CHAPITRE n

SUR LES CONDITIONS DE STABILITÉ ET d'iN STABILITÉ DE

l'éqi3ilibre d'un système de points matériels.

Considérons un système de n points matériels en équilibre et liés entre eux d'une manière quelconque. Ces liaisons sont , en général , exprimées par des équations

entre les coordonnées a:, j^, z, j:', . . . des divers points du système. Si nous désignons par ï le nombre de ces équations, il y aura 'in — i variables indépendantes, et l'on peut concevoir qu'on exprime toutes les coordonnées en fonction de ces variables.

Nous supposerons, comme dans le chapitre précédent, que les forces (X, Y, Z) satisfassent à la condition que la somme

étendue à tous les points du système, soit la diflerentielle immédiate d'une fonction (p des coordonnées j:, y^ z^ x\ . . . , ou, du moins, nous supposerons que la somme ci-dessus devienne intégrable après qu'on l'a réduite à ne plus contenir que les seules variables indépendantes- Les forces de 1^ nature , attractives ou répulsives , qui émanent de centres fixes , ou des actions mutuelles entre deux masses , et qui ne dépendent que des distances, remplissent, comme on sait, cette condition.

Si a, /3, y^... désignent un système de valeurs des variables indépendantes qui déterminent une position d'équilibre, et qu'où vienne à leur attribuer des variations infiniment petites cîa, 5/3,. . ., on a, en vertu du principe des.

THÉORIES GÉIVl^RALES. I I

vitesses virtuelles, (î(p(a,|3,y)=:o-, d'où ron conclut que, pour chaque position d'équilibre , la fonction (f est , en général , un maximum ou un minimum. 11 y a* entre le maximum et le minimum de la fonction <p une différence fondamentale. Quand le maximum a lieu réellement, l'équilibre est stable, c'est-à-dire quç si l'on écarte extrêmement peu le système de sa position d'équilibre, et qu'on imprime à chacun des points qui le composent de très-petites vitesses initiales , les déplacements de ces points resteront très-petits pendant toute la durée du mouvement, et ne dépasseront jamais certaines limites très-rapprochées de la position d'équilibre; au contraire, si la fonction y est minimum, l'équilibre est instable, c'est-à-dire que le système, une fois écarté de la position d'équilibre , tendra à s'en éloigner de plus en plus , quel que soit l'ébranlement initial.

Nous allons démontrer ces deux théorèmes importants.

La démon tration du premier est fondée sur le principe dés forces vives. Elle suppose, par conséquent, que les équations de liaisons L = o , M = o , N = o ne renferment pas le temps t.

Nous avons déjà désigné par a , j3, y, ... les valeurs des variables qui déterminent une position d'équilibre. Soient p^ q^ r,... les accroissements que prennent, au bout du temps ^, ces variables, par suite d'un déplacement trèspetit imprimé au système 5 p, ^, r sont des fonctions inconnues du temps t , dont les valeurs initiales pQ , 90 5 ^0 commencent par être très-petites. Désignons par Vq la vitesse initiale, pareillement très-petite, communiquée à la masse /r/5 chacune des coordonnées x, j^ z, o:',... est une fonction connue de a H-/?, j3 -j- <jf, y-hr, qui ne renferme pas le temps t.

Cela posé, on* a , à l'origine du mouvement ,

2/wVJ r=:<p (a-hy^o, ? "F 7o, 7-H''o, • • .)-f-const.^

et, a}x bout du temps f ,

d'où

Maintenant, pour démobtrer la stabilité de l'équilibre dans le cas où ^ (a, j3, y, . . . ) est un maximum , on s'attache à faire voir que si les variables p, q^ r,... ne restaient pas toujours comprises entre des limites déterminées et trèspetites, il arriverait un instant où la somme 2m.V' aurait une valeur négative, ce qui serait absurde.

Ici , M. Lejeune-Dirichlet a notablement perfectionné la démonstration ordinaire (*). Celle-ci laissait à désirer, non sous le rapport de la rigueur, mais de la généralité , attendu qu'elle reposait sur la considération des termes du deuxième ordre, en /?, ^, r, que fournit la série de Taylor appliquée a la fonction (jp(a -h p, jS H- 9, 7 "^ '') î termes dont l'ensemble peut s'évanouir sans que le maximum cesse d'avoir lieu.

Voici , sauf quelques modifications de forme , le procédé de M. Dirichlet. Posons

il en résulte

?{«-+- /?o, P + ^a, 7 -H- ''•»»•••) = ?(«> P>7v.O-+-^(/'o, <7o, '*»,••. )> et

On a

^Ko, O, G,. . .) = O, .

(*) Journal de Mathématiques pures et appliquées (1847)-

THÉORIES GÉNÉRALES. l3

etpuisqueç(a,|3,y,. . .) est maximum, la fonction (|/(^, q^ ?•,. . .) devra être constamment négative , tant que les variables p^ q^ r,... auront des valeurs numériques inférieures à certaines limites positives p\ q\ r'. On peut supposer les valeurs absolues de ^o, ^05 ^o^ plus petites que p\ q\ r\ et alors il est certain que, pendant un certain temps , les variables/?, ^, r seront aussi numériquement plus petites que ces limites. Je dis maintenant que cet état de choses se maintiendra pendant toute la durée du mouvement, c'està-dire que chacune de ces variables restera constamment inférieure à la limite qui lui correspond.

En effet, soit A la plus petite valeur absolue que puisse prendre la fonction ^ (p^ (jr, r,. . . ) , lorsqu'on attribue divers systèmes de valeurs très-petites k p^ q^ r^..,^ tels que Tune, au moins, de ces variables soit égale en valeur absolue à s^ limite/?', q\ / (A n'est pas nulle) ; et supposons que l'écart initial satisfasse à la condition

2/wv; — >K/?o,^o, /-o, . . .)<A,

ce qui est toujours possible.

Cela posé, si les variables p^ q^ f ne restaient pas constamment au-dessous de/?', </', r',... -, comme ce sont des fonctions continues du temps, il faudrait qu'à un certain instant une ou plusieurs de ces variables devinssent numériquement égales à leurs limites respectives, sans qu'aucune des autres variables eût dépassé la sienne : à cet instant on aurait

et ajoutant cette inégalité à la précédente ,

2/72VJ 4->K/?, 9, ^-j. ••) — +(/'o»^yo» ''0, •• .)<o; par conséquent , 2 m V* aurait une valeur négative.

l4 PREMIÈRE PARTIE.

Ainsi , dans le cas où la fonction (f est un maximum , les variables p, ^, r ne pourront pas croître au delà de certaines limites déterminées et aussi petites que l'on voudra. Les vitesses des différents points du système seront également limitées, puisque 2mV* reste toujours inférieure, ou au plus égale à

Passons au cas où la fonction (f est un minimum.

Le mode de démonstration que nous venons d'exposer n'est pas propre à mettre en évidence l'instabilité de l'équilibre.

Lagrange a résolu cette dernière partie de la question, dans la sixième section de la Mécanique analytique j où il étudie les oscillations très-petites d'un système de points matériels autour de leurs positions d'équilibre. Il y démontre incidemment l'instabilité, dans le cas où ]a fonction o est un minimum.

Nous nous proposons de donner à cette démonstration une forme plus simple et propre à être admise dans l'enseignement. En même temps nous signalerons un cas où l'analyse de Lagrange est en défaut.

Nous partirons de l'équation générale de la dynamique ,

et d'abord, il convient d'y remplacer or, j^ z, x\... par leurs valeurs en fonction des in — i variables indépendantes, tirées des i équations de condition L = o, M = o,

N = o, Cbacime des coordonnées x^ y^ z^ a:',.- peut

être considérée, ainsi qu'on l'a déjà dit, comme une fonction de a-l-p, ^ -^ Ç^ 7-+-''v sans t] a, j3, y,... désignant

THÉORIES GÉNÉRALES, l5

les valeurs des variables pour la position d'équilibre. Nous supposerons, pour abréger l'écriture, que ces variables soient au nombre de trois.

Lorsqu'on substitue les valeurs de J?, J', ^5 x',. .. dans la somme

l{Xdx-\-Ydx-hZdz),

elle devient, par hypothèse, la différentielle exacte d'une fonction y(a-f-p5i3-|-^,7-f-r)-, par conséquent , la même substitution , effectuée dans le second membre de l'équation (1) , où les rf sont changés en cî, donnera

(2) l(XSx-^YSx'hZSz) = 8.^{a-hp, P -+- 9^, 7 H- r).

Tant que p, y, r auront de très-petites valeurs , cette fonction (f pourra être développée, par la formule de Taylor, en série très-convergente , ordonnée suivant les puissances et les produits de p^ q^ r. Comme y (a, (3, y) est un minimum, les termes de première dimension en p, 9, r seront nuls, et l'on aura

Y (a -h;?, p-4- ^, 7-hr)i=:«p(a, p, 7) -h — (A/>*H-B^'-f-Cr2-h2D/?çr-|-2E/7rH-2F^r) -f- e,

en posant, pour abréger,

dad^ ' doid-^ ' ^g^7

e désigne Pensemble des termes d'ordre supérieur au second, qu'il est inutile de développer. Nous supposons que le minimum de la fonction puisse être constaté par la considération des seuls termes du deuxième ordre -, en sorte que le polynôme ( Ap' -h B^* -h ... -f- 2 F^r) conserve con-

l6 PREMIERE PARTIE.

stamment le signe -f-, quels que soient les signes et les grandeurs de p, 9, r.

En prenant la variation de la fonction f , et omettant les termes provenant de e , lesquels contiendraient les carrés et les produits des variables p, ^, r, supposées très-petites, on aura simplement

-H {Dp -h B^ -+- Fr) ^7 -h (E/7 -h Fç -h Cr) §r.

Si l'on compare entre eux les groupes de termes qui multiplient dp, âq^ Jrdans le second membre de cette égalité^ on remarquera que les coefficients des variables qui entrent dans un groupe se répètent tous une fois dans les autres groupes, à l'exception du coefficient de la variable soumise au signe â dans ce même groupe, lequel ne se répète pas. Par exemple , les coefficients D et E du premier groupe qui est affecté de cJp, se retrouvent une fois dans les autres groupes, savoir, D dans le deuxième groupe et E dans le troisième, et, de plus, ils multiplient précisément la variable p dans ces groupes \ mais le coefficient A n'est pas répété. Cette remarque, qui nous sera utile plus loin, subsiste évidemment quel que soit le nombre des variables indépendantes.

Considérons actuellement le premier membre de l'équation (2). On a, pour chaque coordonnée, un développement en série de la forme

f = b '-{- bt p -h bi c/ -\- bi r -\- vi , x'= a' + a\q+a[ q + a'^ r-\- Ç',

(^, )9, 9, Ç',... désignent Fensemblc des termes du deuxième

ordre et des ordres supérieurs. Les coefficients a, ûj, aj,..., i, i^i,.'- etc., sont des constantes données.

On en déduira les valeurs de -— -> -rr» -t-j et aussi

di^ at* dt^

celles de àx^ ^y^ ^^\ et l'on négligera les termes qui proviendront des restes ^, y?, 0,..., parce que, dans les pro-

duits -y-|p Sx^ -^ ^J"v "1 ees termes introduiraient les carrés et les produits de p, ^, r et de leurs dérivées , que nous sommes convenus de négliger. On aura ainsi

^ \dt' dt"" -^ dt^ I \ dt^ dO df" ) *^

-^y^ :dF^^ -dF'^^.^^r^V' ^ ^^ ^) '

en posant

Il y a, sur la composition des groupes qui multiplient âp^ 3q^ âr^ dans le second membre de l'équation ci -dessus, une remarque analogue à celle que nous avons faite plus haut. Chaque coefficient sp trouve répété deux fois, à l'exception du coefficient de la dérivée de la variable soumise au signe â dans le groupe que Ton considère. Ainsi , par exemple, les coefficients D' et E' du premier groupe en âp se retrouvent, l'un dans le deuxième groupe, l'autre dans le troisième, et ils y multiplient précisément les dérivées de la variable p. Ce fait est général , et a lieu quel que soit le nombre des variables indépendantes.

Les deux membres de l'équation (2) étant ainsi transfor-

l8 PREMIEBE PARTIE.

mes , on devra égaler respectivement les coeflScients de chacune des variations indépendantes dp^dq^àr^ que ces deux membres renferment. Il en résultera des équations linéaires à coefficients constants, en même nombre que les variables indépendantes p, q^ r, et propres à déterminer, par approximation, ces variables en fonction du temps, du . moins tant qu'elles resteront très-petites.

Ces équations sont ici au nombre de trois j savoir :

A'— ^H-D'-yf -4-E'-— -- A/; — D7 — Er== o, dr dt"^ dt^ ^ ' '

(3) ^D'^+B'-f + F' — -D/.-B^-Fr=o,

E'Ç£-f-F'^ + C'^-E/,-FV-Cr=o.

dt* dt^ dt' ^ . '

En rapprochant les deux remarques que nous avons faites ci-dessus, on peut dire que tout coefficient de Tune de ces équations se retrouve dans l'une des autres , à l'exception •des deux coefficients relatifs à la variable p dans la première équation, à la variable q dans la deuxième , à la variable r dans la troisième , lesquels ne sont pas répétés. De plus , les coefficients relatifs à une variable , et susceptibles de répétition , dans l'une des équations (par exemple D et Dedans la première) , deviennent, dans ruile- des autres équations , coefficients relatifs à la variable pour laquelle il n'y avait pas répétition dans l'équation d'où l'on est parti.

Nous allons maintenant démontrer que, dans le cas où la fonction <p est un minimum , les valeurs de p , </ , r, qui vérifient ces équations , ne sauraient demeurer toujours trèspetites, quelle qu'ait été leur petitesse dans l'origine. Il en faudra conclure que l'hypothèse d'un mouvement oscillatoire dans lequel les points du système resteraient toujours

très-voisins de leurs positions d'équilibre , est inadmissible, et, par conséquent , que Téquilibre est instable.

On sait qu^on satisfait aux équations (3 ) par des valeurs de la forme

^ = ^HsiD(rv^— a), ^ = X^'Hsln(^V^p — a),

H et A étant des constantes arbitraires -, et Ton a , pour dé-^

y k" terminer p et les rapports -j-t —î les trois équations

|fî( A'X- -+- D'^ -h E'r ) -f- (AX- -+- D/' -f- Er ) = o, P (D'^ -h Wk' + F' k") -4- \ùk -h B X' -h F/-") = o, p(E'it -+- Y'k' -h cr ) -f. (Eit -h F A-' -+- cr ) = o.

De deux d'çntre elles , on déduira les valeurs des rapports

T^ T ^ sous forme de fractions rationnelles contenant la

deuxième puissance de p , et la substitution de ces valeurs dans la troisième équation fournira une équation en p du troisième degré. En général , cette équation en p sera d'un degré marqué par le nombre des variables qui servent à déterminer la position du système. A chacune des racines de cette équation correspondra un système de valeurs des rap-

ports -T- > -7-5 on pourra prendre , pour la symétrie , k égal

au dénominateur commun de ces rapports. De cette manière , on aura trois systèmes de valeurs particulières pour ^ , ^ , /*, et il ne restera qu^à en faire la somme (en affectant dans chaque système les constantes arbitraires H et h d'un caractère différent) pour avoir les intégrales générales des équations (3). Quant aux six constantes arbitraires, on les

déterminera au moyen des valeurs données de p , y , r, —, dg dr i • ^ ^ <

~i -T pour f = o ^ comme ces dernières sont supposées tres-

petites , il est visible que les valeurs de H le seront aussi ] et, par suite , les valeurs de /> , y, r seront très-petites , du moins au commencement du mouvement , ainsi que cela devait être.

Or, sans prendre la peine de composer Féquation en p , on peut s'assurer aisément qu'elle n'aura pas de racines réelles et positwes ; et cela suffira pour prouver l'instabilité de l'équilibre. Car alors les valeurs de V^p étant toutes imaginaires, les sinus qui entrent dans les expressions de p, q^ r se transformeront tous en exponentielles réelles, et, par suite, les valeurs générales dep, ^, r se composeront de termes de la forme

où nous désignons par co l'une des valeurs de v^ — p, et par R et S des constantes qui dépendent du déplacement initial du système. Si R n'est pas nul, le terme ci-dessus finira par croître indéfiniment avec t. Ainsi , à moins qu'on ne suppose le cas tout à fait exceptionnel d'un déplacement initial , présentant cette circonstance singulière que tous les coefficients, tels que R, des termes à exposants positifs, soient nuls, on sera certain que les valeurs des variables p, <y, r cesseront d'être très-petites au bout d'un certain temps. Le système tendra donc toujours à s'éloigner davantage de sa position d'équilibre , quel que soit l'ébranlement initial ; sauf toutefois le cas unique que nous venons de signaler, et où l'analyse précédente ne permet pas d'affirmer qu'il y ait instabilité.

La question est ramenée à prouver que l'équation en p n'a pas de racines réelles et positives -, à cet effet , nous allons mettre les équations (4) sous une autre forme : désignons par T ce 'que devient la demi-somme des forces vives des points du système , c'est-à-dire la fonction

i 2d^ \dF '^ dt'' ^ dT'

djc d.Y flz

quand on y remplace -,- > — ^î 3- par les 'valeurs suivantes :

^ dt dt dt *■ '

d.ic

-j- = a, / -I- a. k' -j- «3 k" , dt '

"^^zzzb.k+b.k'^b.k",

dz

— =:cj- -hc,k' -hc^k";

nous aurons

T = K A'^» 4-B'X-'=^ 4-C'r»-+- aD'^/t' -h 2E'Xr + nF'k'k"),

Soit encore V ce que devient le polynôme du deuxième ordre de la fonction des forces , c'est-à-dire { ( A^*-f- By*-f-. . .), quand on y remplace p, ^, r respectivement par k^ k\ k"j en sorte que

Il suit des remarques que nous avons faites sur la composition des équations (4)5 que les coefficients de p dans ces équations ne sont autres que les dérivées partielles de T relatives à A, A', f , et que les groupes indépendants de p ne sont autres que les dérivées partielles de V relatives aux mêmes quantités. Les équations (4) peuvent donc s'écrire ainsi:

P dk

d\ ^dk

dT ^dk'

dV

-^dk'

dT ^ dk"

dy

'^ dk"

et si on les ajoute , après les avoir multipliées respectivement par /r, k\ A'',..., on aura, vu que T et V sont des fonctions homogènes du deuxième degré ,

pT-|-V = o, d'où p=— -.

Cette formule renferme la démonstration de la proposition énoncée. En effet , remarquons que les valeurs réelles de p doivent correspondre à des valeurs réelles de k^k\ k" \ et qu'en supposant /c, ft', h" réelles , les fonctions T et V sont essentiellement positives, savoir: la fonction T, par sa définition même, puisqu'elle provient d'une somme de carrés de quantités réelles, et la fonction V parce que (p(a,j3, y) est un minimum. Donc les valeurs réelles de p sont négatives.

Il nous a suffi , pour établir l'instabilité de Téquilibre , de démontrer que l'équation finale en p ne saurait admettre de racines réelles positives.

M. Sturm a soumis les racines de cette équation à une discussion approfondie. Après avoir établi que toutes ces racines sont réelles et inégales (ce qu'avait déjà fait Laplace, d'une manière moins simple, dans un chapitre de la Mécanique céleste) , M. Sturm a fourni le moyen de les séparer, et a fait connaître plusieurs propriétés remarquables qu'elles possèdent. Un extrait seulement de ce Mémoire important a été inséré dans le Bulletin de Férussac (octobre 1829).

THÉORIES GÉNÉRALES. ^i