CHAPITRE IV

SUR LE MOUVEMENT d'uNE SPHÈRE PESANTE ET INFINIMENT PETITE PLACÉE DANS UN CANAL RECTILIGNE OU CIRCULAIRE QUI SE MEUT SUIVANT UNE LOI DONNÉE.

1 . Déterminer le moui^ement d*une sphère infiniment petite^ pesante^ placée dans un tube cylindrique O A , d^un diamètre égal à celui de la sphère y et dont Taxe décrit d*un mouvement uniforme un cône droit autour de la "verticale Oz (fig. 69). On n'a pas égard au frottement.

Le principe des vitesses virtuelles, appliqué à l'équilibre des forces perdues par la sphère de masse m , dont les coordonnées sont (x^ y^ z) , fournit l'équation

Soit a Fangle constant zOA , Q l'angle POQ \ comme il croit proportionnellement au temps , on aura

en prenant pour le plan des zx la position initiale du planzOA.

Les liaisons du système sont exprimées par T équation précédente associée aux équations

X = rsinacosô, y = rsinasinô,

z = /• cos a ;

on en tire dx^dy^dz^en ayant soin de ne pas faire vafier le temps t y ou, ce qui revient au même, l'azimut 0-^ car, ici , les liaisons du système dépendent du temps, et le

tube dans lequel la sphère m est assujettie à rester, doit être considéré comme conservant la position qu'il avait au moment où l'on imprime le déplacement virtuel. On a ainsi

Sx =z sinacosO <îr, ^7 = sina sinô 5r, Sz = cosa^r;

l'équation (i) devient, en omettant le facteur m et égalant à zéro le coefficient de d r ,

sin a cos -^7 -H sin a sin -— -f- ( — -h §• ) cos a = o.

Pour éviter la transformation directe en coordonnées polaires des trois dérivées du second ordre qui entrent dans cette équation , on l'écrira d'abord ainsi :

d'où

xdx -hjrdy -f- zdz =: rdr, et

xd'^x -h fd^x -h zd^z ^= dr^ -h rd^r — {dx^ -h dy^ -h dz"*) ;

maison a déjà vu (page 8) comment l'expression

(dx^ -h dx^ -^^ dz^)

se transformait en coordonnées polaires : seulement il faut remarquer qu'ici l'une des deux coordonnées angulaires (a ) est constante. On trouve

dx^ -h dx^ -H dz^ z= dr^ -f- /"' sin' a. ^G' ;

par suite, Féquation du mouvement devient , toutes réductions faites , ,,. d'r . ^ d^'

Si le mouvement donné du tube n'était pas uniforme .,

EXEUCIGES DE MÉGANIQUE. 283

— serait une fonction connue de ^, et la question serait ramenée à intégrer une équation linéaire du second ordre à coefficients variables et avec second membre , ce que l'on ne sait pas faire en général ^ mais , dans le cas qui nous occupe,

— est égale à la constante //, et l'équation (3) prend la

forme

-— — /l'sin^alr— > . =0, dt^ \ //'sm*a/

dont Tintégrale est

fi^COSa ntsina . « — nisina

r — — — ; := A<? -hBc

n} sm* a

Les constantes A et B dépendent de la position et de la vitesse initiales de la sphère dans le tube.

Supposons qu'au commencement du mouvement la sphère ait été placée au sommet O, et lancée dans le tube

avec la vitesse ft \ on aura ,

dr pour ^=:o; r=o, —■z=.k^

d'où

nk%\XiOL — ^ ces a «^ sin a -j- g^ ces a

2/2* sm' a 2/z^sm'a

^ CCS a nh sin a — g COS a n/sin a 72* sin* a 2/2* sin* «

/?X- sin a -f- g' cos a — ntsina

2 /2* sm* a

Distinguons trois cas :

r. . , «w 5" cet a i*'. Soit /- > ^

dr , ,

La valeur de — que Ton tirera de l'équation précédente ,

étant constamment positive, r croit sans cesse avec t\^ le mobile s'éloigne donc indéfiniment de Forigine; la vitesse avec laquelle il décrit le tube croît aussi sans limite , à par-

^ dr

tir de l'époque où — atteint un minimum , époque marquée par l'équation

-— - — o , a ou e — -— -: 9

dt^ nk sin a — g ces a

, s coi OL

et alors r =

f ^ cet â

2*». Soit k = 5

L'expression de r se réduit à

/l' sm' a \ / • elle est constamment croissante , mais elle ne saurait dépasser ni même atteindre la limite ——, : la valeur de —

^ n^ sm' a dt

est décroissante et s'approche indéCniment de o. Ainsi le mobile s'éloigne toujours de l'origine et s'approche, avec une vitesse indéfiniment décroissante, d'un point du tube

£t COS ce

distant de l'origine de la quantité \ . ^ y sans jamais l'atteindre.

3». Soit k < 2

-, fi' cet a , 7 •! • En posant = Ar ^- A , il vient

/z sm a 2 /i sin a ^ '

dr ,

la valeur de — s'annule en passant du positif au négatif, pour

2 /l SID a

la valeur correspondante de r ,

h-^k-- si hUi-^-ik) r= r-^ >

n sin a

est un maximum. Le temps continuant à croître , -j est

constamment négative, et sa valeur absolue croît jusqu'à l'infini; r décroît jusqu'à l'infini négatif. Ainsi, le mobile , après s'être élevé dans le tube jusqu'à la distance

A -4- ^ — sj h[h'^iik) j j • 1 j

^ — ^ -y redescendra , atteindra de nouveau

/2 sin a

l'origine \ puis (le tube étant supposé indéfini en longueur) ,

le mobile continuera à le parcourir de haut en bas , avec

une vitesse qui ira en croissant jusqu'à l'infini.

Si Ton supposait a = -> le tube décrirait un planhori-

zontal , et la pesanteur n'influerait plus sur le mouvement de la spbère qui serait donné par l'équation

Ce cas a été examiné par BemouUi.

Pour réaliser l'hypothèse où la sphère ne reçoit pas de vitesse initiale , supposons qu'elle soit retenue dans le tube par un fil inextensible , de longueur OA = Tq , attaché au point fixe O (fig- 70) , et que le fil vienne à se rompre au moment où l'axe du tube fait un angle Q^ avec l'axe des x ; on aura , pour * = o,

/• = To , — = o , et consequemment A = B = — 5 donc

Soit (7 l'arc de cercle de rayon OA , décrit pendant le temps t par le point A du tube avec lequel coïncidait la sphère au moment de la rupture du fil •, on a

ff = «A-o /, d'où r = — V^'° -+■ ^

Cette équation, comparée avec celle d'une chaînette de

paramètre To , montre que la trajectoire décrite par la sphère n'est autre que la courbe qu'on obtiendrait en construisant d'abord la chaînette LAL' de paramètre r©, tangente par son sommet au cercle de rayon OA 5 puis enroulant la tangente AT sur le cercle , et portant les ordonnées MP de la chaînette de p en m sur les prolongements des rayons.

Considérons enfin le cas où le tube serait assujetti à tourner d'un mouv^ement uniforme autour d^ un axe hori^ jzontalj perpendiculaire à sa direction. Ce tube décrit alors un plan vertical , comme une lunette méridienne.

Pour déterminer le mouvement de la sphère à l'aide des

calculs précédents , on fera a = -, et l'on supposera que la

pesanteur soit dirigée suivant le prolongement de l'axe des y considéré comme vertical 5 l'équation (i) prendra la forme

et l'on en tirera la suivante , analogue à l'équation (2),

Cette équation s'obtient encore par un autre procédé qu'on aurait pu suivre dans le premier cas : il consiste à introduire la pression N exercée par le tube sur le mobile, ce qui permet de traiter celui-ci comme un point libre. On a ainsi les deux équations :

avec

df"

d'y dt'

r cos

r sin

(Nous admettons que le mouvement de révolution du tube tende à augmenter l'angle AOa: = 6. )

L'élimination de M redonne 1 équation (4 )• Enfin celle-ci se transforme , comme on Fa vu dans le premier cas , en coordonnées polaires ; il vient

(o) -r r-— - -f- fi' sm = o.

Si l'on y remplace par nt -f- w, et qu'on intègre, on a

r=:-^8in(/if-f-w)-hAe'"-^^-+-Be-"^-^~.

Nous laisserons aux lecteurs le soin de discuter cette intégrale. On pourra, par exemple, supposer que le tube parte de la direction horizontale ( co == o), et que le mobile n'ait pas de vitesse initiale.

Les équations (5) feront ensuite connaître la valeur de la pression N à chaque instant \ on en tire

d'^jr d^x

.r -^ — jr -. Nr -+- ^r 008 Ô == o ;

„ , xdW — rd^x d^B dr dQ

d'où :^-r^ = '*-TT^-2r- -;

dt^ dt^ . dt dt

en remplaçant par wf -f- o) , il vient

xd'^Y — yd^x dr

:^--r-r :=z^nr-^'i

dt^ dt

et , par suite ,

N = a/i-=--f-^ cos(«^-|- «) = n g cos (nt -{- (à) dt

2. Une roue circulaire porte y à sa circonférence, un canal annulaire , dans V intérieur duquel on a introduit

288 TKOlSIEllIt: PARTIE.

une sphère homogène pesante m , d'un très^petit diamètre égal à celui du canal ^ cette roue s'appuie par un point B de sa circonférence, sur un plan horizontal AOB (fig. 71), et, par son centre S, sur un axe fixe vertical SO incliné au plan de la roue d'un angle connu OSE = a. On sup-pose qu'on fasse rouler la roue sur le plan horizontal, de manière que son point d'appui décrire un cercle de rayon OB a^^ec une vitesse constante. Le cône droit dont l'axe est SO et le demi-angle au centre ce , est ainsi touché successii^ement y suivant toutes ses génératrices, par le plan de la roue mobile.

On demande les lois du mouv^ement du centre de la sphère, abstraction faite du frottement,

(Une solution inexacte de ce problème a été donnée dans le tome XIX des annales de Gergonne, page 36o. L'auteur prend pour expression de la force accélératrice eflFec-

tive qui anime le point m, la quantité J'-rj^ ^ étant le

rayon de la roue, et l'angle que le rayon S m fait avec un rayon fixe tracé dans le plan de la roue. Mais il y a là une erreur grave , dont l'effet n'est rien moins que de confondre l'élément de la trajectoire réellement décrite par le mobile, avec l'élément de la circonférence de la roue.)

Prenons pour axe des z la verticale SO, et faisons passer le plan des zx par l'arête SA, suivant laquelle la roue mobile touchait le cône à l'origine du mouvement; au bout du temps t, soient SB l'arête de contact, SC la position qu'occupe à cette époque , sur le plan de la roue , le rayon qui coïncidait primitivement avec SA*, S m le rayon vecteur de la sphère : sa position sera déterminée par les angles

mSO=<p et PS.r = J;,

SP étant la projection horizontale de Sw; mais ces deux angles ne sont pas indépendants l'un de l'autre.

Soit Taugle variable CSm 5 si l'on désigne par A la

vitesse constante et donnée avec laquelle Tangle AOB est

décrit, on aura

angle AOB = At ;

et comme il résulte de la nature du mouvement que

arc AB = arc BC , on en conclut

angle BSG = At sin a y et

angle mSB = ô — At sin a :

nous désignerons, pour abréger, ce dernier angle par w ,

(1) w = — Atsïncc,

Cela posé, il est facile d'exprimer les angles y et (|/ en fonction de co. En effet, l'angle trièdre rectangle SOmB donne d'abord

(2) ces (p = ces a ces &>.

Soit SB' la projection horizontale de l'arête SB ^ on a

+ = PSB' 4- B' S^ =r PSB' + BOA = PSB' + At.

PSB' mesure l'angle dièdre qui a pour arête SO dans le trièdre déjà considéré. On a donc

tang PSB' = . ^ 5 ^ sm a

par conséquent,

(3) += At-hAvc ( tang= . ^^ ^ \ ^ sma

A l'aide des formules (2) et (3), le problème est ramené à déterminer o) en fonction du temps. Comme nous n'avons ici qu'une seule Jonction variable co, il suffira d'employer une seule des équations de Lagrange,

^' U eJT d\ dt ddi dùi

OÙ V désigne la fonction des forces et T la moitié de la

force vive du mobile. On a

V = mgr cos «p = rngr ces a cos w ,

2 \ dO / 2 \dt^ ^ dt^

, dtù

Si Ton substitue pour ? î ~/ ^^ -r- leurs valeurs tirées des

formules (2) et (3), on trouve que l'expression de T se réduit à cette forme très-simple ,

T = -/?ir*[w''-|- 2sina./w'-H(i — cos*a cos*«)/-»].

En définitive , l'équation du mouvement est

r -— r cos'a ces « sm w Ar^ + fir ces a sm &> = o ;

dt^ ^ '

en la multipliant par 2 rfo), on l'intègre une première fois, et Ton a

(4) ''("T") -♦- ^^''cos'acos'w — agcosa cosw -^- c= o,

c étant une constante arbitraire, qu'on déterminera d'après les circonstances initiales. Enfin ^ le calcul de co en fonction de t est ramené à une quadrature

y 2 g cos a . cos w — X-'r ces' a cos'^ « — c

cette intégrale tie peut être calculée que par approximation , excepté pour certaines valeurs de c. Si l'on fait /r n^ o, ce qui revîertt à supposer la roue immobile, to se confond avec Q , et l'on retrouve la formule ordinaire du pendide simple ; seulement , la gravité g est ici remplacée par sa composante g cos a dani le plan de la roue.

(ù étant connu en fonction de t par l'intégrale précédente, les équations (i), (a) et (3) donnent d, ^ et ;^ en

EXERCICES DE MÉCANIQIJE. HQl

fonction de la même variable. L'élimination de t entt'e les expressions de cf et ip fournit ensuite l'équation polaire de la surface conique décrite par le rayon vecteur de la sphère. Si Ton transforme cette dernière équation en coordonnées rectilignes , au moyen des relations

z=rcos(j>, tangç=:-5

cette transformée, combinée avec l'équation

détermine la courbe à double courbure décrite par le centre de la sphère dans l'espace 5 enfin la vitesse de la sphère dans sa trajectoire sera également connue en fonction du temps par la formule

— I -f- 2/^ sina — -h(i — C08*aC0S*«)XM-

Considérons le cas particulier où l'on aurait , à l'origine du mouvement,

d(»i w = o et —-- = G, dt

ou bien , ce qui revient au même ,

Ô = o et -r =r A: sin a .

C'est ce qui aura lieu si la sphère est primitivement en A dans le canal , et qu'elle y reçoive une vitesse initiale précisément égale à celle avec laquelle le rayon SA décrit la circonférence de la roue. Dans cette hypothèse, l'équation (4) donne

czzzig cbs a — A' r^ ces' a ,

et cette valeur, substituée dans l'équation (5), conduit à l'intégrale

d(ji

\j[l — cosw) [X-V cos'a( l-HcoSw) — 1g cosa]

qu'on peut obtenir sous forme finies car, en posant

lang7w=K, X'rcos'a — gcosa=:a, gcosci = fj, cette intégrale devient

" J usja-^bu^ V « \ « /

et, en remplaçant u par sa valeur, on a

tang— &>

Pour déterminer c', on fait , dans cette équation , f = o et a)=:o, d'où l'on conclut c'= o, et, par conséquent, tang \ (0 sera constamment nul.

Ainsi , dans l'état initial supposé , la sphère ne quitterait pas le plan horizontal, et décrirait le cercle AB avec une vitesse constante égale à ftrsina.

La formule (5) s'intégrerait encore complètement, si l'on supposait un état initial tel, que la constante c fût nulle , et qu'en outre le coefficient de cos w sous le radical

tiales de 6 et de — : l'hypothèse dans laquelle nous nous

plaçons entraine les deux conditions

2g=. P r ces a ; l'expression de dt prend alors la forme

doi

^2COS0>>(l — cosw)

en désignant , pour abréger, g cos a par h.

EXERCICES DE MÉCANIQUE. 2gi

Si Ton fait

tang I w = a ,

il vient (en prenant d'abord le signe -f-, ce qui suppose que (ù croisse avec t)

Ir d u

dont l'intégrale est

Pour î = o , on a

tang - w ou uz=. tang - «o î

donc

y/,«tang'iG,

tang - 6(

Pour que cette valeur soit réelle, il faut que l'angle 9o soit au plus égal à - > et alors la constante c' sera plus petite

que I, ou au plus égale à i pour 9o==--

Résolvons l'intégrale précédente par rapport à u , et remplaçons cette variable par tang^ &) ; nous aurons

tang - w = —

En prenant le signe — dans l'expression de dt , on arrive à la même intégrale.