PESANTES

Uii fil fiexihle inextensible et sans masse est suspendu à un point fixe O et chargé de deux niasses pesantes m , w' ( fig. 88). On suppose quà l'origine du moui^ement ces deux points matériels aient été écartés de la verticale Oy, sans rester en ligne droite av^ec le point fixe, mais sans sortir d'un plan vertical passant par ce point y puis abandonnés à eux-mêmes y et l'on propose de déterminer les petites oscillations du système. (Concours d'agrégation de 1844.)

Le mouvement oscillatoire de chaque point aura évidemment lieu dans le plan vertical jOx^ qui passe par la position initiale du fil 5 désignons par a et b les deux longueurs O m , /wm'; les inconnues du problème sont les deux angles

m Of = , /7i' my' = y

que font ces deux portions du fil avec la verticale.

1. Soient x^ j^ x\ y' les coordonnées des deux points m 5 w'; v», p»' leurs vitesses, au bout du temps t\ g l'intensité de la pesanteur. Le principe des forces vives et celui des

aires fournissent les deux équations

//«'* -h m' (/' =± 2 g' (/wj -I- /w' jr') -h c ,

Pour y introduire les deux inconnues 0, y , on a les relations

X = a sin , J a/ = a sin Ô + è sin <p ,

j = « ces ô , yy :=. a CCS -f- ^ ces y ;

d'où Ton tire

,^ô» ., di' ^ , . ^.dQ d<f

dO -^ dt'

ou -(^.^r-r^) = 5^ = -«»— ,

dt' ' dt^ dt^ -^ -^ ' dt^ di^

«. « ^ ces ( y - ) ( — + - T j 4. «^ sm ( ç - ) (^-J - — j

dt

Les équations des forces vives et des aires prennent la forme :

!d9' do' dB d9

= 2g'[(/w -f- m' ) a cos B ■+• fn' b cosep] -j-c,

^ '^ </r ^/' ^^ ^\dr dr)

== — g{{m -f- /w')û sin -f- ni'b sincp].

Voilà les deux équations propres à déterminer ô et <p en

foiiclioli de t. Supposons que l'on ail, pour ^ = o ,

il en résulte, pour la constante arbitraire c, la valeur

c = — 2 g' [( w -f- /w' ) fl CCS a -h m'b ces ^ ]..

On ne peut pas intégrer, en général, sous forme finie, les équations (i) et (a). Nous nous bornerons au cas où les oscillations sdnt supposées très- petites, a, j3, d, (p sont alors des quantités très-petites dont on peut négliger les carrés et les produits , vis-à-vis des premières puissances ;

les dérivées — 5 -^ sont aussi des quantités du même ordre

que les fonctions et 9 (*). Comme l'équation (i), dans laquelle c sera remplacée par sa valeur, ne renferme pas de termes du premier ordre, on devra y conserver ceux du deuxième ordre.

On trouve ainsi :

(3) J ^ ' dt^ dt^ dt dt

(4) ; ^ ' dt' dt' \dt' dt' = — g[(m-{-m') aB-h m' hff].

L'équation (3) est du premier ordre , maïs elle n'est pas

(*) En cifet, soit Ô =/(«); on a

~=/'(0. Or At-hh)^f{t)=.hf^(t^,h),

s étant comprise entre o et i. y( t) etf{t-^h) sont par hypothèse des

quantités très-petites, quel que soit l^accroissement fini h\donc/' {t-i-sh)

de est aussi une quantité très-petite, on, ce qui reYient au même, -r- reste

constamment très-petite en même temps que la fonction 6. En frénéral , quand une fonction continue prend de très-petites valeurs pour toutes les valeurs de la variable comprises entre certaines limites, la fonction dérivée est également très'petite dans le même intervalle.

linéaire, c'est pourquoi on la difTérentie*, puis on en re-

dB tranche le produit de Téquation (4) par —-? et Ton obtient,

suppression faîte du facteur commun l-j 7/ ) ' l'équation linéaire

^^ dt^ dt^ ^^ '

qui peut remplacer Téquation (3).

Éliminant ensuite —r^ entre cette dernière et l'équation (4)9 on a

(6) wfl — ■-h^(m -j-/w')0 — o^/w'ç = G.

C'est avec les équations (5) et (6) que nous achèverons la solution du problème-, mais auparavant nous montrerons comment on aurait pu les obtenir par des calculs plus «impies.

2. Partant du principe de d'Alembert, exprimons directement que les forces perdues se font équilibi'e à l'aide des liaisons du système. Les composantes de la force perdue ^ au point m'^ sont

cette force, pour être détruite par la résistance du fil, doit être dirigée suivant mm', ce qui fournit l'équation

Le fil Om est sollicité, au point m, par le poids mg et par la tension du fil mm' -^ en conséquence, les composantes de la force perdue au point m sont

perdue au point m sont

de

EXERCICES DE MÉCANIQÏ3E. 36g

celle force doit êlre dirigée suivant Ont ^ ce qui fouruit la deuxième équation ,

(8) r(-^+'«'^)+-[-(ff-^^)4-i«'(^-g')]=o

Ces équations , associées aux liaisons

résolvent le problème. On peut s'exercer à retrouver les équations (7) et (8) , en parlant de Téquation des vitesses virtuelles,

et la combinant, par la méthode des multiplicateurs, avec les équations de liaisons.

Dans le cas des petites oscillations, on a simplement

j:=:aB, a/ :=: aB -h b^t

d^x^ d'B d^x' ^ d^ d^if Ht^'^^'d?^ "dt^ '^ ^ HF "^ "dp' d^Y dW

-dF^""^ -dF = ''^

et, par suite, les équations (7) et (8) se réduisent à

d^Q ^d^ff

dr do ^^ '

qui coïncident avec le système (5) et (6).

3. Enfin, on peut encore employer avec avantage les équations de Lagrange (page 7) :

\dB'J rfT d\

dt d9 dB '

dj

do' / dT dV

Vf j « 1 « V

dt d(f d^

OÙ 6' et (f' désignent les dérivées —9 ^ î T désigne la demisomme des forces vives du système, et \ la fonction des forces. On trouve d'abord aisément

\ = [m -hm') ga cos -^^ m' gb cos ^ ,

T = ^[[m -f- m') à" 0'' -f- m' h"" n/^ -H- 2 m' ah cos ((p — ô) .Ô'<p'].

* Ces valeurs , substituées dans les deux équations précédentes, fournissent les équations générales du mouvement ,

(,« + „,>£?+;„'6cos(,-ô)g-».'6sin(?-e)ggj-J^)

— «/6 sin (ip— ô) 1— ) -7^-f- (w-h/w')g'sine=:o,

\ctt I (It

,d'o , ^,d'B . . ^.dB /do dQ

dt^ '^ ^ rfr» ^^ ^dt\dt dt

-f-flsin((p-0)— f ^j H-g'sintp^o.

On aurait pu remplacer Tune d'elles par Y équation des

forces vwes^ qui n'est que du premier ordre -, mais nous ne

Pavons pas fait, parce que cette dernière équation se prête

moins bien à la détermination des petites oscillations dont

nous devons nous occuper.

Si les oscillations sont supposées très-petites , on néglige les carrés de 6 , (p , — 9 ^9 et les produits de ces variables ^ les équations se réduisent ainsi aux deux suivantes :

dF^'^^Tlt^

+ «-ri -^^?=o-

dt' dt

La première peut encore se simplifier, eu égard à la se-

oonde, et Ton a (inalcment le système déjà trouvé

(b) m/2 — -hg(m + w') 9 ~ gm'if = o.

Ces équations sont linéaires et à coefficients constants, tandis que si l'on avait employé Téquation des forces vives , on aurait obtenu une équation, du premier ordre à la vérité, mais non linéaire^ puisqu'elle eût évidemment renfermé les carrés de -^ et -^•

dt dt

La méthode ordinaire conduit aux intégrales générales

= A, cos^ sin -H As CCS t sjr-i -h B, sin t v^, -f Bj sin t sjr^^

«p r= A, I*, cosr yr, -f- AsfAsCOS t ^r^ -+- B, p, sin t ^Ir^-^ BafAj sin^ sjri .

Al, As, Bi, Bj sont quatre constantes arbitraires; rj, f\ sont des quantités réelles et positives , racines de l'équation du deuxième degré en r ,

(9) [^^ + m' ) g -— mar\[g — br) ^ m'agr=o,

et /ixi , (Xi sont les valeurs correspondantes de fx , tirées de l'équation

8 — hr' [Xi et fXt sont de signes contraires, car Tune des racines de l'équation (9) est plus petite que ^9 et l'autre plus grande

et S .

que|, puisque l'hypothèse ''= t rend le premier membre

négatif. Comme on suppose qu'il n'y a pas de vitesses ini- . tiales , on doit avoir, pour f = o ,

d^ dta

— - = o et --i = o , dt dt

'iy'2 TROISIÈME PARTIE.

ce qui entraiiie

B, = o et Ba= o.

Puis, comme a et jS sont les valeurs initiales de 6 et de 9, on aura

(11) A, -f-A2=ra, A, /a, 4- AjfXj = f,

d'où l'on tirera les valeurs des constantes Ai et Aj. Cela fait, le mouvement du système sera déterminé par les formules

k z= A, cos t v^r, -h A, ces t sfr^ ,

' <p = A, pi, cos t y r, -h Aj fXj cos t y r,.

Dans le cas où les deux points matériels se trouveraient , à l'origine du mouvement, en ligne droite avec le point de suspension , on aurai t

et , par suite ,

a(l - fx,) «(f^i— A, = -9 A3 =

f*i — f*ï pi — fij

Soit |ut. ]> o , |!z, sera <^ o ; il est aisé de voir, en outre, que jUL, sera ^ i , en sorte que les valeurs des constantes A,, Aj seront positives. Si l'on demandait quelle condition doit être remplie pour que chacun des points m et ml oscille comme un pendule simple, on poserait, dans les équations (11), A, = o ou bien A, = o*, soit A, = 0, il en

résulte

A, = a et a, = ^,

et, par suite, l'équation (10) donne

cette valeur, étant substituée dans l'équation (9), conduit à une relation entre les masses m,- m', les distances «, i, et les écarts a ^ (3 , savoir :

(i3) [m-^m')aoi''-^[m-\^m')[b —a) d^^ m' bp^=io.

EXERCICES DE MÉCANIQUE. iji

Telle est la condition cherchée : elle est impossible si a = jS, car l'hypothèse a = fî réduit Téqiiation précédente à mb =o, d'où w. = o ou & = o , ce qui veut dire que les deux points matériels se réduisent à un seul. Effectivement, les équations (12) donneraient, dans ce cas, pour et (p, des valeurs constamment égales entre elles ,

9 = <p = a ces ^ V ''• 5

c'est-à-dire que les deux points matériels demeureraient toujours en ligne droite avec le point de suspension , ce qui est évidemment impossible , à moins qu'ils ne se confondent.

Etant données les masses m, m' et les distances a.b^ l'équation (i3) fournira toujours une valeur réelle, positive

et plus petite que 1, pour le rapport -; soit par exemple a = è 5 on aura

m -+■ m puis

m -h m' et

En général, quand la condition (i3) sera remplie, on aura

ô = a ces ^ V^r, , f = P ces t \jr^ ;

les durées des petites oscillations seront donc les mêmes pour les deux pendules, mais leur amplitude sera différente \ ils seront en même temps d'un môme côté de la verticale, et se confondront en même temps avec elle.