CHAPITRE PREMIER
SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE LA DYNAMIQUE RÉDUITES AU PLUS PETIT NOMBRE POSSIBLE DE VARIABLES.
L'illustre auteur de la Mécanique analytique a donnée dans la deuxième partie de cet ouvrage, une forme remarquable aux éq uations difTéren tielles de Ja dynamique réduites à ne contenir que les seules variables dont dépend , à chaque instant, la position du système. Ce qui caractérise ces équations et les rend éminemment propres à la résolution de la plupart des problèmes , c'est que les termes où entrent les différentielles relatives au temps proviennent uniquement d'une seule fonction T, qui n'est autre que la demi-somme des forces vives de tous les points du système.
Cependant ces équations si utiles sont omises dans les Traités de mécanique les plus répandus.
La démonstration de Lagrange (*) n'est pas complète: nous allons d'abord montrer en quoi elle est insuffisante
(*) Mécanique analytique, seconde parlie, section IV.
Représentons par (i) L=:o, M = o, ]N = o,
les équations de condition, au nombre de i, qui existent entre les coordonnées x^j^ z, x', . . . des différents points d'un système en mouvement, et qui sont données par la nature de chaque problème. Soit n le nombre des points matériels: on peut tirer des équations (i) les valeurs de ^ coordonnées en fonction des 3n — i autres, ou , plus généralement, on peut concevoir que les 3 n coordonnées soient remplacées par des fonctions connues de in — i nouvelles variables 0, (p, ^|/, . . ., et par cette transformation, on sait que la formule générale de la dynamique
se partage en 3n — i équations distinctes , qui suffisent pour déterminer les valeurs de 9, O), ij^ , . . . en fonction du temps.
Cela posé, l'analyse deLagrange suppose que l'expression de chaque différentielle dx en fonction des nouvelles variables 0, y, t{^, . . . , ne diffère de la variation correspondante dx que par le changement du fi? en d. Or cela a lieu, en effet, lorsque la fonction des variables ô, y, J;, . . . , que X représente, ne contient pas le temps t explicitement; mais il n'en est plus ainsi, si x est une fonction explicite de f et de ô, ç, i{^,. . . . Soit
on a
df , df . df df
dt dB d(f rtip
et
df^^ df^ df ^^
THÉOniES GÉMÉRAtES.
df
La différentielle dx renferme le terme -r- dt^ qui n'a pas
son correspondant dans la variation $x^ puisqu'en prenant cette variation on doit laisser t constant.
C'est pourquoi nous croyons faire une chose utile à renseignement en reprenant l'analyse de Lagrange, et lui donnant toute la généralité désirable (*) ; en même temps nous en simplifierons l'algorithme .
Soient donc 6,9, ^f'v • • 1^^ variables réduites au plus petit nombre possible dont j:, j^, z, x', . . . sont des fonctions connues , déduites des équations (i). Comme ces dernières peuvent contenir le temps t explicitement, cette variable entrera généralement dans les fonctions que or, y^ z , x\ . . . représentent. Posons
nJ]r /IV u2
On aura pour — ^ — ? y» cîx, iy^ âz^ des expressions de
la forme
dx
dt
dz
— =7 4- c9'-+-c, <p' H- Cj >!>' + . .., clt
(*) Â la fin de la démonstration de Lagrange on lit ces mots : a Cette « transformalion aura lieu également, quand même parmi les nouvelles « variables il se trouverait le temps f , pourvu qu^on le regarde comme con- « stant , c''cst-à dire qu^on fasse ^/ = o. » Mais les calculs sur lesquels cette transformation repose doivent alors être modifiés ; et ce sont ces modifica* lions nécessaires qui font Tobjet de ce chapitre.
a^^yy représentent les dérivées partielles des fonctions X, jyZ^ par rapport à ^, si cette variable y entre explicitement. Ces termes ne se retrouvent pas dans les valeurs de âxy dy^ ôz.
ocj^^y^a^by c, a,, è,, Ci,. . . sont des fonctions connues de f, (p, i{/, 0, . . ..
Cela posé, avant de substituer dans Féquation (2) les
valeurs de x, jy^, z , — > • • -9 dx^ etc., on transforme le trinôme
dt"" dt^ ^ dt-"
en deux groupes contenant des différentielles du premier ordre, et soumis, Funau signe d^ l'autre au signe J. A cet effet, on a identiquement
d'^x - d'^y - d'^z ^ d fdx . djr ^ dz ^ \
dr dt' -^ dr dt\dt dt -^ dt )
2 \dt^ ^ dt' drj^ en sorte que T équation (2) prend la forme
jLà\dt\dt dt '^ dt ] 2 \dO dt^ dt^
Maintenant on calculera séparément les deux quantités
dx ^ dy ^ dz ^ i (dx^ dy^ dz'\
dt dt ^ dt ' !i\dt^^ dt^ dt^)
Mais , comme on devra finalement égaler à zéro l'ensemble des termes que multipliera chacune des variations indépendantes (Î0 , cî(j?,..., et que d'ailleurs ces variables entrent évidemment de la même manière dans les calculs ,
THÉORIES GÉHÉKALES. >5^
on s'attachera seulement à faire ressortir la composition du coefficient de cîô.
On aura ainsi
i (dx" dy^ dz^\ ' ^^, ^0'»' ^^, ,
dx dy dz \ *
eu posant, pour abréger,
fla + ^p -f- C7 = B,
aa, -f- bbx -h ce, = D .
par ûî', il viendra ( en observant que — ^- — = cî . — = cî.ô' ) »
Différentions la première expression par d et la deuxième
dt dt
+ (B + ce' + D ?' + ... )*9' + -..,
rfr \rf/ dt dt I dt^ ^ '
+ (B4- Ce'+D*' + . . .)*9'-h
Si Ton substitue ces valeurs dans l'équation (4) , les tenues multipliés par dQ^ disparaissent d'eux-mêmes ^ c'est cette réduction qui fait le succès de la méthode : il reste , pour le coefficient de la variation cî0 ,
^(B4-C0' + D(p'4-...) ^ ^2^^^ I fdk ^,dB Ô'» dC ^, ,dD
Actuellement , désignons par T la demi-somme des forces vives du système ,
^ 2^ \dt^^ dt\ dt' On voit que l'expression (5) n'est autfe cliose que
dt db'
quant à la partie du premier membre de Téquation (4)? qui renferme les forces appliquées (X, Y, Z), savoir,
2(X5^-+Y(îjr-HZ^3),
sa transformation en fonction des variables 0, ^y ^y--, s'effectuera .par voie de simple substitution , et l'on connai* tra, dans chaque cas particulier, sans difficulté, le cpeffî- (jient de dQ qui en provient.
. Dans les applications ordinaires de la dynamique, il existe une fonction des forces , c'est-à-dire qu'on a
2(Xé/x -+- Y é(r -f- Z//z) = û?V,
V étant fonction de A, 0, y, ^j;,..., et', par suite,
y [H^x -+- Ytî/ + Z^z) = ^V — î^ ^0 -h ....
Le coefficient complet de 50, dans Téquation (4), devient donc
UoV
dt dQ dB
En définitive, l'équation (4) se partage dans lés sui-
vantes
Ue'j
elT d\
dt dB dB
dr
Uv
fl^r d-^ d'^ ~"
Ces équations sont en même nombre que les variables 9, (fy ^j""i dont dépend, à chaque instant, la position du système. Nous les appliquerons à la solution de divers problèmes , dans le cours de cet ouvrage;
Quand les fonctions T et V ne renferment pas le temps t explicitement, ce qui exige que les liaisons du système, exprimées parles équations ( i ) , soient indépendantes du temps, on obtient immédiatement une intégrale première des équations (-6), en les multipliant respectivement par dd^ d(f^ /i^ , . . . , et ajoutant les produits ; il vient
or
D'ailleurs , T ne contenant pas le temps i^ , on a ^^T ,, dT ^ dT ^^, d'T , ,
et V ne contenant que 0, 9, ^, sans 9', ç', 'l^'v? ^^^ *
dQ dtf ' ,
L'équation (7) devient donc
Elle est intëgrable , et donne
Ô' :^ -f-(p':T-> -h. . . — T — V = const.
Mais , par le théorème des fonctions homogènes ^
,rfT dT
on a donc définitivement
(8) T—V== const.
Cette intégrale, d'une grande importance dans la solution des problèmes de mécanique , contient le principe des forces vii^es. ■
Il est utile de remarquer la forme que prend la fonction T dans divers cas.
Si l'on définit la position d'un point m (fig. i), par l'ordonnée parallèle à l'axe o^, mP =^ , la projection oP = r de son rayon vecteur sur le plan xoy^ et l'angle Pox = ^^
on aura
dx^ -+- dy^ :=zdr^^ r'^d-^^y
et , par conséquent ,
2^ [dt^ dt\ dt^]
On passera ensuite de ce système de coordonnées mixtes , à celui des coordonnées polaires ordinaires
[ ow = R , Tangle zom = ô, et TaDgle P o^ ==>(»] ,
en substituant aux variables z et r les variables R et qui sont liées aux premières , absolument de même que r et t|^ l'étaient à x ety. On aura donc
dz^ -h dr' = dK' -t~ R' dB' ;
THÉORIES GÉliiÉRALES. 9
ajoutant membre à membre avec il viendra
et comme r=:Rsînô, .
enfin
Remarquons encore que les transfonnations précédentes ne sont pas seulement applicables au cas où les variables Q , 9 , îp , . . . sont réduites au plus petit nombre possible , c'est-àdire ne dépendent d'aucune équation de condition. Il peut arriver que des difficultés d'élimination conduisent à conserver, dans le calcul , un nombre de variables , y , ^, . . . plus grand qu'il n'est nécessaire pour définir à chaque instant la position du système \ alors on pourra toujours écrire l'équation (4) sous la forme
^T ^V K. dff' dT 'dW ,.
dB dB J \ de d(f dff/ ^
mais il ne serait plus exact d'égaler séparément à zéro le coeflScient de chaque variation (Î0, ^?vî puisqu'elles ne sont pas indépendantes. On devra associer à cette équation les équations de condition qui lient encore les variables 9, (p,..., et qu'on diflférentiera par c^. Puis on appliquera à ce système , soit la méthode des multiplicateurs , soit telle autre méthode d'élimination qu'on jugera convenable, ainsi qu'on l'explique dans les Traités de mécanique pour l'équation ( 4 ) ? prise sous sa forme primitive et associée aux équations de condition L = o , M = o.
lO PREMIERE PARTIE.
