CIC
20 COURS d'arithmétique.
Chacune de ces tranches a ponrTaleur 5/i67 x 2 = 1093&, que noos savons calculer ; la valeur des 10 tranches ou des 20 nombres est 20 fois plus . grande ; on l'obtient en faisant suivre i093a d'un zéro i (7). Ainsi 5467 x 20 = 109340; on écrit ce 2« produit sous le premier pour l'addition.
On aurait de même le produit de 5467 par 400, en faisant la somme de 400 nombres égaux à 5467 écrits en colonne verticale ; mais cette série de 400 nombres peut se partager en 100 séries partielles , ou tranches de 4 nombres chacune; chacune de ces tranches a pour valeur 5467 X 4 = 21868 ^ que nous savons calculer; les 100 tranches ou les 400 nombres ont une valeur 100 fois plus grande qui s'obtient en faisant suivre 21868 de deux zéros, (7)j 5467x400=2186800; on écrit ce 3« produit sous les deux autres pour l'addition.
Par un raisonnement semblable , on voit que le produit de 5467 par 3000 est le produit de 5467 par 3 suivi de 3 zéros; 5467 x 3 2=16401; 5467x2000 = 16401000. On écrit ce 4* produit sous les trois premiers, puis on additionne. On a ainsi 18740876 pour produit de 5467 par 3428.
£n écrivant ces produits partiels les uns sous les autres pour les additionner, on peut simplifier l'écriture. Dans le 2* produit partiel, le premier chiffre à droite du produit de 5467 par 2, chiffre des dizaines du multiplicateur, occupe la place des dizaines; si on la lui faisait occuper immédiatement sous le premier produit partiel sans écrire de zéro à sa droite , cela produirait le même effet pour l'addition. De même, le premier chiffre à droite du produit de 5467 par 4, chiffre des centaines du multiplicateur, occupe , dans le troisième produit partiel, la place des centaines; on peut la lui faire occuper immédiatement sous les deux premiers produits sans écrire les deux zéros à sa droite ; le résultat sera encore le même lors de l'addition générale. Même observation pour la suppression des trois zéros dans le quatrième^ produit. L'écriture ainsi simplifiée, l'opération se présente comme il suit :
MDLTIPUCàTION. 21
43736 1093a 21868 16/iOl
On est ainsi conduit à la règle suivante :
RÈGLE GÉNÉRALE. Pour multiplier un nombre de plusieurs chiffres par un nombre de'plusieurs chiffres y on multiplie d'abord tout le multiplicande par le chiffre des unités du multiplicateur. Puis procédant par ordre y de droite à gauche, on multiplie sw;^ cessivement tout le multiplicande par chacun des autres chiffres du multiplicateur ; chacune des multiplications se fait diaprés la régie du 2^ cas. On écrit tous ces produits partiels les uns sous les autres au-dessous du premier produit obtenu , de manière que le premier chiffre à droite de chacun soit dans la colonne des unités de m^nu ordre que celles du chiffre multiplicateur qui sert à le former. On additionne ensuite tous ces produits , dont la somme est le produit demandé.
Remarque. Un produit de deux facteurs a au plus autant de chiffres qu*il y en a dans les deux facteurs à la fois , et au moins ce nombre de chiffres diminué de i.
£x. : 537 X 4276. Ce produit aura au plus 7 chiffres, et au moins 5.
En effets 4276 étant compris entre 1000 et 10000, le produit de 537 par 4276 sera compris entre 537000 et 5370000; ce qui démontre la proposition.
Multiplication des nombres terminés par des zéros.
25. RÈGLE. Pour multiplier deux nombres terminés par des zéros ^ on multiplie ces deux nombres , abstraction faite des zéros qui les terminent , puis on ajoute à droite du produit autant de zéros qu*il y en a dans lesjdeux facteurs à la fois.
22 COURS i>^ÂRtTMiÈti(}UE
Exemple : 8&000
658a000ll()
DÉMONSTRATION. Snpposoi» d'abord qu'on ait à multiplier 84000 par 76. Ce produit est lit ^ifiittië de 76 nombres égaux à 84000.
SU
SU
Mais cette somme n'est autre chose évidemment que la somme de 76 nombres égaux à 84 , suivie de 3 zéros ; or 84 x 76 = 6584 ; donc 84000 X 76 = 6584000.
Considérons maintenant le produit de 84000 par 7600 ; c'est la somme de 7600 égaux à 84000 ; cette somme peut évidemment se décomposer en 100 sommes partielles de 76 nombres chacune. Une somme partielle de 76 nombres, c'est 84000 x 76 ou 6584000 ; la valeur des 100 sommes ou de 7600 nombres sera 100 fois plus grande, c'est-à-dire, égale k^ 658400000; (7).
£n définitive, on a multiplié 84 par 76, ce qui aS doiiâé 65^4, puis ajouté 5 zéros sur la droite^ autant qu'il y en a dans les 2 facteurs*, là règle est floiic démontrée (*).
26. On ne change pas la valeur d'un produit de deux facteurs en intervertissant l'ordre des fadeurs.
Èx. : 5X4=4>J5.
Écrivons sur une colonne horizontale les uiiiiës Ak S, et Répétons 4 fois cette colonne :
(*) (V, une ^ démonstratioiî de cette règle, page 41),
m-mr^^^r'^'tm
llbtttHicàtioN. 23
En comptant les unités de ce tableau par colonnes horizontales, on trouve une colonne de 5 HtikHi ; f épétée U fois ; la somme des unités du tableau est donc égale à 5 répété U fois, ou à 5 x 4.
Si ott èbiflpte les tmttéB tia^ eiftolinès verticales , bii trouvé ttne ctfloliné téfticflle de h uÉitêil fëpëtée 5 fbts ; la somme des Unités du tsblèâu é<ttlivaQt dotrc h ft répété S fois, ou /!lx 5. Mais la somme de ces unités est la mém'e dans qdelqaè ordre que Toti
iwilubiiM ; aofie s x & = s x s:
Preuve de la -MULTiPLicJtfiOli. Pmtr fiirt là prekve de ^û multiplicadonf il suffit , changeant V ordre des facteurs , de prendre le multiplicateur pnmthf pour multiplicande, et vice vef^; on
d9tt trbWBt I» HOm proéMt
Éitkàtùkà.
i7. G()inl)itti ooftMt 7S ihètréB ée drap à 24 tti le InètreP Ils ooàtent 78 foie 24.fr. fi^f 1872 fr. . . , , . ,
Un employé reçoit 284 fr. par mois; quel est son traitement annuel? Rép. 3408 fr, . , ^
totribiy ^ à-t-il iie lettres àlkHi ttii volume dé tiè f)li^è8, ddilt ëhsicune rënferihe lâSOletttesP A^. llSssIl.
QâiQbteh y a-tril.de secondés dans.l jour 18 |)eure^ 47 mii^ut^s 21 secondes? ]p leur, est ,d6 24 beares, l'heure de 60 minutes, la minute de 60 secondes. Rép. j 36041 .
La lumiéf è parcourt ff 000 liéues par seconde ; corfifc'leii jàrcourt-èlle de lic'uès par jourP Rép. 6652800000.
Dbe fintàine donfie 27 Iltfés à'eab piff minute ; eoraMen en domi&-t*6ne par jotfr? fi4>. 88884. .. ,, .. . . ,. . , , . .^
l^e loeox^ptive parcourt 9 lieues par heure» combien en parcourra-t-elle cii i 7, heures ? JR^p. 153.
Là clfr^ntèrencé dé là teffê ciTriilettt 3è6 hebx'éi; ëhâqiie 3ègré vaut 23 lieues communes , ou 2d liebes ^àflfies^ bdfiibiëii y &-t-41 Ae fieues de Tune du Tantre espèce dans le tour de la terre P Répi 9000 lieues communes , 7200 lieues ma-
. Le soleil est 1384500 plus çrbs que la terre, qui est elle-même 80 fois plus grosse tïue la lurie; coinLien de fôi^ le soleil est-Il ^lus gfrôfc i{tie lâ idiiê.^ Ré^. 110760000.
Lé râ^on dé la terrs e|t de «368 kilomètres ; te dietanc» dé Ip terre au â)leil ^1 ^. 2^4 jcaypn; $e|3^<^^;. on demande en kUamdtres la diâtanoe de ia terre au soleil? Rép, 1526822144.
24 COURS d'arithhétique.
DIVISION
S8. La division a pour but étant donnée deux nombres, l'un uppd^ DIVIDENDE ^ P autre appelé diviseur , d*en trouver un S* appelé QUOTIENT, qui, multipliant le diviseur, ou multiplié par le diviseur, reproduise le dividende.
Ex. : Diviser 40 par 5 , c'est trouver un nombre qui multipliant
5, ou multiplié par 5 , reproduise 40.
La division s'indique ainsi : 40 : 5 ou — ; lisez 40 divisé par 5.
Puisque le dividende est égal au diviseur multiplié par le quotient, il contient le diviseur autant de fois quïl y. a d'unités dans le quotient. £x. : 40 contient 5 fois 8. On peut donc dire :
La division est une opération par laquelle on cherche combien de fois un nombre appelé dividende contient un autre nombre appelé diviseur. De là le nom de quotient ûonaé au résultat, du mot latin , quotiesy combien de fois.
Il n'arrive pas toujours que le dividende soit le produit exact du diviseur par l'un des nombres 1, 2, 3, 4 ;... c'est même le contraire qui arrive le plus ordinairement. £x. : division de 42 par 5.
Alors le dividende contient un certain nombre de fois le diviseur, plus un reste moindre que le diviseur. £x. : 42 contient 8 fois 5«, plus un reste 2 , moindre que 5.
Alors le quotient peut être considéré comme composé de deux parties ; l'une , sa partie entière , est le plus grand nombre de fois que le dividende contient le diviseur, (dans notre exemple, cette partie entière est 8); l'autre est un nombre moindre que 1, qu'on nomme fraction , et dont il sera question plus tard.
On appelle reste d'une division le nombre moindre que le diviseur, qu'on obtient en retranchant du dividende le produit du diviseur par la partie entière du quotient Dans notre exemple , le reste est 2.
Dans ce qui va suivre, nous nous occuperons seulement de trouver la partie entière du quotient de chaque division proposée,* plus tard, au chapitre des fractions, nous apprendrons à trouver la seconde partie quand il y en aura une.
Ainsi donc ,* pour le moment, en divisant deux nombres donnés,
DIVISION. 25
nous chercherons seulement combien de fois au plus le dividende contient le diviseur.
29. On peui trouver ce nombre de fois en ne faisant que des soustractions.
£n effet 5 soit proposé de chercher combien de fois au plus U2 contient 5. On ôte 5 de 42 , il reste '61 ; puis ô de 37, il reste 32, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on ait un reste moindre que 5. Après 8 soustractions , on arrive au reste 2 ; on en conclut que 42 contient 8 fois 5 et un reste 2. On dit que la division de 42 par 5 donne le quotient entier 8 et un reste 2. On dit encore que 8 est le quotient de 42 par 5 , à moins d'une unité , à une unité près.
30. Mais remploi de la soustraction est un moyen trop long , et peut devenir par cela même impraticable. On a cherché d'autres procédés, ou règles de division.
Nous considérerons trois cas :
1*^ Celui où h diviseur n'ayant qu'un chiffre 9 le dividende ne contient pas dix fois le diviseur ;
2° Celui où les deux termes étant des nombres entiers quelcon^ ques^ le dividende ne contient pas dix fois le diviseur;
3® Celui où les deux termes étant des nombres entiers quelconques, le dividende contient au moins dix fois le diviseur.
On distinguera facilement ces trois cas, en comparant au rfmdende le diviseur suivi d*un zéro,
