DANS UN RAPPORT INVERSE

510. Dans un grand nombre de questions^ il existe entre les grandeurs considérées une dépendance telle que les grandeurs

nombre décimal 17,73... continué ihd^/lm'menf, s'il y a lieu, suivant la méthode indiquée ci-dessus.

Cette conclusion se fonde sur ce que la 2* grandeur étant prise pour unité , les nombres ainsi obtenus successivement ,15; 15, 7 ; 15,73 ; etc., expriment les valeurs exactes d'une série de grandeurs croissantes qui , toutes plus petites qile la ]'• grandeur donnée , finissent par en diirérer aussi peu ({ue l'on veut ; cette l'« grandeur proposée est la limite de ces grandeurs successives (190); donc le nombre qui l'exprime est la limite des nombres qui expriment ces grandeurs.

Au lieu de partager la 2* grandeur en 10, 100, 1000,... parties, on pourrait la subdiviser en 2, 4, 8, 16... parties ; ou bien encore en 3, 6, 12, 24... parties, etc. ; on arriverait à la même coticlusion que pour les fractions décimales. Le rapport des 2 grandeurs données doit être considéré comme la limite des nombres fractionnaires qui composeraient chaque série. Ce rapport ne pourra être regardé comme un nombre bien déterminé que si toutes ces limites sont un seul et même nombre. Or cela est évident ; en effet , considérons deux suites quelconques de ces nombres fracttonhaites :

La 2* grandeur étant prise pour unité, un terme quelconque de l'une ou l'autre série exprime exactement la valeur d'une gtandeut déterminée , moindre que la 1'* grandeur donnée ; et pouvant en différer aussi peu que l'on veut ; en prenant deux termes éloignent un dans chaque série , on aura deux nombres dont la différence sera aussi petite que l'on voudra; car ces deux nombres exprimeront les valeurs de 2 grandeurs déterminées, toutes deux inférieures à la 1'« grandeur d'aussi peu que Ton voudra, et , par suite , à fortiori, différant l'une de Vautre auaai peu que l'on voudra. Les termes des 2 suites devant à la (in différer d'im nombre moindre que tout nombre donné . ont la même limite (100).

232 COURS d'arithmétique.

d'une espèce varient dans le même rapport que les grandeurs d'une autre espèce, ou dans un rapport inverse.

On dit que deux grandeurs varient dans le même rapport ou en liaison directe l'une de l'autre , quand Vune variant et devenant un certain nombre de fois plus grande ou plm petite y Vautre devient nécessairement ce nombre de fois plus grande ou plus petite.

Ou bien encore, ce qui revient au même :

On dit que des grandeurs de deux espèces varient dans le même rapport f ou en raison directe les unes des autres ^ quand le rapport de deux grandeurs quelconques de la l"' espèce est toujours égal au rapport des deux grandeurs correspondantes de la seconde espèce (*).

Ex. : Le prix d'une marchandise qui se pèse varie dans le même rapport que le poids de cette marchandise, est proportionnel au poids de cette marchandise; 2, 3, U,., fois plus de kilogrammes de cette marchandise se payent 2, 3, U.^.. m fois plus (m étant un nombre quelconque entier ou fractionnaire).

Le prix d'une étoffe détachée d'une certaine pièce varie dans le même rapport que la longueur de cette étoffe ; si une personne en achète 2, 3, 4 .. m fois plus de mètres qu'une autre, la !'• personne donnera 2, 3, 4 .. m fois plus d'argent que la seconde.

Le nombre de mètres d'une certaine étoffe fabriquée par les ouvriers d'une manufacture varie dans le même rapport que le nombre de ces ouvriers , toutes les autres circonstances restant d'ailleurs les mêmes.

On dit que deux grandeurs varient dans un rapport inverse ^ ou en raison inverse l'une de Vautre , quand Vune d^ elles variant et de-venant un certain nombre de fois plus grande ou plus petite. Vautre dément nécessairement ce nombre de fois plus petite ou plus grande.

Ou bien encore, ce qui revient au même :

On dit que des grandeurs de deux espèces varient en rapport inverse ou en raison inverse les unes des autres, quand le rapport de deux grandeurs quelconqu>es de la i^ espèce est constamment égal au rapport renversé, autrement dit, au rapport inverse des grandeurs correspondantes de la seconde espèce,

(*} On dit dans le même sens que les grandeurs considérées varient proportionnellement , sont proportionnelles les unes aux autres.