Un mobile est sollicité par une force dirigée vers
un centre jixey et Von propose de déterminer la loi siU" vant laquelle Vattraction doit varier ai^ec la distance pour que la trajectoire soit ou une spirale hyperbolique ayant pour pôle le centre fixe, ou une spirale logarithmique de même pôle, ou une circonférence de cercle passant par le centre fixe.
En partant de la formule donnée par M. Binet , •
où R désigne l'intensité de la force centrale, r la distance du mobile au centre, Q T angle du rayon vecteur avec une droite fixe, et c le double de Taire constante décrite dans l'unité de temps , on trouve aisément :
Pour le cas de la spirale hyperbolique dont Téquation
a est r = - 5
pour la spirale logarithmique dont l'équation est rz=.c?^
R r=: — i -^ — '-^ (même loi);
et pour le cas du cercle dont Téquation est r = a cos 0,
4. Déterminer le mouvement d'un point matériel m soumis à Inaction de plusieurs forces dirigées vers des centres fixes, et respectivement proportionnelles aux distam:es de ce point à ces divers centres.
Soient x^ y^ z les coordonnées du point m relatives à trois axes rectangulaires quelconques [fig- 68) ; a, i, c les coordonnées du centre A -, [i l'intensité de la force accélératrice qui émane de ce centre à l'unité de distance : [ir sera son in-
tensité à la distance A m = r^ et comme elle est dirigée de m vers A , ses composantes seront
Si nous désignons par les mêmes lettres accentuées les quantités analogues pour les centres A', A'',.*-) nous aurons les trois équations
— = pt (û — a:) -+■ fi' (a' — ^) 4- î*" («" — ^) 4- . . . ,
Mais il convient de leur donner une autre forme. La première de ces équations peut s'écrire
ou , si Ton pose
fA 4- fx' -4- (x" -h . , .
On aura de même
(3) ^=:(^-Hp' + ^" + ...)(c, -2),
en posant
pt -h f*' H- f*" + • . .
pic -H fji'c' -h|p'^<^'' -+*•••
pi -h pi' 4- p" -I- . . .
28o TROISIÈME PARTIE.
Les équations (i), (2), (3) sont celles du mouvement d'un point attiré par une force dirigée vers un centre fixe G dont les coordonnées sont aj, èj, Cj. L'intensité de cette force accélératrice est {^i •+- ^^ ■+■ (jl^^ -\- . . .) mG ] elle varie donc proportionnellement à la distance du point m au centre d'où elle émane. Pour définir la position de ce centre, concevons que les quantités (z, fjt', fx'',... représentent des poids dont les centres de gravité soient placés en A, A', A'^,.. . 5 le point G sera le centre de gravité du système de tous ces poids ^ cela résulte évidemment des valeurs de a^j ij, Cj.
La détermination du mouvement du point m est ainsi ramenée aux formules connues.
Remarque, — Cette réduction de toutes les forces d'attraction à une seule dirigée vers le centre de gravité] du système des poids jix, yJ ^ {^'\"") ^st une conséquence des propriétés du centre de gravité, et l'on pouvait l'en déduire sans calcul. En effet, prenons sur le prolongement de la droite G m une distance mH=&, arbitraire, et plaçons en H le centre d'un poids X tel , que le centre de gravité du système fx, fx', p'', . . . , X tombe au point m ; pour cela , il faut et il suffit que l'on ait
X^ = (p-f-y -hfx"-h. ..)/wG .
Or on sait qu'un système de forces égales à fxr, fxV, /ut'V,..., XA, et dirigées respectivement suivant les droites m A, m A', wA'^,...,mH serait en équilibre 5 donc l'une d'elles, la force XA, est égale. et opposée à la résultante de toutes les autres : donc ces dernières ont une résultante dont la grandeur est XAou {(jl -+- a' ■+- fx"...) mGet dont la direction est la droite mG.
EXERCICES DE MÉCÀMIQUE. 28 1
