CHAPITRE V
SUR LE MOUVEMENT d'uN POINT MATÉRIEL ASSUJETTI A DÉCRIRE UNE COURBE PLANE TELLE, QUE LA PRESSION EXERCÉE SUR LA COURBE SOIT DANS UN RAPPORT DONNÉ AVEC LA FORCE CENTRIFUGE.
1 . Un point matériel pesant est assujetti à descendre dans un plan vertical y le long d^une courbe telle, que le rapport de la pression exercée en chaque point par le mobile à la force centrifuge soit constant. On propose de déterminer cette courbe.
Soit AmB (Jîg, 72) la courbe cherchée que nous rapporterons à deux axes rectangulaires O x, O j^, ce dernier dirigé dans le sens de la pesanteur. La pression au point m a
- ± g" — 1 5 le signe -f- convient aux courbes
concaves vers l'axe des jc, et le signe — aux courbes convexes; par conséquent, si l'on désigne par (tz -f- 1) le rapport constant de cette force à la force centrifuge -? on doit
P avoir
Soit 2gh le carré de la vitesse au point de départ du mobile dont Fordonnée est yo ; le principe des forces vives donne
i>^ = 2^{/ — 7o -H h) ==Zg{x-'^)y
en posant, pour abréger, j^o — h=ih.
On a d'ailleurs
pdp dx (h ^i^ p
dy
HgÔ TROISIEME PAKTIE.
on regarde Tare s comme croissant avec x-^ le signe -f- de l'expression de p convient aux courbes convexes vers Taxe des a:, et le signe — aux courbes concaves.
Lorsqu'on substituera ces valeurs dans l'équation (i), le double signe disparaîtra , et Ton aura
— djr ipdp
Bien que le facteur g ait disparu de cette équation, il n'en faut pas conclure que la courbe cberchée sera indépendante de l'intensité de la pesanteur \ car h , qui est le rapport du carré d'une vitesse à 2g", et par suite A", dépendent de cette intensité.
En intégrant, il vient
c étant une constante arbitraire; on en tire
ou
et
(2) dx^ — ^
La détermination delà trajectoire est ainsi ramenée à une quadrature qui n'est exécutable que pour certaines valeurs de n. On peut se contenter de prendre le radical avec le signe -h, ce qui donnera les points de la courbe dont \y croit avec x\^ car l'intégrale qu'on obtient ainsi est générale. En prenant le signe — , on retomberait sur le même résultat.
La différomielle précédente peut s'intégrer dans qualro
cas, savoir :
D'après la valeur de la pression (n-\-i)-j les valeurs
positives de fi doivent répondre à des courbes concaves vers l'axe des a:, -et les valeurs négatives de n à des courbes convexes. Examinons ces difîerents cas.
1°. n = i. La pression est double de la force centri-
La formule (2) devient
dy
dx =
équation d'une cycloïde dont la base horizontale est distante de l'axe Ox de la quantité fc=j^o — /i, et dont le
cercle générateur a pour rayon -•
Soit PO = jo , PC = A ; on aura OC = / .
La base de la cycloïde sera l'horizontale CDE. Si l'on supposait A = o, c'est-à-dire si le mobile partait du point A sans vitesse initiale, l'origine de la cycloïde serait au point A
lui-même. Le rayon -du cercle générateur restera arbitraire
tant qu'on n'assignera pas un second point B par lequel doit passer la courbe; si ce point est donné, on exprimera que ses coordonnées vérifient l'équation finie de la cycloïde, d'où l'on conclura la valeur de c 5 ou bien on pourra déterminer c par une construction géométrique fondée sur ce que toutes les cycloïdes sont des courbes semblables , ainsi qu'on le fait dans le problème de la brachistochrone.
^ Il résulte des calculs précédents que la courbe jouissant de la propriété que la pression exercée en chaque point par un mobile pesant assujetti à la parcourir est double de la force centrifu^ije, n'est autre qup la brachistochrone.
Nous généraliserons plus bas cette propriété.
2°. 71 = — I . La pression est constamment nulle.
La formule (2) donne
d.= ^ "Tcdy
SX — ^ — ^ l'intégrale est
elle représente une parabole dont Taxe est vertical , et qui tourne sa convexité du côté de Taxe des x.
Ce résultat pouvait être prévu d'après les lois du mouvement dun projectile dans le vide; on sait, en effet, qu'il décrit librement une parabole dont l'axe est parallèle à la direction de la pesanteur, et dont la tangente à l'origine est la direction de la vitesse initiale. Il est clair que si l'on assujettit le mobile à se mouvoir dans un canal ayant précisément la forme de cette parabole , il n'y aura aucune réaction de la part du mobile contre les parois du canal.
3*^. n=z\. La pression est à la force centrifuge comme 3 est à 2.
On
dx =
{y-k)dx
ou
équation d'un cercle de rayon arbitraire c, et dont le centre est distant de l'axe O j: de la quantité A = jo — A-
4**« Ti :=. — -j. La pression est moitié de la force centri-
On a
cdy
^ir — ^y — c^
a où
^r y — i'^s/if-^y'-c' '\
£xe;rgicçs de mécanique. 299
En transportant 1 origine au point (x = c\y =ik)^ cette intégrale prend la forme
c'est l'équation d'une chaînette dont le sommet est à la distance c de l'axe des x.
2. Nous avons reconnu plus haut, dans le cas d'un mobile pesant, une propriété caractéristique de la brachistochrone , savoir : qu'elle est la courbe telle , que la pression exercée en chaque point par le mobile assujetti à la décrire est double de la force centrifuge. Cette propriété s'étend à la courbe plane décrite par un point matériel sous l'action d'une force quelconque, pourvu que le principe des forces vives ait lieu : c'est ce que nous allons faire voir.
Considérons un point matériel assujetti à rester dans un plan , et sollicité par une force dont les composantes X , Y satisfont à la condition
En désignant par \^ la vitesse du mobile , on a
C étant une constante arbitraire; et, par suite,
pdv i^di>
dx dy
Soit (n + 1) le rapport de la pression à la force centrifuge ; les équations différentielles du mouvement prendront
la forme
d^x dv , .^^ dy
-— =P— + {«+!)- ^, dt^ dx p ds
d'^y di> , . ç- dx
dt"" dy ^ ^ p ds
3oO TROISIÈME PARTIE.
Pour en déduire l'équalion de la trajectoire, il faut éliminer le temps 1 5 à cet effet , il n'est pas nécessaire de combiner entre elles ces deux équations : la première suffit, en ayant égard à l'équation (3), qui fait déjà connaître 1^ en fonction de x elj.
d'^x \dt ) , ds
On a -7— = — ^-; — - ; or de=z —•.
dt^ dt V ^
donc
vdœ dx
„ t'rt.— 7- "-7- , ,
d^ X ds ds dv dx
dc^ ds ds ds ds
Par cette transformation, -^-^est exprimée en fonction
de différentielles où la variable indépendante n'est plus le temps, mais telle variable qu'on voudra, l'arc s par exemple.
On a d'ailleurs
dx
d» — I dy ds
ds ds
ces valeurs étant substituées dans la première des équations du mouvement , il vient , toutes réductions faites ,
dx . ds dv dv dx
^ ds dx ds ds
Cette équation , dans laquelle i^ doit être remplacée par
\/2Q!) {oc^y) 4- c, ne renferme plus le temps 5 c'est donc l'équation de la trajectoire.
On aurait pu l'obtenir plus simplement en partant de r expression connue de la pression N sur une courbe plane,
N = - 4- R cos 0,
EXERCICES DE MÉCANIQUE. 3oi
R désignant la force et 9 l'angle que sa direction fait avec la normale dirigée en dehors de la courbe. Car on a
du dy dy dx
Rcos0 = — P — -f-hP-f— ,
dx ds dv d?
N = (;2 + i)-; P donc
, p"^ v^ l dv dy dv dx\
p p \dx ds dy ds I
Réduisant, et remplaçant- parla valeur employée ci-dessus,
P on a l'équation (4).
Actuellement , supposons que le rapport constant de la
pression à la force centrifuge doive être égal à 2 5 on aura
71= 1 5 et l'équation (4) deviendra
dx (5) ds dv dv dx
ds dx ds ds
Il s'agit de démontrer que cette équation est celle d'une brachistochrone, c'est-à-dire de la courbe qu'un mobile,
sollicité par la force dont les composantes sont — ? — •> doit
dx dy
suivre pour aller d'un point (0:0,70) à un autre [x^^jy) dans le moindre temps possible.
En désignant par s l'arc de la brachistochrone qui doit être parcouru, la condition du minimum s'exprime par
o OU
{-^ds-^-ds^ -\ = o :
i^ est une fonction connue de x etj^.
et les limites de Tintégrale étant supposées fixes , on peut se borner à faire varier l'une des deux coordonnées , x par exemple : on a ainsi
V dx d'ailleurs
on a donc
di
I dx V
V ds dx
Intégrant par parties le terme affecté de la double caractéristique d d , puis égalant à zéro le coefficient de cJ a: sous le signe /, on a
ou
ou enfin
V ,1 dx
ds-- rf-=o,
ax V ds
ds du ' . ^ dx du
%>* dx u ds ds «'■- '
dx
-, ds du \ dx
ds \ u f-— . / — du-y-=o.
as dx / ds
Cest l'équation (5). , c. q. f. d
EXERCICES DE MÉCANIQUE. 3o3
