DE DEUX POIDS
Une balance dont le point de suspension O est placé au-dessiis du fléau ^ et à égale distance de ses cxtrémi" tés A et B, supporte des poids égaux suspendus à des fils de même longueur AM^ BN dont on néglige la masse. Cette machine ayant été dérangée de sa position d'équi^ libre d ^une manière quelconque , sans toutefois que lejléau et les poids cessent d^être renfermés dans le même plan vertical AOB , on propose de déterminer les mous^ements oscillatoires du fléau et des deux poids (fig. 92).
Soit AOB la position de la balance au bout du temps t\ la perpendiculaire abaissée du point O sur AB contient le centre de gravité G de la balance , et Tangle w = GOj^ que fait cette droite avec la verticale, est égal à Tinclinaison du fléau AB sur l'horizon \ soient ^ et ^ les angles que font avec la verticale les fils AM et BN auxquels sont suspendus les deux poids égaux. Les trois angles ot) , (p et ^ déterminent à chaque instant la position de la machine.
Posons encore OA = OB = a , AM = BN = b , angle OAB = e , ()G = c \ désignons par P l'intensité des deux poids , par T , ï^ les tensions des deux fils , par M le poids du fléau et des parties de la machine qui lui sont invariablement attachées, telles que les bras AO , BO et Taiguille OG.
Les coordonnées x^y^ x\ y\ des centres de gravité des poids placés en M et N s'expriment aisément en fonction
igo TROISIÈME PAKTIE.
des angles o) , (jp et '<|^ :
jc =z OP = a cos (g — ût) ) -h 6 sin <p , / = MP = a sin (e — w ) -+- b cos ç, x' = — OQ = — a cos (e -f- «) -h ^ sin ^|/, y =z NQ = a sin ( e -H w) H- ^ cos ip .
En ayant égard aux tensions T, T', on pourra appliquer à chaque poids les formules du mouvement d'un point libre, ce qui fournira d'abord quatre équations ,
d^x g^Tsin<p d^jr / Tcosf
dr P dt
d^x' gTsm-^ d^y f T'cosrI/N 1t^ '~ P ' li^^^y P~^/'
Il faut y joindre l'équation du mouvement du jQéau qui peut être considéré comme tournant autour d'un axe fixe passant par le point O et perpendiculaire au plan AOB-, or le moment de la tension T, dirigée suivant AM, par rapport au point O , est , en valeur absolue ,
T. 01 = Ta cos (^ -h 6 — w)=r:T[/cos(<p — w) — ^sin («p — «)],
en posant
acose ou AC =/", «sine on OC = e.
Le moment de la tension T', dirigée suivant BN , est pareillement
T'[/cos(w — ^) — ^$in(&) — ip)];
enfin le moment du poids de la machine est
M.GH = Me sin w.
La tension T' tend à faire tourner le fléau dans le sens où nous supposons que le mouvement a lieu, c'est-a-dire de manière que Tangle w croisse avec le temps -, le moment de
EXERCICES DE MÉCÀJ^IQUE. 'igi
cette force devra donc être pri^ positivement , tandis que les deux autres seront pris avec le signe — . On aura donc réauation
(K'4-<?')"^-7 = — Mcsinw — T[/cos(f — w) — tfsin(<p — w)] g at
T'[/co8;w— 4)— <?sin («—>[;)];
désigne le moment d'inertie de la balance par rapport
à un axe passant par le centre de gravité.
On aurait pu obtenir Téquation du mouvement de rotalion j directement et sans recourir à l'intermédiaire des tensions , en exprimant que les forces perdues se font équilibre sur le système.
La force perdue, appliquée au poids situé en M, a pour
Vd^x ^ V dW composantes — et F -jj *, son moment , par rap-
port à Taxe O , sera la somme des moments de ses deux composantes. On aura pareillement le moment de la force perdue par le poids N. La somme des moments des poids de tous les points du fléau est M . GH == Me sin co. Qua?it à la force effectisfe qui anime chaque molécule jx située à une distance r de l'axe , on peut la décomposer en deux , Tune
centripète ^— qui va rencontrer l'axe , et dont Teffet est
, ,, . „ dv d^(ù
par conséquent nul, 1 autre tangentielle fx — oujuir --779
dont le moment est — a r' — — -, la somme des termes $em-
^ df^
blables étendue à tous les points de la balance e$t
Egalant à zéro la somme algébrique de ces moments , on aurait l'équation ci-dessus , d*où les tensions seraient éliminées.
Les cinq équations précédentes renferment la solution complète du problème.
Cas des petites oscillations.
Nous négligerons les carrés de cc) , (p et ^ ; alors
Et , par suite, les cinq équations se réduisent à ^ ' do do P ^
(3) ^-; h ^ -~ -hi?-=: + = 0,
(5) Ël^L±-fL)^4-T[/-e(ç -«)]-!'[/- «(«-+)]+Mc«=o,
Pour éliminer les tensions, on tirera des équations (2) et (4) les valeurs de T et T',
g do g do ^ "
et on les substituera dans les trois autres équations.
T. f \* 1 1 • d^bi I d^M . ,
En négligeant les produits <p -— , ^ —r-^ , qui sont du
même ordre de petitesse que les carrés de w , y , <|/ , et posant, pour abréger,
il vient
fl^f' ' " dt
EXERCICES DE MÉCANIQUE. igi
La question est ramenée à intégrer le système de trois équations linéaires à coefficients constants.
2. Examinons d'abord le cas particulier où le point de suspension coïncide ai^ec le milieu C du fléau AB.
Il faut faire, dans les formules précédentes, e = o, et Ton a , en posant
- — V et — — tû ^^K et ^ - fA ,
d'^fD dH
équations où les variables sont séparées. Les mouvements du fléau et des deux poids seront donc indépendants les uns des autres.
La première équation a pour intégrale
w = A COS ( À / -f- a ).
Les constantes A et a dépendent de Tétat initial. Par exemple , si le fléau a été originairement incliné à Thorizon d'un angle oùq sans vitesse initiale, on aura a == o, A = coq , et, par suite, co = WoCOsXf. En général, la constante A sera une très-petite quantité.
Ainsi , le fléau oscille comme un pendule simple dont la
longueur est ^ ou — ^ ^r-^ •
394 TROI9ÙME PARTIE.
La durée d'une oscillation est tt i/y
Si le centre de gravité G est , comme à l'ordinaire , trèsvoisin du point de suspension, la distance c sera trèspetite, et il en sera de même de X. Si le centre de gravité coïncidait avec le centre de suspension, X serait nul, et le fléau n'oscillerait plus. En effet, il serait alors en équilibre dans toutes les positions possibles^ toutefois, ceci suppose qu'à Torigine le fléau a été simplcooient incliné à Fhorizon sans recevoir d'impulsion : autrement, comme aucune force ne s'opposerait à son mouvement, l'angle a> irait en croissant et ne pourrait plus être regardé comme très-petit, ainsi que l'exigent nos formules. Elles cesseraient donc d'être applicables.
Si le centre de gravité G était au-dessus du point de suspension , il faudrait changer c en — c dans les formules , et, par suite, X deviendrait imaginaire. Le mouvement cesserait encore d'être oscillatoire, et la balance serait folle. L'inclinaison du fléau croîtrait avec le temps, suivant une loi différente de celle qu'assignent nos formules.
Les équations (lo). et (xi) ne diffèrent l'une de l'autre que par le changement de (p en ^ ^ leurs intégrales sont les mêmes aux constantes près :
(j> = Bcos(jui/+ P), ij/ = Ccos (pir -H 7).
Les petites oscillations des deux poids coïncident donc avec celles de de\ix pendules simples , de longueur b -, elles ont même durée, mais non la même amplitude, en général.
Pour déterminer (f et ^ avec une approximation plus grande, on rétablira, dans les équations (10) et (n), les
EXERCICES DE MÉCANIQUE. SpS
. termes T 9 -7-7 5 — t 4^ 'J~T'> V^^ proviennent de 1 élimination des tensions, et que nous avions d'abord supprimés ; et Ton remplacera, dans ces termes, --rj par sa valeur
— AX* ces (Xt -I- a). Les équations (10) et (i i) , ainsi complétées , deviennent
(12) I-|-pay z=-^7COs(Xf-+-a),
(i3) -^ -h fx'^i = + cos (U + a).
Nous allons en déduire deux termes de correction à ajouter aux valeurs principales trouvées plus haut pour
9 et ^.
Soit <p = B cos(fAr-|- p) -I- A a ,
"* ""^ -5^ = - B f^' <^os ( P ' + P ) 4- A — .
Si Ton substitue ces valeurs dans Téquation (12), et quon néglige, dans cette seconde approximation, le terme affecté du carré de A ^ il vient
■^ + p'a = — Bcos(Xr-ha)cos(fx/-f- p)
al*
== ^ B I cos[(fA+>)r-hp-ha] 4- cos[(pL — X) ^4- P — a]^.
On obtient aisément une valeur particulière de u, de la forme
u =z Mcos[(fx-h>)^'H- p4-a]-f-Ncos[(fA — >)if-+-p — a],
ig6 TROISIÈME PARTIE.
et les valeurs de M et N sont
Cette solution particulière permettrait de ramener l'intégration de Tëquation différentielle précédente^ à celle d'une équation linéaire sans second membre ; mais on remarquera qu'on n'a besoin que de cette intégrale particulière , et qu'on n'obtiendrait rien de plus général , en prenant l'expression complète de u^ puisque déjà le premier terme de la valeur de cp renferme les deux constantes arbitraires B, j3 , qui suffisent à l'intégrale générale.
On a ainsi
(j) = Bcos(pf-hp)-f.AMcos[(fA-hX)r-|-p-f-a]H-ANcos[{pi— >)f-|-p— aj.
En changeant a eu — a dans les valeurs précédentes de M et N , et les constantes B, j3 en C , y, on aura
>J*=Ccos(pr-h7) — AMcos[(p-4->)^-f-7-ha]— ANcos[{fx— >)r-l-7 —a].
Ainsi les mouvements de pendules simples que nous avions trouvés dans une première approximation, pour chaque poids, seront soumis à des perturbations provenant du mouvefhent oscillatoire du fléau.
Si Ton suppose qu'à l'origine du mouvement le fléau ait été horizontal et en repos , on aura pour ^ = o ,
w = o et — - = o , d où A = o ; at
par suite , w sera toujours nul : le fléau demeurera horizontal , et , comme les valeurs de (f etde ^ se réduiront à leurs premiers termes , les deux poids oscilleront , indépendamment l'un de l'autre, comme deux pendules simples de même longueur.
Si 1 on suppose qu'à l'origine les deux poids aient été laissés en repos dans la verticale , et que le fléau seul ai ^
été incliné d'un angle w©, sans vitesse initiale, on aura, pour f = o ,
dtù do r/iL
On conclut des deux premières conditions, comme on l'a vu,
a = o, A = Wo;
les deux suivantes donnent
et les deux dernières fournissent deux conditions qui ne diffèrent des précédentes que par le changement de a en — /z , de B en C et de iS en y, savoir :
,r a V Wo \
On ne peut satisfaire à ces équations qu'en posant B = o, C = o ; donc (p et t{/ seront constamment nuls, c'est-à-dire que les fils de suspension des poids 'resteront toujours verticaux, tandis que le fléau oscillera à la manière d'un pendule simple.
Il ne faut pas perdre de vue que ces conséquences de nos formules n'ont lieu qu^autant que les oscillations sont trèspetites, et que, de plus, le point de suspension C est supposé parfaitement fixe, et en ligne droite avec les points A et B, supposition qui ne se réalise jamais complètement dans la nature.
