Démontrer que, dans tout triangle, on a l'identité

:osA

Première démonstration. — En retranchant la troisième colonne de la seconde, cette égalité se ramène à la suivante

Remplaçons-v cos- - par

co

pip —

> en vertu de la formule (8) du n° 135 ;

2 ' bc

l'égalité devient, en chassant les dénominateurs.

Il I a(p —a)- p — a || = o.

Pour que ce déterminant soit nul, il faut et il suffit que Ton puisse détei miner / et m pour que Ion ait (t. I, n° 293)

(Il

et les deux relations analogues en b et c. Or, si, dans cette relation, on regarde /, m, p comme donnés, on a une équation du troisième degré en a, dont les racines doivent être a, b, c. La somme de ces troi- racines doit être égale à 2/>. Or, c'est bien ce qui a lieu, comme on le voit en calculant les deux premiers termes. Celte condition étant remplie, on peut toujours déterminer / et m de manière que le coefficient de a et le terme constant aient des valeurs données quelconques^ c'est-à-dire de manière que l'équation (i) ait pour racines les cotés d'un triangle quelconque, de périmètre ip. • c. 0- ^■■ D.

Deuxième démonstration. — Considérons le cercle insciit dans le

TIIIGONOMETBIE. — CHAPITRE II.

triangle el soieni A', B', (7 les points de contact avec les côtés BC, CA,AB. On a

AP.'^ r.A'-+- BAr= - ( AB -BC~CX)=p;

or, (;A' + BA' z=z a; donc,

D'antre part, le triangle rectangle IB'A donno

< V ) d'oi'i

/• = (/> — rt I t a n tr - ;

- tani: -

Portons celle formule et les deux formules analogues dans l'idenlité à démontrer; elle devient

tanu; — cosA i

ou. en développant suivant la première colonne,

' lang— (roslî — cosC)=o,

OU, en transformant cosB — cos(I en un produit el remarquant que

sin = (OS —

> sin sin

Or, le premier membre de cette égalité n'est autre que le développement suivant la première colonne du déterminant

sin — sin — eus —

(|iii est nul, comme ayant deux colonnes identi(|ne«.

2. Ré'ioiidrc (in li (angle, connaissant tes trois hauteurs. ( K. I*., J<)i i .) Soient A, //', h" les hauteurs respectivement opposées aux côtés a, 6. c el soit S la surface du liianjrliv On a

RESOLITION DES TRIANGLES.

Nous avons quatre équations à quatre inconnues : a, b, c, S. Pour sinaplifîer l'écriture, désignons par /, i' , i" les inverses des hauteurs et par iq la somme de ces inverses. Nous avons

(3) p = iSq, p — a =^ i'è){q — t), p — b = 2S{q — i'),

Portant dans (2), il vient

(4) Sî

De (4), on tire S; portant dans (3), on a ensuite/?, a, b, c el l'on est ramené au premier cas (n° 135).

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que chacune des quantités i, i', i" soit inférieure à la somme des deux autres, ce qui entraîne évidemment la réalité de la valeur de S donnée par (4).

EXERCICES PROPOSES