CHAPITRE II

SUR LE MOUVEMENT d'uN SYSTEME DE DEUX CORPS PESANTS , DONT l'un ne PEUT QUE GLISSER SUR UN PLAN FIXE, TANDIS QUE l'aUTRE EST ASSUJETTI A GLISSER SUR LA SURFACE DU PREMIER.

1 . Un prisme homogène , de masse M , dont la section droite est un triangle rectangle ABC ( fig. 89) , repose par Vune de ses faces rectangulaires sur un plan horizontal fixe RR' sur lequel il peut glisser : un corps pesant de masse m ei de dimensions très-petites est posé sur la face hjpoténusale BC du prisme et glisse suii^ant la ligne de plus grande pente, de sorte que son centre de gray^ité et celui du prisme soient toujours compris dans le même plan vertical ABC. La pression que le corps m exerce sur le prisme ^ faà reculer celui-ci dans le sens AR'. On propose de déterminer la vitesse de descente du corps m , la trajectoire réelle décrite par l'un de ses points , la vitesse de recul du triangle ABC, etc. (On suppose le frottement insensible. Nous indiquerons , à la fin du chapitre , comment on tiendrait compte du frottement.)

Ce problème est posé dans les œuvres de Jean Bernoulli, mais la solution qu'on y trouve est bizarre et manque de clarté. L'auteur décompose d'abord la pesanteur appliquée au corps m en deux forces , l'une parallèle au plan BC , l'autre normale à ce plan : celle-ci est à son tour décomposée en deux autres , l'une horizontale , l'autre verticale 5 cette dernière composante est de nouveau traitée comme la pesanteur, c'est-à-dire décomposée en deux forces , l'une parallèle au plan BC, l'autre normale, et ainsi de suite à

1^ infini. Ces composantes (dans lesquelles les masses des deux mobiles s'introduisent d'une manière peu satisfaisante) sont rangées en deux groupes, Tun produisant le mouvement de descente du corps m le long de BC, l'autre le mouvement de recul du triangle ABC , etc. La solution que nous allons présenter sera tirée de la formule générale de la dynamique.

Soit BCA la position initiale de la section droite du prisme , et prenons pour axes des coordonnées la verticale CAj'" et l'horizontale C j:. Au bout du tempsr, le triangle BCA a pris la position B'C'A', et le corps pesant est venu en ni. Soient a: , / les coordonnées d'une molécule [l de ce corps : les moments virtuels des composantes de la force perdue

par cette molécule sont — i^~77 <^-^' ^\8~^ TT ) ^J^' ^^

formule générale de la dynamique renfermera une somme de termes semblables pour tous les points du corps /?i, savoir,

-21 flF ^■'^-^ 2f(-^-S ^■^)-

Mais , puisque ces points décrivent des lignes égales et parallèles ^ leurs coordonnées ne diffèrent les unes des autres que de quantités constantes pendant toute la durée du mouve-

d^ X d^ Y ment *, —r-^ 9 -rY sont donc les mêmes pour tous les points

à chaque instant, aussi bien que àx ^ ày^ de sorte que

d^x^ dKi.