Remarque. On peut écrire ~ ’ ^' é ^ uation

x} = ~ s’écrit alors x- — (^ ; d'où l’équation équivalente

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. Ul9

Le 1" membre étant la différence de deux

(vD'=«-

s’écrire ains

(— vXï) (-+ N/I) =

carrés peut s’écrire ainsi

Ce premier membre se trouve ainsi décomposé en deux facteurs du 1" degré en x. Nous pouvons dire alors que pour satisfaire à

l’équation, il faut donner à x une valeur telle que x — Vl=°. c’est-à-dire, prendre ,r= y/ ou bien rendre *+y / £ =

en prenant

De cette manière , on prouve que l’équation x* — - a ces deux racines et pas d’autres.

158. Considérons maintenant l’équation complète ax 1 -f- bx -|- c — 0.

Nous pouvons diviser tous les termes par le coefficient a de x* ;

on obtient ainsi l’équation équivalente x* -f- - x -J — = 0.

Désignons, pour simplifier l’écriture, le quotient - par une £

seule lettre p , et - par q, l’équation prend alors la forme

a? -f- px q = 0.

Si le 1 er membre de cette équation était un carré parfait , comme le 1" terme de la racine serait évidemment x, en extrayant celte racine et l’égalant à 0 , on aurait simplement à résoudre une équation du 1 er degré

x i -\-px -f- q n’est pas généralement un carré ; mais x * -f -px est le commencement du carré d’un binôme dont le premier terme serait x; pour trouver le second terme de ce binôme , dé-

COURS D'ALGÈBRE

signons-le un instant par y ; le carré de x -f- y a pour ses deux premiers termes, x* -f- 2yx ; nous devons donc avoir :

, . px P

2yx = px i d ou ÿ

Le binôme dont x * -f P x commence le carré est donc r -j- ^ ;

en effet

Si q était égal à — , le 1 er membre de l’équation proposée étant égal à + ^ 5 l’équation mise sous la forme (^x +5)*-

serait tout de suite résolue. Mais généralement q n’est pas égal à »

~ ; faisons-le passer dans le second membre : x -\-px= — q. Nous aurons pour 1 er membre un carré parfait si nous ajoutons

aux deux membres de l’équation actuelle la quantité connue

Cela fait , nous avons l’équation Æ -f- px -f- ^ — q , ou

KH

de laquelle il résulte que x doit être égal à l’une quelconque

des quantités qui , élevées au carré , reproduisent — q. On sait

qu’il n’y a que deux quantités réelles ou imaginaires qui remplissent cette condition ; on les désigne ainsi

On doit donc avoir nécessairement :

x+l=+\/ 1 (-q,<roùx = -

ftp*-

on bien, x -f-|

= “\/ / f“ <7 ’ d ’ OÙæ = '“ 2 ~

De cette manière on voit que l’équation du second degré a deux «

* racines, et pas davantage. ^

159. En résolvant l’équation, on écrit ordinairement les deux racines à la fols. Ayant ramené l’équation à la forme x*-\- px-\-q=0, on écrit :

Cette égalité est une formule. L’équation du second degré étant ■ ramenée à la forme x l -f- px -f- q = 0, on obtient ses deux ] seules racines en écrivant la moitié du coefficient de x , pris en signe contraire, plus ou moins la racine carrée du carré de cette moitié de coefficient, diminué du terme tout connu tel qu’il est dans le 1 er # membre.

’f- 160. 1" Exemple, x* — 5 x -f- 6 = 0. Nous pouvons écrire tout de suite

pour x les deux valeurs

avons donc

2* Ex. : Zx* + lx + U = 0.

Écrivons x* nous aurons

COURS D'ALGÈBRE

d’où, pour x, les deux valeurs, x — — - -I — = — 1; x" =

C, 3 e Ex. : 3 a;* — (— 7o? — 4 = 0. *

Ecrivons x i + - x — - = 0; d’où suivant la formule,

est incommensurable, x ■■

les valeurs de x sont incommensurables (*).

y 4 e Ex. : 3ar* + 5 x -j- 4 = 0. *

On écrira x* -f - x -f- r = 0 , d’où , suivant la formule , ,

36 3 = 36 36 = 36’ \/ ~ ^ est imaginaire; on peut

l’écrire sous cette forme \ /— V/— l = Y' — 1. Les

racines cherchées sont alors x ± Y' — 1 • ce sont

deux racines imaginaires.

v 5' Ex. : Résoudre (a* — h') x’ 1 — a*bx -f a’6 ! = 0. « >

Écrivons x 1

(*) On voit que , si les coefficients de ax J + bjt + c = 0, ou x* -f px + q =z 0 sont commensurables , la condition necessaire et suffisante pour que les deux

racines soient elles-mêmes commensurables, c’est que - — q, ou c, soit

un carré parfait; les racines ne peuvent donc être commensurables l’une sans l’autre.

Appliquons la formule;

Réduisant au même dénominateur sous le radical, puis extrayant la racine carrée de chaque terme de la fraction résultante dont le dénominateur est le carré de a’ — b', il vient :

a 3 b ± t^a 8 6* a’b ± ab 3

Séparant les racines, et mettant ab en facteur commun au numérateur, on trouve :

„, at>{a-{-b) ab a* — 6* a — 6 ,, ab(a—b) ab

Équations à résoudre et à vérifier.

Sx*— 37a? -f- 664 = 0.

x * — ( Ua — 26) x -|- 3a s — 8a6 — 36* — 0

ab

161 . On peut , dans chaque exemple, vérifier les racines trouvées. Nous allons faire cette vérification pour l’équation générale x* px -f- q — 0.

154 COURS D’ALGÈBRE

Nous devons avoir d’abord

En effectuant les calculs Indiqués, on trouve :

£+Ç-<-pY/F^-?+»

Si on remplace, au commencement, y- + — par —■ , on trouve

que tous les termes du 1 er membre se détruisent deux à deux. Ce 1 er membre se réduisant à 0, nous avons une identité.

On vérifiera de même la seconde racine.

162. Discussion. Nous pouvons faire tout de suite les remarques suivantes:

1° Les racines de l’équation du second degré, ramenées à la

forme x tJ r px J r q = Q, sont réelles et égales quand q = 0

ou

-- — q ,• car elles se réduisent alors toutes deux à x = —

T Ces racines sont réelles et inégales quand on a ^ — q > 0,

— q positif.

En effet, dans ce cas, ~ — q est une quantité réelle; les deux termes de chaque racine sont réels; d’ailleurs leur différence

r" — *) \ n n’oct nac, nulle.

X' — x" = 2 Y/ — ? n’est pas

3° Les racines sont imaginaires quand on a — <7 <C 0 , ou

En effet, la racine carrée de la quantité négative, ^ — q, est une quantité imaginaire.

Aucun nombre positif ou négatif . mis à la place de x, ne peut,

dans ce cas , vérifier l’équation (*).

165. Remarque. Le 1 er terme de l’équation étant positif, si le

dernier est négatif, ex.: 3x* + Ix — b — 0, on peut dire, sans

calcul, que les racines sont réelles. En effet, dans ce cas — q,

valeur de signe contraire à q est positive , et - — q est essentielle-

ment positif.

Ex.: 3x s -|-7x — U — 0; — -x— - = 0; j — ? = — —

(*) Quand - — q est négatif, — < q , on peut mettre l’équation x' + px + V 4

q = 0 sous une forme qui permet immédiatement de se rendre compte de ce fait qu’aucun nombre positif ou négatif ne peut, dans ce cas, vérifier l’équation.

Puisque nous avons q > ^ , nou9 avons q = té- + m» (n° 143, inégalités).

Remplaçons q par ~ + m 5 dans le 1" membre de l’équation; on trouve ainsi :

OU

x* + px -J- 4- m* = 0,

Le 1" membre de l’équation est la somme de 2 carrés; quel que soit le nombre positif ou négatif qu’on y mette à la place de x, -f j sera essentiellement et toujours positif; ^ + m 1 somme do deux nombres précédés du signe -f ne peut jamais être nul.

Quand — q = 0, -j = q , on a a: ï + p:c-fq=ix + J ; le 1« membre est un carré ; les racines sont égales.

Quand q>0, q<^-, q = - — m* (143); d’où at’+px+q = *’+?* +

^ — m 3 = — m*. Le 1*' membre de l’équation est la différence de

2 carrés ; il suffit de choisir x , tel que x -+- | ± m.

COURS d’algèbre.

Quand le terme tout connu de x 1 + P x + ï = 0 est un nombre précédé du signe — , on peut dire, sans calcul, que les racines de l’équation sont réelles.

On verra plus loin le moyen de connaître les signes des racines réelles à la simple inspection des coefficients de l’équation proposée. V. n* 173.

164. On peut , sans altérer le 1 er membre d'une équation du se - * cond degré, le transformer en un produit de deux facteurs du l* r degré par rapport à x.

De là une autre manière de résoudre l’équation.

Le 1" membre ayant la forme x* 4 -px -\-q, en ajoutant et retran r »’

chons - , on a successivement :

x‘+px + q=x' + px + £- + q — = ( x + |) +

Le trinôme x’-f -px + q est décomposé comme il a été annoncé.

L’équation x’ px -f- q =s= 0 équivaut donc à celle-ci :

Pour que le produit qui compose le 1 er nombre soit nul, il faut et il suffit que l’uu des facteurs soit nul ; x doit donc être tel que l’on ait :

d’où x = — ^

ou bien

* + f + ? = 0î doùa:== — |

Ce sont les valeurs trouvées autrement ; ces valeurs sont donc les seules qui conviennent.

165 Si on désigne les racines de l’équation x* px q = 0 par x' et x" , dans l’ordre ci-dessus, on voit facilement que

Remplaçant dans l’équation (m) les deux facteurs du 1" membre par leurs valeurs plus simplement écrites x — x', x — x", ou trouve

Ix 1 er membre d’une équation du second degré ramenée à la forme x’ -f- px -j- q~ 0, peut être décomposé en deux facteurs du premier degré en x, qu’on forme en retranchant succesivemenl de x les deux racines de l’équation ( x — x 1 ) (x— x") = 0 (*).

C) Le 1*' membre de l’équation ar* px + <2 = <> n’est pas déeomposable de deux manières en deux facteurs du 1" degré par rapport à x.

En effet, supposons que l’on ait trouvé en second lieu * 3 + px + q= (i— a) (x— p) , il en résulterait :

(, + £ X/ëT,) (, + 1 + x/fi;) = , K, -■ «.

Le second membre étant annulé par x ~ a, il doit en être de même du premier, mais le 1" membre ne peut être nul que si on a :

Vf

■ q, OU x = -

donc a doit être l’une ou l’autre de ces valeurs.

Soit

2 + \/ t ~ q; alors “1 ~\/ 7 ~ 9 ’

afin que le second membre soit annulé par les seules valeurs qui annulent le 1 er . Il résulte de là que x — a n’est autre que

*-f-\/V-9 et * — £ = * + ! + y/ j — q.

■rvsR- • frv

158 cours d’algèbre.

166. Corollaire, x' étant une racine d'une équation du T degré, le 1 er membre de cette équation est divisible par x — x'.

Cela est évident, puisque ce premier membre est égal à

• 1 er Ex. : x* — 5.r -f- 6 — {x — 3) [x — 2).

# 2° Ex. : ^a;* + ^ = (*+*) +

Application. Former une équation qui admette pour racines deux nombres donnés, par ex., x— 3, x = 5 ; il suffit de former le produit ( x — 3) ( x — 5), que l’on peut, d'ailleurs, multiplier par un nombre quelconque, puis d’égaler ce produit à 0.