DE LA COURBE SYNCHRONE. THÉORÈMES SUR LES

BRACHISTOCHRONES.

1 . On suppose une série de cycloïdes A m , A/zi', . . . , situées dans un plan vertical^ issues d'un même point A, et ayant leurs bases sur une même horizontale Kx (fig. ^3 ) 5 on propose de déterminer le lieu des points m , m', . . . , tels que tes arcs de cycloïdes ^ Am, A m',... soient parcourus dans le même temps par un point matériel pesant , parti de Ksans vitesse initiale^ et assujetti à décrire successii^ement ces di\f erses courbes.

Ce lieu géométrique a reçu le nom de courbe synchrone .

Désignons par i / — le temps nécessaire pour paitîourir

les arcs de cycloïdes Am^Am'j... -, h sera l'espace vertical que décrirait dans le même temps un mobile en chute libre^ prenons sur la verticale Ay une longueur AB = A , B sera le point de la courbe synchrone correspondant à une cycloïde dont le cercle générateur serait infini. Soient OS = a .le rayon du cercle générateur de la cycloïde Am^x et ries coordonnées du point m, rapportées aux axes Ax et Ay 5 on aura

x-=. a^ arc cos

I ih ^ I a

a — y arc cos

ou réduisant,

(,) arccos (1^) = y/^,

V ?^ ) X =z sj 7.ah — sj 'i-ay — y"^ .

3o4 TROISIÈME PARTIE.

L'élimina lion de a entre ces deux équations fournira l'équation du lieu cherché.

On peut le construire par points de la manière suivante : si Ton mène du point m au cercle I/zS, Thorizontale mn, on a

arc \n:=z a. arc ces »

et , en vertu de Téquation (i) .

arcl/i= v^ ^ah = ^IS.AB.

Ainsi, en prenant un arc In, dont la longueur soit moyenne proportionnelle entre AB et IS^ puis, menant par le point n une horizontale, le point m où cette droite coupera la cycloïde A/» S, appartiendra au lieu cherché. En faisant varier le diamètre IS , on construira autant de points que l'on voudra.

Sans éliminer a entre les équations (i) et (a), nous allons démontrer la principale propriété de la courbe synchrone 5 c'est quelle coupe à angle droit toutes les cycloides .

DifTérentions l'équation (2) en y regardant a comme une fonction dej^ déterminée par l'équation (i); il vient

etFéquation (i) donne

VV ^« yliay—x^J ^T

^ 7,ay-^y^

da Eliminant -T-î on a dy

dx y — 2a ^ I la — y

dy yj ^ay— y

dy

ou -r-

dx ▼ 2 fl — y

a I la

▼ la — Y

EXERCICES DE MÉCAf<IQUE. 3o5

Tel est le coefficient angulaire de la tangente à la synchrone.

Or l'équation différentielle de la cycloïde correspondante au même rayon a , est

Le produit de ces deux coefficients différentiels est égal à — I , ce qui démontre la proposition énoncée.

2. Parmi toutes les cycloïdes qui ont une même origine A, etieurs bases sur une même horizontale, déterminer celle quun corps pesant, parti de A sans vitesse initiale, doit suiv^re pour atteindre, dans le moindre temps possible ^ une ligne donnée BC ^ droite ou courbe (fig. y^).

Il est aisé de reconnaître que la cycloïde cherchée doit couper à angle droit la ligne BC. En effet, s'il en était autrement, et qu'elle eût la position de la cycloïde A m' qui coupe BC sous un angle aigu Tm'm, la synchrone qui passe par le point m', et qui coupe à angle droit la cycloïde 'Am', étant prolongée au delà de m\ passerait dans Pangle obtus mm'T' ^ et conséquemment elle irait couper la cycloïde Aw, orthogonale à BC , en un point I situé au delà de m par rapport à l'origine; Tare A m moindre que AT. serait parcouru dans un temps moindre que ce dernier, et par suite, dans un temps moindre que A m', ce qui est contre l'hypothèse.

Au reste, cette proposition n'est qu'un cas particulier de ce théorème connu : la bracliistochrone coupe à angle droit la courbe d^anwée.

Supposons que la ligne BC soit droite 5 mB étant normale à la cycloïde cherchée Am, B sera le point de contact du cercle générateur dans la position correspondante au point ni , en sorte que l'on aura

AB -- arc B w.

3o6 TaOISIJLME PARTIE.

Donc , si l'on décrit un cercle auxiliaire Bfjia qui louche en B la droite AB, la proportion

arcBfA : AB :: Bff : BS

fera connaître le diamètre BS du cercle générateur de la cycloïde cherchée.

Dans le cas particulier où la droite BC sera verticale , le point m où elle sera rencontrée par la cycloïde sera le sommet de celle-ci , et la circonférence du cercle générateur sera double de AB.

Analjtiquement ^ si Ton désigne par m le coefficient angulaire de la droite BC, et par ^ la longueur AB, on aura , pour déterminer la cycloïde et le point d'incidence m , les deux équations

I — — = cos-« a a \

Quand m = co, onaj^=2a, et, par suite , d= na. Le point m est alors au sommet S de la cycloïde.

(Cette question avait été proposée par Jacques Bemoulli à son frère Jean, avec promesse d'un prix de cinquante écus : Actes de Leipsig, 1697.)

3. La question précédente est comprise comme cas particulier dans une proposition qui sera énoncée plus bas, après que nous aurons généralisé la notion des courbes brachistochrones .

Nous considérerons un point matériel assujetti à se mouvoir sur une surface donnée dont l'équation est

et sollicité par nne force dont les composantes satisfont à la condition

yi^da: -f- Ydfj 4- Zdz =z d,<f [xy j, 3).

EXERCICES DE MÉCAIÏIQUE. So^

La brachistochrone est Ja courbe que ce mobile doit suivre pour aller d'un point de la surface à un autre dans un temps plus court qu'en suivant toute autre courbe voisine située sur cette surface.

La méthode des variations , appliquée comme on Ta fait dans la question précédente , fournira pour les équations de la brachistocbrone,

M- J dx

J i dx rf. - — V ds

ds

dl dy

d, dF

I dy u ds ds

dF

dx

dy

1 F(ar

i' désigne

la

vitesse du mobile , et l'on

, z) -Hc.

Cela posé , voici la proposition de BernouUi généralisée : si l'on suppose une série de bracbistochrones issues d'un même point A et situées sur une surface donnée, le lieu des points M , M' tels , que les arcs AM , AM' soient parcourus dans le même temps par lin mobile animé d'une même vitesse initiale, est une courbe qui coupe à angle droit chaque brachistocbrone.

(Le lecteur pourra consulter, pour la démonstration de ce théorème et des suivants, une Thèse de M. Roger insérée dans le tome XIII du Journal de Matliéniatiques de M. LiouviUe.)

4. Nous terminerons ce chapitre en énonçant quelques autres propositions faciles à démontrer sur les brachistochrones.

1°. Soient Xo , j^^ z^ les coordonnées du point de départ du mobile où la vitesse if sera supposée nulle; on aura, pour un point quelconque x, y, 2 ,

3o8 TROISIÈME PARTIE.

Cela posé , la brachistoclirooe coupera à angle droite au point de départ, la courbe d'intersection des deux surfaces

(f = Oy OU <f(x,jr,z) = COTiSt.

La surface [tp (x^y^ z) = const.] pour tous les points de laquelle p* a la même valeur, est dite surface de nii^eau. Par chaque point de la surface [F (x, j^, z) = o] , il passe une surface de niveau, et l'intersection des deux surfaces est dite courbe de nweau^ la proposition précédente peut donc s'énoncer ainsi :

Au point de départ, et plus généralement aux points de la trajectoire où la vitesse du mobile se trouvera nulle y la brachistochrone coupera à angle droit la courbe de niveau correspondante,

7?, Si la surface [F(j:,j^,z) = o] se confond avec une surface de niveau [(p [x^y^ z) = const.], la brachistochrone se réduira à la ligne la plus courte qu'on puisse tracer sur la surface du point de départ au point d'arrivée, dite ligne géodésique.

3^. La surface [F (a:,j^, z) = o] restant quelconque, si le mobile lancé avec une vitesse initiale n'est soumis à l'action d'aucune force , la brachistochrone se réduira encore à la ligne géodésique.

EXERCICES DE MÉCANIQUE. Sop