Calculer les deux sommes

S = cosa -t- ces (rt -h h) -i- cos(a -4- -î/; i -4- . . . 4- ces (a + nh), S'= sin a + sin(rt 4- /i) -H siiKa + 2/1) -H . . . -H sinO 4- nh).

( Multiplier chaque somme par 2 siii - el transformer chaque produit en différence. Cf. t. I, chap. VII, Exercice résolu n° 7.)

18. Soient n et p deux nombres entiers quelconques et or un angle quelconque; démontrer les identités

cosur + cos (^ H- 1^ j -^ cos (.r + i^) ^. . .+ cos L + ii^ir^

■ P , si - n est pas entier;

COS2^ -+- CCS- ( ,^■ H — —

-+- ces' I .r 4- •

SI — n est pas entier.

[La seconde se ramène à la première, par la formule (58) du n" 132. Quant à la première, on peut la déduire de Texercice précédent. On peut aussi s'appuyer sur l'équation qui donne cosj^*, connaissant cos/*a;, en remarquant que la somme de ses racines est nulle. Cette somme est égale à la somme proposée, en vertu du théorème d'Arithmétique connu sous le nom de théorème de Wilson, dans le cas où p est premier avec n. Si p n'est pas premier avec /i, il suffit de remplacer, dans la somme

donnée, — par la fraction irréductible égale. La somme se décompose

alors en plusieurs sommes nulles séparément.]