfin , pour avoir la vitesse du chien , qui répond à une valeur quelconque de x, on remarquera que cette vitesse est la résultante des deux vitesses h et A , dont la première est dirigée suivant une parallèle à l’axe des j, et dont la seconde fait avec l’axe des x un angle dont la tangente trigonométrique est la valeur de p déjà connue
Soit 9 l’angle de ces deux composantes; on aura A’-f- A’ -f- 2 /(X cos ç;
Lorsque n — i, ces formules doivent être modifiées comme on l’a déjà dit. La trajectoire est alors une courbe transcendante definie par l’équation (7).
^ Nota. On aurait pu établir toutes les formules ci-dessus sans ramener le problème au cas où la déviation est nulle ,
BXEnCICES DE MÉCANIQUE. 239
011 décomposant, selon les règles ordinaires , les vitesses A et h parallèlement aux axes coordonnés i on aurait eu ainsi pour équations différentielles du mouvement du chien,
Ax ^ ^ — S‘)
•If ^x‘ + (y — ’’ ‘Af sjx'' + (/ — gty
l'.Iles s’intégrent commodément, en introduisantune variable auxiliaire 6 telle que
y — gt = x tang 6,
et l’on est ramené. à un système d’équations simultanées tout semblable à celui que nous avons traité dans la seconde partie.
Une des applications les plus intéressantes des formules ci-dessus a trait au sillnge <T une harque. qui, pnrtanl de l'un des bords A d'une rivière dont la largeur est a , tend sans cesse vers le point directement opposé o de l'fiuire bord (fig. 63 ).
Alors gz=Q, et « = — j\ les équations (6) et (9) de-
viennent
Pour que le point fixe vers lequel tend la barque , et qui n’est autre que l’origine odes coordonuées, puisse être atteint, il faut et il suffit que l’équation précédente soit vérifiée par x=o,)' = o; et pour cela on doit avoir A ]> A , c’est-à-dire que l’impulsion imprimée par les rames doit être supérieure à celle du courant.
F.n supposant cette condition remplie , la valeur de -yt '
tirée de l’équation (1 1), s'annule pour .r = «
TIIOISIKME PAiniF,.
Au point C, (UHcrminé par celte ahseisse, la barque est dirigée perpencliculai renient au courant , et sa distance à la droite qui joint le point de départ A au point d’arrivée,
est iiiaxiinum.
Soit par exemple A = 2 A; on aura au point C, x :
d’où y =
Au point d’arrivée, ,r = o, y- = oc ; au point de départ ,
Le temps T, nécessaire pour traverser la rivière, est,
nk
d’après la formule (i 2 ), T = -, — y •
Si l’eau était stagnante (A = o), l’équation (i i) se réduirait à Y = o; la barque suivrait en ell'et la droite oA. Le
temps nécessaire à la traversée serait j •<] T; ainsi que
cela devait être, le retard croît avec la vitesse du courant. I.orsque A = A , l’équation (i i) se réduit à
l'ille représente une parabole dont le foyer esta l’origine, et le sommet au point où elle coupe le bord oy\ l’ordonnée
de ce point est—" Ainsi, quand laforced’impulsiondes rames
est égale à celle du courant, la barque n’atteint pas le bord au point désigné; mais elle aborde à un point en aval, distant du premier de la moitié de la largeur de la rivière.
EXF.nCICES 1»E MÉCANIQUE.
