Revenons au système des équations (6), (7), (8) qui

igS TROISIEME PARTIE.

résolvent le problème , dans le cas général où le centre de suspension est situé hors de AB.

Si on leur appliquait immédiatement la méthode ordinaire , qui consiste à poser

w = C sin ( f v^p + /w ) , Y = C/?sin(r Vp H- m),

^ = Cç sin (/ v'p -f- m ) ,

où Cet m désignent des constantes arbitraires, et py /?, f , trois constantes qu^il s'agit de déterminer de manière que les équations soient satisfaites, on trouverait^ = ^, attendu que les équations (6) et (7) ne diffèrent Tune de l'autre que par le changement de cp en ^j;. Il en résulterait (p = ij^, et l'on n'aurait pour déterminer p qu'une équation du second degré, comme s'il ne s'agissait que de deux équations linéaires seulement, par exemple les équations (6) et (8)5 on obtiendrait donc les valeurs de w et de ç = t|^, avec quatre constantes arbitraires au lieu dé six.

Cette solution n'aurait pas le degré de généralité désirable.

Mais, de ce que les équations (6) et (7) se confondent en une ôeule, quand dans là seconde on femplade ^ par ç, il n*en faut pas conclure que les deux fonctions du temps que ces inconnues représentent soient identiques. Posons en effet dans l'équation (7) ,

et elle se réduira, en vertu de l'équation (6), à

(9) ^3pr^-^" = ^'

on est ainsi ramené à considérer le système des trois équations (6), (8), (9).

Or l'équation (9) n'est pas seulement vérifiée par m = 0,

EXERCICES CE MÉCAKIQtTE. 899

elle a pour intégrale

tt= Esin(«-4- pt^) en posant | :==;**;

donc on n'est pas en droit d'écrire ^ = 9 , mais bien

•vj^ = (p -H E sin (e -i- pf ).

Actuellement il reste à appliquer la méthode des équations linéaires à coefficients constants aux équations (6) et (8 ) ; on posera donc

w =Csin (f \/p + /w), <p = C7?sin(^V^-f-/»), et Ton trouvera

Cette équation du second degré en p a ses deux racines positives, puisque l'hypothèse p = | donne un résultat négatif,

et que = 0, p = 00 donnent des résultats positifs.

Soient pi, pj ces racines, et pu P% les valeurs correspondantes de p \ les expressions complètes de w, (p et ip seront

w =C, sin (fy/p, H-/Wi)-f- Cj sin ( f v^, -+- w,)»

(p = C,;?, sin(fv^p, -h/w.) + Cj/?2 sin (fv'p» -*-'"»)>

'^ = C,/?,sin{tv/p', -f-/w,)H- C,/>2sin(^v/p, + /Wa)+Esin(s-+-fA0-

Au lieu de chercher 9 et la diflférence u=z^ — 9, on aurait pu prendre pour inconnues (ç H- tp) ^^T — ^•

Soient

'-^'^^^^'l d'où 1^ = '-^^'

on trouverait ainsi plus de symétrie dans les expressions de ces variables, qui prendraient la forme

<p = C,/?» sin (^ V7« -+- '"O -+- Ca/?2sin [t sfp, -h iw,) 4- Esin(e H- |Af), ,[;= C,^. sin [t Vpi + /«.) + ^»/^' sin (r y/pa + m,) — Esin (s -+- f*^).

4oO TROISIÈME PARTIE. EXERCICES DE MÉCANIQUE.

S'il arrive qu'à une certaine époque on ait 5 = i^, le poids N se trouvera dans la verticale, tandis que le poids M en sera écarté d'une manière sensible. Le contraire aura lieu s'il arrive que Ton ait , à une autre époque , 5 = — u^ et ces alternatives pourront se reproduire. Une grande variété de phénomènes pourra naître ainsi des circonstances initiales qui servent à déterminer les six constantes arbitraires. C'est par ces considérations cpHEuler (*) a expliqué certaines apparences singulières observées par Jean Bemoulli sur une balance en mouvement.

(*) Âcta Academi» Peiropolitanœ , 1777-